8 TUONG GIAO

TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊHÀM SỐ A.. Số giao điểm của hai đồ thị C và C’ chính là số nghiệm của phương trình: fx gx... Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoànhtại điểm duy nhất... Có

TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ

HÀM SỐ

A CHUẨN KIẾN THỨC

Định lí : Cho hai đồ thị (C): y f(x) và (C'): y g(x) Số giao điểm của hai

đồ thị (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình: f(x) g(x)

Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau :

Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m) 0 (m là tham số)

Phương pháp giải:

* Ta biến đổi phương trình F x,m   về dạng 0 f x   g m , trong đó ta đã biết đồ thị (C) của hàm số y f x   hoặc có thể dễ dàng vẽ được

* Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số giaođiểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: y g m  

Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C): y f(x) và

Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y x33m x 2m tiếp xúc trục 2 

Ox tại hai điểm phân biệt

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D �

Để đồ thị của hàm số tiếp xúc trục hoành hai điểm phân biệt thì đồ thịcủa hàm số

phải có 2 điểm cực trị  �y 0 có 2 nghiệm phân biệt, tức là 3x23m20có 2

nghiệm phân biệt  m 0�

Với m 0 thì y' 0�  có 2 nghiệm x � và m y( m) 2m  32m,

Với y(m) 0 �2m32m 0 �m 0 hoặc m �1

Vậy, với m �1thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 : Định m để đồ thị của hàm số y  x3 mx2m cắt trục Ox tại

ba điểm phân biệt

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D �

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt khi đồ thị của hàm

số có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu

Vậy, với m 3 3

2

 đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Ví dụ 4 : Định m để đồ thị của hàm số y x4mx2m 1 cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D �

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox :

Đặt t x , t 0, khi đó: (1)   2 � t2mt m 1 0 (2)  t 1    hoặc t m 1 

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt khi (1) có 4 nghiệmphân biệt  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt  0 m 1 1   � �1 m 2 �

Ví dụ 5 : Tìm m để đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị   C :

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1:

1 Cho hàm số y x3mx 2 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoànhtại điểm duy nhất

2 Cho hàm số y 2x33(m 1)x 26mx 2 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất

Bài 2:

1 Định m để đồ thị của hàm số y x 33x2(2m 1)x 4m 2   tiếp xúc trục Ox tại hai điểm phân biệt

2 Cho hàm số y x42m x2 2m42m Chứng minh đồ thị của hàm số

luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m 0.

1 Có 4 điểm chung phân biệt.

2 Có 3 điểm chung.

3 Có hai điểm chung

4 Không có điểm chung.

Bài toán 02: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Cho hàm số y x 32 m 1 x   2m24m 1 x 2 m   2 , có đồ 1thị là  Cm Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm

phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3

f(x) 0 2 nghiệm phân biệt khác 2

2 2

Theo định lý viét, ta có

Hàm số đã cho xác định D �

Phương trình hoành độ giao điểm: 1x3 mx2 x m 2 0

x 3mx 3x 3m 2 0  

� �(x 1) x ��2 1 3m x 3m 2   ��0 (1)

1 A là trung điểm của đoạn BC

2 B,C có hoành độ nhỏ hơn 1 3 BC có độ dài nhỏ

1 A là trung điểm của đoạn BC

Vì ba điểm A ,B,C thuộc trục hoành do đó A là trung điểm của BC

2 B,C có hoành độ nhỏ hơn 1.

Gọi x ,x là hoành độ của B,C , cũng là nghiệm phương trình g(x) 01 2 

Hai nghiệm của g(x) 0 là 2 2

ÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y x 42 m 1 x   22m 1 có đồ thị là  Cm , m là tham

số Tìm m để đồ thị  Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có

1  Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

2  Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương

Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số :

1 y x 3(4m 3)x 2(m 2)x 3m  có hai cực trị trái dấu

2 y x 33(m 1)x 23mx m 1  cắt Ox tại ba điểm phân biệt trong đó có

ít nhất một điểm có hoành độ âm

3 y x – 3m 2 x 4    23m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2

4 y x 42mx2m2 (C1 m) cắt Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số :

1 y x 33mx2(3m 1)x 6m 6   cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x ,x ,x thỏa 1 2 3 2 2 2

x x x x x x 20

2 y x 32x2(3m 1)x m 3   cắt đường thẳng d : y (1 m)x m 5    tại

ba điểm phân biệt có hoành độ x1x2 1 x3

3 y x 4(3m 2)x 23m (Cm) cắt đường thẳng y 1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x ,x1 2, x3, x4 thỏa : 2 2 2 2

x x x x x x x x 4

Bài 5: Tìm m để đồ thị (C )m y x 3(2m 3)x 2(2m2 m 9)x 2m 23m 7 cắt trục hoành tai ba điểm phân biệt ,trong đó có hai điểm có hoành độ lớnhơn 1 và khoảng cách giữa hai điểm này là lớn nhất

Phương pháp giải

1 Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax 3bx2cx d a ( �0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số cộng.

(C) cắt trục hoành nên có: ax3bx2cx d 0 ( )  

3a vào ( ) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

2 Tìm đièu kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành

x

a là 1 nghiệm của ( ) Thế  3

2

d

x

a vào ( ) để suy ra điều kiện cần tìm

Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.

3 Tìm điều kiện để đồ thị (C): y ax 4bx2c (a 0)� cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt

có hoành độ lập thành một cấp số cộng

 ax4bx2 c 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt  at2bt c 0 (t x ) (2) có 2    2

nghiệm dương phân biệt t ,t (giả sử 1 2 t1 t ) 2  1

Khi đó các nghiệm của (1) là:  t ;2  t ; t ; t 1 1 2

 Cm Với m là tham số thực Tìm m để  Cm cắt trục hoành tại ba điểm

phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định D �

Phương trình hoành độ giao điểm: x33x29x m 0 ( )  

Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ

Thay x2 vào phương trình ( ) 1  , tìm được m = 11.

x  1 2 3, x2 , 1 x3 1 2 3 thỏa mãn điều kiện x1x32x2

Vậy, m = 11 thì đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có

hoành độ x ,x ,x lập thành cấp số cộng có công sai d 2 31 2 3 

2 Hàm số đã cho xác định D �

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �

Hoành độ giao điểm của trục hoành và  Cm là nghiệm của phương trình

Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành cấp số

cộng của phương trình hoành độ là x0d, x , x0 0d với d là công sai Khi đó đẳng thức sau luôn đúng

Vậy m 1 hoặc  m 5 hoặc m 11

10 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2 : Định m để đồ thị của hàm số y  x4 2(m 2)x 22m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x , x , x ,x lập thành cấp 1 2 3 4

số cộng

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định D �

Phương trình hoành độ giao điểm:  x4 2(m 2)x 22m 3 0 (1) 

Đặtt x ,t 0 2 � thì (1) trở thành g(t)  t2 2(m 2)t 2m 3   (2)

Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ

x , x , x ,x � (1) có bốn nghiệm phân biệt x ,x ,x ,x (x1 2 3 4 1x2x3x )4

� (2) có hai nghiệm dương phân biệt t ,t (t1 2 1t )2 , tức lá phải có :

2 Cho hàm số y  x3 3m 1 x  22 3m 1 x 8 Tìm m để      Cm cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân

Lời giải.

1 Hàm số đã cho xác định D �

Phương trình hoành độ giao điểm: x32m 5 x  214mx 8 0  ( )

Đk cần: Giả sử đồ thị của hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3

x ;x ;x

lần lượt lập thành cấp số nhân

Khi đó ta có: 3   2

Vậy, m 1 thỏa mãn đề bài

2 Hàm số đã cho xác định D �

Cách 1: Hoành độ giao điểm của trục hoành và  Cm là nghiệm của

Do đó x 2 và  g x x23 m 1 x 4 0 phải có hai nghiệm phân biệt     khác 2 và tích hai nghiệm luôn bằng 4

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số y x 42 m 1 x   22m 1 có đồ thị là  Cm Định m để

đồ thị  Cm cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp

số cộng

Bài 2: Gọi  Cm là đồ thị của hàm số y x 4(3m 2)x 2m  25m 1 , m là tham số Tìm m để  Cm cắt đường thẳng (d) : y - 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt

1 Có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

2 Có hoành độ lớn hơn – 4

4 y x – 10mx 4 26m 3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành

� Biện luận số nghiệm của phương trình  * , số nghiệm phương trình  *

là số giao điểm của  C và  C'

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có

Ví dụ 2 : Định m để đường thẳng d : y  x 1 cắt đồ thị (C)

B, C đối xứng nhau qua đường thẳng y x  �� �xy11yx22 

Vậy, không có giá trị m thoả

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y x – 3x 3 2 có đồ thị là 1  C Tìm m để đường thẳng

  : y (2m 1)x– 4m – 1  cắt đồ thị  C tại đúng hai điểm phân biệt

Bài 2 Cho hàm số y x 33mx23 m 1 x 2    Tìm m để đồ thị hàm số chocắt đường thẳng ( ) : y    tại 3 điểm phân biệt A(0,2), B, C sao cho:6x 2AB.AC 1221 444BC

2 y x 33x2 và 4  d là đường thẳng đi qua điểm I 1;2 của    C và có hệ

số góc là m cắt  C tại ba điểm phân biệt I, M , N sao cho tam giác AMNvuông cân tại A 2; 1  

3 y x 33mx23m(m 2)x m  33m2m cắt parabol y  – 3x 2 tại ba điểmphân biệt

4 Tìm tham số m sao cho đồ thị  C : y x 33x2 và Hm:

 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Bài toán 02: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA HOÀNH ĐỘ CHO TRƯỚC.

Hàm số đã cho xác định trên �

Phương trình hoành độ giao điểm của  C với đường thẳng  d là

x 3mx 8x 3m 9 0   � x 1 x ��  1 3m x 9 3m  �� 0 1

x 1

� ( giả sử x3 ) hoặc 1 x2 1 3m x 9 3m 0 2     

Để đường thẳng  d cắt  C tại 3 điểm phân biệt thì phương trình  1 có 3nghiệm phân biệt � phương trình  2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1, tức

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng  �; m �m;�

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và  Cm là nghiệm của phương

4Kết hợp với điều kiện m 161

16 và ��

10m

2Vậy m 5 hoặc m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

x 2 có đồ thị là  Cm Với m là tham số

thực và đường thẳng  d : y  x 3 Tìm m để  Cm cắt đường thẳng d tại

hai điểm phân biệt M , N sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm M , N đến đường thẳng   :2x y 5 0 không lớn hơn    37.

Để d cắt  Cm tại hai điểm phân biệt A , B khi và chỉ khi phương trình trên

có hai nghiệm phân biện khác 2 tức phải có: ��  ��g 2  0 0

m7

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Cho hàm số y x 3m2m 3 x m   23m 2 1  , trong đó m làtham số Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số  1 cắtđường thẳng y 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x ,x ,x1 2 3

và đồng thời thỏa mãn đẳng thức x21x22x2318

Bài 2 Tìm m để đường thẳng y 2mx cắt đồ thị y  x3 2m 1 x  2 tại 3

điểm phân biệt A , B, C sao cho OA2OB2OC2 nhỏ nhất.

Bài 3 Tìm m để đồ thị  Cm của hàm số y x 43m 2 x  23m cắtđường thẳng y 1 tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x ,x ,x ,x1 2 3 4 thỏamãn hệ thức : x21x22x32x24x x x x1 2 3 44

Bài toán 03: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2,3,4 ĐIỂM PHÂN BIỆT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.

Các ví dụ

Ví dụ 1 Tìm m để đường thẳng d : y   cắt đồ thị x 1  C hàm số

y 4x 6mx  tại 3điểm 1 A 0;1 , B, C sao cho: 

1 B, C đối xứng qua y x  2 OB.OC 4uuur uuur 

Lời giải.

d cắt đồ thị  C tại 3điểm A 0;1 , B, C khi   4x36mx2    có 3 1 x 1nghiệm phân biệt tức phương trình 4x26mx 1 0  có 2 nghiệm phân biệt khác 0, nghĩa là

2 2



Giả sử B x ; x 1 1 1 , C x ; x 2   là giao điểm d và 2 1  C

1 Để B và C đối xứng nhau qua y x khi và chỉ khi 1 2 2

Đối chiếu điều kiện, suy ra không có m để thỏa bài toán

2 OB.OCuuur uuur  �4 x x1 2   x1 1     hay x2 1 4 2x x1 2x1x2 5 0

Số giao điểm của đồ thị đã cho với đường thẳng d là số nghiệm của phương trình : mx3 6x2 9mx 3 9x 3

Để đường thẳng d đồ thị đã cho cắt tại ba điểm phân biệt A 0;– 3 , B, C 

khi và chỉ khi phương trình  1 có 3 nghiệm phân biệt A 0;– 3 , B, C tức là 

 2 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0

  , trong đó x , x là 2 1 2nghiệm của  2

Ta có ABuuurx ;y1 13 , ACuuurx ;y2 23 và ACuuur= ABuuur� 2 1

của (1)) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N � (1) có hai nghiệm phân biệt

Giao điểm A của (d) và trục Ox có tọa độ là m;0

Hoành độ của M,N là hai nghiệm của phương trình (1)

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài tập Giả sử đường thẳng   y x m cắt đồ thị  C của hàm số

x 1 tại 2 điểm phân biệt A ,B I là giao điểm 2 đường tiệm cận

1 Tìm tham số m để tam giác IAB đều.

2 Gọi d' là đường thẳng đi qua I và cắt đồ thị  C của hàm số tại 2 điểm phân biệt C,D Lập phương trình đường thẳng d' để có CD5CI

Với m �� phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x ,x1 2

Theo định lý Viét ta có 1 2

Suy ra 1 nằm giữa hai nghiệm x ,x 1 2

Vậy d luôn cắt  H tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với tiệm cận đứng x  , tức là hai điểm đó nằm trên hai nhánh của đồ thị 1  H (đpcm)

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Gọi  dm là đường thẳng đi qua điểm A 2;2 và có hệ số góc m

Tìm m�� để đường thẳng  dm cắt đồ thị  C :y 2x 1

2 Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?.

Bài 2 Tìm tham số thực m để  d đi qua A 1;0 và có hệ số góc là m cắt 

 cắt đường thẳng d :

y x 2m  tại hai điểm phân biệt thì hai điểm đó nằm về một nhánh của (C)

Bài toán 05: HAI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CẮT NHAU TẠI 2 ĐIỂM PHÂN BIỆT CÓ ĐỘ DÀI CHO TRƯỚC.

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Cho hàm số y x 33x26xcó đồ thị là  C và d là đường thẳng

đi qua gốc tọa độ O có hệ số góc k Tìm k để d cắt  C tại ba điểm phân biệt O, A , B sao cho  AB bằng 17

Lời giải.

Đường thẳng d có phương trình: y kx

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C :

x 3x 6x kx �x x 3x 6 k  0�x 0 hoặc x23x 6 k 0     Đường thẳng d cắt  C tại ba điểm phân biệt �  có hai nghiệm phân biệt x ,x khác 0 1 2

Ví dụ 2 : Tìm các giá trị m để đường thẳng d :  y x m cắt đồ thị  C :

2 Suy ra d luôn cắt  C tại 2 điểm phân biệt A x ;x 1 1m ,B x ;x  2 2m với  x ,x là 2 1 2nghiệm của   Theo Vi – et :   

Vậy, m�1 thỏa bài toán

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

 có đồ thị là  C Tìm m để đường thẳng

 d : y 2x m  cắt  C tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho AB 5

2 Cho hàm số y x 1

x m





 có đồ thị là  Cm Tìm các giá trị của tham số m

sao cho đường thẳng  d : y x 2  cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A ,B saocho AB 2 2

Bài 2: Cho hàm số y x 2

2x 2





 có đồ thị là  C Tìm tất cả các giá trị tham

số m�� để đường thẳng  d : y x m  cắt đồ thị  C tại 2 điểm phân biệt

A , B sao cho 2 2 37

2