PT HPT THI VAO 10 2017 2018 lê minh cường phạm quốc sang

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= {2... Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =5... • Với y= x+2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được Vậy hệ có nghiệmx; y = 2; 4 Ch

by Mr Cuong

T A o M

by Mr Cuong

The ART of MATHEMATICS

TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - TUYỂN SINH LỚP 10, năm 2017-2018

Biên soạn: Lê Minh Cường và Phạm Quốc Sang

§Phương trình vô tỷ

Bài 1 Giải phương trình 2(x2−3x+2) =3√x3+8.

Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Vĩnh Long, 2017.

Lời giải.Điều kiện: x ≥ −2.

do t ≥0⇒t= 1

2Với t= 1

Bài 2 Giải phương trình x2−√x3+x =6x−1.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Tiền Giang, 2017.

Lời giải. Điều kiện xác định: x≥3+2√2 hoặc 0≤x ≤3−2√2.

x2−px3+x=6x−1⇔ x2+1−qx(x2+1) −6x =0Đặt a=√

by Mr Cuong

T A o M

Với b =3a⇔√x2+1=3√x ⇔x2−9x+1=0⇔x = 9±√77

2 (nhận).Kết luận: tập nghiệm của phương trình là

(

9±√772

)

Bài 3 Giải phương trình√5x−x2+2x2−10x+6=0.

Trích từ đề thi vào 10, SoGiaoDucHaNoi-ChuyenTin, 2017.

Lời giải.Điều kiện: 0 ≤x ≤5 Phương trình đã cho tương đương:

"

x=1(thỏa)

x=4(thỏa).Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S ={1; 4}

Bài 4 Giải phương trình: x4+3x2− 1

Bài 5 Giải phương trình(x−1) (x+2) +2√x2+x+1=0.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi, 2017.

Lời giải.Do x2+x+1=



x+12

2

+3

4 >0 Ta có:

(x−1) (x+2) +2px2+x+1=0⇔x2+x+1+2px2+x+1−3=0 (1)Đặt t =√

x2+x+1, t>0 Thay vào(1), ta được: t2+2t−3=0⇔

Bài 6 Giải phương trình x3−x2−x√x−1−2=0.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh, 2017.

Với t=2⇒ x√x−1=2⇔ x3−x2 =4⇔ (x−2)(x2+x+2) =0⇔ x=2

Bài 7 Giải phương trình: x2−3x+1 = −

√

33

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017.

Lời giải. Điều kiện x ≥1.

Đặt u =√

x+4 >0 và v=√

x−1≥0 Khi đó phương trình trở thành(

(u−v)(uv+1) =5 (1)

Thay(2)vào (1)với chú ý u > vta được uv+1 = u+vhay u = 1 hoặc v = 1 Tuy nhiên từ

(2), ta thấy u2 >5>1 nên v=1 Thay vào(2)ta được u =√

6 Do đó ta có(√

x+4=√

6

√

x−1=1 ⇔x =2.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S= {2

Bài 9 Giải phương trình 3x√x2+x+1=3x2+x+1

Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017.

by Mr Cuong

T A o M Lời giải.

2+x, ta được phương trình theo t: t2−2t+1=0⇒t=1

Đối chiếu điều kiện thấy t =1 thỏa mãn, do đó t =1 ⇔x = −1

Bài 11 Giải phương trìnhp(x+1)4+3=x2+2x+2.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu Vòng 1, 2017.

Lời giải. Dễ thấy x2+2x+2= (x+1)2+1>0 với mọi số thực x Bình phương hai vế củaphương trình, ta có:

Bài 12 Giải phương trình(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24

Trích từ đề thi vào Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, 2017.

Lời giải.Phương trình tương đương với

(x2+5x+4)(x2+5x+6) = 24

Đặt t =x2+5x+4, ta có phương trình

t(t+2) = 24⇔t2+2t−24=0

Giải phương trình này ta được các nghiệm t = −6, t =4

Với t=4 ta được x =0, x = −5 Với t = −6 ta thấy phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là x =0, x = −5

Bài 13 Giải phương trình: 2(x+1)√

(

u2+v2 =22u3 = (u+v)(u2+v2−uv)

4t2+12t+9=3x+14x2+5+2t+3=13x ⇔

(4t2+12t−3x+8=0(1)

4x2−13x+2t+8=0(2).Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được

x = 11−√73

8 (loại)Vậy x ∈

)

Bài 15 Giải phương trình√6x−x2+2x2−12x+15=0.

Trích từ đề thi vào chuyên 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2017.

Vậy phương trình có nghiệm x =3

by Mr Cuong

T A o M

Bài 16 Giải phương trình: 3x+7√x−4=14√x+4−20

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, 2017.

Lời giải. Xét phương trình 3x+7√x−4=14√x+4−20.

Với điều kiện xác định x ≥4, phương trình tương đương với:

⇔x =5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =5

Bài 17 Giải phương trình x2+3x+7−3√x+3−√7x+18=0

Trích từ đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hưng Yên, 2017.

Lời giải.Điều kiện 1−2x

0;12



Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017.

Lời giải.Điều kiện:

x+5 ≥0 ⇔ x≥ −

3

2.Phương trình đã cho tương đương với

Với√x+5=x−1 ⇔( x−1≥0

x+5= (x−1)2 ⇔( x ≥1

x2−3x−4=0 ⇔x =4.

Vậy nghiệm của phương trình là x =3, x =4

Bài 20 Giải phương trình √x+5−√x+1
√

x2+6x+5+1=4.

Trích từ đề Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2017.

Lời giải. Điều kiện xác định: x≥ −1 Nhân hai vế với√x+5+√

x+1>0 ta được:p

x2+6x+5+1=√

x+5+√

x+1⇔√x+5−1 √x+1−1=0

Lời giải.Điều kiện x ≥ −1

2 Khi đó ta có4x2 = (3x−2)√

Bài 22 Giải phương trình: x+2√7−x=2√x−1+√

−x2+8x−7+1.

Trích từ đề thi vào 10 Chuyên, Sở giáo dục Bình Phước, 2017.

Lời giải. Điều kiện 1≤x ≤7

x2+2x =x−1.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Đắk Lắk, 2017.

Lời giải. Điều kiện: x≥ −2

Bài 26 Giải phương trình√2x+1−√x−3 =2.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Toán Hùng Vương Phú Thọ, 2017.

Lời giải. Điều kiện: x≥3, ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm x= −1

Bài 29 Giải phương trình: x2−6x+5
√x−2−x+4
=0.

Trích từ đề thi vào 10, Trường THPT Năng Khiếu V1, 2017.

Lời giải. Điều kiện xác định x ≥2

Bài 30 Giải phương trình√x+1−√x−7 =√

12−x.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm 2017.

Lời giải. Điều kiện của phương trình là 7 ≤x ≤12 Với điều kiện đó, phương trình tươngđương

x=8

Thử lại, ta được tập nghiệm của phương trình là S= 44

5 ; 8



Bài 31 Giải phương trình(x+1)3 = (x4+3x3)√

x+3.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng, 2017.

Lời giải. Điều kiện x ≥ −3

4y2x =x2+3(2).Trừ hai phương trình cho nhau ta có:

4x3 =x2+3⇔4x3−x2−3 =0 ⇔ (x−1)(4x2+3x+3) =0

Vì 4x2+3x+3=

2x+34

Bài 33 Giải hệ phương trình:

Với y=0⇒ x=0 : không thỏa mãn hệ

Với y6= 0, chia cả hai vế cho y3ta được x

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017.

Lời giải. Điều kiện x ≤6; y≥3 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

(x−2)(x+2−y) =0⇔

"

x =2

y =x+2

• Với x =2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được 1=p(y−3)3⇔y =4

• Với y= x+2, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Vậy hệ có nghiệm(x; y) = (2; 4)

Chú ý: Có thể trình bày lời giải phương trình trên bằng cách phân tích thành tổng của các bình phương.

Bài 38 Giải hệ phương trình

(

xy+x+y =x2−2y2xp2y−y√x−1=2(x−y).

Trích từ đề thi vào 10 chuyên Hùng Vương, Gia Lai, 2017.

Lời giải. Điều kiện x ≥ 1, y ≥0 Ta có:

Kết hợp với điều kiện x ≥1, y≥0, ta được nghiệm của hệ phương trình là(x; y)=(5; 2)

Bài 39 Giải hệ phương trình

by Mr Cuong

T A o M

Xét x = −1 thay vào phương trình còn lại ta thu được y=10

Xét x=2y thay vào phương trình còn lại ta thu được 4y2+5y−9=0 ⇔



−9

2;−

94



Bài 40 Giải hệ phương trình

2y2−y+1−3

q2y2−y+1−4 =0

y=3⇒x =7Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm 3

2;−

52

Bài 43 Giải hệ phương trình sau:

x−y =3

x2+1= −y2+xy−4y

x= −2

y = −5

Vậy nghiệm của hệ là(1;−2);(−2;−5)

Bài 44 Giải hệ phương trình

√

x−1+p2−y=1

.

Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017.

Lời giải. Điều kiện: x≥1, y≤2, y6=0 Phương trình đầu tương đương với

x2y+2y=2y2+x ⇔ (x−2y)(xy−1) =0⇔

(

x−2y=0

xy−1=0.Với x =2y, thay vào phương trình còn lại ta được

p2y−1+p2−y=1⇔2p(2y−1)(2−y) = −y(Vô nghiệm)

Với x =1 thay vào phương trình thứ hai ta có y= ±2

Với x =4y−2 thay vào phương trình thứ hai ta được

15y2−16y+7 =0

by Mr Cuong

T A o M

Ta thấy phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ là(x; y) = (1; ±2)

Bài 46 Giải hệ phương trình:

Lời giải. Điều kiện x ≥1; y≥0

Phương trình thứ nhất trong hệ tương đương với

Từ điều kiện của bài toán x ≥1⇒ −y≥1⇔y ≤ −1 Mặt khác y ≥0 Do đó hệ vô nghiệm

Trường hợp 2: x =2y+1, thay vào phương trình thứ 2 trong hệ ta được

(2y+1)p2y−yp2y =4(2y+1) −4y

⇔(y+1)p2y =4(y+1)

⇔p2y=4(do y+1>0) ⇔ y=8Khi đó hệ có nghiệm(x; y) = (17; 8)

.Với x = −yta có x2 =1 nên hệ phương trình có hai nghiệm(1;−1)và(−1; 1)

Bài 50 Giải hệ phương trình:

(x2−9) + (x−3)px2−3=0,Hay

(x−3)(x+3+px2−3) = 0⇔" x−3=0

x+3+px2−3=0.Thay y =3−xvào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

x2−4x−1+ (x−3)px2−x−1=0,Hay

(x2−x−1) − (3−x)px2−x−1−3x =0⇔

" p

x2−x−1=3p

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 2, 2017.

Lời giải.Điều kiện xác định : x+y ≥0, x+3y≥0

• Với x =3, y2+3y+6=0 (vô nghiệm)

• Với y =1, x2+x−2=0⇔ x=1, x= −2, ta loại nghiệm x= −2 do x+y= −2+1<0.Vậy nghiệm của hệ là(x; y) = (1; 1)

Bài 52 Giải hệ phương trình

(5x+√

x+12−2y= −2 (1)

2x+6√x+12+3y= −3 (2)

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang, 2017.

by Mr Cuong

T A o M

Lời giải.Điều kiện: x ≥ −12.

Nhân 3 vào hai vế của(1)và nhân 2 vào hai vế của(2)rồi cộng lại, ta được

19x+15√x+12+12=0Đặt t =√

x+12 ≥0 ta được phương trình 19t2+15t−216=0 ⇔t=3, t= −72

19.

Ta nhận t=1⇒ x= −3⇒y = −5 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất(−3;−5)

Bài 53 Giải hệ phương trình

x2−3 = y2 vào (1) ta được xy = y2+1 hay x−y = 1

y (3) Thay (3) vào (2) với chú ý(2)tương đương(x−y)(x+y) =3, ta được x =2y Kết hợp(3)ta được y = ±1 Do đó x= ±2.Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm√3; 0,−√3; 0,(2; 1)và(−2;−1)

Bài 54 Giải hệ phương trình

(6x+4y+2= (x+1)2

Với x = −1 ta được y=1 Với x =9 ta được y=11

• Trường hợp 2: y =2−x, thay vào(1)ta được: x2=9⇔



x =3

x = −3

Với x =3 ta được y= −1 Với x = −3 ta được y=5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là(−1; 1),(9; 11),(3;−1),(−3; 5)

Bài 55 Giải hệ phương trình:

(2x3+x2y+2x2+xy+6=0

by Mr Cuong

T A o M Lời giải. Ta có(I) ⇔

 Vậy





(x; y) = (2; 8)(x; y) =  242

49 ;

20049



Bài 57 Giải hệ phương trình:

(

|x−1| +2py+2 =53py+2− |x−1| =5.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, 2017.

Lời giải. Giải hệ phương trình:

(

|x−1| +2py+2 =53py+2− |x−1| =5.Đặt A = |x−1| ≥0; B =py+2≥0

Bài 58 Giải hệ phương trình

Bài 59 Giải hệ phương trình:

Kết luận: hệ có nghiệm duy nhất(x, y, z) = (0, 0, 0)

Bài 60 Giải hệ phương trình

(2px+3y+2−3√y =√

x+2, thay vào phương trình thứ hai tađược x2−3x−4√x+2+10 = 0 ⇔ (x−2)2+ (x−2)2

by Mr Cuong

T A o M

§Các vấn đề nghiệm nguyên

Bài 61.

a) Cho n=2018.20172016−112017−62016 Chứng minh n chia hết cho 17.

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2+y2+5x2y2+60=37xy.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Bạc Liêu, 2017.

• 112 ≡2 mod 17, suy ra 112016 = (112)1008≡22008 mod 17

• 62 ≡2 mod 17, suy ra 62016 = (62)1008≡22008 mod 17

Cách 2.Xét trường hợp x, y ≥0

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm x2, y2ta có:

• TH2: xy=3 Từ (∗)suy ra(x+y)2 =12 (loại vì(x+y)2là số chính phương).

• TH3: xy=4 Từ (∗)suy ra(x+y)2 =16 Giải ra ta được x =y=2

• TH4: xy=5 Từ (∗)suy ra(x+y)2 =10 (loại vì(x+y)2là số chính phương)

• TH5: xy=6 Từ (∗)suy ra(x+y)2 = −6 (vô lí)

Thử lại ta thấy(x; y) = (2; 2)là nghiệm của phương trình

Do xy và (−x).(−y) có vai trò như nhau trong phương trình ban đầu nên nghiệm củaphương trình là(2; 2),(−2;−2)

Bài 62 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương(a; b; c) thỏa mãn a < b < c sao cho đa thức P(x) =

x(x+a)(x+b)(x+c) +1 là bình phương của một đa thức có hệ số nguyên.

Trích từ đề thi vào 10, chuyên Vinh vòng 2, 2017.

Lời giải. Do đa thức P(x) có bậc cao nhất là 4 và hệ số của nó là 1, nên ta có thể giả sử

P(x) = (x2+mx+n)2với m, n ∈Z.

Từ P(0) =1, suy ra n = ±1

Với n = 1, ta có x(x+a)(x+b)(x+c) +1 = (x+mx+1)2 ⇔ x(x+a)(x+b)(x+c) =

x(x+m)(x2+mx+2) Suy ra m>0 và phương trình x2+mx+2=0 có hai nghiệm nguyên

âm phân biệt⇔∆ =m2−8= k2, k ∈ N∗ ⇔ (m+k)(m−k) = 8 Do m>k >0 và cùng chẵnnên

by Mr Cuong

T A o M

Bài 63.

1 Tìm chữ số tận cùng của a =201764.

2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 7(x+y) =3 x2+xy+y2
.

Trích từ đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2017.

Vậy ta được 3 nghiệm nguyên(0; 0),(1; 2),(2; 1)

Bài 64 Tìm tất cả các cặp số nguyên(x; y)thỏa mãn phương trình x3−y3=6xy+3.

Trích từ đề thi vào 10, Sở giáo dục Thái Bình, 2017.

Lời giải. Ta có phương trình tương đương với

x3−3x2y+3xy2−y3+3xy(x−y) −6xy−8 = −5

=|x| + |y|

Đẳng thức trên còn đúng hay không trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?

Lời giải. Với x >0 và y >0, ta có:

+

x+y−2√xy2

+

x+y+2√xy2

by Mr Cuong

T A o M

Trong trường hợp x<0, y <0 Đặt a= −x, b = −y Ta có a>0, b >0 Khi đó: