Ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng

Đối với học sinh trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN -

VŨ THỊ THANH

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÙNG

LỜI CẢM ƠN

Bản khoá luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, chu đáo của Ts Nguyễn Văn Hùng Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình

em hoàn thành bản khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ bảo của các thầy, cô trong khoa Toán – Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình em học tập tại trường

Do điều kiện và khả năng bản thân có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và các bạn để khoá luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày……tháng….năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 Trong quá trình nghiên cứu khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của các nhà Toán học

Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “ Ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác

Hà Nội, ngày……tháng……năm 2014

Sinh viên

Vũ Thị Thanh

MỤC LỤC

A – MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc của khoá luận 2

B – NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Định nghĩa số phức 3

1.2 Biểu diễn đại số của số phức 5

1.3 Dạng lượng giác của số phức 7

1.4 Công thức Moa vrơ 10

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 11

2.1 Góc định hướng 11

2.2 Đường thẳng qua hai điểm 13

2.3 Phương trình tham số 14

2.4 Ví dụ 15

2.5 Bài tập 20

2.6 Lời giải và hướng dẫn 21

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 27

3.1 Phương trình tổng quát 27

3.2 Đường tròn đơn vị 30

3.3 Giao điểm hai cát tuyến 31

3.4 Chân đường vuông góc ở dây cung 33

3.5 Bài tập: 34

3.6 Lời giải và hướng dẫn 35

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

A – MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của toán học

về giải những phương trình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học

và kỹ thuật Đối với học sinh trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học

Mặc dù sách giáo khoa giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít Với những lý do

trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Ứng dụng số phức vào giải toán

hình học phẳng”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng, từ

đó giúp học sinh thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong toán học nói chung và giải toán nói riêng Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán hình học phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán, năng lực giải toán

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc sử dụng số phức như một công cụ để giải toán hình học phẳng

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và nước ngoài liên quan đến nội dung ứng dụng số phức vào giải toán và bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinh khá giỏi THPT

5 Cấu trúc của khoá luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung chính của khoá luận gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương trình đường thẳng

Chương 3: Phương trình đường tròn

Có nhiều cách tiếp cận số phức, ở đây ta chọn cách định nghĩa số phức theo tiên đề, đồng thời cũng giải thích các tiên đề đó bằng hình học cho dễ hiểu Như ta đã biết số thực được biểu diễn bởi một đường thẳng

có hướng, thường được gọi là trục số Bây giờ, trong mặt phẳng ta chọn một hệ tọa độ vuông góc, thì mỗi điểm Z của mặt phẳng được xác định theo tọa độ (a, b) đối với hệ ta đã cho Thường người ta ký hiệu cặp số thực (a, b) ứng với một điểm Z trên mặt phẳng Như vậy với một hệ tọa

độ cho trước thì tập hợp những điểm trên mặt phẳng và tập hợp các cặp

số (a, b) là một quan hệ một - một Mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một cặp số thực và dựa vào đó ta sẽ xây dựng một tập hợp những số phức với điểm trên mặt phẳng Với mục đích ta đưa vào định nghĩa các phép toán trên các cặp số thực sao cho các định luật của đại số vẫn còn đúng như trong trường hợp số thực Với chú ý 2

1

i   Cho hai cặp số

1 ( , )1 1

z  a b và, z2 (a b2, 2), ,a b i i , i1,2 Chúng ta chọn ba tiên đề sau:

Tập hợp tất cả những cặp số thực với các phép tính quan hệ bằng nhau, phép cộng và phép nhân như ở trên gọi là tập hợp các số phức Như vậy, cho một hệ tọa độ vuông góc trong mặt phẳng thì tập hợp các số phức có thể đồng nhất với những điểm trên mặt phẳng này

Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt là những điểm nằm trên trục hoành của hệ tọa độ, hay là những điểm có dạng  a,0 với a là số thực bất kỳ Doa1,0  a2,0  a a1 2,0 v  à a 1,0a2,0  a a1 2,0như là phép cộng và phép nhân những tọa độ ở trục hoành đối với các điểm này Vì thế ta có thể đồng nhất các điểm trên trục hoành với số thực, đáng lẽ phải viết a,0 thì ta chỉ viết a (ví dụ: 0,0 0; 1,0  1 )

Ta xét một số phức đặc biệt dạng 0,1

Tính (0,1)(0,1) ( 1,0) 1 Như vậy tồn tại một số phức bình phương bằng một số thực Theo truyền thống ta ký hiệu i(0,1)

1.2 Biểu diễn đại số của số phức

Ta đã thấy rằng sự đồng nhất của số thực với tập hợp con của số phức dạng a,0 a với a là số thực Một số phức đặc biệt i(0,1)được gọi là đơn vị ảo

Ta xét tích của một số thực b b,0 với đơn vị ảo

( ,0)(0,1) (0, )

bi b  b Đây là một điểm nằm trên trục tung với tung độ

b Vậy còn số bất kỳ thì sao? Do định nghĩa phép cộng nên ta có:

( , )a b  a,0  0,b  a b 0,1  a bi nên mọi số phức z ta có thể

viết duy nhất dưới dạng z a bi, với ,a b

Một số phức viết dưới dạng z a biđược gọi là dạng đại số của số

phức z Các số thực , a b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z

Kí hiệu a ez b,  mz Mặt phẳng chứa toàn bộ số phức gọi là mặt phẳng phức

Trục hoành của hệ tọa độ vuông góc trong mặt phẳng phức gọi là trục thực (chứa toàn bộ số thực) Trục tung gọi là trục ảo (chứa toàn bộ

Trong chứng minh trên ta có dùng công thức cid trong quá trình

biến đổi và số này có mối liên hệ chặt chẽ với số phức cid Trong thực tế, để thuận tiện thực hiện các phép tính và biến đổi số phức người

ta đưa vào ký hiệu z a ib  và gọi là số phức liên hợp của z a ib Những tính chất sau đây thường được dùng đối với số phức liên hợp:

z + z = 2a = 2 ez

zz (aib a)( ib)a2 b2

số phức: Cho hai số phức dạng đại số z1  a1 ib z1, 2 a2 ib2 Đó là hai điểm Z1, Z2 trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên Điểm O là tọa

độ gốc

Ta nối điểm Z1, Z2 với gốc O và xác định

vectơ OZ OZ 1, 2

Như vậy đỉnh thứ tư z a1 a b2, 1 b2

biểu diễn tọa độ của số phức z1  z2 như tổng

của hai số phức đã cho

Do đó tổng hai số phức có thể biểu diễn

hình học như cộng hai vectơ trong mặt phẳng

Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơ

OZ và ta thấy ngay OZ1 OZ2 OZ, ta thấy khi xem số phức như là những điểm trên mặt phẳng với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trong mặt phẳng này, chính điều này mà ta áp dụng được số phức vào giải toán hình học phẳng

Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa

độ cho trước Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z  a ib 0thì số phức này ứng với một vectơ OZ , ta ký hiệu r là độ dài bán kính này, còn  là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại)

Rõ ràng r là một số thực không âm

Nếu điểm z nằm trên trục hoành thì số r

chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy

cho số phức z ta cũng định nghĩa r là môđun

của z và ký hiệu là z

Do đó r = a2 b2

hoặc r2 a2 b2 z z Góc  được gọi là argumen của số phức và ký

hiệu là arg z Giá trị của  có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó Có thể xác định  bằng

(với z 0 và llà số dương) có argumen sai khác

k2, k  , vì các điểm biểu diễn của chúng

Những số r và  biểu diễn một tọađộ cực của z Nếu cho một điểm

r r

z

z argz – arg1 z 2

Bây giờ, dễ dàng biểu diễn hình học tích

của hai số phức: Số phức z z z1 2với

1.4 Công thức Moa vrơ

Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác

với n là một số nguyên bất kỳ Công thức trên mang tên Moa vrơ

Công thức Moa vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

2.1 Góc định hướng

Như ta đã thấy mỗi điểm trong hệ tọa độ vuông góc tương ứng với một số phức Quan hệ tập hợp các số phức và tập hợp các điểm trong mặt phẳng tương ứng một - một Điểm Z ứng với tọa độ a b ứng với số ,

phức z a ib Số phức z gọi là nhãn của điểm Z Kể từ đây một điểm

trong mặt phẳng được ký hiệu là một chữ cái

in hoa và nhãn của nó là chữ cái thường

tương ứng

Trong mặt phẳng hệ tọa độ vuông góc

xOy, mỗi điểm Z với nhãn z chúng ta đặt

Nếu Z1 và Z2 là hai điểm trên mặt phẳng với nhãn z1và z2, khi đó tổng của chúng z3  z1 z2 biểu diễn bởi Z3, mà OZ3 OZ1 OZ2 Còn hiệu z1 z2 là vectơ OZ2 OZ1 Khoảng cách d của điểm Z1 đến Z2hoặc độ dài Z Z1 2là d  Z Z1 2  z1 z2 Vậy d là môđun của số phức

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc

theo hướng dương của hai vectơ bất kỳ theo

nhãn của các số phức thì sao ? Cho hai vectơ Z Z1 2 và U U1 2 với nhãn tại các điểm tương ứngz z u u1, 2, ,1 2 Ta cần phải quay vectơ đơn vị củaZ Z1 2

đi một góc  theo chiều dương nghĩa là

Z

' 1

Z

' 0

1) Do công thức (2.1), nếu z trùng 1 u và 1 z z1 2  u u1 2 , thì khi biết nhãn z và góc 2  với các giá trị đặc biệt thì u tính được nhãn theo 2

2

z như sau:

090

2.2 Đường thẳng qua hai điểm

Trong phần trước ta có điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau Z0,

Z1, Z2 nằm trên một đường thẳng là góc giữa hai vectơ Z Z0 1 và Z Z0 2

bằng 0 hoặc 

Nói một cách khác tỷ số đơn V z z z 0, ,1 2 là một số thực Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau:

Từ đẳng thức trên ta thấy ngay, một đường thẳng đi qua hai điểm Z1

và Z2 là tập hợp các điểm Z sao cho

Vì C z z1 2 z z1 2  C , do vậy C hoàn toàn là ảo Ngược lại,

phương trình có dạng trên biểu diễn một đường thẳng trên mặt phẳng

Trong ứng dụng giải những bài tập hình học ta cần xét xem khi 

thay đổi thì ảnh hưởng của z thế nào đối với 0 z z ? 1, 2

Nếu số là âm, thì vectơ Z Z0 1 và Z Z0 2 ngược chiều nhau

Đối với vị trí của điểm Z0 xác định như sau:

Nếu 0 <  < 1, thì Z0 nằm trong đoạn Z1Z2

Nếu  > 1, thì Z0 nằm ngoài đoạn Z1Z2 về phía Z1

Nếu  < 0, thì Z0 nằm ngoài đoạn Z1Z2 phía Z2

Giá tri tuyệt đối của  bằng tỷ số đoạn thẳng |Z0Z2| và |Z1Z2| Trong

thực tế, ta tìm trên đường thẳng Z1Z2 điểm Z sao cho 1

   Nghĩa là một điểm Z nằm trên đường

nối Z1Z2 có dạng trên với  là một số thực nào đó

2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm

3) Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm I sao cho

,

DAk DB ICk IA Chứng minh AEBI CD0

Lời giải

Lời giải

Ta quy ước chữ cái thường là tọa vị của đỉnh tương ứng, chẳng hạn a

là tọa vị của A Vì ADB, BEC, CFA là các tam giác đồng dạng cùng hướng nên

hay các tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

2.4.3 Cho hai hình vuông cùng hướng OABC và OA 1 B 1 C 1 có một điểm chung O Chứng minh rằng các đường thẳng AA 1 , BB 1 và CC 1 đi qua một điểm

2.4.4 Cho tam giác A 1 A 2 A 3 Trên cạnh A 2 A 3 và A 3 A 1 lấy các điểm B 1 và

    , điều này có nghĩa là Z với nhãn

z nằm trong đoạn A 1 B 1 Tương tự ta cũng có cách biểu diễn

2.5.1 Điểm D chia cạnh AC của tam giác ABC với tỷ số

AD:DC= 1: 4 Đoạn thẳng BD đã chia trung tuyến AE của tam giác ABC theo tỷ số nào?

2.5.2 Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB M là trung điểm cạnh BC

và P là giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng song song với

BC xuất phát từ đỉnh D Chứng minh rằng, nếu AP=PM thì những đường thẳng AC, DP và MN cắt nhau tại một điểm, ở đây lấy N là trung điểm của cạnh AD

2.5.3 Qua điểm M nằm trong hình bình hành ABCD ta kẻ các đường

thẳng song song với các cạnh của chúng Chúng cắt các cạnh AB, BC,

CD, DA lần lượt tại các điểm P, Q, R, S Chứng minh rằng nếu đường thẳng PQ và RS cắt nhau thì giao điểm của chúng nằm trên AC

2.5.4 Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông ABEF và

ACGH, N là trung điểm của FH, M là giao điểm của các đường BG và

CE Chứng minh rằng các điểm N, M, A thẳng hàng

2.5.5 Cho hình thang ABCD đáy lớn là AB Kẻ đường thẳng song

song với hai đáy, lần lượt cắt các cạnh bên BC AD tại N và M, cắt các đường chéo AC, BD tại P và Q Chứng minh rằng MD = QN

2.5.6 Trên cạnh AB và DC của tứ giác ABCD lấy điểm M và N sao

2.5.7 Cho tam giác ABC, lấy K là trung điểm của AB, từ K kẻ hai

đường song song lần lượt với trung tuyến AA1 và BB1 của tam giác ABC

và cắt cạnh AC tại M, BC tại N Chứng minh rằng các đường trung tuyến

AA1, BB1 chia đường thẳng MN thành ba phần bằng nhau

2.5.8 Cho A1, B1, C1 là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác ABC, lấy M1, M2, M3 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các điểm A1, B1, C1 Chứng minh rằng những đường thẳng AM1, BM2, CM3cắt nhau tại một điểm

2.5.9 Cho tam giác A1A2A3 có độ dài các cạnh A2A3= d1, A3A1=

d2, A1A2= d3 Hãy biểu diễn nhãn của tâm đường tròn nội tiếp tam giác theo số phức tạo bởi d1, d2, d3 và nhãn của các đỉnh A1, A2, A3

Vậy điểm N nằm trên AE, đồng thời nằm

trên BD, do đó nó chính là giao điểm của hai đường trên Để xác định tỷ

Chọn hệ tọa độ với điểm gốc là giao

điểm O của hai cạnh bên AD và BC Do

/ /

DP OM và P là trung điểm của AM suy ra

D là trung điểm của OA và