Đề thi HSG lớp 10, bắc giang, năm học 2012 – 2013

Chứng minh răng biểu thức sau không phụ thuộc vào x cos sin 2sin 3 sin cos 2 sin cos Câu 4.. Cho tam giác ABC.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A 1;2... AB

(Đề thi HSG lớp 10, Bắc Giang, năm học 2012 – 2013)

Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (4 điểm)

Cho hàm số ( ) 2 ( )

2 1

y= f x =x − m− x m+

1 Tìm m để bất phương trình f x( ) ≥0nhận mọi x thuộc R là nghiệm.

2 Tìm m để bất phương trình f x( ) =0có hai nghiệm x1, x2 lớn hơn 1

Câu 2 (4 điểm)

1 Giải phương trình: 2 x− +1 3 x− =3 x2−4x+ +3 6,(x∈¡ )

2 Giải phương trình: 3 2 2 2 2 2 2 2 ( , )

x y



Câu 3 (4 điểm)

1 Giải bât phương trình: 3x− +2 x+ ≥ +3 x3 3x−1, (x∈¡ )

2 Chứng minh răng biểu thức sau không phụ thuộc vào x

cos sin 2sin 3 sin cos 2 sin cos

Câu 4 (6 điểm)

1 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC ta có

1

6

GA GB GB GC GC GC+ + = − AB +BC +CA

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (1;2) Đường thẳng chứa canh

BC có phương trình: x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ B và C, biết AB = 2AC

3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

(C1):( ) (2 )2

x− + y− = và (C2):( ) (2 )2

x− + +y =

Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1;0), đồng thời ∆ cắt các đường tròn (C1) và (C2) lần lượt tại M, N (M, N không trùng A)

Câu 5 (2 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng

a b c b+ c a c+ a b≤

Đáp Án Câu 1 1 Ta có: a= > ∆ =1 0, ' m2−3m+1

¡

2 Yêu cầu bài toán tương đương với ( ) ( )

' 0

∆ ≥





1 2

3 5

2

2 4 0

2 0

m

x x



∆ ≥



Câu 2.1 Điều kiện: x≥3

Phương trình đã cho tương ứng với

1 3 3 2 0

7

3 2 0

x x

2 Điểu kiện x, y ≥ 1

2 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( ) ( 2 )

2 2 0 (*)

x y x− + xy+ =

Dox, y ≥ 1

2nên x

2 + 2xy + 2 > 0

Vì vậy (*) ⇔ − = ⇔ =x y 0 x y, thay vào phương trình thứ hai của hệ:

( ) ( )2

1 2

2 2 1 3 1

4 2 1 3 1

x

 ≥





Giải ra ta được x =1, x = 5

9 Vậy nghiệm của phương trình là (1;1) và 5 5;

9 9

Câu 3 1 Điều kiện 2

3

x≥

Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) 3

3x− − +2 1 x+ − ≥ +3 2 x 3x−4

( )

2

2

Ta có: 2 3 4 3 1

0,

3

Do đó (1) ⇔ − ≤ ⇔ ≤x 1 0 x 1

Vậy 2 1

3≤ ≤x

cos sin 2sin 3 1 2sin cos 2 1 3sin cos

3

cos sin 2sin 3 6sin cos 2 6sin cos

cos sin 2sin 1

Vậy A = 1, suy ra A không phụ thuộc vào biến x

Câu 4.1 Ta có

2

AB

Tương tự với 2 đẳng thức còn lại, sau đó công 3 đẳng thức lại ta được:

4

9

2

GA GB GB GC GC GA

Sử dụng công thức trung tuyết suy ra điều phải chứng minh

2 Ta có: d(A; BC) = 2 2

∆ABC vuông tại A nên

AB + AC = d A BC =

Kết hợp với điều kiện AB = 2AC ta được AC2 = 10

Mà C ∈ BC nên C(a; – a – 1 )

( ) (2 )2

2

2a 4a 10 10 a 0

⇔ + + = ⇔ = hoặc a = - 2

+) Với a = 0 suy ra C(0; - 1)

Phương trình AB đi qua A, vecto pháp tuyến uuurAC= − −( 1; 3) là x + 3y – 7 = 0

Từ đó tìm được tọa độ điểm B (-5;4)

+) Với a = -2 suy ra C(-2;1)

Phương trình AB đi qua A, vecto pháp tuyến uuurAC= − −( 1; 3) là x + 3y – 5 = 0

Từ đó tìm được tọa độ điểm B (3;-4)

3 Đường tròn (C1) có tâm I1 (1;3) bán kính R1 = 3, (C2) có tâm I2 (2;-2)

bán kính R2 = 5

Ta có A là một điểm chung của hai đường tròn

Gọi nr =( )a b; ≠0r là vecto pháp tuyến của đường thẳng

:ax by a 0

Ta có:

( )

( )

( )

( )

2

3

;

2

;

36

16 16 4

b

d I

a b

d I

a b

a

a b

a b



+





−



⇒ 



Do MA = 2MB nên MA2 = 4MB2 2 ( 2 2)

36a 4 16a 16ab 4b

2

⇔ = − hoặc 7

2

a

b= −

+) với a= −2n, ta chọn b= −1,a 2= ⇒ phương trình ∆: 2x – y – 2 = 0

+) với 7

2

a

b= − , ta chọn a=2, b= − ⇒7 phương trình ∆: 2x –7y – 2 = 0

a

3 2

1 1

1

+ +

Do đó ta chứng minh được

3

9

a b c ab bc ac

3 ab bc ac+ + ≤ + +a b c = ⇒9 ab bc ac+ + ≤3

Vậy 3 2 3 2 3 2 3 3 3 1

9

+ +

+ + + + + + (điều phải chứng minh)