DAYHOCTOAN VN FULL lý THUYẾT và CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM TOÁN 90 TRANG

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K... + Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá

I CÔNG THỨC TÍNH NHANH THUONG GAP CUA THE TICH KHOI CHOP|

SABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a3 Thể tích khối chóp là:

SABC có cạnh đáy bằng

a, góc giữa mặt bên và

mặt đáy bằng a

Khi đó: $ ABC ”

=< Re g R Cho hình chóp đều s.4BC có cạnh đáy bằng

2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60° Thể tích khối chóp là:

góc giữa cạnh bên với

mat day bang a

A Chohinh chop déu S.ABC co bén bang a va

góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng 60 Thể tích khối chóp là:

Chohình chóp đều s.asCD có cạnh đáy

bằng z2, góc giữa mặt bên và mặt đáy

Cho hình chop déu S.ABCD có cạnh bên

bằng a3, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45° Thể tích khối chóp là:

Chohinh chop déu

Vs ase = — Cho hình chóp S.4EC có ba mat phang

(SAB), (SAC), (SBC) đôi một vuông góc và

diện tích củ giác SAB,SBC,SCA lần lượt là ma: Và 12em° Thểtích khối chóp là „

KO Cho hinh chop s.ABC cO SA,SB,SC đôi một

vudng goc Biét SA=5, SB=4 Va SC=3

Cho hình chóp S.4BC có SA,SE,SC đôi một vuông góc

Biết AB= a,BC =b,CA=c

vuông góc Biếi ABø=.v/5,BC=13 và

AC = A10 Thể tích khối chop la:

mg,

II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CÂU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP

1 Phương pháp chung

Bước 1: Xác định tâm của đa siác đáu:

- Tam giác đều: Giao của 3 đường trung tuyén

- Tam giác 0uuông: trung điểm của cạnh huyén

- tam giác thường: siao của 3 đường trung trực (ít gặp)

- Hình ouông, hình chữ nhật: siao điểm 2 đường chéo

Bước 2: Kẻ (ả) qua tâm 0à uông sóc voi day (truc cua diy)

Bước 3: Trong mặt phẳng chứa cạnh bên 0à trục (d) Kẻ trung trực (A) của cạnh bên, (A) cắt (4) ở I thì I là tâm

cua mit cau

2 Cac mo hinh thuong gap

M6 hinh 2: _ co SA1( ABC), t

+) Ưu tiên tính R= AI +) Công thức: Af = AN? + AH?

Mô hình 3: Hình chop S.AB

giác ABC vuông tại A

tích hình viên phân: Si»

+) oC) h quat tron: Si

Ấ

=4zR?

TC

+) Diện tích mặt cầu: S +) Diện tích chỏm câu chiều cao ï: S_ =2zRh= z(r?+l? xe

+) Thể tích khối cầu: V„ =SzRŸ

Ill MAT CAU NGOAI TIEP HINH HOP CHU NHAT - HINH LAP PHUONG

+) Mat cau (S) mgoại tp hình hộp chữ nhật

- Tâm I là trung điểm cha AC'

ẠC' 1

- Ban kính R= “— ae +be +c 2 +) Đặc biệt: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phuong canh a:

B c +) Mat cầu (S) tâm 1 bán kính R, nội tiếp hình lập phương

ABCD.A'B'C'D' canh a

- Tâm 1 là trưng điểm của AC" (Hoặc lấy trưng điểm của

đoạn thẳng nổi tâm của 2 mặt đối điện)

+) Thiết điện qua trục là tam giác ABC cân tại A va S„„ =Rh

+) Thiết diện qua đình không chứ trục là tam giác cân SCD., thiêt điện cắt

đầu theo dây cưng CD ta có

- Góc giữa thiệt điện va diy: (ACD,BCD) = AHO

4 Mặt cầu (S) tâm I bán kính R, ngoại tiếp hình nón bán kính r đường

2 2

cao hh R="

+) Trong cic khéi nén néi tiép mit ciu (S) tim I, ban kính không đôi R

Khối nón có thể tích lớn nhât khi h=SRz~ 2n Khi đó V„ = SR

5 Mat cfu (S) tam I, bán kính r nội tiếp trong mặt nón (N) ban kinh

R, đường cao h, duong sinh 1 Ta co:

+) Dung tim I:

- Qua E kẻ đường thẳng 0uông sóc uới AC 0à cẮt AO tại I thi I

mặt cầu nội tiếp mặt nón (N }

+) Thiết điện uuông sóc uới i tron ban kinh R

+) Thiét điện chứa trục là hà it ABCD diện tich § = 2Rh

+) Thiét dién song song là hình chữ nhật AEFID có khoảng cách

giữa trục 0à thiệt điện là d O',AEFD) =O

+) A,B Tân lượt là các điểm trên các đường tròn đáu của hình trụ ta có:

- Góc giữa AB oà trục OO': (AB,OO')= A'AB

- Khoing cach gitta AB va OO': d( AB,OO')=O'H

+) Alặt cầu ngoai tiếp khối trụ có bán kính đáu r uà đường cao h có:

+) Thể tích khối cầu: V, = sak

Chom cau

TOM TAT LY THUYẾT VÀ GIẢI NHANH TOÁN 13

PHAN 1 HAM SO

SU DONG BIEN NGHICH BIEN CUA HAM SO

1 Dinh nghia

Vø.,œ, € J{,z, <#, ( K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

f(z ) < f(a #,) >y= f(a) đồng biến trên K đồ thị đi lên từ trái sang phải

f(«,) > f(«,) = w= ƒ(+)nghịch biến trên K đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Chú ý: + Nếu ƒ'(z) >0, Vz € (a:b) > hàm số ƒ(z) đồng biến trên khoảng (a:ð)

+Nếu ƒ'{x)<0, Vxe(a;b)=> hàm số ƒ(+) nghịch biến trên khoảng (a:9) +Néu f'(x)=0, Vee (a:b) > ham sé f(x) khéng déi Ses (a:b)

+ Néu f(x ) dong bién trén khoảng ( a ‘b) => ƒ'{z

+ Nếu ƒ(z) nghịch biến trên khoảng (a:b} la TP 0,Vz e(ø: im

2 Quy tac va céng thite tinh nal vì \

Quy tac tinh dao ham: Cho u = u( )- Á2" hằng số

Tổng, hiệu: (u+v) =u'tv' C)

Tich: (uv ) =ulvt+vu=( (Cu) +;@

Thương: l5)" ưu t1 (vo) (2] S#

(] =—=(z>9) 2x (vu) = (u>) 2Nu

(sinz) =CO8 £ (sin u) = tử COS tt (cosz) =-ESln2 (cost) = -ùu SInu

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

le os eee

(=) - ad—be (==) _l 3 af |e 7

Dao ham cap 2:

© Néuhatsé f(z) va g(x) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên

K thì hàm số f(x) (2) cing déng bién (nghịch biến) trên K Tính chất này có thể

không đúng khi các hàm số ƒ(z),ø(z) không là các hàm số dương trên K

*_ Chohàm số ư = u(z), xác định với ø e (a.ð) và u(x) € (cd) Ham sé f[u(x)]

cũng xác định với z € (a 8)

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm trên

+ Nếu ƒ!{2)>0 với mọi z e WÝ và ƒ'(e) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xeK thi

hàm số ƒ đồng biến trên K

+ Nếu #%) <0 véi moi ce K và J'(z) = 0 chi tai mét sé hitu han diém we K

thì hàm số f nghich bién trén 7€

Chú ý:

* Đối với hàm phân thức hữu tỉ y= — (: 4 -) thì đấu "=" khi xét dấu đạo

hàm ÿ' không xảy ra

Giả sử y = f(x) = a#) + bạ + en + d => Ƒ (+) = Bax" + 2b +e

* Với dạng toán tìm tham số m đổ hàm số bậc ba đơn điệu Ìuột chiều trên khoảng có độ

dài bằng L ta giải như sau:

Giả sử hàm số ƒ ¥éc dinh trén tap K va a, € K

+ x, là điểm cực tiểu của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoang (a;b) chita x, sao cho

(a;b)=Kvà ƒ(z) > ƒ(s,).vz <(að)` {s,}-

Khi đó ƒ(x,) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

+2, là điểm cực đại của hàm số ƒ nếu tổn tại một khoảng (a:b} chứa 2, sao cho

(a:b) cK va ƒ(z) < ƒ(z,).vz (œ5) {z,}-

Khi đó ƒ(z,) được gọi là giá trị cực đại của hàm số ƒ

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm

cực trị phải là một điểm trong tập hgp K

* Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn

dài bằng l ta giải như sau:

Khi d6 f(x,) duce goi la gia tri cue tiéu cua ham sdf

+a, la diém eve đại của hàm số ƒ nếu tôn tại một khoảng (a:b) chứa #„ sao cho

(a;b) =Kvà f(z) < ƒf(>,).Yz E (a:b) \ {x}

Khi đó ƒ(z;) được gọi là giá trị eye đại của ham sé f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khôrtg có đạo hàm

+_ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm số bằng 0

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực tri

Định lí 2: Giả sử hàm số ƒ đạt cực trị tại điểm , Khi đó, n

điểm z, thì ƒ'(x,)=0 Nếu f'(z) > 0 trên khoảng (

(z;:z, + h) thì z„ là một điểm cực đại của ham ey

+ Nếu f'(x xr) <0 es đụ —

àm số ƒ có đạo hàm tại ) và f'(z) < 0 trên khoảng

> 0 trên khoảng (x;;x, +h) thi

x, la mot điểm cực tiểu của hàm số Ồ

Định lí 3: Giả sử y = f(a) có dao ham cap 2 trong khoang (2, — h;#a + h) với h > 0

+ Néu f'(a,)=0, f"(x,) <0 thiham sé f dat cuc dai tai 2,

+ Néu f'(x,)=0, f"(#,)>0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại z,

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

+ Bước 1: Tìm tập xác định Tìm ƒ'(z)

+ Bước 2: Tìm các nghiệm #, (: = 1;2 ) của phương trình ƒƑ (z) =0

+ Bước 3: Tính f" (x) va tinh f"(z,)

* Néu {z,) <0 thì hàm số ƒ đạt cực đại tại điểm Œ

* Nếu f"(z,) > 0 thì hàm số ƒ đạt cực tiểu tại điểm X,

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ

I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA:

1, Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán tổng quat: Cho hàm số = f(a: m) = a# + b#” + cœ + d Tìm tham số m để hàm

số có cực đại, cực tiểu tại ,, thỏa mãn điều kiện /( cho trước

Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

© ' = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿ đổi dấu qua 2 nghiệm đó

«© phương trình ¿ = Ö có hai nghiệm phân biệt

A, = -4AC=4b — 12ac > 0Ö bˆ — 3ac > 0Ö

+ Bước ở: Gọi z,,z, là hai nghiệm của phương trình '# °

Cho 2 diém A(a,:y, B(z;:„) và đường thăng A: az + b+ e= 0

Nếu (az, + by, + c) (ar, + by, + c) <0 thi hai điểm 4, B nam vé

hai phía so vơi đương thăng A

Nếu (az, + by, + c) (ax, + by, + c) > 0 thihaidiém A, B nam cung

phia so véi dudng thang A

Một số trương hơp đặc biệt:

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Qy

© hàm số có 9 cực trị cùng dấu

© phương trình z = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

<©> hàm số có 9 cực trị trái dấu

<© phương trình # = 0 có hai nghiệm trái dấu

+ Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox

© phương trình ¿ = 0 có hai nghiệm phân biệt và ¿,„.„„ > Ö

Yoo Yor > 0

© phương trình ¿ = 0 có hai nghiệm phân biệt va

+„ <0

Yoo + Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

© phương trình ¿ = 0 có hai nghiệm phân biệt và ÿ,„ „ < Ö

(áp dụng khi không nhầm duoc nghiêm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị của đồ thị hàm sé)

Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox ~~

đồ thị cắt trục Ox tai 3 diém phan biét ¬

<©> phương trình hoành độ giao điểm ƒ (z) =0 co 34nghiêT phân biệt (áp dụng khi

3 Phương trình đường thẳng qua các điểm cực tÑ`Đ

a<0 + Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại <> mm

a>0O + Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại <> ' 0°

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH

Tam giác 4Œ đều

Tam giác 48Œ có diện tích §,.„ = 5,

b> = 6ac

b + Sa — 4ae = 0 Tam giác 4Œ cùnế điểm Ó tạo thành hình thoi b? = 2ae

Trục hoành chia tam giác 48Œ thành

4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9

Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(C) -U= a#” + bz”+c va trục hoành có diện tích b> = ac

phần trên và phan dưới bằng nhau

Phương trình đường tròn ngoại tiếp A4BC: z° +” — 2 — » + c + 2 — m =0

* Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực fc tiế

+ Buéc 1: Tinh f'(x) và tìm các điểm ®,,, ,®, € D ma ai) +) = 0 hoặc hàm số

+ Buéc 2: Lap bang biến thiên và rồi suy ra giá trị ee: trị nhỏ nhất của hàm số

* Tim GTLN, GTNN cua hàm số trên một “2

+ Buécl:

* Hàm số đã cho 1 = f(a) } xác định và liê ‘ew “ bÌ

* Tìm các điểm ®,2,, ,, trên SG , tai dé f'(z = 0 hoặc f'(z)

* Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm # € (a;b) của phương trình

ƒŒ) = 0 và tất cả các điểm a € (a;b) làm cho ƒf(z) không xác định

* Bước 3 Tính A = lim ƒ(z), B= lim f(x), f(z), fla)

* Bước 4 So sánh các giá trị tính được và kết luận ă = max f(x), m= minf(z)

DUONG TIEM CAN CUA DO THI HAM SO

1 Đường tiệm cận ngang

Cho hàm số = ƒ(z) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a:+œ).(—œ:ð) hoặc (—œ;+œ}) Đường thẳng ÿ = „ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = ƒ(z) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

lim ƒ(2) = yp, lim f(x) = ,

se - Tìm các đường tiệm cận của hàm số (nếu cô)

e Lap bang bién thiên

* D6 thi

e Liét ké các điểm đặc biệt ( điểm cực đại, điểm cực tiểu, tâm đối xứng, )

e« Xác định giao điểm của (C) với Ox, Óy (nếu cô)

e Vé dé thi

Thầy Hoàng Hải-0966405831

2 KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC:

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phai Oy của đồ thị (C): y = f(z)

+ Bỏ phần đồ thị bên trái Óy của ( C ) , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy

+ Bỏ phần đồ thị của (Œ} bên trái

Oy, giữ nguyên (C) bên phải Oy + (c):v= lel — 3a

(Ons) 2s wins ẹ — 3|zj Biến đổ édusedd = | /đ NT ¬ Z

+ Giữ nguyén (C) voi x2 1 + Bỏ phần đồ thị của (C) với ø < 1,

+ Bỏ (C) với z < 1 Lấy đối xứng phân

giữ nguyên ( (C) với x>1

suy đồ thị nên lấy đối xứng các dÍê lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực

biệt của (C): giao điểm với Ox, Ì ~ | hiện phép suy đồ thị một cách tương đối

chính xác

Trong d6: Diém M,(a,;y,) € (C) được gọi là tiếp điểm ( với t, = ƒ (z, ))

5 Yo) € (C) có dạng: |ự = v'(=¿)(e— zạ)}+ Yo|-

Cho ham sé y = f(x) có dé thi (C,) va y = g(x) có đồ thị (C,) X `:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C,) va (C,) Xx; O

la f(x) = g(a) (1) Khi đó:

+ Số giao điểm của (C,) và (Œ,) bằng với số nghiệm

của phương trinh (1)

+ Nghiệm z, của phương trình (1] chính là

hoành độ z, của giao điểm

+ Để tính tung độ , của giao điểm, ta thay hoành độ z,„ vào

y= f(z) hoac y= g(z)

+ Điểm Ä⁄(xạ; vụ ) là giao điểm của (Œ,) và (Œ,)

ĐIÊM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Œ ) có phương trình ¿ = ƒ(z,zn), trong đó à hàm đa thức theo biến z với m là tham số sao cho bậc của m không quá 9 Tìm những 'điểm cố định thuộc họ

đường cong khi ?n thay đổi?

+ Bước 1: Đưa phương trình 1= ƒ(x,?n) về dạng ph nh

theo ẩn m có dạng sau: 4zn+ B =0 hoặc Am” + B >0

+ Bước 3: Cho các hệ số bằng 0, ta thu tý bồy ương trình và giải hệ phương trình:

udng cong (C ) không có điểm cố định

- Nếu hệ có nghiện thì ghiệm đó là điểm cố định của (€, )

2 Bài toán tìm điể Ó tọa độ nguyên:

Cho đường gong (Ế) có phương trình y = ƒ(z) (hàm phân thức) Hãy tìm những điểm

có tọa độ nen gn cong?

Những điểm Šó tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên

* Phương pháp giải:

+ Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

+ Bước 2: Lập luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong (C) có phương trình = f(r) Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho dé thj (C): y = Ax® + Ba’ + Or + D trên đồ thị (C)_ tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua diémI(z,,y,)

* Phương pháp giải:

+ Gọi M(a,Aa’ + Ba? + Ca + DỊ Nb.Ab? + Bb? + Cb + D) là hai điểm trên (Œ} đối

xứng nhau qua điểm ï

ke a+b=2z,

SS |Al@? +6) + B(a? +0) +C(a+b)+2D = 2,

Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toa độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C): y= Ax’ + Bx’ +Oxr+D Trén dé thj (C) tim

những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

* Phương pháp giải:

+ Goi M(a,Aa’ + Ba + Ca + D).N(b,AbŸ + Bb” + Cb + D) là hai điểm trên (C)

đối xứng nhau qua gốc tọa độ

c|a+b=0 + Ta có A(aỀ + bŠ) + B(a? + b°)+ CÍa + ð)+ 2D =0 `

+ Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toa wile M

Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y= Az’ + Ba’ + Cx + D trên to aie im những cặp điểm

đối xứng nhau qua đường thẳng đ: t = Az+B

+ Cho hai điểm A(z,:y mà = AB= Í(s, —2,) +(¥,-¥, )

Cho điểm M(z, "è udng thang d: Ax+By+C=0, thi khoang cach từ ă đến đ là

tiếp tuyến tại M cắt TCĐ, TƠN ỏ A và B thì M là trung

điểm của AB

Bài toán 1: Cho hàm số ụ = “S >” (cz 0 ad— be z 0) eó đồ thị (C) Hãy tìm trên (C) cx+d

hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

* Phương pháp giải:

+ (C ) có tiệm cận ding x = —— do tinh chat cua ham phân thức, đồ thị năm về hai phía

e của tiệm cận đứng Nên gọi hai số ø./ là hai số dương

d d

+ Nếu 4 thuộc nhánh trái: z, <-> & Ho aS; y, = f(z,)

+ ếu Ö thuộc nhánh phải: #g >—— =2 8p =— + />——; 9 = f(y)

- Sau d6 tinh: AB’ = (x, — z,) + (0; — y,) = l(a + 8)- (a — z)Ï + (0; — y,) -

+ Áp dung bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm \\

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

* Phương pháp giải:

+ Goi M(z;y)va téng khoảng cách từ A{ đến hai trục tọa độ là đ thì đ = lxị + ly

+ Xét các khoảng cách từ Ä/ đến hai trục tọa độ khi ă nằm ở các vị trí đặc biệt:

Trên trục hoành, trên trục tung

+ Sau đó xét tổng quát, những điểm Ä/ có hoành độ, hoặc độ lớn hơn hoành độ

hoặc tung độ của ă khi nằm trên hai trục thì loại đi k ót đến

+ Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhấ€eủa đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của đ

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình = m điểm \M trên (C) sao cho

khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng “ey én trucOy

=>

Theo dau bài ta có | = kl S

=ƒ@)== ax+b (c z 0, ad — aot toa dé diém M trén (C) sao cho dé dai MI ngan

nhat (véi I he giao diém

+ Goi M(z,,/:y,,) là điểm cần tìm Khi đó: IM? = (sy + ‘) + G — :] = ø(#y) wy; MS MS

+ Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số ø để thu được kết quả

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = ƒ(z) và đường thang

d: Az+ Bụ+ =0 Tìm điểm T trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất

PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT

LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

1 KHÁI NIỆM LŨY THỪA

+ Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho ?+ là một số nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc ø của a là tích của ? thừa số a

a” =aa a(n thiia số)

Với a £ 0

=n

a =] a" =

Ta gọi a là cơ số, là mũ số Và chú ý 0° và 0” không có `

+ Một số tính chất của lũy thừa

e Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có 3À

a® -a® =a": “=a a**- (a*)’ =a** - (ab)* -Sà:

J0 yOỲ

e Nếu ø >1 thì a“ > aỂ B)

Nếu 0O < a <1 thì a“ > aÊ © ế<

e Với mọi Ö < a < b, ta có: m>0; a” >b”<>m <0

e Chú ý:

+ Các tính chất trê

+ Khi xét lũy thừa

+ Khi xét lũy thừa với

+ Với b<0, phương trình vô nghiệm

+ Với b =0, phương trình có một nghiệm z = 0

+ Với b > 0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là ub ,con giá trị âm là —Ñb

ũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 ng trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

ố mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

Một số tính chất của căn bậc n

Với a be ϧ:ne Ñ”, ta có:

fab = *fal - 3Íb|, ab > 0: fab = Ya 2b, Vad -

vf — Mel a> bel 0,0 203 _¬".` Va,Vbz 0: bf

+ tha” = (va) Va >0, nguyên dương, ?m nguyên

‘ dựa = "la Va >0, n,mnguyén dương

+ Nếu P=4 mì Va? = da? Va > 0.m,nnguyén dudng p,q nguyén

Tập xác định của hàm số lũy thừa # = z” tùy thuộc vào gi

s® Với œ nguyên dương, tập xác định là R

e Với œ nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là

® Với œ không nguyên, tập xác định (0; +0

+ Khao sat hàm số lũy thừa

+ Tập xác định của hàm số lũy thừa 4ý = Ề“ luôn chứa khoảng (0;+œ)

khảo sát hàm số = z” trên khoảng này

1 Tap xac dinh: (0:+=)

y'=a.a*" > c* 0 ụ'=œz“'<0 Vz>»0

Giới hạn đặc biệt: 1ới hạn đặc biệt:

lim a* =0, lim a = lim a* = +0, lim a” = 0

Ox la tiém cận ngang Ox la tiệm cận ngang

3 Bảng biến thiên 3 Bảng biến thiên

LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1 KHÁI NIỆM -TÍNH CHẤT VÀ QUY TẮT TÍNH LOGARIT

+ Khái niệm Logarit

Cho hai số dương a,b với a#1 Số œ thỏa mãn đẳng thức a“ = b được gọi là logarit cơ số

a cua b và được kí hiệu là log ở

a=log b<a*=b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp:

(aŸ | ¢ log ,a=—0<a#1)

e Nếu b <0, tập nghiệm của bất phương trình là R,vi a >bVreR

e Nếu b >0 thì bất phương trình tương duong véi a* > a”

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là z > log, ở

Với Ö < a < 1, nghiệm của bất phương trình là z < log, ở.

‘Ta minh hoa bang dé thi sau:

+ Bất phương trình logarit cơ

Bất phương trình logarit cơ bản c‹

y=log,b (>1)

x

BAI TOAN LAI SUAT NGAN HANG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn

kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø+ kì hạn ( œ e Ñ * ) là:

Ss = A+nAr = A(1+nr)

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn dé

tính lãi cho kì hạn sau

a) Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau ø kì hạn ( nœ € Ñ * ) là:

=] , S

nal

: [s S,=A(1+r) —> r% = ([ 2 —1 °

4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

a) Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất rz%/tháng Mỗi tháng vào

ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau ø tháng là bao

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là 4 đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một

tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng ø tháng

a) Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau ø tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

(t+r) -1

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là anh Cứ sau n

tất cả là bao nhiêu tiền?

Gửi vào ngân hàng 4 đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau

n năm (n — N’) là: 9 = AÍI a ry Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính

Khi tăng số ki han của mỗi năm lén vé cuc, ttic lA m — + , goi lA hinh thtic 1ai kép tién

tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

S = Ac””| ( công thức tăng trưởng mũ)

PHAN III

NGUYEN HAM - TiCH PHAN - UNG DUNG TiCH PHAN

I NGUYEN HAM

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên W (W là khoảng, đoạn hay nửa khoảng)

Hàm số Ƒ(z) được gọi là nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên nếu #'(z)= ƒ(z) với mọi

œc Kế K(hiệu: J7(x)# =F(z)+@

Định lí:

1) Nếu #(z) là một nguyên hàm cia f(x) trén #Z thì với mỗi hằng số Ở, hàm số

G(z) = F(z)+ Ơ cũng là một nguyên hàm của f(z) trén K

2) Nếu Ƒ(z) là một nguyên hàm của hàm số ƒ(z) trên /“ thì mọi nguyên hàm của

f(z) trên đều có dạng Ƒ(z) + Ơ, với Ở là một hằng số

Do đó #(z) + Œ,C ÌR là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên ý

2 Tính chất của "" hàm

*([Z(s)£e} =/(s) và [7'(e)a= ae +: 4([/Ie]dx) = /(z)a<

« Nếu F() có đạo hàm thì: ƒ4( ả(F@)) = Fay£®

Jef (2) de = kl f(x) dx với È là 3V 0

* [[7(z)*+ 9(2) Jae = [7(z)+ # Jo(e)ae

iến số: Chế =Àƒ(u} và w = ø(+) Nếu Ĩ ƒÁ(œ)dz = F(œ)+ Ơ thì ỉ gl) g'(w)dx = J f(u)du = F(u)+C

3 Su tén tai cua nguyémham

12 | L dư = tanz# + Œ 25 ÍSGaaj an (e +8)+€

14 [(1+ tan’ c)dz = tane +0 27 [(1+ tan’ (a +0) = “ tan(az + b) +

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

a Đổi biến dạng 1:

Nếu : [Zœ) = F(z) + và với u = ø{£)là hàm số có đạo hàm thì : | fwd = F(u)+C

PHUONG PHAP CHUNG

e Buéc 1: Chon z= g(t) , trong đó g(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp

¢ Bude 2: Lay vi phan hai vế: đœ = g'(t) dt

° Bước 8: Biến đổi: f(x)dx = f| p(t) |p'(t) dt = 9(t) at

a +2" © = r= lal tant ; voi te [2 2) os x = |a| cott véi te (0:7)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

* Bước 1: Chọn t= g(a) Trong dé g(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp

Bước 2: Tính vi phân hai vế : đý = ø'(£) dt

2 NGUYÊN HAM TUNG PHAN ( j

uc trén K:

(x) u(x) — J (œ) w\(a)de

Hay [udu = ww - [udu ( véi (x) de, dy =v («)de )

| uoe PHAP CHUNG

* Nhận xét: Tích phân của hàm số ƒ từ A thể kí hiệu bởi | f(x)dx hay } f(t)dt Tich

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các 3% mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

2 Tinh chat cua tích phân

Gia su cho hai ham sé f(x) vag TliêY tục trên K, a,b,e là ba số bất kỳ thuộc K Khi đó ta có :