Dùng các biến thức vectơ vào giải các lớp bài toán chứng minh tập hợp, GTLN, GTNN trong phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP DÙNG CÁC KIẾN THỨC VÉCTƠ VÀO GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TẬP HỢP , GTLN,GTNN TRONG PHẲNG Chuyên ngành

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

DÙNG CÁC KIẾN THỨC VÉCTƠ VÀO GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TẬP HỢP

, GTLN,GTNN TRONG PHẲNG

Chuyên ngành: HÌNH HỌC

Giảng viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Văn Vạn

Sinh viên: Nguyễn Thị GiangLớp: K36A SPToán

HÀ NỘI, 5/2014

Trang 2

Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tìnhcủa Thầy Nguyễn Văn Vạn Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thànhtới Thầy Nguyễn Văn Vạn người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệttình, chu đáo và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu

và thực hiện khóa luận

Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen vớiviệc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh khỏinhững sai sót Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quíthầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Giang

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thâncùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của Thầy Nguyễn Văn Vạn em

đã hoàn thành bài khóa luận của mình

Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với

sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Văn Vạn

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Giang

Trang 4

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một bộ phận cấu thành Toán học Hình học luôn là môn họckhó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ tính logic và tínhtrừu tượng cao hơn các ngành khác của toán học.Trong việc giải bài toánhình học, việc lựa chọn một công cụ thích hợp là một việc làm cần thiếtgiúp chúng ta tiết kiệm được thời gian công sức và đạt được hiệu quả cao

Em thấy rằng các kiến thức véctơ chính là một công cụ đắc lực giúp họcsinh giải một số bài toán hình học phẳng một cách rõ ràng ngắn gọn Vớimong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này emchọn đề tài " Dùng các kiến thức véc tơ vào giải lớp các bài toánchứng minh tập hợp, GTLN, GTNN trong phẳng " làm đề tài khóaluận tốt nghiệp Đại học cho mình

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Các kiến thức véc tơ liên quan đến giải toán tìm tập hợp,GTLN, GTNN (trong phẳng)

Phạm vi : Các kiến thức véc tơ liên quan đến việc giải toán tìm tập hợp,GTLN, GTNN trong phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các kiến thức véc tơ liên quan đến bài toán tìm tập hợp,GTLN, GTNN

4 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu để cung cấp kiến thức cơ bản cho việc vận dụng các kiến thứcvéc tơ để giải quyết các bài toán tập hợp, GTLN, GTNN

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Nguyễn Văn Vạn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu

có liên quan

Nguyễn Thị Giang iv K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2

Trang 6

Nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về véc tơ liên quanđến các bài toán tập hợp, GTLN, GTNN

Chương 2: Sử dụng kiến thức véc tơ để giải quyết các bài toán tập hợp.2.1 Sử dụng tâm tỉ cự để giải quyết các bài toán tập hợp :

3.2 Tâm tỉ cự với bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất :

- Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải

- Ví dụ

- Bài tập tự giải

Trang 7

Mục lục

1.1 Định nghĩa véctơ và các tính chất của nó 1

1.1.1 Định nghĩa véctơ 1

1.1.2 Các tính chất 1

1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trong phẳng 4

1.2.1 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trên một trục tọa độ 4

1.2.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véc trong phẳng 5 1.3 Tâm tỉ cự của hệ điểm 5

1.3.1 Định nghĩa 5

1.3.2 Một số ví dụ về tâm tỉ cự 6

1.4 Các điều kiện đồng phương của hai véctơ 8

1.4.1 Phát biểu điều kiện đồng phương của hai véctơ 8

1.4.2 Phân tích một véctơ theo hai véctơ không đồng phương 8 1.5 Chứng minh các đẳng thức véc tơ 9

1.5.1 Định nghĩa 9

1.5.2 Các ví dụ 9

2 Sử dụng kiến thức véc tơ để giải quyết các bài toán tập hợp 11 2.1 Sử dụng tâm tỉ cự để giải quyết các bài toán tập hợp 11

2.1.1 Phương pháp 11

2.1.2 Bài toán tổng quát và các ví dụ 11

vi

Trang 8

2.1.3 Bài tập đề nghị 13

2.2 Dùng điều kiện đồng phương để giải toán tập hợp 14

2.2.1 Phương pháp 14

2.2.2 Bài toán tổng quát và các ví dụ 14

3 Kiến thức véc tơ với bài toán GTLN, GTNN) 18 3.1 Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp véctơ 18

3.1.1 Các tính chất áp dụng 18

3.1.2 Các ví dụ 19

3.2 Tâm tỉ cự với bài toán tìm GTLN,GTNN 24

3.2.1 Bài toán tổng quát 24

3.2.2 Các ví dụ 24

Trang 9

Véctơ là một đoạn thẳng được qui định một chiều, chiều của véctơ

là thứ tự hai đầu mút của đoạn thẳng Đầu mút thứ nhất được gọi là gốc(điểm đầu), đầu mút thứ hai được gọi là ngọn (điểm cuối) của véctơ

Đường thẳng chứa véctơ được gọi là phương của véctơ, độ dài đoạnthẳng được gọi là độ dài của véctơ

Véctơ được kí hiệu bằng hai chữ in: −→

AB, hoặc bằng một chữ thường

Quan hệ đồng phương, không đồng phương

Hai véctơ được gọi là đồng phương nếu chúng cùng nằm trên cùng mộtđường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song và được kí hiệu là

−

→a //−→b .

1

Trang 10

Nếu hai véctơ −→a ,−→b nằm trên hai đường thẳng cắt nhau thì ta nói haivéctơ đó không đồng phương.

Quan hệ cùng chiều, ngược chiều

Cho hai véctơ đồng phương −→a và −→b .

• Trường hợp −→a và −→b nằm trên hai đường thẳng song song.

Trong trường hợp này, ngọn của hai véctơ nằm về cùng một phía đốivới đường thẳng đi qua gốc của chúng, thì ta nói hai véctơ đó cùng chiều.Nếu ngọn của chúng nằm về hai phía khác nhau với đường thẳng đi quagốc của chúng, thì ta nói hai véctơ đó ngược chiều

• Trường hợp −→a và −→b nằm trên cùng một đường thẳng.

Trong trường hợp này, ta xét một véctơ −→c 6= −→0 nằm trên đường thẳngsong song với đường thẳng chứa hai véctơ −→a và −→b .Nếu −→c cùng chiều với

Trang 11

Quan hệ bằng nhau, đối nhau

- Hai véc tơ −→a và −→b được gọi là bằng nhau và được ký hiệu −→a =−→b , nếuchúng cùng chiều và cùng độ dài

- Hai véc tơ −→a và −→b được gọi là đối nhau và được ký hiệu−→a = −−→b ,nếu chúng ngược chiều và cùng độ dài

Tóm lược các phép toán véctơ

Trang 12

•Phép trừ hai véctơ: Hiệu của hai véctơ−→a và−→b là−→c , nếu−→c +−→b = −→a.

Từ một điểm A bất kì, ta dựng −→

AB = −→a và −→AC = −→b khi −CB = −→ →c và

kí hiệu−→c = −→a −−→b Ta gọi −→c là véc tơ hiệu.

• Phép nhân véctơ với một số thực:

Cho −→a 6= −→0 và một số thực m 6= 0 Tích của −→a và m là một véc tơ −→bthỏa mãn đồng thời các tính chất sau:

| −→b |=| m | | −→a | Khi đó: −→a ↑↑ −→b khi m > 0 và −→a ↑↓ −→b khi m < 0

1.2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trong

phẳng

1.2.1 Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ trên một trục

tọa độ

• Tọa độ của một véc tơ

Cho véc tơ −→a trên trục tọa độ Ox mà véctơ đơn vị là −→e , khi đó tồn tạiduy nhất số thực m sao cho −→a = m.−→e Số thực m được gọi là tọa độ của

−

→a và kí hiệu :−→a (m).

Độ dài của −→a là | m |⇔| −→a |=| m |

• Tọa độ của một điểm trên trục tọa độ

Cho điểm M trên trục tọa độ Ox khi đó ta xác định được véctơ −−→

OM và

kí hiệu m là tọa độ của véctơ −−→

OM Khi đó ta nói m là tọa độ của điểm M

Trang 13

• Tọa độ của một véc tơ và một điểm:

Trong hệ trục tọa độOxy, cho véctơ −→a được phân tích một cách duy nhấttheo cơ sở −→

−

→a Kí hiệu: −→a = (m, n).

Cho điểm M trong hệ tọa độ (O, i, j) Khi đó tọa độ của điểm M chính

là tọa độ của vectơ−−→

OM , kí hiệuM (m, n) với −−→

OM (m, n) hoặc M = (m,n)

• Công thức tìm tọa độ của các véc tơ theo tọa độ các đầu mút:

Cho A(x1, y1) và B(x2, y2) theo định nghĩa ta có:

• Biểu thức tọa độ của các phép toán véc tơ:

Cho hai vectơ −→a (x

2 + x1; y2 + y1).Nếu m.−→a = −→c thì −→c (mx

1; my1)

Độ dài của véctơ −→a được xác định bởi:−→a = p

x21 + y12.Khoảng cách giữa hai điểm A, B là độ dài của véctơ −→

Nguyễn Thị Giang 5 K36A SP Toán - ĐHSP Hà Nội 2

Trang 14

Ta gọi M là tâm tỉ cự của tập hợp điểm đã cho.

Các số thực x1, x2, , xn được gọi là tỉ cự của M đối với A1, A2, , An

Nếu tập hợp điểm đã cho gồm 3 điểm không thẳng hàng và

x1 = x2 = x3 = 1 thì M là trọng tâm của tam giác lập bởi 3 điểm đó

Nếu tập hợp điểm đã cho gồm 2 điểm và

x1 = x2 thì M là trung điểm của đoạn lập bởi 2 điểm đó

Trang 15

Hiển nhiên M là điểm duy nhất, vì nếu M0 là điểm thỏa mãn:

Từ giả thiết ta suy ra:

AB0;−−→

AC0Hiển nhiên M là điểm duy nhất không phụ thuộc vào cách rút gọn biểuthức

Ví dụ 3 Cho ngũ giác đều ABCDE Dựng điểm G sao cho:

Giả sử G là điểm đã dựng được, khi đó :

Trang 16

Điều đó chứng tỏ G trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đềuABCDE.

1.4 Các điều kiện đồng phương của hai véctơ

1.4.1 Phát biểu điều kiện đồng phương của hai véctơ

Cho hai véctơ −→a và −→b khác −→0 Điều kiện cần và đủ để hai véctơ đồngphương là tồn tại một số thực M sao cho:−→

b = m−→a

Hệ quả:

i) Nếu −→a và −→b không đồng phương và x−→a + y−→b = −→0 thì x = y = 0.

ii) Giả sử −→a và −→b không đồng phương, khi đó:

iii) Véctơ không luôn đồng phương với mọi véctơ khác không

iv) Giả sử trong (O, i, j) cho −→a (x

Trang 17

Ta gọi đẳng thức này là công thức trung điểm của một đoạn thẳng

• Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì:

Giải:

Trang 18

M N = −→

AC +−−→

BD.Chứng minh tương tự: 2−−→

Ví dụ 6 Chứng minh rằng nếu cho n điểm A1, A2, , An(n > 1)và n sốthực x1, x2, , xn với x1 + x2 + + xn 6= 0 sao cho:

Trang 19

Chương 2

Sử dụng kiến thức véc tơ để giải

quyết các bài toán tập hợp

2.1 Sử dụng tâm tỉ cự để giải quyết các bài toán

tỉ cự trong (∗) để rút gọn (∗) về dạng đơn giản nhất và tiến hành giảibài toán trong trường hợp đó Phần lớn những bài toán như tìm tập hợpđiểm, khảo sát độ dài các véctơ, khảo sát tính thẳng hàng của ba điểm

ta thường sử dụng tâm tỉ cự để giải chúng

2.1.2 Bài toán tổng quát và các ví dụ

Có hai bài toán tìm tập hợp các điểm thường gặp:

Dạng 1: Cho các điểm điểmA1, A2, , An vàn+1 số dươngx1, x2, , xn.Tìm tập hợp điểm M sao cho:

|x1−M A−−→1 + x2−−−→

M A2 + + xn−−−→

M An| = k

Để giải bài toán trên ta cần thực hiện các bước sau:

- Rút gọn biểu thức véctơ trong dấu độ dài về một véc tơ phụ thuộc M

- Tìm điểm cố định có liên quan tới M

11

Trang 20

Ví dụ 7 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Tìm tập hợp điểm M saocho:

Giải:

Nhìn vào vế trái của giả thiết ta thấy tồn tại duy nhất điểm Mo, là tâm

tỉ cự của bốn điểm đã cho với các tỉ cự tương ứng là 1,2,3,4.Ta có:

Vế phải: | 2−−→M A −−−→

M B −−−→

M C |=| −→

AB +−→

AC| = 2AD ( D là điểm cố định)

Từ các kết quả trên suy ra 5MoM = AD Điều này cho thấy:

- Nếu AD = 0, thì tậpM là điểm Mo

- Nếu AD 6= 0, thì tập M là đường tròn tâm Mo, bán kính R = AD

5 .Dạng 2:Cho các điểm điểmA1, A2, , An vàn+1số dươngx1, x2, , xn.Vớiđiểm M thuộc đường thẳng (d) (hoặc đường tròn (O) hoặc một hình Fnào đó), ta xác định M sao cho:

- Rút gọn biểu thức véctơ ở vế trái về một véc tơ phụ thuộc M

Trang 21

Gọi O0 là điểm đối xứng với O qua I Vì I và O cố định, do đó O0 cố định.Hiển nhiên O0N = O0M = R không đổi (R là bán kính đường tròn (O)).Tập hợp N là một đường tròn tâm O0, bán kính R

Khi đó: | a−−→M A + b−−→

M B |= |(a + b)−−−→

M M0|

Từ đó tìm được tập hơp điểm M theo M0

Bài 2: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C Tìm tập hợp điểm M sao cho:

M B +−−→

M C |= 2M M0

Từ đó tìm được tập hơp điểm M theo M0

Bài 3: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C Tìm tập hợp điểm M sao cho:

M biến thiên trên (d)

Trang 22

Bài 5: Cho tứ giácABCD và đường tròn tâm(O) Với mỗi điểm M thuộc(O) ta xác định điểm N sao cho −−→

Bài 6: Cho tam giácABC và một số thựck thuộc đoạn[0, 1] Tìm tập hợpđiểmM sao cho 2−−→

M A−−−→

M B +−−→

M C = k−→

BC khik thay đổi trên đoạn[0, 1]

2.2 Dùng điều kiện đồng phương để giải toán tập

hợp

Bằng cách dùng điều kiện đồng phương của hai véctơ, ta có thể giảiđược một số dạng toán hình học liên quan đến các tính chất của véctơ,điểm trong đó có dạng toán tìm tập hợp điểm

2.2.1 Phương pháp

i) Chọn cơ sở là việc làm đầu tiên không thể thiếu được Ta thường chọnnhững cặp véctơ có độ dài xác định và góc tạo bởi chúng đã biết.ii) Biểu thị các yếu tố cần xem xét có trong bài toán bằng véctơ (nếu cácyếu tố đó được cho bởi điểm hoặc đường thẳng hoặc đoạn thẳng tức

là các yếu tố đang xét không phải là véc tơ)

iii) Hãy phân tích các véctơ đang xét qua cơ sở đã chọn và dùng điều kiệnđồng phương

2.2.2 Bài toán tổng quát và các ví dụ

Ví dụ 9 Cho hai đoạn thẳng AB và CD Trên đoạn thẳng AB ta lấyđiểm M, trên đoạn CD ta lấy điểm N sao cho AM/AB = CN/CD Tìmtập hợp trung điểm của đoạn thẳng M N, khi M và N thay đổi

Trang 23

Đảo lại với P ∈ SQ ta cần chỉ ra tồn tại M và N thuộc các đoạn AB và

Trang 24

lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng A2B1; A1B2; OM

N F Sử dụng i)

Bài 3: Cho ABCD là hình thang (AB//CD) và M, N lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB, CD Gọi O là giao điểm của các đường chéo củahình thang Chứng minh rằng O ∈ M N

A, C) Trên cạnh AB, BC ta lấy các điểm tương ứng P và Q sao cho

M P//BC và M Q//AB Gọi N là giao điểm của AQ và CP

Trang 25

ii) Chứng minh rằng ba điểmD, M, N thẳng hàng hãy tìm tập hợp điểmN

Trang 26

Kiến thức véc tơ với bài toán

Trang 27

3.1.2 Các ví dụ

Ví dụ 10 Chứng minh rằng với a, b, c ∈ <, ta luôn có:

p(a + c)2 + b2 +p(a − c)2 + b2 ≥ 2√a2 + b2

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 11 Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý, ta luôn có:

2 (a + c)

!

2

+ 3

4c

2

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 12 Chứng minh rằng với x, y, z tùy ý, ta luôn có:

2 (y + z)

!

Trang 28

Ta có:| −→u + −→v |≤| −→u | + | −→v |

Ví dụ 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = px2 − 2px + 2p2 + px2 − 2px + 2q2(p 6= q)Giải:

Trang 29

Ví dụ 15 Chứng minh rằng:

y = √

2a2 + 8 +√

2a2 + 12a + 20 ≥ 6Giải:

Trang 30

y = pcos4α + cos4β + sin2α + sin2β ≥√

Ví dụ 20 Chứng minh rằng với a, b, c, ta luôn có:

−1

2 ≤ (a + b)(1 − ab)(1 + a2)(1 + b2) ≤ 1

2Giải:

Trang 31

1 + b2

2

= 1Suy ra điều phải chứng minh

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:

q

4cos2xcos2y + sin2(x − y) +

q4sin2xsin2y + sin2(x − y) ≥ 2Bài 3: Cho x, y, z > 0.Chứng minh rằng:

pcos2α − 2cosα + 2 +√

cos2α + 6cosα + 13 ≥ 5Bài 6: Cho a, b, c, d ∈ < Chứng minh rằng:

Trang 32

Bài 7: Cho x, y, ∈ < Chứng minh rằng:

p

x2 + 4y2 + 6x + 9 + px2 + 4y2 − 2x + 1 ≥ 5Bài 8: Cho a, b, c, ∈ < Chứng minh rằng:

q(a − b)2 + c2 +

q(a + b)2 + c2 ≥ 2√a2 + c2

Bài 9: Cho p, q là hai số khác nhau và x ∈ < Chứng minh rằng:

y = px2 − 2px + 2p2 +px2 − 2px + 2q2 ≥

q(q − p) + (p + q)2

3.2.1 Bài toán tổng quát

Cho các điểm A1, A2, , An và n số dương x1, x2, , xn Tìm tập hợpđiểm M thuộc đường thẳng (hoặc đường tròn (O) hoặc một hình F nàođó) để:

| x1.−−−→

M A1 + x2.−−−→

M A2 + + xn.−−−→

M An | min hoặc max

Muốn vậy ta cần rút gọn biểu thức véctơ trong độ dài về một véctơ phụthuộc M Sau đó tìm min hoặc max

M G nhỏ nhất

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	300,85 KB