Đề thi HSG lớp 10, vĩnh phúc, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

Chứng minh phương trình ax bx c  có nghiệm.. Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cotAcotCcotB.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P... Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.

ĐỀ SỐ 03

(Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, năm học 2010 – 2011)

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1.

1 Giải phương trình: 2x 63 x 5 x3.

2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a2b5c0 Chứng minh phương trình

ax bx c  có nghiệm.

Câu 2.

Giải hệ phương trình:

2







Câu 3.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A1;3 , B   5; 3 Xác định tọa độ điểm M

trên đường thẳng d x:  2y 1 0 sao cho 2MA MB 

đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4.

Tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: cotAcotCcotB.

1 Xác định góc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1 của tam giác ABC khi 1

2

  .

2 Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi  2.

Câu 5.

Ba số dương a, b, c thỏa mãn: 12 12 12 1

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

ĐỀ SỐ 03 Câu 1 1 Ta có: 2x 63 x 5 x3 (*)

Điều kiện x 5

Khi đó (*)  2 6  x x 3 3 x5 2 6  x  x 3 3 x548 8 x

x





Từ (1)  x6 thỏa mãn điều kiện

Từ (2)

29

2

2

x x

x









Nghiệm của phương trình 6, 17 3 5

2

x x 

2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2b5c0 Chứng minh phương trình ax2bx c 0

(1) có nghiệm

Trường hợp 1: a 0 suy ra 2b5c0 phương trình (1) trở thành bx c 0 (2)

+) Nếu b 0 c0: Phương trình (2) có nghiệm (vô định).

+) Nếu b 0 phương trình (2) có nghiệm (duy nhất).

Trường hợp 2: a 0 Ta có 5

2

a c

b  .

Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm

Câu 2 Ta có:

2





2 2

2



2

2



 



Trường hợp 1: x 0 y 0 x y;   0;0 là nghiệm của hệ.

Trường hợp 2: y 1 x2 3x  2 0 x y;  1;1  x y;   2;1

Trường hợp 3: 1 2 1

0

y  x   (loại)

Vậy hệ có 3 nghiệm 0;0 , 1;1 , 2;1    

Câu 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A1;3 , B   5; 3 Xác định tọa độ điểm

M trên đường thẳng d x:  2y 1 0 sao cho 2MA MB

 

nhỏ nhất.

Gọi I x y 0; 0 là điểm thỏa mãn 2IA IB 0

0

2

1

IA BI

y







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vậy I  1;1 Ta có

Như vậy 2MA MB

 

nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất Suy ra M là hình chiếu của I trên d.

Phương trình tham số của d x 2t 1

y t







 Gọi tọa độ M2t01;t0 Suy ra IM 2 ;t t0 01

1

5

d

IM u   t t    t 

 

.

Vậy 3 1;

5 5

M 

Câu 4 1 Ta có:

Khi 1

2

  Ta có:

1

2

Ta có:

2 2 2 2 2 2

;

AG  AA      CG  CC     

Suy ra

AG CG  b      b  AA CC

Vậy góc giữa AA1 và CC1 bằng 90°.

2.

B

    Suy ra B   60 .

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều.

Câu 5 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 12 12 12 1

a b c 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

5a 2ab2b  2a b  a b  2a b

2

a b  a a b a a b   a b )

9

Cộng theo vế của (1), (2) và (3) suy ra 1 1 1 1

3

P

a b c

Mặt khác

Suy ra 3

3

P  Dấu = xảy ra khi a b c   3