Chứng minh rằng nếu các cạnh của ta giác ABC thỏa mãn.. sin Asin Bsin C thì tam giác đó nhọn.. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC... Điều phải chứng minh.
Trang 1(Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2013 – 2014)
Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1
Giải phương trình 2x x22x7 2 4 2 x 1
Câu 2
Giải hệ phương trình:
Câu 3
1 Chứng minh rằng nếu các cạnh của ta giác ABC thỏa mãn
sin Asin Bsin C thì tam giác đó nhọn
2 Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH, BK là hai đường cao, HK = 7 , diện tích tứ giác ABHK bằng 7 lần diện tích ta giác CHK Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 4
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3;-1) và đường tròn (C) có phương trình
2 2 2 8 14 0
x y x x Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm E và cắt (C) theo một dây cung có
độ dài bằng 3
Câu 5
Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 3xyz
Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Trang 2Câu 1 Ta có: 2
2x x 2x7 4 4 2 x 1 Điều kiện: 1
2
x
Phương trình x 223 2 x12x 2 4 2x 1
+) Xét 1
2
x không thỏa mãn phương trình
+) Xét 1
2
x x
2 1
x
t
x
ta có t2 3 2t 4 t2 3 2t 4 t 1
Với t 1 , ta có 2 1 2 1 2 3 6
2 1
x
x
Đối chiếu điều kiện, ta có phương trình có nghiệm duy nhất là x 3 6
Ghi chú: HS có thể giải bằng cách đặt a 2x1,b x 2
Câu 2 Ta có:
Điều kiện x y x ; 2 1 0; 2x y 3 0
4 2 4 1 0 (3)
Phương trình (3) vô nghiệm vì x y 4x2y4 1 x y 2x1 2x2y3 1 0
Thay x = y vào phương trình (2), ta có 3 2
2x 1 4x 3 8x 4x 8x 1
2
2
2 2 3
2 3
3
2
2 1 1 (3)
x x
x
x
Vế trái phương trình (3): 1 2 1 1 1
2 2
2x 1 2 4x 3 3
Trang 3Dấu “=” xảy ra khi 1
2
x
Vế phải phương trình (3): 2x 12 1 1 dấu “=” xảy ra khi 1
2
x
Do đó, phương trình (3) có nghiệm là 1
2
x
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của hệ phương trình đã cho là
; 3 3; ; 1; 1
x y
Câu 3 1 Áp dụng định lý số sin trong tam giác, ta có
sin Asin Bsin C a b c
Ta có a2014 b2014c2014 b2014 a b a ; 2014 b2014c2014 c2014 a c
Do đó, ta chứng minh tam giác ABC nhọn, ta chứng minh góc A nhọn
Ta có 2014 2014 2014 2012 2 2012 2 2 2 2
Suy ra
2
bc
nhọn, điều phải chứng minh
2 Ta có S ABHK 7SABC SABC 8SCHK
1
sin 2
ABC
CHK
AHC
vuông tại H, ta có cosC CH (2)
CA
BKC
vuông tại K, ta có cosC CK (3)
CB
Từ (1), (2), (3) ta có cos2 1
8
C
CA CB và góc C chung
1 cos
2 2
2 2 2 14 (4)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
2
2 14
4
2 1 8
R
Lưu ý: Ở (4), có thể sử dụng tỉ số đồng dạng
2
8
ABC CHK
S AB
Câu 4 Đường tròn (C) có tâm I(-1;-4), bán kính R 3
Gọi A và B là hai giao điểm của (C) và (C’)
Gọi H là giao điểm của EI với AB
Từ giả thiết ta có IA = IB = AB = 3 do đó IAB đều
Trang 4Do đó đường cao 3, 5
2
Xảy ra 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: H nằm giữa E và I
(C’) có bán kính
2 2
2
AB
Khi đó PT đường tròn (C’) là x 32y12 13
Trường hợp 2: I nằm giữa E và H (C’) có bán kính
2 2
2
AB
Khi đó PT đường tròn (C’) là x 32y12 43
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xyz x y z 33 xyz xyz1
Suy ra 2 2 2
1
dấu “=” xảy ra khi x y z 1
Do đó, ta có
3
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi x y z 1 Điều phải chứng minh