Bài tập và lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 VI PHÂN đh cấp CAO đặng việt đông file word

Hướng dẫn giải: Chọn A... Hướng dẫn giải: Chọn A.. Hướng dẫn giải: Chọn C.. Vi phân của hàm số là: Hướng dẫn giải: Chọn C.. Hướng dẫn giải: Chọn B.. Hướng dẫn giải: Chọn B.. Cho hàm số y

Trang 1

VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Tích f x'( ).0 x được gọi là vi phân của hàm số yf x( ) tại điểm x (ứng với số gia x0  ) được kí hiệu

là df x( )0 f x'( )0 x

 Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f x x'( ) được gọi là vi phân hàm số yf x( ), kí hiệu là: ( ) '( )

df x f x x

Đặc biệt: dx x x  ' x nên ta viết df x( )f x dx'( )

B – BÀI TẬP

Câu 1 Cho hàm số yf x   x12 Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f x ? 

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có dyf x x d 2x1 d x.

Câu 2 Tìm vi phân của các hàm số y x 32x2

Chọn D.

2

(3 4 )

dy x  x dx

Câu 3 Tìm vi phân của các hàm số y 3x2

x



2 3 2

x





x



2 3 2

x





Chọn D.

3

2 3 2

x





Câu 4 Cho hàm số y x 3 9x212x 5 Vi phân của hàm số là:

dy 3x 18x12 dx.

Chọn A.

Trang 2

Ta có dyx3 9x212x 5 d x3x218x12 d x.

Câu 5 Tìm vi phân của các hàm số y(3x1)10

Chọn D.

9

30(3 1)

dy x dx.

Câu 6 Tìm vi phân của các hàm số ysin 2xsin3x

A dycos 2x3sin2xcosx dx B dy2cos 2x3sin2xcosx dx

2 cos 2 sin cos

cos 2 sin cos

Chọn B.

2 cos 2 3sin2 cos 

Câu 7 Tìm vi phân của các hàm số ytan 2x

A dy (1 tan 2 )2 x dx B dy (1 tan 2 )2 x dx

C dy2(1 tan 2 ) 2 x dx D dy2(1 tan 2 ) 2 x dx

Chọn D.

2

2(1 tan 2 )

Câu 8 Tìm vi phân của các hàm số y3 x1

1 ( 1)

x



3 ( 1)

x





2 ( 1)

x



1

3 ( 1)

x





Chọn D.

2 3

1

3 ( 1)

x



Câu 9 Xét hàm số yf x  1 cos 2 2 x Chọn câu đúng:

A. d ( ) sin 42 d

2 1 cos 2

x





1 cos 2

x





C. d ( ) cos 22 d

1 cos 2

x



2 1 cos 2

x





Chọn B.

Trang 3

Ta có : dyf x x d  2 

2

1 cos 2

d

2 1 cos 2

x x x









2

4cos 2 sin 2

d

2 1 cos 2

x x





sin 4

d

1 cos 2

x x x





Câu 10 Cho hàm sốy x 3 5x6 Vi phân của hàm số là:

dy 3x  5 dx.

Chọn A.

Ta có dyx3 5x6 d x3x2 5 d x

Câu 11 Cho hàm số 13

3

y x

 Vi phân của hàm số là:

4

y x B. dy 14dx

x

 D. dy x x 4d

Chọn C.

Ta có

 

2 2

x



1

x y x





 Vi phân của hàm số là:

A.

 2

d d

1

x y

x



 2

3d d

1

x y

x



C.

 2

3d d

1

x y

x





 2

d d

1

x y

x



Chọn C.

Ta có

 2

x







Câu 13 Cho hàm số 2 1

1

y x

 



A.

2 2

( 1)

x

 



( 1)

x





( 1)

x





2 2

( 1)

x

 



Chọn D.

Trang 4

Ta có d 2 1 d

1

x



   



2

d 1

x x



2 2

d 1

x x

 



Câu 14 Cho hàm số ysinx 3cosx Vi phân của hàm số là:

Chọn C.

Ta có dysinx 3cosxdxcosx3sinx xd

Câu 15 Cho hàm số ysin2x Vi phân của hàm số là:

A. dy– sin 2 dx x B. dysin 2 dx x C. dysin dx x D. dy2cos dx x

Chọn B.

Ta có dyd sin 2 x  sin2 xdxcos 2sin dx x xsin 2 dx x

Câu 16 Vi phân của hàm số y tan x

x

C. d 2 sin(22 )d



Chọn D.

x x





 

dx x



2

2 sin 2

4 cos

dx



Câu 17 Hàm số y x sinxcosx có vi phân là:

A. dyxcos – sinx x xd B. dyxcosx xd

C. dycos – sinx x xd D. dyxsinx xd

Chọn B.

Ta có dyxsinxcosxdxsinx x cosx sinx xd xcosx xd .

Câu 18 Hàm số y  x Có vi phân là:

Trang 5

2

1

( 1)

x





2 ( 1)

x





C.

2 2

1

( 1)

x





1 ( 1)

x





Chọn A.

dx

Câu 19 Cho hàm số yf x   x12 Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?

Chọn A

  x 12 y 2 1 d 2 1 d

Câu 20 Vi phân của hàm số f x 3x2 x tại điểm x  , ứng với 2  x 0,1 là:

Chọn C

Ta có: f x 6x 1 f 2 11

   

d 2f f 2  x 11.0,1 1,1

Câu 21 Vi phân của ycot 2017 x là:

A dy2017sin 2017 d  x x B

2

2017

sin 2017

x



C

2

2017

cos 2017

x

2

2017

sin 2017

x



Chọn D

cot 201

17

y

x





Câu 22 Cho hàm số y =

2

1 1

x

 

A

2 2

( 1)

x

 



2 1

( 1)

x







2 1

( 1)

x





2 2

( 1)

x

 





Chọn D

Trang 6

2 2

2



1 2

x y

x





 Vi phân của hàm số tại x  là:3

7

y x D dy7d x

Chọn A

Ta có

3 7

1 2

x



Do đó d 1d

7

y x

Câu 24 Vi phân của ytan 5x là :

cos 5

x

sin 5

x



cos 5

x

cos 5

x



Chọn C

2

5 tan 5

cos 5

x



Do đó d 52 d

cos 5

x



Câu 25 Hàm số y f x( ) ( x 1)2

x



  Biểu thức 0,01 '(0,01)f là số nào?

Chọn D

2



Do đó 0, 01 '(0, 01)f 90

Câu 26 Cho hàm số ysin(sin )x Vi phân của hàm số là:

A dycos(sin ).sin dx x x B dysin(cos )dx x

C dycos(sin ).cos dx x x D dy cos(sin )dx x

Chọn C

Ta có: y' (sin ) '.cos(sin ) cos cos(sin ) x x  x x nên dycos cos(sin )dx x x

Trang 7

Câu 27 Cho hàm số

2

khi 0 ( )

2 khi 0

f x







Kết quả nào dưới đây đúng?

x





0

x





0

x





Chọn B

Ta có:  0 lim0 2 lim (0 1) 1

x





 0 lim0 2 2

x

x f

x





   và hàm số không có vi phân tại x  0

Câu 28 Cho hàm số ycos 22 x Vi phân của hàm số là:

A dy4cos 2 sin 2 dx x x B dy2cos 2 sin 2 dx x x

C dy2cos 2 sin 2 dx x x D dy2sin 4 dx x

Chọn D

Ta có : dyd cos 2 2 x 2 cos 2 (cos 2 ) 'dx x x4 cos 2 sin 2 dx x x2sin 4 dx x

2

khi 0 ( )

khi 0

f x







Khẳng định nào dưới đây là sai?

A f  0 1

C d (0) df  x D Hàm số không có vi phân tại x  0

Chọn D

Ta có:  0 lim0 2 lim (0 1) 1

x



x

x f

x





   và d (0) df  x

Câu 30 Cho hàm số yf x( ) 1 cos 2 2 x Chọn kết quả đúng:

A d ( ) sin 42 d

2 1 cos 2

x





1 cos 2

x





C d ( ) cos 22 d

1 cos 2

x



1 cos 2

x





Chọn B

(1 cos 2 ) ' 2.2cos 2 sin 2 sin 4

Câu 31 Cho hàm số ytan x Vi phân của hàm số là:

2 cos

cos

Trang 8

C d 1 d

2 cos

Chọn D

Câu 32 Vi phân của hàm số 2 3

2 1

x y x





 là :

A

8

x



4

x



C

4

x



7

x



Chọn A

Ta có : d d 2 3 8 2d

x

2 2

1 1

x y

x





 Vi phân của hàm số là:

A

 22

4

1

x





 22

4

1

x





1

x





 22

d d

1

x y

x





Chọn A

Ta có :

2

Câu 34 Cho hàm số ( )f x  cos 2x Khi đó

A d   sin 2 d

2 cos 2

x



cos 2

x



C d   sin 2 d

2 cos 2

x





cos 2

x





Chọn D

Ta có : d ( ) d cos 2  (cos 2 ) ' d sin 2 d

2 cos 2 cos 2



Trang 9

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '', tức là: f '' ( ') ' f

 Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với 1 n,n2) là f(n 1) Nếu f(n 1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f( )n , tức là:

( )n ( (n1)) '

Để tính đạo hàm cấp n:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

B – BÀI TẬP

Câu 1 Hàm số

2

x y x



 có đạo hàm cấp hai là:

 2

1 2

y x

 

 2

4 2

y

x

 

 3

4 2

y x

 

Chọn D.

Ta có

 2

2

x y

   



2

x y



Câu 2 Hàm số yx2 13 có đạo hàm cấp ba là:

A. y  12x2 1 B. y  24x2 1

24 5 3

–12 1

y  x 

Chọn C.

Ta có y x 63x43x21 ; y 6x512x36x

y  x  x  ; y 120x372x24 5 x23

Câu 3 Hàm số y 2x5 có đạo hàm cấp hai bằng:

(2 5) 2 5

y

 

y

x

 



(2 5) 2 5

y

 

y

x

 



Chọn C.

Trang 10

Ta có  2 5 2 1



2

y



2

1 1

y

x

 



 có đạo hàm cấp 5 bằng:

120 ( 1)

y

x



120 ( 1)

y

x



1 ( 1)

y

x



1 ( 1)

y

x



Chọn A.

1

y x

x

 

1 1

1

y

x





 3

2

1

y

x





 

3

4

6 1

y

x





 

4

5

24 1

y

x



(5)

6

120 ( 1)

y

x



1

y x

 



 có đạo hàm cấp 5 bằng :

A  

5

6

120 1

y

x



5

120 1

y

x



C  

5

1 1

y

x



5

1 1

y

x



Chọn A.

Ta có:

 

 2

1 1

1

y

x



 ;

 3

2 1

y x

 

 ;

 4

6 1

y

x

 

 ;  

4

5

24 1

y

x



 ;  

5

6

120 1

y

x



Câu 6 Hàm số y x x 2 có đạo hàm cấp 1 2 bằng :

A

 

3

y



 

2

1

x y

x



 



C

 

3

y



 

2

1

x y

x



 



Chọn C.

Trang 11

Ta có:

2 2

1



 

3 2

1

x

x y



Câu 7 Hàm số y2x55 có đạo hàm cấp 3 bằng :

A y 80 2 x53 B y 480 2 x52

C y 480 2 x52 D y 80 2 x53

Chọn B.

Ta có: y 5 2 x54210 2 x54 ;y 80 2 x53; y 480 2 x52

Câu 8 Hàm số ytanx có đạo hàm cấp 2 bằng :

A 2sin3

cos

x y

x

cos

y

x

cos

y

x

cos

x y

x

 

Chọn D.

Ta có: 12

cos

y

x

2cos sin 2sin

y



Câu 9 Cho hàm số ysinx Chọn câu sai.

A sin

2

y  x 

2

y  x  

  D y 4 sin 2   x

Chọn D.

Ta có: cos sin

2

y  x  x

2

y   x x

2

y   x    x

 ;  4 cos 3 sin 2 

2

y    x x

2

1

y

x



 có đạo hàm cấp 2 bằng :

A

 2

1 2

1

y

x

  

 3

2 1

y

x

 

 3

2 1

y

x



 

 4

2 1

y

x

 

Chọn B.

Ta có: 2 1 1

1

x

1 2 1

y

x



2 (1 )

y

x

 

Câu 11 Hàm số   cos 2

3

yf x   x  

  Phương trình f 4  x 8 có nghiệm 0;

2

x   là:

Trang 12

A

2

6

x

C x  và 0

3

2

x

Chọn A.

Ta có: 2sin 2

3

y   x  

3

y   x  

  8sin 2

3

y   x  

   4 16cos 2

3

y   x  

Khi đó : f 4  x  8 16cos 2 8

3

x 

1 cos 2

x 

2







 



2 6





 



 

  



0;

2

x



 

   

Câu 12 Cho hàm số ysin2x Chọn khẳng định đúng

A 4y y 0 B 4y y 0 C yytan 2x D y2  y 2 4

Chọn B.

Ta có: y 2cos2x; y 4sin2x  4y y 0

Câu 13 Cho hàm số y f x  1

x

  Xét hai mệnh đề :

2 :

x

6 :

x

   Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ  I đúng. B Chỉ  II đúng. C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều sai

Chọn D.

Ta có: y 12

x

  ; y 23

x

  ; y 64

x

 

Câu 14 Nếu   2sin3

cos

x

f x

x

  thì f x bằng 

A 1

1

cos x

Chọn D.

Vì: tan  12

cos

x



  

4

2cos sin cos

x

cos

x x

Câu 15 Cho hàm số  

1

y f x

x

  

 Xét hai mệnh đề :

Trang 13

 I :yf x  2 2

(x 1) x

  II :yf x 4 2

(x 1) x

Mệnh đề nào đúng?

A Chỉ  I đúng. B Chỉ  II đúng. C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều sai

Chọn A.

Ta có: yf x 

1

x

  





2 1

x x

 

2 1

1

y

x



  

 ;

 3

4 1

y x

 



Câu 16 Cho hàm số f x   x13 Giá trị f  0 bằng

Chọn B.

Vì: f x 3x12 ; f x 6x1  f  0 6

Câu 17 Cho hàm số f x sin3x x 2 Giá trị

2

f  

  bằng

Chọn B.

Vì: f x 3sin cos2x x2x ; f x 6sin cosx 2x 3sin3x2 1

2

f 

  

Câu 18 Cho hàm số f x 5x134x1 Tập nghiệm của phương trình f x 0 là

A 1; 2 B  ;0 C  1 D 

Chọn C.

Vì: f x 15x124 ; f x 30x1  f x  0 x1

3

y x



 Khi đó :

A  1 3

8

4

y 

Chọn C.

Vì:

 2

1

3

y

x

 

 ;

 3

2 3

y x

 

 ;

 4

6 3

y

x

 

8

y

Câu 20 Cho hàm số yax b 5 với a , b là tham số Khi đó :

A y 10  1 0 B y 10  1 10a b C y 10  1 5a D y 10  1 10a

Chọn A.

Trang 14

Vì: y 5a ax b  4 ; y 20a ax b2  3 ; y 60a ax b3  2 ;  4 4 

120

y  a ax b ; y  5 120a5 ;

  6 0

y   y 10 0 Do đó y 10  1 0

Câu 21 Cho hàm số ysin 22 x Tính  4

6

y  

  bằng:

Chọn C.

Vì: y 2sin2 2cos2x x 2sin4x; y 8cos4x ; y 32sin4x;

  4 128cos4

6

y  

 

Câu 22 Cho hàm số ysin 2x Tính y''

C y'' sin 2 x D y''4sin 2x

Chọn D.

Ta có y' 2cos 2 x y''4sin 2x

Câu 23 Cho hàm số ysin 2x Tính '''( )

3

y  , (4)( )

4

y 

Chọn A.

Ta có y'''8cos 2 , x y(4)16sin 2x

Suy ra '''( ) 8cos2 4; (4)( ) 16sin 16

Câu 24 Cho hàm số ysin 2x Tính y( )n

A ( ) 2 sin(2 )

3

2

C ( ) 2 sin( )

2

Chọn D.

Ta có ' 2sin(2 ), '' 2 sin(22 2 )

y  x y  x  , ''' 2 sin(23 3 )

2

Bằng quy nạp ta chứng minh ( ) 2 sin(2 )

2

Trang 15

Với 1 ' 2 sin(21 )

2

n  y  x đúng

Giả sử ( ) 2 sin(2 )

2

y  x k  ,

suy ra ( 1)  ( )' 2 1cos(2 ) 2 1sin 2 ( 1)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 25 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 1

2

x y x







A

1 ( )

1

(1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x







1 ( )

1

( 1) ! ( 2)

n n

n

n y

x











C

1 ( )

1

( 1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

x









1 ( )

1

( 1) 3 ! ( 2)

n n

n

n y

x











Chọn D.

Ta có

' 2

3 ( 2)

x

4

3.2.3

'''

( 2)

y

x



 Ta chứng minh

1 ( )

1

( 1) 3 ! ( 2)

n n

n

n y

x











 Với

0

( 1) 3 3



 Giả sử

1 ( )

1

( 1) 3 ! ( 2)

k k

k

k y

x











 

( 1) 3 ! ( 2) ' ( 1) 3.( 1)!

'



Câu 26 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 1 ,a 0

ax b

A ( )

1

(2) !

n

a n y

ax b 



1

( 1) ! ( 1)

n

a n y







C ( ) ( 1) !1

n n

n

n y

ax b 





n

a n y

ax b 







Chọn D.

Ta có

Trang 16

Ta chứng minh: ( ) ( 1) !1

n

a n y

ax b 







 Với

1 1

( 1) 1!



 Giả sử ( ) ( 1) !1

k

a k y

ax b 







 

( 1) ! ( ) ' ( 1) ( 1)!

'



x y





A ( ) (2) 7 !1 (1) 5 !1

n

y

( )

( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

C ( ) ( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

( 1) 7 ! ( 1) 5 !

n

y

Chọn D.

Ta có: 2x 1 7(x 2) 5( x 3); x2 5x 6 (x 2)(x 3)

y

Mà

1 ( 1) 1 ! ( 1) ! 1 ( 1) !

,

Nên ( ) ( 1) 7 ! ( 1) 5 !1 1

n

y

Câu 28 Tính đạo hàm cấp n của hàm số ycos 2x

A ( )  1 cos 2

2

n n

y    x n 

2

y   x 

C ( ) 2 1cos 2

2

y   x n  

Chọn D.

Ta có ' 2 cos 2 , '' 2 cos 22 2 ,

y   x  y   x  

3

''' 2 cos 2 3

2

y   x  

Bằng quy nạp ta chứng minh được ( ) 2 cos 2

2

y   x n  

Trang 17

Câu 29 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 2x1

A

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

x







1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1) (2 1)

n n

n

n y

x







C

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

x





1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1) (2 1)

n n

n

n y

x









Chọn D.

Ta có ' 21 1, '' 1 3 , ''' 3 5

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1) (2 1)

n n

n

n y

x









x y





A ( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

C ( ) 5.( 1) ! 3.( 1) !1 : 1

n

y



n

y

Chọn D.

y

Bằng quy nạp ta chứng minh được: ( )

5.( 1) ! 3.( 1) !

n

y

Câu 31 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2

x y



 

A ( )

( 1) 3 ! ( 1) 2 !

n

y

n

y

C ( ) ( 1) 3 ! ( 1) 2 !1 1

n

y

n

y

Chọn D.

Ta có:x3(x2) 2( x3); x25x 6 (x2)(x3)

y

Mà

1 ( 1) 1 ! ( 1) ! 1 ( 1) !

,

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,47 MB