Các bài toán đại số có yếu tố hình học phương pháp giải và sáng tạo ra bài toán mới

3 GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ.. Lý do chọn đề tài Các bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhấ

BÀI TOÁN MỚI

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học GVC ThS PHẠM LƯƠNG BẰNG

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình

của thầy giáo Thạc sĩ Phạm Lương Bằng khoá luận của em đã hoàn

thành

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo

Thạc sĩ Phạm Lương Bằng người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và

đóng góp ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khoá luận

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khoá luận, em đã nhận được

sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất và tinh thần của các thầy giáo cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 nói chung và tổ Đại Số nói riêng Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn sinh viên để khoá luận của em được hoàn thiện hơn Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em nghiên cứu Bên cạnh đó

có sự quan tâm, giúp đỡ , tạo điều kiện của các thầy cô khoa Toán , đặc

biệt là sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Phạm Lương Bằng Vậy em xin khẳng định kết quả của đề tài:“Các bài toán đại số có yếu tố hình học; phương pháp giải và sáng tạo ra bài toán mới”

không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

Phần 1: 3

GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ 3

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOẠ ĐỘ VÀ VECTƠ 3

§1: Một số khái niệm cơ bản 3

§2: Phương trình đường thẳng và đường tròn 7

§3: Mối quan hệ giữa các đường 8

§4: Các bất đẳng thức hình học cơ bản 9

Chương 2: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 11

2.1 Các kiến thức cần sử dụng 11

2.2 Các bài toán 11

Chương 3: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 31

3.1 Phương pháp hình học với bất đẳng thức lượng giác 31

3.2 Các bài toán 31

Chương 4: CÁC BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 38

4.1.Phương pháp hình học với các bất đẳng thức hình học 38

4.2 Các bài toán 38

Phần 2: SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI 50

2.1.Sáng tạo như thế nào? 50

2.2 Sáng tạo bài toán mới từ các bất đẳng thức tổng quát 51

2.3 Sáng tạo một số bất đẳng thức nhờ các tính chất hình học 59

KẾT LUẬN 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

1

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm

số luôn là một chủ đề hấp dẫn trong chương trình giảng dạy và học tập của bộ môn toán ở nhà trường phổ thông Để giải các bài toán đó thì có rất nhiều phương pháp như: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số,phương pháp tam thức bậc 2…Trong những phương pháp đó ta không thể không kể đến một phương pháp khá đặc biệt đó là phương pháp toạ độ và véctơ

Người phát minh ra phương pháp toạ độ là nhà bác học nổi tiếng người Pháp Descartes ( 1596 – 1650 ) Desscartes đã đóng góp rất nhiều cho toán học Ông đã lập ra môn hình học giải tích (1619) mà cơ sở của phương pháp này là phương pháp toạ độ Nó cho phép ta chuyển một bài toán đại số sang hình học và ngược lại Việc sử dụng toạ độ để giải giúp cho các em thấy được mối tương quan một một giữa đại số và hình học Các kiến thức toán rất rộng lớn nhưng xem xét kĩ thì chúng có mối quan hệ mật thiết với nhau Việc tìm lời giải cho một bài toán là thực chất tìm ra nguồn gốc của bài toán đó, mối liên hệ của nó với các kiến thức khác và nhờ đó ta sẽ sáng tạo ra một lớp các bài toán mới nhờ phép toán tương tự hoá, khái quát hoá …

Được sự động viên giúp đỡ của thầy giáo thạc sĩ Phạm Lương Bằng

em đã mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khoá luận tốt nghiệp đại học

với đề tài:“Các bài toán đại số có yếu tố hình học; phương pháp giải

và sáng tạo ra bài toán mới”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về các bài toán đại số có yếu tố hình học và sáng tạo ra bài toán mới: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị

2

nhỏ nhất của hàm số.Dựa trên phương pháp toạ độ và các phép toán tương tự hoá, khái quát hoá…

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số bài toán về chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Trong chương trình toán trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu , phân tích , so sánh, tổng hợp

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOẠ ĐỘ VÀ VECTƠ

§1:Một số khái niệm cơ bản 1.1.Véctơ

- Định nghĩa: Véctơ là một đoạn thẳng có hướng Nếu vectơ có

điểm đầu là A, điểm cuối là B thì ta kí hiệu vectơ đó là AB

- Hai véctơ cùng phương hai véctơ a và b(b0) cùng phương khi

và chỉ khi có một số k để a kb

Nhận xét: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có một số k để

ABk AC

1.2 Tổng và hiệu của hai véctơ

- Tổng hai véctơ cho 2 véctơ a và b Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ

ABa và BCb Véctơ AC được gọi là tổng của hai véctơ a

và b Kí hiệu AC a b 

- Hiệu hai véctơ cho hai véctơ a và b Ta gọi hiệu của 2 véctơ a

và b là véctơ a  b Kí hiệu: a b

Nhận xét: Với 3 điểm O, A, B tuỳ ý ta có ABOB OA

- Độ dài véctơ AB là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véctơ AB Kí hiệu AB  AB

1.3 Toạ độ của một điểm

1.4 Toạ độ của một véctơ

- Cho hệ đề các 0xy và hai véc tơ đơn vị i j, trên trục 0x, 0y Khi đó nếu ux i y j thì cặp  x y; gọi là toạ độ của u Kí hiệu u x y ;hoặc u x y;

- Trong hệ toạ độ 0xyz với các véc tơ đơn vị i j k, , trên trục

0 , 0 , 0

x x y y z z   ,u x i  y j z k thì cặp x y z; ;  gọi là toạ độ

của u Kí hiệu u x y z ; ; hoặc ux y z; ; 

1.5 Tích vô hướng của 2 véctơ và tích có hướng của 2 véctơ

 Tích vô hướng của 2 véctơ

- Trong hệ 0xy cho ux y1; 1; vx y2; 2

5

a.Định nghĩa tích vô hướng: Cho hai véctơ u , v đều khác véctơ 0 Tích

vô hướng của 2 véctơ u , v là một số Kí hiệu là u v , được xác định

bởi công thức sau: u v  u v .cos u v,

Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho hai véc tơ bất kì ax y z1; ;1 1

và bx y z2; 2; 2là một véctơ, kí hiệu ,a b ( hoặc ab) Được xác

S S

Với mỗi ABCvà mỗi điểm M thì:

8 SABC SMABSMBCSMCA Đẳng thức này đƣợc mở rộng cho đa giác lồi

9 SMBC.MA S MCA.MBSMAB.MC0

c Diện tích tam giác

Giả sử trong hệ toạ độ 0xyz cho ABC

d Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ

Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ a b c, , đồng phẳng là:

a b c

   

 

1.6 Công thức trọng tâm và trung tuyến

Cho A a a 1, 2 ,B b b1, 2khi đó trung điểm đoạn AB có toạ độ

- Phương trình đường thẳng đi qua A a a 1, 2 ,B b b1, 2

3.2 Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng

Cho đường thẳng d:axby c 0 và đường tròn có phương trình

9

§4: Các bất đẳng thức hình học cơ bản 4.1Bất đẳng thức trong tam giác

Cho ABC Ta luôn có:

Dấu “=” xảy ra khi akbk 0

Tổng quát cho các véctơ a i i 1,n Khi đó

1 2 n 1 2 n

a  a a  a  a   a

10

4.6Cho đường tròn tâm     2 2 2

1; 1 : 1 1

I x y xx  yy R và đường thẳng d:axby c 0

a b





4.7Cho đường tròn tâm I, MN là dây cung của đường tròn, NM lớn nhất

khi và chỉ khi MN đi qua I ( tức MN là đường kính của đường tròn ) MN ngắn nhất khi và chỉ khi M N Hay MN là tiếp tuyến đường tròn

11

Vận dụng phương pháp hình học ta giải quyết các dạng bất đẳng thức đại số có chứa căn bậc hai, trong căn ta có thể đưa về tổng bình phương của 2, 3 số hạng Sau đó sử dụng công thức tính độ dài véctơ đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tổng của các đoạn thẳng trong đường gấp khúc và áp dụng tính chất: Tổng các đoạn thẳng trong 1 đường gấp khúc lớn hơn đoạn thẳng nối hai đầu mút

2.1 Các kiến thức cần sử dụng

 Hai véctơ a b, bất kì ta luôn có:

a b  a bDấu “=” xảy ra khi akb k 0;k 

 Tổng quát : cho n véctơ v v1, , ,2 v n

v1 v2 v n  v1  v2   v n

Dấu “=” xảy ra khi các véctơ v i cộng tuyến i = 1,2,….,n

 Với 3 điểm A,B, C ta luôn có: AB AC CB 

Dấu “=” xảy ra khi C nằm giữa A và B

13

Dấu “=” xảy ra khi OA OB OC, , cộng tuyến và cùng hướng

Xảy ra các khả năng sau:

a Có một véctơ là véctơ 0 Giả sử 0 4 0

  

Lại có by + cz = 6 do y = z ; b + c = 2   y z 3

Vậy

023

a b c z

14

32, , 0

   ( trái với giả thiết)

Vậy dấu “=” không thể xảy ra do vậy ta có đpcm là đúng

Với x3 ta dựng tam giác ABC vuông tại A AC=5 , AB x 3

Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1 Theo định lý Pitago ta có:

x k

x k x

x x

K

y x

  nội tiếp đường tròn (O)

Theo định lý Sin trong tam giác MNP ta có :

y x

31

3.1 Phương pháp hình học với bất đẳng thức lượng giác

Đối với bất đẳng thức lượng giác ta thường giải bằng phương pháp biến đổi tương đương , nhưng ta cũng có thể giải chúng bằng phương pháp hình học , khi đó coi hàm số lượng giác của một góc nào đó như một ẩn sau đó ta chuyển về bài toán hình học như ở phần bất đẳng thức đại số và

Do u   v u v nên ta có điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi u v, cùng hướng  u kv k0

(1 )   3 sinx 2sin x2 sinx 2sin2x 3

Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz vuông góc cho các véctơ:

v sin x s v sin x sin x

36

2 2

22

sinx 2

sin x sin x sin x sin x

sin x sinx sin x

w

v sin x sin y

37

4 2

Cho tam giác ABC và các số dương   , , điểm M mp ABC 

Tìm giá trị nhỏ nhất của đại lượng .AM2 .MB2 .MC2

 cùng phương với u AB dhay AB và d đồng phẳng

Giả sử Id xuất phát từ bài toán hình học ta gọi A‟ đối xứng với A qua

d

Khi đó IA IB IA'IB A B' Ilà giao điểm cuae A‟B với d thì IA +

IB sẽ nhỏ nhất.Gọi M AA'd do AB d nên IM // AB mà M là trung điểm của AA‟I là trung điểm của A‟B Hạ IK  ABthì K là trung điểm của AB

Từ tính chất trên ta làm bài toán như sau:

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam giác

a CMR : Các số đo SMBCMA S, MCAMB S, MABMC là độ dài 3 cạnh của một tam giác nào đó

b Tìm M sao cho diện tích nói trong câu (a) là lớn nhất

50

Qua các bài tập trên ta thấy việc sử dụng phương pháp toạ độ để giải quyết các bài toán là rất hiệu quả Theo dõi việc trình bày lời giải các bài tập trên ta thấy rằng thành công của việc sử dụng phương pháp toạ độ giải quyết các bài toán phụ thuộc vào việc lựa chọn các véctơ sao cho hợp lý

Lật ngược lại vấn đề, nếu ta chọn bộ véctơ khác thì sẽ sáng tạo ra các bài toán giải được bằng phương pháp toạ độ và véctơ

Từ bất đẳng thức (*) ta suy ra các bài toán sau:

1: Nếu x = y = 1 , z = 2 thì (*): 2cosA2cosB c C os 3 (I)

2: Nếu x2;y 3;z1 thì (*): 3cosA+2cosB+2 3cosC4 (II)

2

x cosAx cosB c  

(III)

sin A OA sin B OB sin C OC R sin A sin B sin C sin A sin B c C sin A sin C c B sin B sin C c A

21

2

R sin A sin A sin B C sin B C

sin B sin B sin C A sin C A

sin C sin C sin A B sin A B

R sin A sin A sin A sin B C sin B

sin B sin B sin C A sin C sin C sin C sin A B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếpABC

Ta có: OA MA sin A 2  OA MA sin A 2 ( Vì ABC nhọnsin A2 0)

Vậy 4RsinA sinB sinC MA sin A MB sin B 2  2 MC sin C 2

Dấu “=” xảy ra khi cosOA MA, cos(OB MB, )cos(OC MC, ) 1

Từ bài 2.2.3 ta mở rộng được các bài toán sau:

2.2.3a Giả sử MBC N; AC P; ABCcủa ABCnhọn thì:

N PN c A PM c B MN c C  a c A c B c C

Thật vậy ta chứng minh bài toán phụ sau:

3 đường tròn ngoại tiếp các ANP;CMN;BMP đồng quy tại 1 điểm

Vậy 3 đường tròn ngoại tiếp các BPM;APN;CMN cắt nhau tại T

+ Áp dụng định lý sin trong ABC ta có:

2

R sinA sinB  sinC 

R sin A R sin B R sin C

TAsin A TBsin B TCsin C

R sinA sinB sinC



Ta có: a c A b cosB os  c c C os R sin A 2 sin B2 sin C2 

= 4RsinA sinB sinC .Vậy 2PN c A os MP c B os MN c C os a c osA+b.cosB c cosC

2.2.3bKhi M là trung điểm của BC

N

P

C

a m

M

B

A

NA sin ANB sin BNC sin C  R sinA sinB sinC

M P: Trung điểm của AB.Ta có:

2.2.3c Cho M  Ata có AB sin B 2  AC sin C 2 4 R sinA sinB sinC

Cho M B AB sin A BC sin C 2  2 4 R sin A sin B sin C2 2 2

Cho M C CA sin A BC sin B 2  2 4 R sin A sin B sin C2 2 2

a b c

S   

khi M G

Từ kết quả bài 2.2.4 Ta có được một số bất đẳng thức sau:

2.2.4a Xét M là trung điểm của BC

Với R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Dấu “=” xảy ra khi GO.ABC đều

2 2

2.3.1.3 Cho a , b , c, d, e,f là các số dương trên hệ trục toạ độ Đecac

vuông góc xOy chọn các điểm M, N, P có toạ độ như sau:

P

N

O

M

2 2

2.3.1.6 Với điều kiện x2 y2 1

Trong mặt phẳng 0xy, xét các véctơ sau:

66

2.3.1.7 XétM a b N c d   ; , ; thoả mãn: a2b 9 0 và c2d 4 0Đặt A  6;4 ,B 2; 4 

Dấu “=” xảy ra khi nào?

2 Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a2b9;c2d 4

Nếu cho x2  y2 k2 với k , thì x y k 2

Nhƣ vậy lấy M x y ; thoả mãn : x2  y2 k2 MC x: 2  y2 k2

Hay sinA sinB sinC c Aos cos osB c C 1

Dấu “=” xảy ra khi a b, cùng phương , chiều

.cosA cos os

sinA sinB sinC

B c C

  tanA tanB tanC

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi

Với r: bán kính đường tròn nội tiếp ABC

R : bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

2.3.3 Sáng tạo nhờ các tính chất của tổng véctơ

1 Cho 2 véctơ a b, ta luôn có: a  b a b Dấu “=” xảy ra khi

ak b ; k0

Xét asinA sinB sinC b; ; , cosA;cos ; osB c C

Khi đó:a b sinA c A sinB c os ;  osB;sinC c osC

Dấu “=” xảy ra khi akb ; k0

cos cosB cosC

sinA kcosA

sinA sinB sinC sinB kcosB

A sinC kcosC

Cho ABC Chứng minh rằng :

3 4 sinA sinB sinC  2 2 cosA c B c C os os  1 2 cosA c B c C os os Dấu “=” xảy ra khi nào?

73

KẾT LUẬN

Phương pháp toạ độ cho phép ta chuyển một bài toán hình học sang đại số và ngược lại Lợi dụng tính chất này người ta đã chứng minh các bất đẳng thức đại số sang hình học Với đề tài này em xin đi sâu vào phương pháp hình học tức là dùng toạ độ và véctơ để chứng minh bất đẳng thức Nó là một phương pháp đặc biệt và được áp dụng cho một lớp các bất đẳng thức có chứa căn bậc hai Việc chứng minh các bài toán này hoàn toàn đưa về dạng hình học để chứng minh

Do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, lại bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu đề tà khoa học nên em không thể tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong nhận được ý kiến chân thành của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

74

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Văn Quý, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyến Việt Hà, Các dạng toán

về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất trong đạisố hàm số hình học

2 Phan Huy Khải (1995), Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

3 Phan Huy Khải (1996) , Phương pháp toạ độ để giải các bài toán sơ

cấp,nxb thành phố Hồ Chí Minh

4 Võ Giang Giai (2008), Chuyên đề ứng dụng phương pháp véctơ và toạ

độ để giải một số bài toán sơ cấp, nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội

5 Hồ Sĩ Vinh (2010), Những bài toán chọn lọc chứng minh bất đẳng thức

và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội

6 Tạp trí toán học và tuổi trẻ