Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong sách giáo khoa toán h

Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rè

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC

VÀ PHÁT TRIỂN MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG

SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 7

Họ và tên : Nguyễn Thị Cẩm Linh

Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm Môn đào tạo : Toán

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Krông Ana, tháng 2 năm 2018

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài :

- Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao Đặc biệt là với hình học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học

- Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 7 ở trường THCS Buôn Trấp chúng tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì việc cần làm ở mỗi người thầy, đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ một bài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán mới phong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán

- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán của ngành giáo dục Krông Ana ngày một khả quan hơn Chúng tôi xin cung cấp và trao đổi cùng đồng nghiệp đề tài kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 7” Đề tài này ta có thể bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh và cũng có thể dùng nó trong việc dạy chủ đề

tự chọn toán 7 trong trường THCS hiện nay Mong quý đồng nghiệp cùng tham khảo và

góp ý

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài chủ đề của môn Hình lớp 7, chủ yếu là phần đường tròn do chương này gần gũi với học sinh và xuất hiện nhiều trong các kỳ thi Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm phương pháp giải dạng toán này Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Toán nói

chung và phần Hình học nói riêng Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở phần Hình học mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Toán hơn Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cũng cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích và niềm đam mê của học sinh ở môn học đó Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập hình học trong Sách giáo khoa Toán 7 (tập 1,2)

4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu.

Phạm vi nghiên cứu học sinh trường THCS Buôn Trấp, chủ yếu là học sinh khối 7

và tài liệu bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp qua nhiều năm học

Thời gian thực hiện trong các năm học 2015 - 2018

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận

Nhóm phương pháp này nhằm thu thập các thông tin lý luận để xây dựng cơ sở lý luận của đề tài Thuộc nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận, có các phương pháp nghiên cứu cụ thể sau đây:

- Phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu.

- Phương pháp khái quát hóa các nhận định độc lập.

5.2 Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Nhóm phương pháp này nhằm thu thập các thông tin thực tiễn để xây dựng cơ sở thực tiễn của đề tài Thuộc nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn có các phương pháp nghiên cứu cụ thể sau đây

- Phương pháp điều tra.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục.

- Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động.

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.

5.3 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng các công thức thống kê và các phần mềm để xử lý số liệu thu được

II PHẦN NỘI DUNG 1.Cơ sở lí luận

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Qua việc giảng dạy thực tế nhiều năm ở THCS chúng tôi thấy hiện nay đa số học sinh sợ học phần Hình học Tìm hiểu nguyên nhân tôi thấy có rất nhiều học sinh chưa thực sự hứng thú học tập bộ môn này vì chưa có phương pháp học tập phù hợp với đặc thù bộ môn, sự hứng thú với phần Hình học là hầu như ít có Có nhiều nguyên nhân, trong đó ta có thể xem xét những nguyên nhân cơ bản sau:

- Đặc thù của bộ môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năng này học sinh không chỉ phải nắm vững các kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic Kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó, đặc biệt là học sinh lớp 7 các em mới được làm quen với chứng minh Hình học Các em đang bắt đầu tập dượt suy luận có căn cứ và trình bày chứng minh Hình học hoàn chỉnh Đứng trước một bài toán hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào

- Trong quá trình dạy toán nhiều giáo viên còn xem nhẹ hoặc chưa chú trọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở SGK hoặc chưa đầu tư vào lĩnh vực này, vì thế chưa tạo được hứng thú cho học sinh qua việc phát triển vấn đề mới từ bài toán cơ bản

- Việc đưa ra một bài toán hoặc phát triển một bài toán cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để có kết quả giáo dục tốt còn hiều hạn chế

- Học sinh THCS nói chung chưa có năng lực giải các bài toán khó, nhưng nếu được giáo viên định hướng về phương pháp hoặc kiến thức vận dụng, hoặc gợi ý về phạm vi tìm kiếm thì các em có thể giải quyết được vấn đề

- Ngay cả với học sinh khá giỏi cũng còn e ngại với phân môn Hình học do thiếu

sự tự tin và niềm đam mê

2 Thực trạng

Trong hoạt động dạy và học Toán nói chung, đối với bộ môn hình học nói riêng thì vấn đề khai thác, nhìn nhận một bài toán cơ bản dưới nhiều góc độ khác nhau nhiều khi cho ta những kết quả khá thú

vị Ta biết rằng ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho họ Cụ thể như khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học - Một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để

từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên

Từ những bài toán chuẩn kiến thức, giáo viên không dừng ở việc giải toán Việc khai thác một số bài toán hình học cơ bản trong SGK không những gớp phần rèn luyện tư duy cho HS khá giỏi mà còn tạo chất lượng, phù hợp với giờ học, gây hứng thú cho HS ở nhiều đối tượng khác nhau

+ Để giải quyết vấn đề trên trong quá trình giảng dạy cần chú trong các bài toán ở SGK Biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học, vừa có điều kiện tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản và từ đó hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này

+ Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết

và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập, bên cạnh đó còn hình thành cho các em sự yêu thích và đam mê bộ môn hơn

- Các em phải được tập suy luận từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp

- Phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực ,độc lập và kích thích tò mò ham tìm hiểu đem lại niềm vui cho các em

+) Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

*) Học sinh không giải được:

- Học sinh chưa biết liên hệ giữa kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao.

- Chưa có tính sáng tạo trong giải toán và khả năng vận dụng kiến thức chưa linh hoạt

*) Học sinh giải được:

- Trình bày lời giải chưa chặt chẽ, mất nhiều thời gian.

- Chưa sáng tạo trong vận dụng kiến thức

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…để nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả năng học môn Toán giữa các em trong lớp học không đồng đều Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh còn yếu trong kỹ năng phân tích và vận dụng …

Một số bộ phận phụ huynh học sinh không thể hướng dẫn con em mình giải các bài toán hình Vì vậy chất lượng làm bài tập ở nhà còn thấp

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

Cho ABC cân tại A(A   90 0)

BH AC H AC , CK AB K( AB)



BH CK tại I

C/m: 1.1 AH = AK

1.2 IAB IAC

3 Nội dung và hình thức của giải pháp:

a Mục tiêu của giải pháp:

- Tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu đề bài

- Giải hoặc hướng dẫn học sinh cách giải

- Khai thác bài toán và giúp học sinh hướng giải bài toán đã được khai thác

- Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Kỹ năng nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp

cụ thể Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo

- Kiểm tra, đánh giá mức độ nhận thức của học sinh thông qua các bài kiểm tra Qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán hình học, thông qua các bài toán

có tính tư duy

b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

- Từ bài toán sách giáo khoa toán 7 (Bài 65- trang 137_SGK_Toán 7_tập 1_NXB giáo dục 2003)

Bài toán 1:

Cho ABC cân tại A(  0

A 90 ), Vẽ BHAC H( AC), CK AB K( AB)

1.1. Chứng min rằng AH = AK

1.2. Gọi I là giao điểm của BH và CK Chứng minh rằng AI là tia phân giác của A Giải:

Phân tích bài toán 1:

- Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hay hai góc bằng nhau, thông thường ta phải ghép vào hai tam giác chứa hai đoạn thẳng hoặc hai goác đó bằng nhau (Tuy nhiên còn nhiều cách khác) Vậy để chứng minh AH = AK ta phải chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?

KL

GT

- Hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào?

- Giả thiết đã cho ta được gì rồi? Có thể chứng minh hai đoạn thẳng đó bằng nhau trực tiếp không? Hay phải thông qua các yếu tố trung gian nào?

- Bằng các câu hỏi gợi mở, giáo viên để học sinh thảo luận rồi đưa ra phương án chứng minh riêng của học sinh

- Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh theo một trong hai sơ đồ sau:



 ( 

AB AC ABCcân)

KAH chung

BK = CK (vì AB =AC)

KCBHBC

BC chung; KBC HCB (ABC cân)

- Tương tự như trên giáo viên nêu hệ thống câu hỏi gợi mở giúp học sinh tìm ra được lời giải câu 1.2 theo một trong các sơ đồ sau:

AI là tia phân giác của góc A

 1

2

AKI AHI

AK = AH (c/m ở câu a) ; AI chung

AI là tia phân giác của góc A

 1

2

ABIACI

+  1

1

C

B (KCBHBC) + AB = AC (ABC cân) + AI cạnh chung

- Theo câu 1.1, ta đã chứng minh được AK =AH, cho ta biết điều gì?

- ABCcân tại A, ta tính số đo góc B như thế nào?

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

- Hai góc B và K ở vị trí nào? Nhận xét gì về vị trí của hai cạnh KH và BC ? Bài toán 1.3 Chứng minh rằng: KH // BC

- AKHlà tam giác cân tại A Do đó học sinh chỉ ra

được AKH AHK  1800 BAC

2 (1)

- Vì ABCcân tại A, nên học sinh chứng minh được :

  1800 BAC

ABC ACB

2 (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: AKH ABC  , mà hai góc này ở vị trí đồng vị, điều này giúp học sinh chứng minh được: KH // BC

- Nhận xét gì về vị trí tương đối của hai cạnh AI và BC? Ta có bài toán sau:

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng: AI vuông góc với BC.

Ở bài toán A (hình 2), ABCcân tại A AB = AC

Học sinh đã chứng minh được  1

2

A A , có thêm AN là cạnh chung, nên suy ra:

ABNACN c g c( ) N 1N 2mà    0

1 2

N N 180 (kề bù)

 

0 0

1 2 180

2

 ANBC hay AIBC

Vì học sinh đã chứng minh được KH // BC ( bài toán 3) mà bài toán 2 lại chứng minh được AI BC, nên ta có AI KH

Từ đó giúp học sinh dễ dàng chứng minh được bài toán sau:

Bài toán 1.5 Chứng minh rằng: AI KH

Như đã chứng minh ở bài toán 2 (hình 2): ABNACN c g c( )  BNNC 

N là trung điểm của BC:

Từ đó giúp học sinh tìm được lời giải cho bài toán

sau:

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng: AI đi qua trung điểm

của BC

Bài toán khác tương tự:

Bài toán 1.7 Chứng minh rằng: AI đi qua trung

điểm của KH.

Tổng hợp các bài toán trên (hình 3), học sinh

chứng minh được các bài toán tương tự sau:

Bài toán 1.7 Chứng minh rằng: AI vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, đường trung trực của ∆ABC

- Với giả thiết của bài toán (hình 4), học sinh đã chứng minh được AI KH tại D

Mà  

2 1

A H (cùng phụ AHD), Mà  

1 2

A A  A 1 H 1 hay BAI KHB 

 Đến đây học sinh sẽ định hướng cần phải làm gì khi bắt gặp bài toán sau:

Bài toán 1.8 Chứng minh rằng BAI KHB  .

 Sau khi chứng minh xong bài toán 7, thì BAIcòn bằng góc nào nữa trong hình vẽ trên

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 1.9 Chứng minh rằng BAI HBC  .

Ta có:  

 





BAI KHB ( )

BAI HBC KHB HBC ( )

cmt slt

 Nhận xét gì về hai góc: BAC ; HBC  ?

Bài toán 1.10: Cho ∆ABC cân tại A (A   90 0), vẽ

đường cao BH (HAC) Chứng minh rằng HBC BAC

2

.

Ta có:

 







1 2

1

2 BAI HBC ( )

cmt cmt

 Để chứng minh được bài 9, thì chúng ta cần phải kẻ thêm đường phụ nào?

- Đây là một bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 7 Tuy nhiên bài toán này có nhiều cách chứng minh khác nhau, nhưng để chứng minh được đòi hỏi học sinh cần phải linh động vẽ thêm đường phụ

- Nếu ta đảo lại một số dữ kiện ở giả thiết của bài toán ban đầu thì ta sẽ có thêm các bài toán khác nữa Củ thê như sau:

Bài toán 1.11 Cho ∆ABC cân tại A (  0

A 90 ), vẽ đường cao BH (HAC) Trên canh AB lấy điểm K sao cho AK = AH Chứng minh rằng:

(Bài 40- trang 48 – Sách nâng cao và phát triển toán 7 – NXB Giáo dục 2003)

- Chứng minh câu a tương tự bài toán 2

- Để chứng minh CKAB ta làm thế nào?

Nguyễn Thị Cẩm Linh – Trường THCS Buôn Trấp – Krông Ana

A I

K H

N

Cho ABC cân tại A(  0

A 90 )

AH HC H AC , AKKB K( AB)

C/m: 1

2

A

D H

K

+ Chứng minh   0

AKB 90 ; dự đoán xem AKB có thể bằng góc nào trong hình vẽ?

+ Chứng minh: AHBAKC;   0

AHC 90 (gt)    0

AKB 90 (đpcm)

Bài toán 1.12: Cho ∆ABC cân tại A (  0

A 90 ), Một điểm I nằm trong tam giác sao cho IB = IC Chứng minh rằng:

a) BAI CAI  ; b) AIBC

- Ta có:  

( ) ( )

IB IC gt

AB AC gt AI là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

- Xét ∆ABC cân tại A  (dpcm)

- Nếu ta thay giả thiết A   90 0thì bài toán có chứng minh

được hay không? Sự thay đổi đó có cần phải phân chia các trường hợp hay không?

+) Ở các bài toán 1,2,3,4,5,6,8,9,10 nếu thay đổi Athì bài toán không ảnh hưởng, vẫn chứng minh bình thường

+) Đối với bài toán 7 thì có ảnh hưởng Vì khi   0

A 90 thì BAI ; KHB  bù nhau

- Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 1.13 Cho ∆ABC cân tại A (  0

BH, CK (HAC K, AB)cắt nhau tại I Hãy cho biết mối quan hệ

giữa hai góc BAI và HBC

- Nếu BH, CK là các đường trung tuyến thì ta sẽ có

một số bài toán sau:

Bài toán 2: Cho ∆ABC cân tại A (  0

A 90 ), có các đường trung tuyến BH, CK

(H AC K, AB) Chứng minh rằng: HK =

2

1 BC Giải:

Hướng dẫn giải:

+Để chứng minh KH =

2

1

BC  BC = 2KH, ta tạo ra 1 đoạn thẳng = 2 MN, rồi chứng minh đoạn thẳng đó bằng BC

KL

GT