Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H.. Các đường thẳng AH, BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F D khác A, E khác B,
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG
KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (3.0 điểm).
Cho hệ phương trình 2 2 2 2
x y m
(trong đó m là tham số; x và y là ẩn)
1) Tìm m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.
2) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A 2xy xy 2013
Câu II (1.0 điểm)
Giải phương trình: 18x16 4 2 x25x 3 7 4 x22x 2 7 2 x28x6
Câu III (2.0 điểm)
Tìm a để hệ sau có nghiệm:
0 2 1
2 0 4 5
2 2
2 4
a a x a x x x
Câu IV (1.0 điểm)
Chứng minh rằng nếux y, là các số thực lớn hơn 1 thì:x y xy x y
2
1 1
1 2 2
Câu V (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A2 ; 3 và B4;3 Tìm tọa độ điểm M cách đường thẳng x y 2 0 một khoảng 2 2 sao cho tam giác AMB cân ở M.
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH,
BH, CH lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F (D khác A, E khác B, F khác C) Hãy
viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC; biết rằng 2;1 , 3; 4 , 6 17;
5 5
Câu VI (1.0 điểm)
Xác định hàm số f (x) biết: 2 1 1
x f x
f ; với x 0
Trang 2
-Hết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm).
Họ và tên thí sinh: ………SBD: ………
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
Trang 3Câu I.1 (1.5 điểm)
Đặt S x y P; xy Khi đó hệ phương trình trở thành
0,5
Để hệ có nghiệm thì 2 2 2 2
S P m m m m m 0,5
Hệ có nghiệm duy nhất khi
2
2
m
m
Thử lại ta thấy cả hai giá trị cùng thoả mãn 0,5
Câu I.2 (1.5 điểm)
Ta có 2 2013 2 2 3 2011
A
0,5
m -2 3/2 2
A 2025 2013
2011 0,5 Lập bảng biến thiên ta được maxA 2025 khi m = -2; min A= 2011 khi m = 3/2 0,5
Câu II (1.0 điểm)
ĐK 1
2
x với điều kiện này phương trình được đưa về dạng
0,25 Đặt a x 3 2x1;b 2x thay vào phương trình trên ta được2
2a 7ab6b 0 2a 3b a 2b 0 2a3 ;b a2b
0,25 +) a2b x 3 2x1 2 2 x phương trình này vô nghiệm2 0,25 +) 2a3b 2 x 3 2 2x1 3 2 x giải phương trình này được nghiệm 2 x 1
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 1
0,25
Câu III ( 2.0 điểm)
Từ (1) : (x +2)(x+1)(x-1)(x-2) <0 (*)
Từ (2):
2
1
a
x
a
Để x = a- 1 thoả mãn (*) thì: a(a+1)(a-2)(a-3) < 0 a 1 ; 22 ; 3 0,5
Để x = a+2 đúng với (*) thì: (a+3)(a+4)(a+1)a < 0 a 4 ; 3 1 ; 0 0,5 Vậy a 4 ; 3 1 ; 02 ; 3 0,5
Trang 4Câu IV ( 1.0 điểm)
Do x, y >1 nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
2
2 ) 2
(x y xy x y x y
0 2
y x y xy x xy x y y x y
1 1 2 2 0
x y x y xy x y , bất đẳng thức này luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi
Câu V.1 (1.0 điểm)
Phương trình đường thẳng trung trực của đoạn AB là: x + 3y – 3 =0 (l)
Đường thẳng chứa M có phương trình dạng x – y +c = 0 (d) ( c khác 2) 0,25
Ta có E0 ; 2 thuộc đường thẳng đã cho và d E;d 2 2
0 6
0 2
y x
y x
0,25
M lần lượt là giao điểm của l và hai đường thẳng vừa tìm Vậy toạ độ M là nghiệm hệ:
0 3 3
0 6
0 3 3
0 2
y
x
y
x
y
x
y
x
2 (1.0 điểm)
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C Do tứ giác BCB’C’ nội
tiếp nên FDA FCA ABE ADE H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam
giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của
tam giác DEF Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
0,25
Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là
DE x y DF x y Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của
Kiểm tra vị trí tương đối của E,
F với hai đường trên ta được phân giác trong kẻ từ đỉnh D là
: 2 0
d x Tương tự ta lập được phương trình phân giác trong kẻ từ đỉnh E là
' : 1 0
d x y Mặt khác H là giao của d và d’ nên H2;3
0,5
Ta có AC là trung trực của HE nên AC đi qua trung điểm ' 5 7;
2 2
B
và có vtpt là
HE AC x y
Trang 5F C'
H
E
B'
A' D
A
0,25
Câu VI (1.0 điểm)
Theo đề ra ta có hệ:
x x f x f
x x f x f x x f x f
x x f x f
2 2 1 2 4
1 1 2 1 1 2 1
1 1 2 )
0,5
x
x x f x
x
x
f
3
2 3
1 ) ( 1 2 )
(
0,5