Hướng dẫn giải một số bài tập tọa độ trong không gian nâng cao phạm minh tuấn file word

Chọnphương án đúng và đầy đủ nhất... Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ tọa độ.. Gọi M là trung điểm của cạnh CC’..

Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u  (1;log 5;log 2)3 m , v  (3;log 3; 4)5 là góc nhọn Chọn

phương án đúng và đầy đủ nhất

2

2

m

2

m

 Giải:

 Ta có 3 log 5.log 3 4log 23 5

cos( , )

m

u v

u v

 

 

Do mẫu số luôn lớn hơn 0 nên ta đi tìm điều kiện để tử số dương

 Mặt khác 3 log 5.log 3 4log 2 03 5 m 4log 2m 4 log 2m 1 log 2 logm m 1

m

 Với 0<m<1 thì 1 2 1

2

m m

    Kết hợp với điều kiện suy ra0 1

2

m

 Với m>1 thì 1 2 1

2

m m

    Kết hợp với điều kiện suy ra m>1.

 Vậy m>1 hoặc 0 1

2

m

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x -3y + 2z +37 = 0 các điểm

A(4;1;5) , B(3;0;1), C(-1;2;0) Điểm M (a;b;c) thuộc (P) sao cho biểu thức

P MA MB MB MC MC MA                                             

đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a+b+c bằng:

 Giải:

 M (a;b;c)  P3 ( a 2)2(b1)2(c 2)2 5

 MP 3a 3b2c37 0  3(a 2) 3( b 1) 2( c 2)44

 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:

( 44) 3(a 2) 3( b1) 2( c 2) (3 3 2 ) ( a 2) (b1) (c 2) 

2

2 2 2

( 44)



Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2 = 0 và đường thẳng

:

m

d





 (m là tham số) Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt

phẳng (P)

2

2

m  D m 1

 Giải:

 d m/ / P  hệ PT ẩn x, y, z sau vô nghiệm

x y









 (1)  y2x2 Thay vào (2) ta được: 1 2 4

x   y 

 Thay x, y vào (3) ta được: (2 1) 1( 2 11 6)

3

m z m  m Để PT này vô nghiệm thì 1

2

m 

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm M (1;3;9) và cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0;c) với a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị của biểu thức P = a +b + c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.

 Giải:



OABC

V  OA OB OC abc

 Phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C: x y y 1

a b c 

 Vì M (ABC) 1 3 9 1

a b c

 Áp dụng BĐT Côsi: 1 3 9 3 1 3 9 27.27 1

a b c a b c abc

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1

27

a

c

a b c





Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

x y z



A(3;2;-1), B(-3;-2;3) , C(5;4;-7) Gọi tọa độ điểm M (a;b;c) nằm trên Δ sao cho MA+MB nhỏ nhất, khi đó giá trị của biểu thức P = a +b + c là:

5

5

5

5

P 

 Giải:

 M   nên M(1 ; 2 ; 1 )t t   t

2

AM  t t t  AM  t  t

2

BM  t t  t  BM  t  t



( )

1

3

f x

           

 Áp dụng BĐT Vectơ ta có:

f x    t t      

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

3

t t

 Do đó: 13 3 6 16 6 6 3 6 13; ; 16 6 6

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với

gốc của hệ tọa độ Cho B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a,b > 0 Gọi M là trung điểm của cạnh CC’

Xác định tỉ số a

b để hai mặt phẳng (A’BD) và (BDM) vuông góc với nhau.

A.a 2

1 2

a

a

a

b 

- Từ giả thiết ta có: ( ; ;0)C a a ; ( ; ;0) ; ;

2

b

C a a  M a a 

- Mặt phẳng (BDM) có VTPT là:

- Mặt phẳng (A’BD) có VTPT là:

- Yêu cầu của bài toán tương đương với:

2 2 2 2

4

b

 

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

x y z

 và mặt phẳng (P):

2x - y + 2z -1= 0 Mặt phẳng (Q) chứa  và tạo với (P) một góc  nhỏ nhất, khi đó góc  gần với giá trị nào nhất sau đây?

 Giải:



1 2 :

1

y t

 





  

  



Chọn 2 điểm (1;0;-1) và (3;1;-2) với t=1

 (Q) chứa Δ suy ra (Q): a(x-1)+by+c(z+1)=0 ax by cz a c    0

 Và (3;1;-2) ( ) Q  3a b  2c a c   0 2a b c   0 c2a b

 Vậy (Q): ax+by+(2a+b)z+a+b=0 Gọi =((P),(Q)), 0 ;90o o

  

 Ta có:

cos

P Q

 

 

 Nếu a = 0 cos 1

3 2



 Nếu a 0, đặt t b

a

 thì ta có:

( )

f t



7

6

t

f t

t









 







Từ bảng biến thiên ta có thể dễ nhận thấy:

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1;0;-3), C(-1;-2;-3) và mặt cầu (S):

x2 + y2 + z2 - 2x + 2z - 2 = 0 Điểm D(a;b;c) trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất, khi đó a + b + c bằng:

A 2

3

4 3

 Giải:

 Tâm I(1;0;-1), bán kính R=2 (ABC): 2x – 2y + z + 1=0 2



1 ( ;( ))

3

V  d D ABD S khi đó V ABCD max khi và chỉ khi d (D;(ABC)) max

 Gọi D1D2 là đường kính của (S) vuông góc với (ABC) Ta thấy với D là điểm bất kỳ thuộc

(S) thì d(D;(ABC))  max{d(D1;(ABC)), d(D2;(ABC))}

 Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2

 D1D2:

1 2 2 1

 









  



2

3

t

t





 



 Vì d(D1;(ABC)) > d(D2;(ABC)) nên 7; 4; 1 2

D    a b c  

Câu 9: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x4z 1 0và đường thẳng

2 :

d y t

z m t

 









  



Tìm m để d cắt (S)

tại hai điểm phân biệt A,B sao cho mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và tại B vuông góc với nhau.

 Giải:

 Bình luận: Ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau thì hai

vtpt của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với nhau Mà hai vtpt của hai mặt phẳng

này chính là IA , IB Với I (1;0;-2) là tâm của mặt cầu (S).

Vậy ta có hai điều kiện sau:

1 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.

2 IA IB - 0

 Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình

(2 t) t (m t )  2.(2 t) 4.( m t ) 1 0  có hai nghiệm phân biệt

3t 2(m 1)t m 4m 1 0

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Δ’>0

(m 1) 3m 12m 3 0 m 5m 1 0

 Với phương trình có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Viet ta có

2

1 2

3

t t    ;

1 2

2 ( 1) 3

t t  m

 Khi đó IA (1 t t m1 1; ;  2 t IB1),  (1 t t m2; ;2  2 t2)

 Vậy

2

IA IB  t  t t t  m t m t   t t  m t t  m  

 

4 3

m

m





Câu 10: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc

x y z

 sao cho biểu thức P2MA23MB2  4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Tính a+b+c= ?

A 5

11 3

3



 Giải:

 Gọi D(x;y;z) là điểm thỏa 2DA  3DB  4 DC 0

 2DA  3DB  4 DC 0 2DA 3(DA AB  ) 4( DA AC ) 0  DA4AC 3AB

x y z







( 13;12; 6)

D

 Khi đó: P2(MD DA )23(MD DB )2 4(MD DC )2

=MD22AD23BD2 4DC2

 Do MD22AD23BD2 4DC2không đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất Mà M thuộc

Δ nên MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D lên Δ

 M(1 2 ; ; 1 ) t t   t Ta có: 0 11 8; 11 5; 11

DM u   t  M   a b c  

 

Câu 11: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M (a;b;c) thuộc mặt

phẳng (): 2x y 2z 7 0 sao cho biểu thức P3MA5MB 7MC

đạt giá trị nhỏ nhất Tính

?

a b c  

 Giải:

 Gọi ( ; ; )F x y z là điểm thỏa 3 FA5FB 7FC 0 CF 3CA5CB F( 23;20; 11) 

 Khi đó: P3(MF FA ) 5( MF FB ) 7( MF FC ) MF

 Do đó P nhỏ nhất khi M là hình chiếu của F lên () Điểm M( 23 2 ; 20  t  t; 11 2 )  t Vì

M thuộc () nên:

2( 23 2 ) (20  t   t) 2( 11 2 ) 7 0   t    t 9 M( 5;11;7)  a b c  13

Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(3;-1;2) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt

( ) : (S x1) y (z1) 861sao cho biểu thức P2MA2 7MB24MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Gọi ( ; ; )K x y z là điểm thỏa 2 KA 7KB4KC 0 K( 21;16;10)

 Khi đó: PMK22KA2 7KB24KC2

 Do đó P nhỏ nhất khi MK lớn nhất Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1) KI (22; 16; 11) 



 Phương trình đường thẳng KI:

1 22 16

1 11

 









  



Thay x,y,z vào (S) ta được:

(22 )t  ( 16 )t  ( 11 )t 861 t 1 Suy ra KI cắt (S) tại hai điểm 1

2

(23; 16; 12) ( 21;16;10)

K K



  



 Vì KK1 > KK2 nên MK lớn nhất khi và chỉ khi M K1(23; 16; 12)  Vậy

(23; 16; 12)

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1), B(-3;5;5) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng

( ) : 2 x y 2z 8 0 sao cho biểu thức P MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Ta có ( ) ( ) 0f A f B  , nên A, B ở về cùng một phía so với () Gọi A’ là điểm đối xứng

qua A qua ()

 Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

1 2

x y z

 



  





 





Tọa độ giao điểm I của AA’ và () là

nghiệm của hệ:

1 2 1

(3;0;1)

1 2

I

x y z

 



  







 





 Vì I là trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) và A’, B nằm khác phía so với () Khi đó với mọi điểm M thuộc () ta luôn có: MA MB A M MB A B'   ' Đẳng thức xảy ra khi

M A B 



5 4

3

 





  



Tọa độ giao điểm M của A’B và () là nghiệm của

hệ:

5 4

1 3

(1; 2; 4) 3

M

x y z

 



  







 





Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;1;-1),C(7;-4;4) Điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng

( ) : 2 x y 2z 8 0 sao cho biểu thức PMA MC đạt giá trị lớn nhất.Tính a b c  ?

 Giải:

 M a b c Đặt ( ) 2( ; ; ) f M  a b 2c 8

 Ta có ( ) ( ) 0f A f C  nên A và C nằm về hai phía so với ()

 Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ()

 Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

1 2

 





 



  



Tọa độ giao điểm I của AA’ và () là

nghiệm của hệ:

1 2 1

(3;0;1)

1 2

I

x y z

 



  







 





 Vì I là trung điểm AA’ nên A’(5;-1;3) Khi đó với mọi điểm M thuộc () ta luôn có:

MA MC MA MC A C Đẳng thức xảy ra khi M A C' ( )

 A C' (2; 3;1)  A C' :

1 3 3

 





 



  



Tọa độ giao điểm M của A’C và () là nghiệm của

hệ

5 2

1 3

(3; 2; 2) 3

M

x y z

 





 







 





x y z

( ) :P ax by cz   3 0 chứa Δ và cách O một khoảng lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên Δ, suy ra (1 ;1 2 ; 2 )K t  t t , OK  (1 ;1 2 ; 2 )t  t t



 Vì OK   nên

2 1 2

; ;

3 3 3 1

; ;

K

OK









 



 Gọi H là hình chiếu của O lên (P), ta có: ( ;( ))d O P OH OK 1 Đẳng thức xảy ra khi

H K Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua K và vuông góc với

OK Từ đó ta suy ra phương trình của (P) là: 2x y  2z 3 0  a b c  1

x y z

( ) : x 2y2z 5 0 Mặt phẳng (Q): ax by cz   3 0 chứa Δ và tạo với () một góc nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Công thức giải nhanh: n( )Q n( ) ,n,n

 Chứng minh công thức:

 A(1;1;0)  Δ, khi đó φ=ACH và sin sinACH AH AK

AC AC

AC không đổi nên suy ra φ nhỏ nhất  H K hay (Q) là mặt phẳng đi qua Δ và vuông góc với mặt phẳng

(ACK)

 Mặt phẳng (ACK) đi qua Δ và vuông góc với () nên: n(ACK) n( ) ,n

  

 Do (Q) đi qua Δ và vuông góc với mặt phẳng (ACK) nên:

( )Q (ACK), ( ), ,

n n n n n n

 Áp dụng công thức nên ta có n( )Q  ( 8; 20; 16)



suy ra:

( ) : 8(Q  x1) 20( y1) 16 z 0 2x 5y4z  3 0 a b c  1

Câu 16: Trong không gian Oxyz cho đường : 1 1

x y z

   và hai điểm M(1;2;1), N(-1;0;2) Mặt

phẳng (ß): ax by cz   43 0 đi qua M, N và tạo với (Δ) một góc lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Công thức giải nhanh: n( ) n NM,n,n NM

 Chứng minh tương tự câu 15: n( ) (1;10; 22)



suy ra ( ) :1( x1) 10( y 2) 22( z1) 0  x10y22z 43 0  a b c  33

Câu 17: Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1;2;3), ( 1;0; 3), (2; 3; 1)A B   C   Điểm M(a;b;c) thuộc

mặt phẳng (): 2x y  2z1 0 sao cho biểu thức P3MA24MB2 6MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 M a b c( ; ; ) ( )   2a b  2c1 0



P a b c  a b c  a  b  c  a b  c  

 Dấu “=” xảy ra khi: a11;b25;c 1 a b c  15

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm (1;2;3), ( 1;0; 3), (2; 3; 1)A B   C   Điểm M a b c ( ; ; )

thuộc đường thẳng : 1 1 1

x y z

 sao cho biểu thức PMA 7MB5MC

đạt giá trị lớn nhất Tính a b c  ?

A 31

11

12

55 7

 Giải:

 M   M(1 2 ; 1 3 ;1 ) t   t  t

 MA 7MB5MC(2t19;3 14;t  t 20)



2

P t  t   t  t   

t  a b c  

Câu 19: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;2;3), B(-1;0;-3), C(2;-3;-1) Điểm M(a;b;c) thuộc

mặt cầu ( ) : ( 2)2 ( 2)2 ( 8)2 283

2

P MA  MB  MC đạt giá trị lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

 Gọi ( ; ; )E x y z là điểm thỏa EA 4EB2EC 0 E( 9; 4; 13) 

PEM EA  EB  EC

 P lớn nhất khi EM nhỏ nhất Mặt cầu (S) có tâm

2 11

8 21

 





  



Thay x, y, z vào (S) ta được 1

2

t  Suy ra

IE cắt (S) tại hai điểm

1

2

;3;

15 37

;1;

E

E









 Vì EE1EE2 nên EM nhỏ nhất khi và chỉ khi 1

;3;

M E   

 , suy ra M (6;0;12)

Câu 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x y 1 z 2

  cắt đường thẳng

' :

d    

 sao cho khoảng cách từ điểm B(2;1;1) đến đường thẳng d là nhỏ nhất Tính

?

a b c  

 Giải:

(0; 1; 2)

M t t t t

 





(2 1; 1; )

d





 

 



2 2

t t AM

 



t

t











Câu 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:x y 1 z 2

  cắt đường thẳng

' :

d    

 sao cho khoảng cách giữa d và : 5

 là lớn nhất Tính a b c  ?

 Giải:

(0; 1; 2)

 





 , suy ra u d AM (2 1;t t 1; )t

 

 N(5;0;0), u (2; 2;1)  u AM,   ( 1; 4 1;6 )t t t

2 2

,

u AM





  

 



4

2

d

t

t











Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x 2y2z1 0 ,

( ) :Q x y  2z 1 0 và điểm I(1;1;- 2).Mặt cầu (S) tâm I, tiếp xúc với (P) và mặt phẳng

( ) : ax by cz m   0 vuông góc với (P), (Q) sao cho khoảng cách từ I đến (α) bằng ) bằng 29 Biết

rằng tổng hệ số a b c m   dương

Cho các mệnh đề sau đây:

(1) Điểm A(1;1;0) và B(-1;1;-2) thuộc mặt cầu (S).

(2) Mặt phẳng (α) bằng ) đi qua C(0;-5;-3).

(3) Mặt phẳng (α) bằng ) song song với đường thẳng (d)

2 5 3

x t

z







 



 



(4) Mặt cầu (S) có bán kính R = 2.

(5) Mặt phẳng (α) bằng ) và Mặt cầu (S) giao nhau bằng một đường tròn có bán kính lớn hơn 2

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề sai ?

 Giải: Chọn đáp án C

 R d I P ( ,( )) 2 Phương trình mặt cầu: (x1)2(y1)2(z2)2 4

 n (2;3; 4) ( ) : 2 x4y3z m 0



( ;( ))d I   29 m 29

 Vậy ( ) : 2 x4y3z29 0 chọn ( ) : 2 x4y3z29 0 do a b c m   0

 Đối chiếu:

(1) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt cầu ta thấy.

(2) Đúng: Thay tọa độ điểm vào mặt phẳng

(3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng (α) bằng ) song song (d) nhưng thực chất là (d)

thuộc phẳng phẳng (α) bằng ), các em kiểm tra bằng cách tính khoảng cách 2 điểm bất kỳ đến (α) bằng ) đều bằng 0

(4) Đúng

(5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu nên hai mặt

không giao nhau

Câu 23: Cho không gian Oxyz, cho các điểm A(2;3;0), B(0;- 2 ;0) và đường thẳng d có phương trình

0

2

x t

y











  



Điểm C (a;b;c) trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất Tính

?

a b c  

 Giải:

 Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA+CB nhỏ nhất

2(t 2) 3 ,CB 2(1 ) t 2

 Đặt u( 2( (t t 2);3) v( 2(1 ); 2) t  u v   ( 2;5)

 CA CB uv  u v   2 25 3 3 

2( 1)

t

t





Câu 24: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(a;b;c) với c < 0 thuộc mặt cầu

( ) : (S x 2) (y1) (z1) 9 sao cho biểu thức P a 2b2c đạt giá trị lớn nhất Khi đó

?

a b c  

 Giải

 M a b c( ; ; ) ( ) S  (a 2)2(b1)2(c1)2 9

 P(a 2) 2( b1) 2( c1) 6  (1 4 4) (   a 2)2(b1)2(c1)2   9 6 15

 Dấu “=” xảy ra khi:

1 2

2 1

2

b a

c



















Câu 25: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4;-1), C(2; 4; 3), D(2; 2;-1) và điểm

M(a;b; c) sao cho biểu thức P MA 2MB2MC2MD2 đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a b c  ?

A 7

23

21

3 4

 Giải:

 Gọi G là trong tâm của ABCD suy ra 7 14; ;0

4 4

G  

 P4MG2GA2GB2GC2GD2 Vì GA2GB2GC2GD2 không đổi nên P nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất hay 7 14; ;0

4 4

M  G  

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 4x2y 6z 5 0 và mặt phẳng ( ) : 2P x2y z 16 0 Điểm M(a;b; c) di động trên (S) và điểm N(m;n; p) di động trên (P) sao cho

độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất, khi đó a b c m n p     ?

 Giải:

 Mặt cầu ( )S có tâm (2; 1;3) I  và bán kính R 3

 d I P( ;( )) 5 R Do đó (S) và (P) không có điểm chung Suy ra minMN   5 3 2

 Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N 0 Dễ thấy N 0 là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và M 0 là giao điểm của đoạn thẳng IN 0 với mặt cầu (S) Gọi d là đường

thẳng đi qua I và vuông góc với (P) thì N0  d ( )P , khi đó d:

2 2

1 2 3

 





 



  



Tọa độ N là 0

2 2

N

x y z

 



  



