Tỉ số thể tích khối đa diện file word có lời giải chi tiết

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.. Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng A... Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA và ' BB.. V 7a3 Lời giải 6 ABCD Dễ thấy 

TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trường THPT Đặng Huy Trứ, Huế

SĐT 0935.785.115 Địa chỉ: 116/04 Nguyễn Lộ Trạch, TP Huế

I – PHƯƠNG PHÁP

Kết quả 1: Cho tam giác OAB , trên cạnh OA chọn A ' 0 , trên cạnh OBchọn ' 0B 

Lúc đó: OA B' ' ' '

OAB

S OA OB

Chứng minh:

Gọi ,H H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và '' A lên

OB

Lúc đó: 0 ' '

1 ' ' ' 2

A B

2

OAB

Suy ra:

OA B

OAB

S OA OB OA OB (Định lý thales)

Kết quả 2:

Cho hình chóp S ABC , trên cạnh SA chọn A ' 0, trên cạnh SB chọn ' 0B  trên cạnh SC chọn C ' 0

Lúc đó: ' ' '

.

S A B C

S ABC

V SA SB SC 

Chứng minh:

Gọi ,H H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và '' A lên

mp SBC 

Lúc đó:

1

' '.S

3

3

Suy ra:

.

V  AH S SA SB SC  (Định lý thales)

II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Tỉ số thể tích khối AA B C' ' ' và khối ABCC' là

A 1 B 1

2 C

1

3 D

2 3

Lời giải

' ' ' ' ' '

'.

3 1

3

A B C

AA B C

C ABC

ABC

d A A B C S V

V  d C ABC S (1)

Do S ABC S A B' 'C' và

 ; ' ' '   ;  

d A A B C d C ABC

nên (1): ' ' '

'.

1

AA B C

C ABC

V

 Chọn đáp án A

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của , SB SD Mặt phẳng,

AMN cắt  SC tại E Gọi V là thể tích của khối chóp 2 S AMEN và V là thể tích khối chóp 1 S ABCD Khẳng định nào sau đây là đúng?

1 3

V  V B 2 1

1 4

V  V C 2 1

1 8

V  V D 2 1

1 6

V  V

Lời giải

1 2

SB SD SO    Qua O dựng OK AE

2

OK AE

AEC

OK AE











Suy ra: K là trung điểm EC

2

IE OK SOK

IE OK











Suy ra : E là trung điểm của S Vậy 1

3

SE

SC 

S AMEN S AME

S ABCD S ABC

1

6

S AMEN S ABCD

1 6

V  V

 Chọn đáp án D

Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN  2ND Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng

A 3 B 3

2 C.

1

3 D

4 3

Lời giải

Ta có

;

1

3

3

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S ABC Gọi M N lần lượt thuộc các cạnh , SB SC sao cho,

SM MB SN  CN

Mặt phẳng AMN chia khối chóp thành hai phần, gọi  V1 V S AMN. và

2 ABCNM

V V Khẳng định nào sau đây đúng ?

A V1 V2 B 1 2

1 3

1 2

V  V D 1 2

2 3

V  V

Lời giải

Ta có : .

.

1 2 1

2 3 3

S AMN

S ABC

V SB SC   

S AMN S ABC ABCNM S ABC

1

2

V  V  Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi M N lần lượt là trung điểm các cạnh , BC SM Mặt , phẳng ABN cắt  SC tại E Gọi V là thể tích của khốối chóp 2 S.ABE và V là thể tích khối chóp1

S ABC Khảng định nào sau đây đúng?

1 3

1 4

1 8

V  V D 2 1

1 6

V  V

Lời giải

  Qua M dựng MKBE Xét tam giác BEC :

1

2

MK BE













Suy ra E là trung điểm SK

3

SE

SC 

Ta có: . .

.

S ABE

S ABE S ABC

S ABC

hay 2 1

1

3

V  V  Chọn đáp án A

Ví dụ 6: Chp hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi ,E F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA và ' BB ' Đường thẳng CE cắt đường thẳng C A' ' tại 'E Đường thẳng CF cắt đường thẳng B C' ' tại 'F Gọi

2

V là thể tích khối chóp C ABFE và V là thể tích khối lăng trụ 1 ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

A 2 1 1

3

V  V B 2 1 1

4

8

V  V D 2 1 1

6

V  V

Lời giải

Hình chóp C A B C ' ' ' và lăng trụ ABC A B C ' ' 'có

đường cao và đáy bằng nhau nên

C A B C ABC A B C C ABB A

Do EF là đường trung bình của hình bình hành

' '

ABFE ABB A C ABB A

hay 2 1

1

3

V  V  Chọn đáp án A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABC , trên AB BC SC lần lượt lấy các điểm , ,, , M N P sao cho

AM  MB BN NC SP PC Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN và A CPN là:

A 4

3 B

5

6 C.

8

3 D 1

Lời giải

1 4 4

3 5 15

S BMN B MNS

S ABC B ACS

V V BA BC BS    

+ . .

1 1 1

5 2 10

A CPN C ANP

S ABC C ABS

V V CA CB CS    

.

.

15 10 3

S BMN

A CNP

V

V

 Chọn đáp án C

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB AC và AD đôi một vuông góc ,

với nhau; AB6 ,a AC7a và AD4a Gọi M N P tương ứng là trung điểm các cạnh , , BC CD DB , , Tính thể tích V của tứ diện AMNP

2

V  a B V 14a3 C 28 3

3

V  a D V 7a3

Lời giải

6

ABCD

Dễ thấy MNP được tạo nên bởi các đường

trung bình của BCD  chúng đồng dạng với nhau theo tỉ số

3

7

AMNP MNP

AMNP ABCD ABCD BCD

 Chọn đáp án D

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O là tâm của ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của

' '

A B và ' ' A D Tỉ số thể tích của khối ' A ABD và khối OMND C B' ' ' bằng

A 4

9 B

4

7 C

5

7 D

3 7

Lời giải

Do S ABD S A B' 'D'  S MND C B' ' ' S B C D' ' 'S MND B' '

' '

ABD MND B

Mặt khác ta có: ' ' ' ' ' '

' ' '

A MN

MND B A B D ABD

A B D

S

Suy ra: 'C'B'

7 4

Ta có:

'

' ' '

' ' '

1

3 1

; ' ' ' ' 3

ABD

A ABD

OMND C B

MND C B

d A ABCD S V

V  d O A B C D S

' ' '

4

7

ABD

MND C B

S

S

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA a ABC , đều cạnh 2a Gọi M N , lần lượt thuộc các cạnh SB SC sao cho , SM MB SN, 2CN

Tính thể tích khối AMNCB

A

3

2 3

9

3 9

4 3 9

2 3 3

a

Lời giải

Ta có:

2

S   a  V  SA S 

Ta có: .

.

1 2 1

2 3 3

S AMN

S ABC

V SB SC   

3

S AMN S ABC ABCNM S ABC

a

 Chọn đáp án A

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SA Mặt phẳng

  qua M và song song với ABCD , cắt các cạnh  SB SC SD lần lượt tại , ,, , N P Q Gọi V1V S ABCD.

và V2 V S MNPQ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A V18V2 B.V16V2 C V116V2 D V1 4V2

Lời giải

Dễ thấy , ,N P Q lần lượt là trung điểm các cạnh

, ,

SB SC SD

.

2 2

S MNPQ S MNP

S ABCD ABC











S MNPQ S MNP

S ABCD S ABC

V  V  SA SB SC     

V V

   Chọn đáp án A

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng

  chứa AM và song song với BD , cắt các cạnh SB SD lần lượt tại ,, N P Gọi V1V S ANMP. và

2 ABCDPMN

V V Khẳng định nào sau đây đúng?

A V2 3V1 B 2 1

3 2

V  V C V2 2V1 D 2 1

7 2

V  V

Lời giải

Gọi BDAC O AM; SO I là

trọng tâm SAC và SBD Qua I dựng

PN BD  Thiết diện là tứ giác ANMP

S ANM

S ABCD S ABC

V

2

3 S ABCD 3 S ABCD

 Chọn đáp án C

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q lần lượt , , ,

thuộc các cạnh SA SB SC SD sao cho , , , ; 2 ; 3 ; 1

3

SM MA SN  NB SP               PC SQ  SD

Tính thể tích khối

SMNPQ

A 3 2 3

16

48

16

32

a

Lời giải

Ta có .

.

1 2 3 1

2 3 4 4

S MNP

S ABC

V SA SB SC     

S MNP S ABC S ABCD

Tương tự: .

.

1 3 1 1

2 4 3 8

S MPQ

S ACD

V SM SP SQ

V SA SC SD     

S MPQ S ACD S ABCD

3 16

SMNPQ S MNP S MPQ S ABCD

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1V A A B C ' ' ' và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

3 4

V  V B 1 2

1 2

V  V C 1 2

1 3

V  V D 1 2

2 3

V  V

Lời giải

Ta có: ' ' '     ' ' '

1

; ' ' ' 3

Và V ABC A B C ' ' ' d A A B C ; ' ' '   SA B C' ' '

Suy ra: 1

2

1

3

V

V   Chọn đáp án D.

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Điểm M trên cạnh AA sao cho: ' AM 2MA' Gọi

1 M BCC B ' '

V V và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

3 4

1 2

1 3

V  V D 1 2

2 3

V  V

Lời giải

Do AA'BCC B' '  V M BCC B ' ' V A BCC B ' '

Ta có : ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

A A B C ABC A B C A BCC B ABC A B C

Suy ra: 1

2

2

3

V

V   Chọn đáp án D.

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA ? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn '

đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi V1V BACB'và V2 V ABCD A B C D ' ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

5 9

1 6

1 3

V  V D 1 2

2 3

V  V

Lời giải

1

3

3d A BCB C 2SBCB C

6d A BCB C SBCB C 6V ABCD A B C D

Suy ra: 1

2

1

6

V

V   Chọn đáp án B.

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M là trung điểm cạnh AB Gọi V1V MBCB' và

2 ABCD A B C D ' ' ' '

V V Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1 5 2

12

V  V B 1 1 2

6

V  V C 1 1 2

12

V  V D 1 2 2

3

V  V

Lời giải

Ta có:

MBCB ABCB ABCD A B C D ABCD A B C D

 Chọn đáp án C

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ' , đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D , cắt AC tại E Mặt phẳng đi qua ', , A D E chia khối lăng trụ thành hai

phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng:

A 2

3 B

4

23 C

4

9 D

4 27

Lời giải

3 3 9

ADE

ABC

S AB AC   

Mặt khác:

'

27d A ABC SABC 27V ABC A B C

'

' ' '

A ADE

A B C CEDB ABC A B C

A B C CEDB

V

V

 Chọn đáp án B

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều S ABCD , mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính tỉ số SC'

SC

A 1

2 B

2

3 C.

5 1 2



D 4 5

Lời giải

Đặt SC' x;

SC  0 x 1

Ta có :

2

' '

.

2

S AD C

S AD C S ADC S ABCD

S ADC

.

'

2

S ABC

S ABC S ABC S ABCD

S ABC

2

2

S ABC D S ABC S AC D S ABCD

x x

Theo đề bài ta suy ra

2

S ABC D S ABCD

x x

1 0

2

 Chọn đáp án C

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có thể tích V Tính thể tích khối chóp A CB D ' '

A

3

V

B

2

V

C.2 3

V

D.3 4

V

Lời giải

Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4

khối chóp '.A AB D B AB C C B CD D ACD ; 4' '; ' ; ' ' '; '

khối cuối này cùng có thể tích bằng

6

V

nên thể tích

cần tìm bằng 4

V    Chọn đáp án A

Nhận xét: Hoàn toàn có thể “thử: trường hợp đặt biệt, khi hình hộp đặt biệt trở thành hình lập phương

cạnh a thì dễ thấy thể tích khối lập phương là a , còn khối 3 A CB D ' ' là khối tứ diện đều cạnh a 2 

thể tích tương ứng là 2 23 3

 So sánh ta đưa ra kết quả.

Ví dụ 21: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD có BC 2AB , SA vuông góc với đáy

Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AM AB Gọi V V lần lượt là thể tích của hai khối chóp1, 2

S ABM và S ABC Tính 1

2

V

V 

A 1

8 B

1

6 C

1

4 D

1 2

Lời giải

Ta có:

AD

2

S ABC S ABCD

V

V

 Chọn đáp án D

Ví dụ 22: Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng

0

60 Gọi '; '; 'A B C tương ứng là điểm đối xứng của ; ; A B C qua S Tính thể tích khối bát diện có các mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '

A 2 3a 3 B 3 3

2

3

a D 4 3 3

3

a

Lời giải

Thể tích khối bát diện đã cho là

1

3

Ta có:      0

SA ABC SAG

Xét SGA vuông tại G :tanSAG SG SG SA.tanSAG a

SA

V   SG S    a 

 Chọn đáp án C

Câu 1.Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M N P Q lần lượt , , ,

thuộc các cạnh SA SB SC SD sao cho , , , ; 2 ; 3 ; 1

3

SM MA SN  NB SP               PC SQ  SD

Tính tỉ số thể tích

giữa khối SMNPQ và khối S ABCD

A 3

3

8 C

3

1 12

Câu 2.Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi V1V A BCC B ' ' và V2 V ABC A B C ' ' ' Khẳng định nào sau đây đúng?

3 4

V  V B 1 2

1 2

1 3

2 3

V  V

Câu 3.Cho tứ diện ABCD Gọi 'B và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D' ' và khối tứ diện ABCD bằng

A 1

2 B

1

4 C

1

6 D

1 8

Câu 4.Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ' ' ' ' ' Gọi ", '', '', '', ''A B C D E lần lượt là trung điểm

của AA BB CC DD EE Khi đó tỉ số thể tích của khối lăng trụ ', ', ', ', ' ABCDE A B C D E '' '' '' '' '' và khối lăng trụABCDE A B C D E ' ' ' ' ' bằng:

A 1

2 B

1

4 C

1

8 D

1 10

Câu 5.Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích bằng V Lấy điểm 'A trên cạnh SA sao cho

1

'

3

SA  SA Mặt phẳng qua 'A và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB SC SD lần lượt tại, ,

', ', '

B C D Khi đó thể tích khối chóp S A B C D ' ' ' ' bằng:

A

3

V

B

9

V

C

27

V

D

81

V

Câu 6.Cho hình chóp S ABC có 'A và ' B lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB Tỉ số thể tích,

.

' ' '

S ABC

S A B C

V

A 1

2 B

1

4 C 4 D.2

Câu 7.Cho hình chóp S ABC Gọi 'A và ' B lần lượt là trung điểm của SAvà SASB Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C ' ' và S ABC bằng:

A 1

2 B

1

3 C

1

4 D.

1 8

Câu 8.Cho hình chóp S ABCD .Gọi ', ', ', 'A B C D lần lượt là trung điểm của SA SB SC SD Khi đó tỉ số , , , thể tích của hai khối chóp S A B C D ' ' ' ' và S ABCD bằng:

A 1

2 B

1

4 C.

1

8 D.

1 16

Câu 9.Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D' ' và khối hộp

' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

A 1

2 B

1

4 C.

1

4 D

1 6

Câu 10 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ', gọi O là giao điểm của AC và BD Tỉ số thể tích của khối

chóp O A B C ' ' 'D' và khối hộp ABCD A B C D ' ' ' 'bằng:

A 1

2 B

1

4 C.

1

4 D

1 6

Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

A ABC

S ABCD

V

A 1

2 B

1

4 C

1

6 D.

1 8

Câu 12 Cho hình chópS ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABCD

V

A 1

2 B

1

4 C

1

6 D.

1 8

Câu 13 Cho hình chópS ABCD có đáy là hình vuông tâm O Khi đó, tỉ số .

.

S OAB

S ABC

V

A 1

2 B

1

4 C

1

6 D.

1 8

Câu 14 Cho tứ diện SABC Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB BC AC Gọi, ,

1 S ABC. , 2 S MNP.

V V V V Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A V1 2V2 B V1 8V2 C.V14V2 D V1 6V2

Câu 15 Cho hình chópS ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M N lần lượt là trung điểm của,

SA và SB Tính tỉ số thể tích .

.

S CDMN

S CDAB

V V

A 1

4 B

5

8 C

3

8 D

1 2

Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA9;SB4;SC 8 và đôi một vuông góc Các điểm ; '; 'A B C thỏa

mãn SA               2SA SB';               3SB SC '; 4SC'

Tính thể tích của khối chóp S A B C ' ' '

A 24 B 16 C.2 D.12

Câu 17 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện ACD B' '

A

3

3

a

B 2 3 3

4

a

D 6 3

4

a