Đề thi HSG lớp 10, TP đà nẵng, năm học 2010 – 2011 file word có lời giải

Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn?. Tính độ dài của đoạn C khi đó.. Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.. Cho tam giác ABC.. Dấu đẳng

ĐỀ SỐ 04

(Đề thi HSG lớp 10, TP Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011)

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (1,5 điểm)

1 Xác định tính chẵn – lẻ của hàm số

y

2 Cho các nửa khoảng Aa a;  1 , Bb b;  2 Đặt C A B Với điều kiện nào của các

số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó.

Câu 2 (2,0 điểm)

1 Tìm m để phương trình x2  1 m4  m2  1 có bốn nghiệm phân biệt

2 Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:  1 2 1

2

m x

 

Câu 3 (2,5 điểm)

1 Giải phương trình x2  7x  8 2 x

2 Giải hệ phương trình 7 2 5







Câu 4 (3,0 điểm)

1 Cho tam giác ABC có AB c AC b ,  và BAC   60 Các điểm M, N được xác định bởi

2

MC MB

và NB 2NA

Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau.

2 Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm

', '

A B và C' Gọi S S S a, ,b c và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB C' ', BC A CA B' ', ' ' và

ABC Chứng minh bất đẳng thức 3

2

S  S  S  S Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R ( R 0, R không đổi) Gọi A

và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc vưới đường tròn đó Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích

nhỏ nhất

ĐỀ SỐ 04 Câu 1 1 Hàm số y có tập xác định D   10;10 là tập đối xứng qua điểm x 0

Kiểm tra:  x D f, xf x  f chẵn, f không lẻ (vì nó không đồng nhất bằng 0 trên D).

2 Cb b;  2  a a;  1 là một đoạn  b a b      2 a 1 b    1 a b 2

Khi đó, Cb b;  2  a a;  1 b a;  1 là đoạn có độ dài a b  1

Câu 2 1 Ta có: m4  m2   1 0

Phương trình

 



Từ (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì m4  m2   2 0

Từ (2) có 2 nghiệm phân biệt  m 0 và 1  m2   0 m  1;1 \ 0  

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt  m  1;1 \ 0   và m4  m2   2 m2  m4

 1;1 \ 0  

m

   và m4  m2    1 0 m  1;1 \ 0   , kết luận

2 Bất phương trình  1  2 1  2 0  2 0

+) Nếu m 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 2

+) Nếu m 0 thì m  2 2 nên bất phương trình nghiệm đúng với mọi

 ;2  2; 

x    m 

+) Nếu m 0 thì m  2 2 nên bất phương trình nghiệm đúng với mọi

 ; 2 2; 

x   m  

Câu 3 1 Điều kiện: x 0

Phương trình  x2   1 7x  7 2 2  x  0  x 1 x x x  6 x 8 0

2

1

1 0

4 0

x x

x







2 Điều kiện 7 0

x y

x y

 





 



Đặt

2

;

2





Hệ phương trình trở thành: 2 25 2 2 2 52



 





(*)

Từ (*)  v 2 (nhận) hoặc v 7 (loại); nên hệ phương trình trên 3

2

u v





 





Do đó hệ phương trình đã cho trở thành 7 9 1



Câu 4 1 Ta có: MC 2MB AC AM  2AB AM  3AM  2AB AC

Tương tự ta cũng có: 3CN                             2CA CB              

Vậy: AM CN AM CN   0 2AB AC  2CA CB  0

5

2

bc

2 Ta có các công thức tính diện tích: 2S a AC AB' 'sin ;2A SAB AC sinA

.

2

a

  (Bất đẳng thức Cauchy) Tương tự ta cũng có: 1 ' '

2

b

2

c

Dấu bằng xảy ra

' ' ||

' ' ||

' ' ||

A C CA

B A AB



















 ', ', '

A B C

 là trung điểm của BC, CA, AB.

Câu 5 Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử A a ;0 , B0;b với a 0,b 0 (*)

2

OAB

ab

S

Mà 12 12 12

1

2

a b



2

2

OAB

ab

   không đổi (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b )

Kết hợp với (*) và (**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b R  2

Vậy A R 2;0 ; B 0; R 2 (4 cặp điểm)