SỬ DỤNG điều KIỆN cần và điều KIỆN đủ TRONG bài TOÁN CHỨA THAM số

Sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ để giải phơng trình, bất phơng trình, hệphơng trình chứa tham số.. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất x0,y0.. Thay váo hệ ta có:... Điều kiện

Sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ

phơng trình chứa tham số.

Bài1: Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x 4 ; 6

4 x6  x x2  2xm

Lời giải

1 Điều kiện cần: Giả sử bất phơng trình đúng với mọi x 4 ; 6 , nói riêng nó phải

đúng với x=1, tức là ta phải có: m 1  5  m 6

Vậy điều kiện cần là : m 6

2 Điều kiện đủ: Giả sử m 6 Theo bđt côsi, ta có với mọi x 4 ; 6 :

       5

2

6 4

6

4   x   x 

x x

Mặt khác 2 2  12 1 5 ; ( : 6 )















Vậy với mọi x 4 ; 6 ta luôn có 4 x6  x x2  2xm

Tóm lại các giá trị cần tìm của m là m 6

Bài 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất? 





















x a

y a y

y a

x a x

3 )

1 2 (

3 )

1 2 (

2 2

2 2

(ĐS: a = - 2) HD: 1 Đkc: Giả sử hệ có nhiệm duy nhất ( x0; y0), suy ra (y0; x0) cũng là nghiệmcủa hệ

Do tính duy nhất nên x0=y0 Mặt khác x0 là nghiệm của phơng trình :

( 2 1 ) 3 2 ( 1 ) 2 3 0 (*)

0

2 0 0

2 0

2

0  a x a  x  x  a x a  

x

(*) cần phải có nghiệm duy nhất , suy ra ' 0  12 ( 2 3 ) 0 2



















2 Đkđ: Khi a  2 thì hệ có dạng

 1   1  0 1

0 1 2 1 2 1 3 1 3

2 2

2 2 2

2

















































y x y x

y y x x x y y y x x

Vậy với a  2 thì hệ có nghiệm duy nhất

Bài 3: Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất: 4 x 4 1  x x 1  xm, ( 1 )

1 Đkc: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x0 suy ra (1- x0) cũng là nghiệm

Vì nghiệm là duy nhất nên x0= 1-x0 suy ra x0=1/ 2

Thay x0=1/ 2 vào (1) ta có m 2  4 8

Vậy Đkc để phơng trình có nghiệm duy nhất là m 2  4 8

2 Đkđ: Giả sử m 2  4 8 khi đó (1) có dạng: 4 x  4 1  x x 1  x  2  4 8 , ( 2 )

Theo BĐT Bunhiacôpxki thì: x 1 x  2,(" "  x 1 x)

4 x41 x48,(" "  x 1 x)

Vậy (2)

2

1

1   



Tóm lại, điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là m 2  4 8

Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: 4  x x 5 m( 1 )

1 Đkc: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x0 nên ta có

m x

x m

x

Điều đó có nghĩa là (-1-x0) cũng là nghiệm của (1)

Do x0 là nghiệm duy nhất nên x0=-1-x0 suy ra x0=-1/ 2

Thay x0=-1/ 2 vào (1) ta có: m 3 2

2 Điều kiện đủ: Giả sử m 3 2 khi đó (1) có dạng: 4 x x5 3 2

Theo BĐT Bunhiacỗpki ta có: 4  x x  5 2(4  x x  5) 3 2 

Dấu “=“ khi 4-x=x+5 hay x=-1/ 2

Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là: m 3 2

Bài 5: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 















a y x

a y

x

3

2 1

1 Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0)

Do (x0,y0) là nghiệm nên (y0+1,x0-1) cũng là nghiệm của hệ

Do tính duy nhất nên x0=y0+1 Thay váo hệ ta có:

2 0

0 0

2

2(2 4) 2(3 1 4)





 



Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là a  3 15

2 Điều kiện đủ: Giả sử a  3 15 khi đó hệ có dạng:

1 2 3 15 1 0

(*),

2 0

9 3 15

x y

  

(*)

2

12 3 15

u v

uv

u v





Theo định lí Viét thì u,v là hai nghiệm của phơng trình

2

2

1

8 3 15

3 15

2

y y







Tóm lại Với a  3 15 thì hệ có nghiệm duy nhất

Bài 6: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 











m y

x

m xy y x

2 2

1 Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0) suy ra (y0,x0) cũng là nghiệm

Do tính duy nhất nên x0=y0

Thay vào hệ ta có:

2

2

0 0

2 2

x









Nếu x0= 0 thì m= 0, nếu x0= 2 thì m = 8

Vậy điều kiện cần là: m= 0 hoặc m = 8

2 Điều kiện đủ: a) Giả sử m= 0 Khi đó hệ trở thành 2 2 0

0 0

x y xy

x y

x y







Vậy m= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất

b) Giả sử m=8 khi đó hệ trở thành:

i) Nếu x+y = 4 ta có: x+y=4 và xy= 4 suy ra x,y là nghiệm của phơng trình:

t2 - 4t +4 = 0 suy ra t=2 hay x=y=2

ii) Nếu x+y = -6 ta có: x+y=-6 và xy= 14 suy ra x,y là nghiệm của phơng trình: t2 + 6t

+14 = 0 vô nghiệm (vì 32-14=-5<0)

Vậy m= 8 thì hệ có nghiệm duy nhất

Tóm lại m = 0 hoặc m = 8 thì hệ có nghiệm duy nhất

Bài 7: Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất: 3 x 6  x ( 3 x)( 6  x) m

1.Đkc: Giả s (1) có nghiệm duy nhất x0 suy ra x=3-x0 cũng là nghiệm, do tính duy nhất nên

x0=3-x0 hay x0=3/2.Thay vào (1) 9 9 6 2 9

2

2 Đkđ: Giả sử 6 2 9

2

m  khi đó (1) có dạng:

6 2 9

2

2

2

6 2 9

2

u v



(u v )2 u2 v2;( ,u v0) u v  3 u v 3 2

3 2

9

2

u v

u v

u v

  

  





 Vậy phơng trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 6 2 9

2

Bài 8: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 



















2 2

2

1 1 1 1 3

a x

x y x

x a y

Viết lại hệ đã cho dới dạng tơng sau:

2

1

y a x







1 Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0) suy ra (-x0,y0) cũng là nghiệm, do tính duy nhất nên x0=-x0 suy ra x0= 0 Thay vào hệ ta có:

0 2

2 0

1

1

3

a

y a

a a

a

y a





 



 





Đó là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

2 Đkđ: i) Nếu a=-1, hệ trở thành:

2

0

1 1

y





 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a=-1

ii) Nếu

3

4

a  hệ có dạng

2

2

4

3

1 9

y x





9 0, 7

Vậy

3

4

a  hệ có nghiệm duy nhất

Tóm lại với a=-1 và

3

4

a  thì hệ có nghiệm duy nhất Bài 9: a) Tìm a,b,c sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất?

x a  x b c ( x0 là nghiệm thì - x0 +a+b cũng là nghiệm)

b) Tìm m sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất?

2 1 1









Giải:1.Đkc: Giả sử phơng trình có nghiệm duy nhất x=x0,ta có

Suy ra a+b-x0 cũng là nghiệm của phơng trình, do tính duy nhất nên ta có: x0=a+b-x0, suy ra

2

b

a

x0   Thay vào (*) ta có a  b  c

Vậy điều kiện cần để (*) có nghiệm duy nhất là: a  b  c

c b x b a a x b a c b x a

2 Điều kiện đủ: Giả sử a  b  c khi đó (*) có dạng:

(**) 0 ) b x )(

a x ( ) b x )(

a x ( b

x

a

x

) b x )(

a x ( 2 ) b x ( ) a x ( b x a x 2 ) b x (

)

a

x

(

) a x ( ) b x ( b x a x b a b

x

a

x

2 2

2 2













































































a) Nếu a  bkhi đó giả sử a<b: (**) axb Vậy (**) (tức là (*)) không có nghiệm duy nhất

b)Nếu a=b, thì (**) ( x a ) 2 0 x a









 suy ra (**) có nghiệm duy nhất

Khi a=b thì c= 0

Tóm lại điều kiện cần và đủ để (*) có nghiệm duy nhất là : a=b và c= 0

b) Xét phơng trình (*) x ( m2)  x ( 1) m1

áp dụng câu a) ta có phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ sau thỏa mãn:

1

m



 Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=-1

Bài 10: Tìm a để hệ

















1

) 1 ( 2 1

2 2

3

2 3

3

xy y ax x

a ay

x

có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều thỏa mãn x + y = 0?

1 Đkc: Giả sử thỏa mãn mọi yêu cầu đề bài và gọi (x0,y0) là một nghiệm bất kì của hệ, ta có:

0

3 0

2

1 ( 1)

( 1) ( 1)

2 1

(2 ) 1 0

1 1

a

a













Vậy điều kiện cần là a= 0;a=1;a=-1.

2 Đkđ: i) Với a= 0 ta có hệ phơng trình :

3 2

, 1

2

, 1

x

x xy









Nghiệm thứ nhất x+y≠0 suy ra a= 0 loại

ii) Với a= 1 ta có hệ phơng trình :

iii) Với a= -1 ta có hệ phơng trình :

Vậy a= -1 và a=1thỏa mãn

Bài 11 Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất

x y a







(1)

Lời giải

Đkc: Giả sử hệ có ngiệm x y0; 0  y0 2;x02 cũng là nghiệm của hệ phơng trình Do đó

hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là: y0= x0 +2 Khi đó hệ (1) có dạng













































1 1 0 ) )(

( 2 1 2

2 2 3 3 2 2 3 3 3

y x y xy x x y x xy y x y x

























   





3 3 3 2 2 3 3 3

2 2 2 1 0

y x x x y xy y x y x

 

2

0

a

a





 



Vậy a  2 6 là điều kiện cần để hẹ có nghiệm duy nhất

Đkđ: Với a  2 6 hệ (1) có dạng





, , 0 1

u v









ta đợc

5 2 6

2

u v

u v

u v

   





1

1

là ngiệm duy nhất

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi a  2 6

Cách giải khác

Điều kiện: 1 0 1



, viết lại hệ dới dạng







, , 0 1

u v









 

2 2

1

u v a

  







Cách 1 ( phơng pháp đồ thị)

Gọi S1, S2 lần lợt là tập nghiệm của (1) và (2)

S1 là tập các điểm trên đờng thẳng (d): u + v – a = 0

S2 là tập các điểm trên đờng tròn (C) tâm O bán kính R 2a1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (d) tiếp xúc với đờng tròn (C) trong cung phần t thứ nhất  a 4a2  a 2 6

Cách 2 ( chuyển về hệ đại số )

2

2

u v a

u v a

 



 





,

u v

 là nghiệm phơng trình 2 1 2 2 1 0 3 

2

t  at a  a 

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phơng trình (3) có nghiệm kép không âm

a



Bài 12: Tìm a để hệ bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất:  

























a x y x

y x

a y x y x y

2 3 2

2 2

(I) Lời giải (I) 



























) 2 ( 0 3

2

) 1 ( 0 3

2

2 2 2 2

a y x xy y

x

a y x xy y

x

1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất (x0;y0) suy ra (- x0;y0) cũng là nghiệm Do tính duy nhất suy ra x0 = - x0 hay x0 = 0

Thay vào hệ đã cho ta có bất phơng trình : 2 3 0 0 (*)

0  y a

Vì hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất ,suy ra (*) có nghiệm duy nhất

4

9 0

4





2) Điều kiện đủ: Khi

4

9



a thì (1)(2)

2 3 , 0 0 2 3

0 4 9 3 0

4 9 3 2

0 4 9 3 2

2 2

2 2 2

2

2 2























































y x y

x

y y x y

x xy y x

y x xy y x

x = 0,y =3/2 thỏa mãn hệ đã cho.Vậy với

4

9



a hệ có nghiệm duy nhất

Bài 13: Cho hệ phơng trình :   













a y x

a y

x

2 2 2 2

) 1 (

1

Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất?

HD: 1 Đkc: Giả sử hệ có nhiệm duy nhất ( x0; y0), suy ra (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ

Do tính duy nhất nên x0=y0 Mặt khác x0 là nghiệm của bất phơng trình :

 1 2 2 2 0 1 0

0

2 0

2

0  x  a x  x   a

(3) cần phải có nghiệm duy nhất , suy ra

2

1 0

1 2 0 '













2 Đkđ: Khi

2

1



a thì hệ có dạng

 

 

2 2

2

2 2

1 1

1 ( 1)

2









Vậy với

2

1



a thì hệ có nghiệm duy nhất

Nếu thấy hữu ớch cho một chấm nhộ!