PhUOng pháp đặc biệt giải tóan TƯƠNG giao bậc 3

Tuy nhiên nếu ta không thể phân tích được thành nhân tử ta cần làm gì?. Khi đó chúng ta sẽ cần ứng dụng của phương pháp tư duy theo hai hướng sau:  Tư duy theo cực trị hàm số bậc 3 với

CÁC PHƯƠNG

PHÁP ĐẶC BIỆT

GIẢI BÀI TOÁN

TƯƠNG GIAO

ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BẬC 3

Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG

Điện thoại: 0902.920.389

I Mở đầu:

Trong bài toán tương giao hàm số bậc 3, phương pháp chung là xét phương trình hoành độ giao điểm để đưa bài toán về dạng: x a mx  2 nx p 0

Tuy nhiên nếu ta không thể phân tích được thành nhân tử ta cần làm gì? Khi đó chúng ta sẽ cần ứng dụng của phương pháp tư duy theo hai hướng sau:

 Tư duy theo cực trị hàm số bậc 3 với nghiệm của phương trình bậc 3

 Tư duy bằng cách cô lập biến và biện luận đồ thị

II Lý thuyết:

Xét hàm số: y ax3 bx2 cx d

Tính chất 1: Hàm số bậc 3 không có cực trị nào

nếu y ' có  0 Khi đó phương trình bậc 3 có

duy nhất một nghiệm (Như hình vẽ bên)

Tính chất 2: Hàm số bậc 3 có hai cực trị khi y ' có   0 Khi đó gọi hai cực trị có tọa độ là

A x y1; 1 ,B x y2; 2 Nếu:

y y1 2  0, có 3 nghiệm y y1 2 0 có 2 nghiệm y y1 2  0, có 1 nghiệm

Vì khi đó hai cực trị nằm về

hai phía của trục hoành

Vì khi đó một cực trị nằm trên

trục hoành

Vì khi đó hai cực trị nằm về cùng một phía với trục hoành

Đặc biệt:

 Nếu 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn m thì thêm điều kiện: a f m   0

 Nếu 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn m thì thêm điều kiện: a f m    0

III Bài tập ví dụ về tư duy bằng cực trị:

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số: y x3 3x2 3m2 1x 2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

1

2



           

   



Hàm số cắt trục hoành tại ba điểm khi và chỉ khi: y y1 2  0

2m3 9m2 9m 2m3 9m2 9m 0 m22m2 9m 9 2 m2 9m 9 0

Do đó: m  3 hoặc 3 m 0

2

   hoặc 0 m 3

2

  hoặc m  3

IV Bài tập ví dụ về tư duy bằng cô lập biến và biện luận đồ thị:

Ví dụ 2: Cho hàm số: y x3 mx2 7x 2m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại:

a) Hai điểm phân biệt

b) Ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 2

Bài giải: Ta có: x3 mx2 7x 2m  0 x3 7x m x 2 2 Tới bước này, ta nhận thấy rằng sau khi cô lập biến theo m, ta không tìm thấy nhân tử chung Chính vì vậy, ta suy nghĩ tới việc chuyển thành: x x m

x

3 2

7 2

 và tiến hành khảo sát đồ thị hàm số:   x x

f x

x

3 2

7 2







Ta có:  

 

x

2 2

13 14

2

 Lập bảng biến thiên:

x  1 1 

 

f x' + 0  0 +

 

2 2



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

a) Hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

f x

x

3 2

7 2





 tại hai điểm phân biệt, do đó: m 2 hoặc m  2

b) Hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

f x

x

3 2

7 2





 tại ba điểm phân biệt, do đó:  2 m 2 Hơn nữa, do f 2   1, cho nên

để ba nghiệm phân biệt cùng lớn hơn 2, ta cần điều kiện:  1 m 2

x  1 1 2 

 

f x' + 0  0 +

 

2

1 2

