Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt
Trang 1 Bài 01
ĐỊNH NGHĨA VECTO
1 Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối
thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng
có hướng
Định nghĩa Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu ,A điểm cuối B được kí hiệu
là ABuuur và đọc là “ vectơ AB “ Để vẽ được vectơ
AB
uuur
ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở
đầu nút B
Vectơ còn được kí hiệu là , , , , a b x yr r r r khi không
cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó
2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó
Định nghĩa Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song
hoặc trùng nhau
Nhận xét Ba điểm phân biệt A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ABuuur
và ACuuur cùng phương
3 Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của
vectơ đó Độ dài của ABuuur được kí hiệu là ABuuur, như vậy ABuuur=AB
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị
Hai vectơ ar và br được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ
dài, kí hiệu a br=r
Chú ý Khi cho trước vectơ ar và điểm ,O thì ta luôn tìm được một điểm A duy
nhất sao cho OAuur=ar .
4 Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu
và điểm cuối đều là A Vectơ này được kí hiệu la AAuuur và được gọi là vectơ – không
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1 XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1 Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là:
A DE B DEuuur C EDuuur. D DEuuur.
Trang 2Câu 2 Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ
không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh , , ?A B C
Câu 3 Cho tứ giác ABCD Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu
và cuối là các đỉnh của tứ giác?
A 4 B 6 C 8 D 12.
Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5 Cho ba điểm , , A B C phân biệt Khi đó:
A Điều kiện cần và đủ để , , A B C thẳng hàng là ABuuur cùng phương với ACuuur.
B Điều kiện đủ để , , A B C thẳng hàng là với mọi M MA, uuurcùng phương với
AB
uuur
C Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là với mọi , M MAuuurcùng phương với ABuuur.
D Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là ABuuur=ACuuur
Câu 6 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác
đều ABC Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A MNuuuur và CBuur. B ABuuur và MBuuur. C MAuuur và MBuuur. D ANuuur và CAuur.
Câu 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không,
cùng phương với OCuuur có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A 4 B 6 C 7 D 9.
Vấn đề 3 HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Câu 8 Với DEuuur (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
A Phương của EDuuur. B Hướng của EDuuur.
C Giá của EDuuur. D Độ dài của EDuuur.
Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?
A AA =uuur 0.r B 0r cùng hướng với mọi vectơ
C uuurAB >0 D 0r cùng phương với mọi vectơ
Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
Câu 12 Cho tứ giác ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CDuuur=uuur?
A ABCD là hình bình hành B ABDC là hình bình hành.
C AD và BC có cùng trung điểm D AB CD=
Câu 13 Từ mệnh đề AB CDuuur uuur= , ta suy ra
A ABuuur cùng hướng CDuuur. B ABuuur cùng phương CDuuur.
Trang 3C ABuuur=CDuuur. D ABCD là hình bình hành.
Hỏi khẳng định nào là sai?
Câu 14 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD
Đẳng thức nào sau đây sai?
A ABuuur=DCuuur. B OBuur=DOuuur. C OA OCuur=uuur. D CBuur=DAuuur.
Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB, ,
BC CD , DA Khẳng định nào sau đây là sai?
A MNuuuur=QPuuur. B QPuuur=MNuuuur C MQuuur=NPuuur. D MNuuuur =ACuuur
Câu 16 Cho hình vuông ABCD Khẳng định nào sau đây là đúng?
A ACuuur=BDuuur. B AB CDuuur=uuur.
C uuurAB=BCuuur D AB ACuuur uuur, cùng hướng.
Câu 17 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A OA OCuur=uuur. B OBuur và ODuuur cùng hướng
C ACuuur và BDuuur cùng hướng D ACuuur=BDuuur
Câu 18 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác
đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
A MAuuur=MBuuur. B ABuuur=ACuuur. C MNuuuur=BCuuur. D BCuuur=2MNuuuur
Câu 19 Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng
định nào sau đây đúng?
A MBuuur=MCuuur. B 3.
2
a
AM =
uuuur
C AMuuuur=a. D 3.
2
a
AM =
uuuur
Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a và · BAD =60° Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A ABuuur=uuurAD. B BDuuur=a C BDuuur=ACuuur. D BCuuur=DAuuur.
Câu 21 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây là sai?
A ABuuur=EDuuur. B ABuuur=AFuuur C ODuuur=BCuuur. D OB OEuur=uuur.
Câu 22 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ bằng OCuuur có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là điểm đối xứng với B
qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A HA CDuuur=uuur và AD CHuuur=uuur. B HA CDuuur=uuur và AD HCuuur=uuur.
C HA CDuuur=uuur và AC CHuuur=uuur. D HA CDuuur=uuur và AD HCuuur=uuur và OB ODuur=uuur.
Câu 24 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
?
AB =CD
uuur uuur
Câu 25 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
AB CD=
uuur uuur
Trang 4
A 1 B 2 C 0 D Vô số.
Lời giải chi tiết Vấn đề 1 XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1 Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là:
A DE B DEuuur C EDuuur. D DEuuur.
Lời giải Chọn D.
Câu 2 Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ
không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A B C, , ?
Lời giải Chọn B Đó là các vectơ: AB BA BC CB CA ACuuur uuur uuur uur uur uuur, , , , ,
Câu 3 Cho tứ giác ABCD Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu
và cuối là các đỉnh của tứ giác?
A 4 B 6 C 8 D 12.
Lời giải Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt Do
đó có 12 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm)
nên có thể lập được 12 vectơ Chọn D.
Vấn đề 2 HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Lời giải Chọn A Vì Vectơ - không cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5 Cho ba điểm , , A B C phân biệt Khi đó:
A Điều kiện cần và đủ để , , A B C thẳng hàng là ABuuur cùng phương với ACuuur.
B Điều kiện đủ để , , A B C thẳng hàng là với mọi M MA, uuurcùng phương với
AB
uuur
C Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là với mọi , M MAuuurcùng phương với ABuuur.
D Điều kiện cần để , , A B C thẳng hàng là ABuuur=ACuuur.
Lời giải Chọn A.
Câu 6 Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB AC của tam giác,
đều ABC Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A MNuuuur và CBuur. B ABuuur và MBuuur. C MAuuur và MBuuur. D ANuuur và CAuur.
Lời giải Chọn B.
Câu 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ khác vectơ không,
cùng phương với OCuuur có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A 4 B 6 C 7 D 9.
Lời giải Chọn B.
Trang 5Đó là các vectơ: AB BA DE ED FC CFuuur uuur uuur uuur uuur uur, , , , ,
Vấn đề 3 HAI VECTƠ BẰNG NHAU
Câu 8 Với DEuuur (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
A Phương của EDuuur. B Hướng của EDuuur.
C Giá của EDuuur. D Độ dài của EDuuur.
Lời giải Chọn D.
Câu 9 Mệnh đề nào sau đây sai?
A AA =uuur 0.r B 0r cùng hướng với mọi vectơ
C uuurAB >0 D 0r cùng phương với mọi vectơ
Lời giải Chọn C Vì có thể xảy ra trường hợp uuurAB= Û0 Aº B
Câu 10 Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau Lời giải Chọn D.
Câu 11 Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A CA CBuur=uur. B ABuuur và ACuuur cùng phương
C ABuuur và CBuur ngược hướng D uuurAB=BCuuur.
Lời giải Chọn B.
Câu 12 Cho tứ giác ABCD Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB CDuuur=uuur?
A ABCD là hình bình hành B ABDC là hình bình hành.
C AD và BC có cùng trung điểm D AB CD=
Lời giải Ta có:
AB CD AB CD ABDC
AB CD
ìïï
= Þ íïïî = Þ
uuur uuur P
là hình bình hành
Mặt khác, ABDC là hình bình hành AB CD AB CD
AB CD
ìïï
Þ íïïî = Þ =
uuur uuur
P
Do đó, điều kiện cần và đủ để AB CDuuur uuur= là ABDC là hình bình hành Chọn B Câu 13 Từ mệnh đề AB CDuuur uuur= , ta suy ra
Trang 6A ABuuur cùng hướng CDuuur. B ABuuur cùng phương CDuuur.
C ABuuur=CDuuur. D ABCD là hình bình hành.
Hỏi khẳng định nào là sai?
Lời giải Chọn D Phải suy ra ABDC là hình bình hành.
Câu 14 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD
Đẳng thức nào sau đây sai?
A ABuuur=DCuuur. B OBuur=DOuuur. C OA OCuur=uuur. D CBuur=DAuuur.
Lời giải Chọn C.
Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB, ,
BC CD , DA Khẳng định nào sau đây là sai?
A MNuuuur=QPuuur. B QPuuur=MNuuuur C MQuuur=NPuuur. D MNuuuur =ACuuur
Lời giải Chọn D
Ta có MN PQ
ìïï
íï =
ïî
P
(do cùng song song và bằng 1
2AC ).
Do đó MNPQ là hình bình hành.
Câu 16 Cho hình vuông ABCD Khẳng định nào sau đây là đúng?
A ACuuur=BDuuur. B AB CDuuur=uuur.
C uuurAB=BCuuur D AB ACuuur uuur, cùng hướng
Lời giải Chọn C Vì AB=BCÛ uuurAB=BCuuur
Câu 17 Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A OA OCuur=uuur. B OBuur và ODuuur cùng hướng
C ACuuur và BDuuur cùng hướng D ACuuur=BDuuur
Lời giải Chọn D.
Câu 18 Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác
đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
A MAuuur=MBuuur. B ABuuur=ACuuur. C MNuuuur=BCuuur. D BCuuur=2MNuuuur
Lời giải
Trang 7Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC
Do đó BC=2MN¾¾®BCuuur=2MNuuuur. Chọn D.
Câu 19 Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng
định nào sau đây đúng?
A MBuuur=MCuuur. B 3
2
a
AM =
uuuur
C AMuuuur=a. D 3
2
a
AM =
uuuur
Lời giải Chọn D.
Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a và · BAD =60° Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A ABuuur=uuurAD. B BDuuur=a C BDuuur=ACuuur. D BCuuur=DAuuur.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD= ¾¾a ®BDuuur=a
Chọn B.
Câu 21 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Đẳng thức nào sau đây là sai?
A ABuuur=EDuuur. B ABuuur=AFuuur C ODuuur=BCuuur. D OB OEuur=uuur.
Lời giải Chọn D.
Trang 8Câu 22 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Số các vectơ bằng OCuuur có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
Lời giải
Đó là các vectơ: AB EDuuur uuur, Chọn A.
Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là điểm đối xứng với B
qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định nào sau đây
là đúng?
A HA CDuuur=uuur và AD CHuuur=uuur. B HA CDuuur=uuur và AD HCuuur=uuur.
C HA CDuuur=uuur và AC CHuuur=uuur. D HA CDuuur=uuur và AD HCuuur=uuur và OB ODuur=uuur.
Lời giải.
Trang 9Ta có AH ^BC và DC^BC (do góc ·DCB chắn nửa đường tròn) Suy ra
AH P DC
Tương tự ta cũng có CH P AD
Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành Do đó HA CDuuur=uuur và AD HCuuur=uuur Chọn B.
Câu 24 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
?
AB =CD
uuur uuur
Lời giải Ta có ABuuur=CDuuur Û AB CD= Suy ra tập hợp các điểm D thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm ,C bán kính AB Chọn D.
Câu 25 Cho AB ¹uuur 0r và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
AB CD=
uuur uuur
A 1 B 2 C 0 D Vô số.
Lời giải Chọn A.