SONG SONG HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó..

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b:

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b, khi đó theo kết quả tronh

hình học phẳng ta có ba khả năng sau:

- a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a b M∩ =

- a và b song song với nhau, ta kí hiệu a bP

- a và b trùng nhau, ta kí hiệu a b≡

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b, khi đó ta nói a và b

là hai đường thẳng chéo nhau

2 Các định lí và tính chất.

• Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a

có một và chỉ một đường thẳng song song với a.

• Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

• Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG

PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng ( )α và ( )β có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d' thì giao tuyến của ( )α và ( )β làđường thẳng đi qua M song song với d và d'

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB và ) (SCD )

A là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD

B là đường thẳng đi qua S

C là điểm S

D là mặt phẳng (SAD)

Lời giải :

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy

là AB và CD Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của tam giác SAB

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB và ) ( )IJG

A.là đường thẳng song song với AB

B.là đường thẳng song song vơi CD

C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD D.Cả A, B, C đều đúng

b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của ( )IJG và hình chóp là một

b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI

Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN ABP nên 2

Vậy thết diện là hình bình hành khi AB=3CD

Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn

AB Gọi M N lần lượt là trung điểm của SA và SB.,

a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

A MN song song với CD

B MN chéo với CD

C MN cắt với CD

D MN trùng với CD

b) Gọi P là giao điểm của SC và (ADN , I là giao điểm của AN và DP )

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A SI song song với CD

B SI chéo với CD

C SI cắt với CD

D SI trùng với CD

Lời giải :

a) Ta có MN là đường trung bình của

tam giác SAB nên MN ABP .

Lại có ABCD là hình thang

b) Trong (ABCD gọi ) E AD BC= ∩ , trong (SCD gọi ) P SC EN= ∩

Ta có E AD∈ ⊂(ADN) ⇒EN⊂(AND)⇒ ∈P (ADN)

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD

và BC Biết AD a BC b= , = Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD

và SBC Mặt phẳng (ADJ cắt ) SB SC lần lượt tại , M N Mặt phẳng , (BCI cắt)

,

SA SD tại , P Q

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A MN song sonng với PQ

a) Ta có I∈(SAD)⇒ ∈I (SAD) (∩ IBC)

Để chứng minh bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng , a b

lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh ,a b song song hoặc

cắt nhau, khi đó , , ,A B C D thuôc mp a b ( ),

Để chứng minh ba đường thẳng , ,a b cđồng qui ngoài cách chứng minh ở §1,

ta có thể chứng minh , ,a b c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng

( ) ( ) ( )α β δ, , trong đó có hai giao tuyến cắt nhau Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được , ,a b c đồng qui.

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi

, , ,

M N E F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA SB SC và SD , ,

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A ME NF SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD )., ,

B ME NF SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD )., ,

C ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD )., ,

D ME NF SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD )., ,

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Bốn điểm M N E F đồng phẳng., , ,

B Bốn điểm M N E F không đồng phẳng., , ,

C MN, EF chéo nhau

D Cả A, B, C đều sai

Lời giải :

a) Trong (SAC gọi ) I ME SO= ∩ , dễ

thấy I là trung điểm của SO, suy ra

FI là đường trung bình của tam giác

b) Ba đường thẳng ME NF SO đồng qui (O, , là giao điểm của AC và BD ).

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A ME NF SO đôi một song song (, , O là giao điểm của AC và BD ).

B ME NF SO không đồng quy (O, , là giao điểm của AC và BD ).

D ME NF SO đôi một chéo nhau (O, , là giao điểm của AC và BD ).

19 Cho tứ diện ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và,

AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN và ) (BCD )

20 Cho hình chóp S ABC Gọi G G lần lượt là trọng tâm các tam giác 1, 2 SBC

và SAB

a) Chứng minh G G1 2PAC

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BG G và 1 2) (ABC )

21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB và ) (SCD )

b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC Xác định giao điểm N của SD với

(ABM Tứ giác ) ABMN là hình gì?

c) Giả sử I =AN∩BM Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M

a) Xác định thiết diện của tứ diện với ( )IJE

b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho

thiết diện là hình thoi

24 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi M N lần lượt là trung điểm của CD ,

và AB

a) Hãy xác định các điểm I AC∈ và J DN∈ sao cho IJ BMP .

26 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang với AD BCP M là một điểm

di động trong tứ giác ABCD Qua M vẽ các đường thẳng song song với

,

SA SB cắt các mặt (SBC và ) (SAD lần lượt tại ,) N P

a) Nêu cách dựng các điểm ,N P

b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MN MP lớn nhất

27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD a= và

BC b= Gọi M N P lần lượt là trung điểm các cạnh , , AB CD và SB.,

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADP và ) (SBC )

b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của (ADP và ) (SMN nằm bên trong hình )

chóp

28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi , I J lần lượt

là trọng tâm các tam giác SAB và SAD , M là điểm trên cạnh SA sao cho

2

MA= MS Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MIJ )

29 Cho hình chóp S ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC Các .đường thẳng qua M và song song SA SB và , SC cắt các mặt

(SBC) (, SCA) (, SAB lần lượt tại các điểm ', ', ') A B C

a) Nêu cách dựng các điểm ', ', 'A B C

b) Chứng minh MA' MB' MC'

SA + SB + SC có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác ABC

c) Xác định vị trí của điểm M để tích MA MB MC lớn nhất.' ' '

30 Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng ( )α cắt bốn canhAB BC CD DA, , ,

Lần lượt tại các điểm M N P Q , , ,

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN

19 Do M N lần lượt là trung điểm ,

20 a) Gọi M N lần lượt là trung điểm,

Thiết diện là tứ giác IJEF

b) Để thiết diện IJEF là hình bình hành thì IJP=EF mà 1

2

IJ P= CD nên1

2

EFP= CD , hay EF là đường trung bình trong tam giác ACDứng với cạnh CD

do đó E là trung điểm của AD

c) Để thiết diện IJEF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi

đó E là trung điểm của AD Mặt khác IJEF là hình thoi thì IJ IF= , mà

thẳng song song với BM cắt BC tại

K Nối K và N cắt AC tại I Trong

(IKD , từ I kẻ đường thẳng song )

song với DK cắt DN tại J

Khi đó IJ BMP .

b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên 2 2. 3 3

26 a) Gọi E AM= ∩BC F BM, = ∩AD

Từ M kẻ các đường thẳng song song

với SA SB lần lượt cắt , SE SF tại ,, N P

SA = SB = hay M là trung điểm của AE và

BF , do đó tập hợp điểm M là đường trung bình của hình thang ABCD

Dễ thấy ,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác

SAB và SCD Gọi K IJ= ∩PD ,ta có IJ IK KJ= +

29

a) Gọi E AM= ∩BC, trong (SAE )

vẽ đường thẳng đi qua M và

song song với SA cắt SE tại 'A thì

30 Trước tiên do M N E F đồng phẳng nên , , ,

theo định lí Menelauyt trong không gian ta có

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( )α , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:

• d và ( )α cắt nhau tại điểm M , kí hiêu { }M = ∩ αd ( ) hoặc để đơn giản ta kí hiệu M d= ∩ α( ) (h1)

• d song song với ( )α , kí hiệu dP( )α hoặc ( )α P ( h2)d

• d nằm trong ( )α , kí hiệu d⊂ α( ) (h3)

2 Các định lí và tính chất.

• Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( )α và d song song với

đường thẳng 'd nằn trong ( )α thì d song song với ( )α

Vậy

( )

''

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng

song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng ( nếu có)

cũng song song với đường thẳng

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.

a) Chứng minh OO' song song với các mặt phẳng (ADF và ) (BCE )

b) Gọi M N lần lượt là hai điểm trên các cạnh , AE BD sao cho,

AM = AE BN = BD Chứng minh MN song song với (CDEF )

Lời giải :

a) Ta có OO' là đường trung bình của

tam giác BDF ứng với cạnh DF nên

Tương tự, OO' là đường trung bình

của tam giác ACE ứng với cạnh CE

nên OO CE'P , CE⊂(CBE)⇒OO'P(BCE)

b) Trong (ABCD , gọi I AN CD) = ∩

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi G

là trọng tâm tam giác SAB , I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng ( )α đi qua một điểm songsong với hai đường thẳng chéo nhau hoặc ( )α chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng

tính chất:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD , M và N là hai điểm thuộc cạnh AB và CD,

( )α là mặt phẳng qua MN và song song với SA.

a) Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD khi cắt bởi( )α

b) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là một hình thang

Từ đó ta có ( ) (α ∩ SBC) =PQ,( ) (α ∩ SAD) =NP.

Thiết diện là tứ giác MNPQ

b) Tứ giác MNPQ là một hình thang khi MN PQP hoặc MQ NPP .

Mà NP⊂(SCD) ⇒SAP(SCD) (vô lí).

Trường hợp 2:

Nếu MN PQP thì ta có các mặt phẳng (ABCD) ( ) (, α , SBC)đôi một cắt nhau theo

ba giao tuyến là MN BC PQ nên MN BC, , P

Đảo lại nếu MN BCP thì

⇒ P nên tứ giác MNPQ là hình thang.

Vậy để tứ giác MNPQ là hình thang thì điều kiện là MN BCP .

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình vuông cạnh a và tam giác SAB đều Một điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM x= (0 x a< < ), ( )α mặt

phẳng đi qua M song song với SA và SB.

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )α

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.

Lời giải :

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

31.Cho hình chóp S ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của AB và BC ;,

1, 2

G G tương ứng là trọng tâm các tam giác SAB SBC ,

a) Chứng minh AC SMNP( ) .

b) G G1 2P(SAC).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC và ) (BG G 1 2)

32 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các cạnh, ,

SA SB AD lần lượt lấy các điểm M N P sao cho , , SM SN PD

SA = SB = AD.a) Chứng minh MNP(ABCD).

b) SDP(MNP) .

c) NP SCDP( ).

33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Xác định thiết diện của hình chóp cắt

bởi mặt phẳng qua O , song song với AB và SC

34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi M là

trung điểm của cạnh AB Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

( )α qua M , song song với BD và SA

35 Cho hình chóp S ABCD Gọi M N là hai điểm bất kì trên hai cạnh , SB và

CD, ( )α là mặt phẳng đi qua MN và song song với SC

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )α .

36 Cho tứ diện ABCD Gọi , 'O O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam

giác ABC và ABD Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( )α

b) Gọi ,E F lần lượt là giao điểm của ( )α với các cạnh SB SD Tính các tỉ số,

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : (ABM và ) (SCD ; ) (SMN và) (ABC )

b) Chứng minh MNP(ABC).

c) Gọi d là giao tuyến của (SCD và ) (ABM còn ,) I J lần lượt là các giao điểm

của d với SD SC Chứng minh , INP(ABC).

d) Tìm các giao điểm ,P Q của MC với (SAB , ) AN với (SCD Chứng minh)

, ,

S P Q thẳng hàng.

39 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O M là mộtđiểm di động trên cạnh SC, ( )α là mặt phẳng qua AM và song song với BD

a) Chứng minh ( )α luôn chứa một đường thẳng cố định

b) Tìm các giao điểm ,H K của ( )α với SB SD Chứng minh , SB SD SC

SH SK SM+ − có giá trị không đổi

b) Thiết diện của hình chóp với ( )α có thể là hình thang được không?

40 Cho tứ diện ABCD có AB CD a BC AD b AC BD c= = , = = , = = với Một mặt phẳng ( )α song song với hai đường thẳng AB và CD cắt các cạnh của của tứdiện theo một thiết diện là hình thoi Tính diện tích của thiết diện

41 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a M và P là hai điểm di động trên các

cạnh AD và BC , sao cho MA PC x= = , 0( < <x a) Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diện theo một thiết diện.

a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân

b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ nhất.

42 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Một mặt

phẳng ( )α thay đổi đi qua AB và cắt SC SD tại , M N ,

b) Chứng minh giao điểm I của AM và BN luôn thuộc một đường thẳng cố định.

c) Chứng minh giao điểm K của AN và BM luôn thuộc một đường thẳng cố định và AB BC

b) G G lần lượt là trọng tâm các tam1, 2

giác SAB và SBC nên

1 2

23

Xét ba mặt phẳng (ABC) (, ABD) (, CDOO ')

đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là

, , '

AB CO DO nên ba giao tuyến này đồng

quy.Gọi I là điểm đồng quy này thì I là

chân các đường phân giác của các góc

,

C D trong các tam giác CAB DAB tương ,

ứng.Theo tính chất đường phân giác ta có:

IB= DB và IA CA

IB CB=suy ra DA CA BC AC 2( )

Thiết diện là tứ giác AEMF

b) Do ,O M lần lượt là trung điểm của

39 a) Trong (ABCD gọi ) d là đường thẳng đi

qua A và song song với BD thì d cố định

Tương tự , Nếu AK MHP cũng dẫn đến vô lí

Vậy thiết diện không thể là hình thang

MN NP= ⇒CN BN= hay N là trung điểm

của BC Từ dó ta suy ra được M P Q cũng là, ,

trung điểm của các cạnh AC BD AD , ,