Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận

Khi nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm, nó sẽ giúp chúng ta tìm hiểu được thông tin cần thiết về các tính chất của nhóm, nửa nhóm.. Năm 1940, Rees đã đưa vào khái niệm nửa nhóm ma trận trê

LỜI CẢM ƠN

Nghiên cứu khoa học là một chủ đề hấp dẫn nhiều người quan

tâm đặc biệt là đối với sinh viên năm cuối Vì thông qua quá trình tự

nghiên cứu, em có thể hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao được nhận thức

về bức tranh Toán học và bước đầu tập nghiên cứu khoa học mở rộng

và nâng cao tầm nhìn, tầm hiểu biết của mình

Trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này,

em đã nhận được sự chỉ bảo, góp ý và hướng dẫn giúp đỡ hết sức tận

tình của thầy giáo ThS Nguyễn Huy Hưng Bên cạnh đó, em cũng

nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo trong khoa Toán

nói chung và các thầy cô trong tổ Đại số nói riêng, cùng các bạn sinh

viên K36A_SP Toán Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô

giáo đã giúp đỡ em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học,

chắc chắn điều đó sẽ rất bổ ích cho em trên con đường học tập và công

tác sau này

Trong quá trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bước đầu làm

quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh

khỏi thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được sự đóng góp của quý

thầy cô giáo và bạn bè để đề tài của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Hoàn

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy

giáo ThS Nguyễn Huy Hưng cùng với sự cố gắng nỗ lực của bản

thân Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em có tham

khảo tài liệu của một số tác giả đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả

nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả nào khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Hoàn

dụ như thế là nửa nhóm các phép biến đổi Nhiều phép biến đổi khác nhau của những tập khác nhau xuất hiện ở mọi lúc và mọi nơi trong toán học

Khi nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm, nó sẽ giúp chúng ta tìm hiểu được thông tin cần thiết về các tính chất của nhóm, nửa nhóm Ngày nay, lý thuyết nửa nhóm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu một số ngành khoa học cơ bản như toán học, vật lý,

Năm 1940, Rees đã đưa vào khái niệm nửa nhóm ma trận trên một nhóm với phần tử không, gọi là nửa nhóm ma trận Rees

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về nửa nhóm ma trận trong lý thuyết nửa nhóm, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy

giáo – ThS Nguyễn Huy Hưng em đã lựa chọn đề tài : “Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận” để tiến hành nghiên cứu Nội dung

chủ yếu của luận văn là đề cập đến các vấn đề tính toán được xác định trên nửa nhóm ma trận, và xét tính giải được hay không giải được của một bài toán tiêu biểu

2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình thực hiện đề tài đã giúp em làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc độc lập, tìm hiểu sâu hơn về Đại

số Đặc biệt là hiểu rõ hơn về các vấn đề tính toán trong nửa nhóm ma trận

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận

+ Xét tính giải được và không giải được của một bài toán tiêu biểu

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm khai thác các kiến thức về vấn

đề tính toán được xác định trên nửa nhóm ma trận và xét tính giải được hay không giải được của các bài toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, đánh giá

6 Bố cục khóa luận

Ngoài mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm có 2 chương:

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Nội dung chính của chương này trình bày những kiến thức cơ sở sẽ dùng cho các chương sau như lý thuyết ma trận, lý thuyết nhóm, đại số trừu tượng, các từ hữu hạn và các số siêu phức, mối quan hệ giữa các từ

và ma trận, đồng cấu nhóm, đồng cấu nửa nhóm và các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận

Chương 2 Các bài toán tính toán trên nửa nhóm ma trận quaternion

Nội dung chủ yếu của chương này trình bày các kiến thức về các bài toán nửa nhóm ma trận quaternion và các kết quả liên quan

CÁC KÍ HIỆU THUẬT NGỮ Các kí hiệu cơ bản :

AB - Tích Kronecker của hai ma trận A và B

AB - Tổng trực tiếp của hai ma trận A và B

Các kí hiệu từ :

Cho các từ u  u u0 1 um và v  v v0 1 vn :



CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa

Chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu , , , lần lượt cho các tập số

tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số phức Trường số phức hữu tỉ được kí

hiệu bởi ( ), là các số có dạng a bi , trong đó a b,  và i2  1

Một cách tổng quát hơn và không giới hạn vào một hệ thống số cụ

thể nào, chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu F để chỉ một vành tùy ý

Một tập hợp là một tập các đối tượng riêng biệt (được gọi là các phần tử của tập hợp) Cho 2 tập hữu hạn, ví dụ là Aw, ,x y và

 , , 

B x y z , khi đó hợp của A và B được kí hiệu A B w, , ,x y z,

nó là tập các phần tử lấy từ một trong 2 tập A hoặc B Giao của 2 tập A

và B kí hiệu là A B  y z, , nó là tập các phần tử xuất hiện trong cả 2

Cho một ma trận n n

MF  , ta kí hiệu một phần tử trong hàng i và cột j bởi M i j, F Ma trận chuyển vị của M , kí hiệu là T

cũng trực giao thì khi đó chúng đƣợc gọi là trực chuẩn

Định thức của một ma trận M đƣợc kí hiệu det( ) M Chúng ta có

thể định nghĩa nó sử dụng quy nạp Laplace mở rộng định thức con Cho một ma trận ij n n

A  a F  , F là một vành tùy ý, khi đó

~

( 1) ( 1)

xóa Giả sử rằng định thức xác định trên (n 1) (n 1)

F    , khi đó:

~ ij ij

1det( ) ( 1) det( )

n

i j j

suy biến hay không khả nghịch Ma trận D được gọi là ma trận chéo nếu

 i j, 0,

D   i j , tất cả các phần tử trừ đường chéo đều là 0 Ma trận T

được gọi là ma trận tam giác trên nếu T i j, 0,  j i, phần tam giác

dưới của ma trận là số 0 (không bao gồm đường chéo hàng đầu)

Cho một ma trận n n

MF  , một vectơ khác vectơ không n

xF

mà Mxx, ở đó  , được gọi là một vectơ riêng Vô hướng 

được gọi là một giá trị riêng của ma trận M Nói chung, ma trận M có

thể có đến n giá trị riêng khác nhau Ta kí hiệu (M) là tập các giá trị

riêng của M , nó được gọi là phổ của M Bán kính phổ của M là giá trị

không âm (M)max |   |:  (M)

Nếu Mxx thì (I M x) 0 Vì x khác vectơ không, (IM) là suy biến, do đó det(IM)0 Điều này cho một đa thức bậc n, gọi là đa thức đặc trưng, nghiệm của nó là các giá trị riêng của

M

Cho hai ma trận i j

AF  và BF k m khi đó tích Kronecker của

A và B , kí hiệu AB, được định nghĩa bởi:

Một nửa nhóm được kí hiệu bởi ( , )S  , ở đây S là một tập (có thể

vô hạn) các phần tử và phép tính của S có tính chất kết hợp Nếu

,

a b S  thì a b S  Ta luôn bỏ qua dấu  và chỉ cần viết ab Ta gọi tập

tối tiểu các phần tử G mà bất kỳ phần tử nào của S cũng có thể biểu

diễn dưới dạng tích của các phần tử của G là hàm sinh của nửa nhóm S

Nếu mỗi cách phân tích như vậy là duy nhất thì ta gọi đó là nửa nhóm tự

do

Nếu tồn tại một phần tử e S mà  x S, ta có: xe  e x  x, thì

e được gọi là phần tử đơn vị, S được gọi là một vị nhóm, kí hiệu

( , , )S e Ta chứng minh được phần tử đơn vị e là duy nhất Hơn nữa, nếu  x S, y S sao cho xy yxe , thì S được gọi là một nhóm

(mỗi phần tử đều có phần tử ngược) Nếu  cũng giao hoán (ab ba ,a b S,  ) cấu trúc trên được gọi là một vị nhóm giao hoán hay một nhóm Abel Nếu mỗi sự phân tích của các phần tử của S là duy nhất

theo các phần tử sinh của nhóm với tích rút gọn, thì nhóm đó được gọi là

tự do

Một nửa nhóm là một tập S với hai phép toán định nghĩa trên

chúng, kí hiệu + và  , và phân biệt rõ ràng hai phần tử 0,1 vì ( , ,0)S  là một nửa nhóm giao hoán và ( , ,1)S  là một nửa nhóm Nếu ( , ,0)S  là một nhóm Abel thì S là một vành Nếu ( \ {0}, ,1) S  tạo thành một nhóm

Abel thì S là một trường

Một vành chia là một vành mà mỗi phần tử có một nghịch đảo Chúng ta thấy rằng một vành chia tương tự như một trường nhưng không yêu cầu phép nhân giao hoán Ta thấy rằng các quaternion tạo thành một vành chia nhưng không là một trường vì chúng không giao hoán đối với phép nhân Vành chia đôi khi cũng được gọi là trường nghiêng hoặc trường không giao hoán

1.1.3 Đại số trừu tượng

Các cấu trúc như là nửa nhóm, nhóm, trường, được gọi chung là cấu trúc đại số Chúng ta sẽ sử dụng hàm số hoặc ánh xạ giữa các cấu trúc đại số tương đương, cái mà bảo tồn các tính chất nhất định

Cho hai cấu trúc đại số A , B cùng loại, ta định nghĩa một ánh xạ

 ánh xạ các phần tử của A (được gọi là miền xác định) tới các phần tử của B (được gọi là miền ảnh) bởi  : AB Nếu mỗi phần tử của A ứng với một phần tử riêng biệt của B , nghĩa là ( ) x ( )y  x y, thì

 được gọi là đơn ánh Nếu mỗi phần tử y  B x, A sao cho: ( )x y

  , thì  được gọi là toàn ánh Một hàm số vừa đơn ánh, vừa toàn ánh được gọi là song ánh

Một đồng cấu là một ánh xạ  giữa hai cấu trúc đại số cùng loại

A , B sao cho (x y ) ( )x ( ),y x y, A, ở đó  là toán tử nhị

phân của A, là toán tử nhị phân của B Một đơn cấu là một đồng cấu

số phức, mà cho các số siêu phức, ở đó cho ta các số có nhiều phần ảo

W.R.Hamilton phát hiện ra bằng cách sử dụng chiều bốn, chúng ta

có thể mở rộng các số phức từ một vành chia với với các tính chất tương

tự số phức Thực vậy, chúng ta sử dụng ” Xây dựng Cayley-Dickson ”,

nó có thể định nghĩa một đại số trong chiều bất kì là lũy thừa của 2

Một dạng tương tự với số phức, đó là quaternion hữu tỉ, hay chính

là các số siêu phức, chúng có dạng    a bi cj dk, ở đó

, , ,

a b c d Để giảm bớt kí hiệu, ta định nghĩa vectơ  (1, , , )i j k

khi đó  ( , , , )a b c d  Ta kí hiệu tập các quaternion hữu tỉ bởi ( )

H Một quaternion có phần thực là 0 được gọi là một quaternion thuần túy và tập các quaternion hữu tỉ như vậy được kí hiệu là H( )0

Phép cộng quaternion cũng đơn giản như trong số phức, đó là chúng ta sẽ thực hiện cộng theo từng phần của các yếu tố:

một chuẩn trên quaternion bởi ||||   a2 b2  c2 d2 Nghịch đảo của một quaternion được cho bởi:

Một quaternion đơn vị quy ước là 1 và tương ứng với một phép quay trong không gian 3 chiều Cho một vectơ đơn vị r ( , , )r r r1 2 3 và một phép quay góc 0  2, ta cần tìm một biến đổi quaternion để biểu diễn một phép quay góc  (tính bằng radian) của một điểm

3' ( , , )

P  x y z  quanh trục r Để làm được điều đó, ta cần dùng một

mã hóa của P là một quaternion thuần túy P , cụ thể là: '

0(0, , , ) ( )

Ta định nghĩa một hàm số q:H( )H( ) bởi q( )P qPq1, ( ),|| || 1

PH q  Nếu q là lựa chọn chính xác để biểu diễn một phép quay của  quanh một trục đơn vị r, thì hàm số sẽ trở thành một quaternion thuần túy có dạng: (0, ', ', ')x y z  ở đây, ( ', ', ')x y z  3 là điểm quay chính xác

Nó cũng được biết đến như sau:

 như vừa mô tả quay P theo yêu cầu

Tất cả đơn vị quaternion có thể tương ứng với các điểm trên ba chiều Một cặp đơn vị quaternion p q , bất kì biểu diễn một phép quay bốn chiều Cho một điểm xH( ), ta định nghĩa một phép quay của

x bởi: px q



Ta cũng sử dụng kí hiệu SU để biểu thị nhóm khả nghịch 2

đặc biệt (tập các ma trận vuông cấp 2 có định thức bằng 1) O3là nhóm các phép biến đổi của không gian Euclide 3 chiều SO là một nhóm con 3

của O3, được gọi là nhóm trực giao đặc biệt, bao gồm các ma trận vuông cấp 3 có định thức bằng 1 hoặc -1

1.2 Mối liên hệ giữa các từ và ma trận

Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa bài toán về từ và bài toán ma trận Trong phần này, chúng ta sẽ nhấn mạnh mối liên hệ này và chỉ ra một số đơn cấu giữa các từ hoặc tập của các từ và ma trận cấp thấp Rõ ràng, vì các số phức là giao hoán, chúng ta không hi vọng lưu trữ một từ trong một số phức duy nhất khi sử dụng phép nhân chuẩn tắc là ghép các

từ, tuy nhiên chúng ta chỉ ra rằng các từ có thể bị chứa trong ma trận cấp

2, thậm chí trên các số nguyên

Chúng ta chỉ xem xét các từ nhị phân trong phần này và hầu hết khóa luận, vì chúng ta có thể thường sử dụng đồng cấu đơn giản từ bảng chữ cái bất kì đến bảng chữ cái nhị phân Ví dụ, cho 2 bảng chữ cái

x x1, 2, ,x k

  và   a b, chúng ta có thể định nghĩa đồng cấu

sử dụng để quy về các bài toán trên bảng chữ cái bất kì đến bài toán trên bảng chữ cái nhị phân

Chúng ta sẽ đưa ra các ví dụ cả về nửa nhóm tự do và nhóm tự do (ở đó có sự xuất hiện của các chữ cái nghịch đảo) Các đồng cấu này sẽ được sử dụng trong suốt khóa luận và  dưới đây cũng được biết đến từ các tài liệu Chúng ta tìm hiểu sự tự do của  khi nghiên cứu quaternion

1 1

b

   

Khi đó, 1 là một đơn cấu

Cho   , :   2 2 là các đơn cấu được định nghĩa như sau:

2 1( )

(w )

 là bằng 1, w , w1 2, khi chúng ta hình thành các tổng trực tiếp (w )1 (w )2 , chúng ta có thể hợp các phần tử này với nhau và ánh

xạ vào 3 3 chứ không phải 4 4

3 4

0

5 5( )

3 40

5 5

i a

1.3 Các bài toán tính toán trong nửa nhóm ma trận

Chúng ta sẽ chủ yếu xem xét các bài toán tính toán trên nửa nhóm

ma trận Sau đây chúng ta phác thảo cấu trúc những vấn đề chung mà chúng ta sẽ xem xét

Bài toán 1.1 (MEMBERSHIP PROBLEM)

Cho một nửa nhóm S được tạo ra bởi một tập hữu hạn G , và một

phần tử duy nhất X Khi đó, liệu X S hay không?

Các vấn đề tính toán được cho bởi các lớp ví dụ chứ không phải những ví dụ duy nhất Ví dụ, chúng ta có thể yêu cầu ”Cho một tập sinh của 10 ma trận nguyên cấp 4 tạo ra một nửa nhóm S Khi đó, tồn tại hay

không một thuật toán xác định liệu X S , ở đó X  4 4 ?” Ta mong muốn tìm một thuật toán duy nhất mà chúng ta có thể lấy bất kì ví dụ nào thuộc lớp ví dụ đó và trở lại câu trả lời „đúng‟ hoặc „sai‟ sau một vài bước hữu hạn hoặc chúng ta chứng minh không tồn tại thuật toán như vậy

Bài toán 1.2 (VECTOR REACHABILITY PROBLEM)

Cho một nửa nhóm ma trận S , tạo ra bởi một tập hữu hạn

Bài toán 1.3 (SCALAR REACHABILITY PROBLEM)

Cho một nửa nhóm ma trận S , được tạo bởi một tập hữu hạn

n n

G  F  , hai vectơ cột x y, F n và một vô hướng rF Tồn tại hay

không ma trận M S sao cho x My T r?

Rõ ràng rằng M không là duy nhất trong bài toán Scalar

Reachability

Bài toán 1.4 (SEMIGROUP FREENESS PROBLEM)

Cho một tập hữu hạn của ma trận G sinh ra một nửa nhóm S , mọi

phần tử MS có phân tích duy nhất thành nhân tử trên G ?

Như một ví dụ của Semigroup Freeness Problem, giả sử ta có một tập gồm 2 ma trận G ={A, B} tạo ra một nửa nhóm S Xem xét cây nhị

phân các tích của G trên hình 1.1

Nếu ví dụ hai phần tử được đánh dấu, AAB và BBA bằng nhau thì

ma trận của chúng là bằng nhau, vậy không có sự phân tích thành nhân

tử duy nhất trên G Nếu mọi ma trận trong cây nhị phân vô hạn là duy

nhất, thì nửa nhóm đó là tự do Chúng ta nghiên cứu sự tự do của nửa nhóm ma trận quaternion trong định lí 2.8 (Phần 2.3)