Lý thuyết và bài tập về 4 dạng toán trong xác suất file word có đáp án

* Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia.. Định nghĩa cổ điển của x

“Bốn dạng toán xác suất và hệ thống câu hỏi trắc nghiệm

luyện thi THPT Quốc Gia”

 Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C, … và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

 Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không)

 Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.

1.2 Phép toán trên các biến cố

Giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng

* Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

Và A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

* Tập A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B

* Tập A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B

* Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này

không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy ra của biến cố kia

1.3 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện

n(A) là số phần tử của A hay cũng là số kết quả thuận lợi cho biến cố A

n( ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử hay là số phần tử của không gian mẫu

+ Nếu A và B xung khắc thì: P(A∪B) = P(A) + P(B)

+Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A∪B) = P(A) + P(B)

+Nếu A và B xung khắc thì A �B = ∅ nên P(A �B) = 0, khi đó:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Do đó, với mọi biến cố A và B bất kì ta có:

P(B / A) P(B)P(AB) P(A)P(B)



�



�

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A �B)

1.4.3 Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A).P(B)

1.5 Xác suất có điều kiện:

1.5.1 Định nghĩa: Gọi A, B là hai biến cố của cùng một phép thử.

Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra, kí hiệu là P(B/A) với

P(A B) P(A) P(B) P(AB)   

1.5.3 Công thức nhân xác suất

2 MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT TIÊU BIỂU

2.1.DẠNG 1: Tính xác suất đơn giản

Các bài toán chỉ sử dụng công thức định nghĩa xác suất cổ điển:

Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ 1 đến 20 Tìm xác suất để:

a/ thẻ được lấy ghi số chẵn

b/ thẻ được lấy ghi số chia hết cho 3

c/ thẻ được lấy ghi số lẻ và chia hết cho 3

A: “ Thẻ được lấy có ghi số chẵn”�A2, 4,6,8,10,12,14,16,18, 20

B: “Thẻ được lấy có ghi số chia hết cho 3”�B3,6,9,12,15,18

C: “Thẻ được lấy có ghi số lẻ và chia hết cho 3”�C3,9,15

Vậy xác suất để thẻ được lấy ghi số chẵn là 2

Vậy xác suất để thẻ được lấy ghi số lẻ và chia hết cho 3 là 3

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác

Lời giải:

Gọi không gian mẫu là 

Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra

được 2

6

C 15 đoạn thẳng Do đó n(Ω) = 15

Gọi các biến cố:

A : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác”

B : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục giác”

C : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diệncủa lục giác”

Vậy xác suất để đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác là

2

5

b/ B=A →P(B)=1−P(A)=1−2

5=35

Vậy xác suất để đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối

hai đỉnh đối diện của lục giác là 1

5

Bài 3

Một bộ bài tú lơ khơ có 52 quân bài Bạn An rút ra 13 quân bài Tính

xác suất sao cho 13 quân bài đó có 4 con Bích,

3 con Rô, 3 con Cơ và 3 con Nhép ?

Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam, 3 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất sao cho

a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Và B là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau” =>n(B) = 144

Suy ra: xác suất của biến cố A là: P A  n A    

xác suất của biến cố B là: P B  n   B  

Ký hiệu “con súc xắc suất hiện mặt b chấm” là b:

Không gian mẫu: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(Ω) = 6

Gọi A là biến cố: “Phương trình có nghiệm”

Ta đã biết phương trình x   bx 2 02   có nghiệm khi Δ = b2 - 8 ≥ 0

o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?

o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?

Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra

dạng các phần tử đầu tiên Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6 Từ

đó học sinh có thể xác định được không gian mẫu

Lời giải

a) Không gian mẫu Ω = {N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSS}

b) Ta có:

A = {N, SN, SSN}, n(A) = 3 Vậy xác suất của biến cố A là: P(A) = 3/7

B = {SSSSN}, n(B) = 1 Vậy xác suất của biến cố B là: P(B) = 1/7

C = {SSSSN, SSSSS}, n(c) = 2 Vậy xác suất của biến cố A là: P(C) = 2/7

2.2 DẠNG 2: Sử dụng biến cố đối

Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy.

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên để vận dụng được

phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:

+ Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”, “tất cả”…hoặc tính chẵn,

lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối.

+ Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối.

Bài 8

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần Tính xác suất của các biến cố:

a) Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”

b) Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp Tuy nhiên nếu để ý rằng biến cố đối của biến

cố A là biến cố A : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa” Do đó bài toán này sẽ được giải như sau:

Lời giải

Gọi không gian mẫu là  và A là biến cố cần tính xác suất

� n(Ω) = 2.2.2 = 8

Vậy xác suất của biến cố A là P(A)=1−1

8=

78

Bài 9

Từ một hộp chứa 7 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 5 quả cầu vàng Người ta lấy ngẫu nhiên đồng thời

5 quả Hãy tính xác suất sao cho 5 quả đó là khác màu nhau?

Bài 10

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của các biến cố sau:

a) Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”

b) Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11”

Lời giải:

Không gian mẫu: Ω = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…,6}}→ n(Ω) = 6.6 = 36

a) Ta có biến cố đối cuả A là A = {(i, j)|i, j ∈ {2,…,6}}→ n(A) = 25

Không gian mẫu: Ω = {(b, c): 1 b 6,1 c 6� � � � }→ n(Ω) = 6.6 = 36

Gọi biến cố A: “Phương trình vô nghiệm”

Biến cố B: “Phương trình có nghiệm”

Nhận thấy B A

a/ Ta có A  b, c �: b24ac 0 

                        1,1 , 1, 2 , , 1, 6 , 2, 2 , 2,3 , , 2,6 , 3,3 , 3, 4 , 3,5 , 3,6 , 4,5 , 4, 6 

2.3 DẠNG 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân

Đối với các bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán luôn tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố này) Chúng ta cần lưu ý:

* Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì

+Xác suất xuất hiện mặt sấp là 1/2

+Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1/2

* Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì

+Xác suất xuất hiện từng mặt là 1/6

+Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn là1/2

+ Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ là 1/2

+Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3 là 1/2

Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài toán ta sẽ tính được xác suất này Và cũng có nhiều bài toán cho trực tiếp xác suât

Đối với bài toán sử dụng quy tắc nhân xác suất chúng ta cần phải khẳng định được hai biến

cố là độc lập Sau đây là 1 số dạng toán hay gặp:

* Khi gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia Tương tự đối với con súc sắc.

*Hai xạ thủ bắn sung thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh hưởng tới người kia Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia Tương tự đối với một người bắn hai phát sung

*Có hai cái hộp đựng bóng Lấy từ mỗi hòm ra một quả bóng thì biến cố lấy ra bóng của hộp này sẽ độc lập với biến cố lấy ra bóng ở hộp kia Tương tự đối với bài toán lấy viên bi, lấy quả cầu, lấy thẻ

Bài 12

Không gian mẫu: Ω = {(i, j)|i, j ∈ {1,2,…,6}}→ n(Ω) = 6.6 = 36

Gọi biến cố A: “tổng số chấm của 2 lần gieo là 6”

biến cố B: “ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm”

Gieo đồng thời hai con súc sắc Tính xác suất sao cho:

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn

Lời giải

Gọi biến cố A: “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”

biến cố B: “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”

a/ C là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Thấy rằng A và B là hai biến cố độc lập và P(A) = P(B) = 3/6 = 1/2

Do vậy ta có: P(C) = P(AB) = P(A).P(B) = 1 1 1

2 24

b/ Gọi D là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:

· Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ

· Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn

· Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn

Và ta có D “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ

a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu

A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”

B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”

X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”

b) Gọi:

Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”

Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

a/ A: “ sinh viên được chọn học tiếng Anh”

b/ B: “sinh viên được chọn học tiếng Pháp”

c/ C: “sinh viên được chọn học cả tiếng Anh và tiếng Pháp”

d/ D: “sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp”

Gọi biến cố A: “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”

biến cố B: “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”

biến cố X: “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”

� X = A ∪ B

Do A và B xung khắc nhau nên P(X) = P(A) + P(B)

Có 8 chi tiết không bị hỏng nên   6

a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt

b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt

Lời giải

Gọi biến cố A: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”

biến cố B: “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

P(A)=0,7�P A  =1−0,7=0,3

P(B)=0,8�P B =1−0,8=0,2

a) Gọi biến cố X: “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt”

Suy ra:X A.B

Do A,B là 2 biến cố độc lập nên A, B cũng là 2 biến cố độc lập nên ta có:

Gọi biến cố A: “Chuông báo khi thấy khói”

biến cố B: “Chuông báo khi thấy lửa”

biến cố C: “Ít nhất một trong hai chông báo khi hỏa hoạn”

Theo giả thiết bài toán ta có

P(A) = 0,95

P(B) = 0,95

P(AB) = 0,88

Do đó P(C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,95 + 0,91 – 0,88 = 0,98

Vậy xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo là 0,98

Bài 20

Trong một kỳ kiểm tra chất lượng ở khối lớp 10 và 11 của trường X, mỗi khối có 25% trượt Toán, 15%trượt Lý và 10% trượt Hóa Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên 1 học sinh Tính xác suất sao cho:

a/ Hai học sinh đó trượt Toán

b/ Hai học sinh đó đều bị trượt 1 môn nào đó

c/ Hai học sinh đó không bị trượt 1 môn nào

d/ Có ít nhất một trong hai học sinh đó bị trượt ít nhất 1 môn

Lời giải

Gọi A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố: “ Học sinh được chọn từ khối 10 trượt

Gọi B1, B2, B3 lần lượt là các biến cố: “ Học sinh được chọn từ khối 11 trượt môn Toán, Lý, Hóa”

Các biến cố Ai, Aj là độc lập với mọi (i,j)

a/ Gọi biến cố A: “Hai học sinh được chọn trượt Toán”

biến cố C: “lấy lần 1 một viên bi xanh, lần 2 một viên bi trắng”

Nếu A đã xảy ra thì trong bình chỉ còn 2 bi xanh, 2 bi trắng Khi đó

Một bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên một bi, rồi lấy một bi nữa.Tính xác suất của biến

cố “lấy lần thứ hai được một bi xanh”

Lời giải

Gọi biến cố A: “lấy lần thứ nhất được bi xanh”

biến cố B: “lần thứ hai lấy được bi xanh”

Vì B chỉ xảy ra cùng với A hoặc A nên C (BA) (BA) �

Gọi A là biến cố “có ít nhất một lần gieo được mặt 6”

Theo yêu cầu bài toán: P(A) 0,9�

2P(A)

20



�

Lời giải

Gọi Ai là biến cố: “thí sinh thi đậu lần thứ i”, (i = 1;2;3)

Gọi B là biến cố: “để thí sinh thi đậu”

P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7

P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3

Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng xe

FORD” Bạn được chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp khoen, tính xác suất để cả hai nắp đều trúng

thưởng

Lời giải

Gọi A là biến cố: “nắp khoen đầu trúng thưởng”

B là biến cố: “nắp khoen thứ hai trúng thưởng”

C là biến cố: “cả 2 nắp đều trúng thưởng”

Khi bạn rút thăm lần đầu thì trong hộp có 20 nắp trong đó có 2 nắp trúng

Khi biến cố A đã xảy ra thì còn lại 19 nắp trong đó có 1 nắp trúng thưởng

Câu 2: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập

từ các số trên Số phần tử của không gian mẫu là?

Câu 3: Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4 Chọn ngẫu nhiên 1 số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ

các số trên Số phần tử của không gian mẫu là?

Câu 4: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau Số

phần tử của không gian mẫu là?

Câu 5:Cho B={1, 2, 3, 4, 5, 6} Chọn ngẫu nhiên 3 số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập

B Số phần tử của không gian mẫu là?

Câu 6: Cho 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

Câu 7: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Biến cố : “ số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A”

có bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 8: Cho A={1, 2, 3, 4, 5} Biến cố : “ số lẻ có 2 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A” có bao

nhiêu đồng khả năng?

Câu 9: Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố : “số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ

A” có bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 10: Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố : “số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A” có

bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 11: Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố : “số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A”

có bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 12: Cho A={1, 2, 3, 4, 5} Biến cố : “số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5

được lập từ A” có bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 13: Cho A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Biến cố : “số lẻ có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ A” có

bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 14: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Biến cố : “số tự nhiên chẵn có 3 chữ số được lập từ các số đã

cho” có bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 15: Cho A={0, 1, 2, 3, 4, 5} Biến cố : “số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5 được lập từ A” có

bao nhiêu đồng khả năng?

Câu 16: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh tham gia vệ

sinh công cộng toàn trường Số phần tử của không gian mẫu là?

Câu 17: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh tham gia vệ

sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ?