MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNGQUY I – CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.. c A là tâm đường tròn nội tiếp hoặc bàng tiếp của tam giác BEF.. a Chứng minh AM
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG
QUY
I – CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.
Bài 1 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B Vẽ các đường kính AOC và AOD.
Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại E Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F Chứng minh rằng:
a) Ba điểm C, B, D thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp
c) A là tâm đường tròn nội tiếp (hoặc bàng tiếp) của tam giác BEF
Bài 2 Cho hình vuông ABCD Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao
cho CM = CN Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với BN, cắt BN tại E và AD tại F
a) Chứng minh tứ giác FMCD là hình chữ nhật
b) Chứng minh nam điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn đó
c) Đường tròn (O) cắt AC tại một điểm thứ hai là I Chứng minh tam giác IBF vuông cân d) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K Chứng minh ba điểm K, C, D thẳng hàng
Bài 3 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và điểm M trên đường tròn sao cho góc
� MAB900 Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM)
b) Chứng minh MN24AH HB. .
c) Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó
d) Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F.Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng
Bài 4 Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là các tiếp
điểm) Kẻ BE AC và CF AB (E AC F� , �AB), BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi
b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng
c) Xác định vị trí điểm A để H nằm trên đường tròn (O)
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) , hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (D thuộc cạnh
AC , E thuộc cạnh AB ) Gọi I là trung điểm của BC Đường tròn ngoại tiếp ΔBEI và đường tròn
ngoại tiếp ΔCDI cắt nhau tại K ( K khác I ).
1) Chứng minh rằng BDK = CEK
2) Đường thẳng DE cắt BC tại M Chứng minh ba điểm M,H, K thẳng hàng.
3) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp.
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường (O) Vẽ các đường cao AD, BE, CF của tam giác,
H là trực tâm Kẻ đường kính AOM
a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành
b) Gọi I là giao điểm của HM và BC Chứng minh OI BC và AH = 2.OI.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh O, G, H thẳng hàng
(HD: C/m tổng bằng 180 0 )
d) Chứng minh diện tích AGH bằng hai lần diện tích AGO.
e) Chứng minh OA FE
Bài 7: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) Vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm), cát tuyến mBC (B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC Lấy I là trung điểm của BC Tia OI cắt cung nhỏ
BC tại N, AN cắt BC tại D
a) Chứng minh AD là phân giác của góc BAC
Trang 2b) Chứng minh MD2 MB MC.
c) Gọi H, K là hình chiếu của N lên AB và AC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng (đường
thẳng Sim - sơn) (HD: C/m tạo thành góc bẹt)
Bài 8: Cho tứ giác ABCD và có các góc ABC và ADB vuông; H là hình chiếu vuông góc của D xuống AB Đường tròn tâm A bán kính AD cắt đường tròn đường kính AC tại M và N (M ở trên cung nhỏ AB)
a) Chứng minh AM2AH AB
b) Chứng minh rằng: HAM~MAB
c) Chứng minh N,H,M thẳng hàng (HD: C/m tia trùng tia)
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ AC Vẽ tia Cx
đi qua M và D là điểm đối xứng với A qua O
a) Chứng minh AM là phân giác của �BMx
b) Trên tia đối của tia MB lấy điểm H sao cho MH = MC Chứng minh MD // CH
c) Gọi K là trung điểm của CH Chứng minh ba điểm A; M; K thẳng hàng
( HD: Sử dụng hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba)
Bài 10:
II – CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và dây BC, sao cho �BOC1200 Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn
(O) cắt nhau tại A
a) Chứng minh ABC đều Tính diện tích ABC theo R.
b) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB, AC lần lượt tại E, F Tính chu vi
AEF theo R.
c) Tính số đo EOF�
d) OE, OF cắt BC lần lượt tại H, K Chứng minh FH OEvà ba đường thẳng FH, EK, OM đồng
quy (HD: Dựa vào sự đồng quy của ba đường cao)
Bài 2: Cho tam giác ABC Dựng ra ngoài tam giác đó các tam giác đều BCD, ACE và ABF Chứng minh rằng:
a) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều nói trên cùng đi qua một điểm
b) Ba đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm (HD: Quy về việc c/m thẳng hàng)
c) Ba đoạn thẳng AD, BE, CF bằng nhau
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và B), vẽ
đường tròn (O') đường kính AC Đường tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đường tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn (O') Chứng minh:
a Tứ giác ADBE là hình thoi
b AF // BD
c Ba điểm E, A, F thẳng hàng
d Bốn điểm M, F, C và E cùng thuộc một đường tròn
e Ba đường thẳng CM, DK, EF đồng quy
Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng
O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn ; MA và
MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D Gọi I là giao điểm của AD và BC
1 Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I
Trang 3Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài nhau tại C Gọi AC và BC
là hai đường kính đi qua điểm C của (O) và (O’) DE là dây cung của (O) vuông góc với AB
tại trung điểm M của AB Gọi giao điểm thứ hai của DC với (O’) là F, BD cắt (O’) tại G
Chứng minh rằng:
1 Tứ giác MDGC nội tiếp
2 Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn
3 Tứ giác ADBE là hình thoi
4 B, E, F thẳng hàng
5 DF, EG, AB đồng quy
6 MF = 1/2 DE
7 MF là tiếp tuyến của (O’)
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PKAD và PH
AB Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M Chứng minh rằng:
a I là trung điểm của AP
b Các đường PH, BI và AM đồng quy
c PM = PK = AH
d Tứ giác APMH là hình thang cân