3 chuyên đề QUAN HỆ VUÔNG góc Lớp 11 , Ôn Thi Đại Học

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – BÀI TẬP MẪU • Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc m

DẠNG 1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – BÀI TẬP MẪU

• Đường thẳng song song với mặt phẳng:

Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó

song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng

a  P

Viết dạng mệnh đề: d // P   

d //a

• Tính chất giao tuyến song song:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b

song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt

phẳng phải song song với a và b

• Tính chất để dựng thiết diện song song:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một

mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆

phải song song với a

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng

(P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm

a   P

trong (P) Viết dạng mệnh đề: d  P   

d  a

+ Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc

với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường

+ Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một

đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường

thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong

(P)

 // a // b

H là trực tâm tam giác ABC

a) Chưng minh rằng BH  SAC  và CH  SAB

b) Gọi K là trực tâm tam giác SBC chứng minh rằng: SC  HBK  và HK  SBC 

chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác ABC

+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông

góc xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P)

vuông góc với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’

Lời giải:

a) Do H là trực tâm tam giác ABC nên ta có: BH  AC

Mặt khác BH  SA nên suy ra BH  SAC 

a) Do ABCD là hình thoi nên ta có: AC  BD

Mặt khác ABC là tam giác đều nên H thuộc đoạn

a) Gọi M là trung điểm của AB ta có CM  AB

(do tam giác ABC đều)

Khi đó E là trung điểm của AM do vậy HE là

đường trung bình của tam giác ACM nên

trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AC, gọi E là điểm thuộc cạnh AB sao cho

AB  4 AE và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng BK   AHC  4

cắt BC tại I Hạ CH  SI H  SI  Lấy điểm K trên cạnh SC sao cho SK  3 SC

b) Kéo dài DM

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AD , M là hình chiếu của S nằm trên

là trung điểm của BC

a) Chứng minh rằng BC  SAM 

b) Kẻ AH  SM H  SM  Chứng minh rằng AH  SBC 

c) Gọi P  là mặt phẳng chứa AH và vuông góc với SAC  cắt SC tại K Chứng minh rằng SC  P

Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD

a) Chứng minh rằng rằng CD  (SAD), BD  (SAC)

b) Chứng minh rằng SC  (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)

c) Chứng minh rằng HK  (SAC), từ đó suy ra HK  AI

Từ (1) và (2) ta được AK (SCD)

Mà SC  (SCD)  AK SC, (*)

Chứng minh tương tự ta cũng được AK SC, (**)

Từ (*) và (**) ta được SC  (AHK) Do SC  ( AHK )     AI  ( AHK )

2





SC  a

Do A  (AHK) nên không thể xảy ra AI // (AHK), khi đó AI  (AHK), hay điểm I thuộc (AHK)

c) Ta nhận thấy BD  (SAC), nên để chứng minh HK  (SAC) ta sẽ tìm cách chứng minh BD // HK

Thật vây, do các tam giác SAB và SAD bằng nhau nên các đường cao AH và AK bằng nhau Khi đó,

∆SAH = ∆SAK  SH = SK  SH  SK  HK // BD  HK  (SAC)

b) Theo a, SH  (ABCD)  SH  AC

Do HK là đường trung bình của ABD nên HK // BD, mà BD  AC  HK  AC

Từ đó ta được, AC  (SHK), hay AC  SK

Lại có CK  DH  CK  (SHD) , hay CK  SD

CK  SH

Lời giải:

a 2 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD

a) Chứng minh rằng SH  (ABCD)

b) Chứng minh rằng AC  SK và CK  SD

là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng SH  AC

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM  SA Tính AM theo a

Đặt CM  x ta có: BM AH  0  BC  CM .AI  IH  BC.IH  CM AI  0

Do vậy K là trực tâm tam giác BCD

2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC

a) Chứng minh rằng CC  (MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB Chứng minh rằng K là trực tâm của BCD

a 5

đường cao AB = a ; AD = 2a và M là trung điểm AD

a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông tại C

b) Kẻ SN vuông CD tại N Chứng minh rằng CD  (SAN)

DẠNG 2 HAI MẶT PHẲNG

VUÔNG GÓC

S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại C , hai mặt phẳng

SAB và SAC  cùng vuông góc với đáy Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB

đỉnh S xuống mặt phẳng đáy  ABCD

a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD  AC

Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường

chéo AC khi đó BD  SH do vậy BD  SAC 

Suy ra SAC   SBD

b) Ta có: BD  SAC   SA  BD

Lại có BE  SA  SA  BDE 

Do vậy SAC   BDE  dpcm

chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy  ABC  là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông

góc của M trên A’C Chứng minh rằng:

vuông góc với đáy

a) Chứng minh rằng SAD  SAB, SBC   SAB

b) Gọi I là trung điểm của SB Chứng minh rằng  ACI   SBC 

c) Xác định J trên cạnh SA sao cho BJD  SAD

Lời giải :

 Để BJD  SAD thì BJ  SA  J là trung điễm của SA

a) Kẻ SH  AC  SH   ABC   SH  BC Kết hợp BC  AC  BC   SAC   SBC   SAC 

b) Theo câu a, BC  SAC , AI  SAC   BC  AI

Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI  SC  AI  SBC    ABI   SBC 

Lời giải:

4

2

là hai điểm trên BC và DC sao cho MB  a ; DN  3a Chứng minh rằng (SAM)  (SMN)

phẳng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC

a) Chứng minh (SBC)  (SAC)

b) Chứng minh (ABI)  (SBC)

Điểm M thuộc AD do vậy MA  SAB

Khi đó: EMA  SAB

Hay    EMA

SAD cùng vuông góc với đáy, SA  a Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM  x (α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB)

a) Chứng minh SA   ABCD

b) Xác định (α)

d) SBD∩    MN và thiết diện là tứ giác AMIN

DẠNG 2 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

SAB và SAC  cùng vuông góc với đáy Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB Chứng minh rằng:

đỉnh S xuống mặt phẳng đáy  ABCD

c) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD  AC

Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường

chéo AC khi đó BD  SH do vậy BD  SAC 

Suy ra SAC   SBD

d) Ta có: BD  SAC   SA  BD

Lại có BE  SA  SA  BDE 

Do vậy SAC   BDE  dpcm

chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy  ABC  là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông

góc của M trên A’C Chứng minh rằng:

vuông góc với đáy

d) Chứng minh rằng SAD  SAB, SBC   SAB

e) Gọi I là trung điểm của SB Chứng minh rằng  ACI   SBC 

f) Xác định J trên cạnh SA sao cho BJD  SAD

Lời giải :

 Để BJD  SAD thì BJ  SA  J là trung điễm của SA

c) Kẻ SH  AC  SH   ABC   SH  BC Kết hợp BC  AC  BC   SAC   SBC   SAC 

d) Theo câu a, BC  SAC , AI  SAC   BC  AI

Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI  SC  AI  SBC    ABI   SBC 

Lời giải:

4

2

là hai điểm trên BC và DC sao cho MB  a ; DN  3a Chứng minh rằng (SAM)  (SMN)

phẳng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC

c) Chứng minh (SBC)  (SAC)

d) Chứng minh (ABI)  (SBC)

Điểm M thuộc AD do vậy MA  SAB

Khi đó: EMA  SAB

Hay    EMA

SAD cùng vuông góc với đáy, SA  a Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho AM  x (α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB)

c) Chứng minh SA   ABCD

d) Xác định (α)

h) SBD∩    MN và thiết diện là tứ giác AMIN

3

DẠNG 3 TỔNG HỢP VỀ CHỨNG MINH VUÔNG GÓC- BÀI TẬP

vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB)

b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ Chứng minh SH  AC và tính độ dài SH

c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM  SA Tính AM theo a

a) Chứng minh tam giác SBC vuông

b) Tính theo a độ dài đoạn AD

c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0  x  a Tính độ dài đường cao DE của tam giác

a) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh AI  BC’

b) Gọi M là trung điểm của BB’ Chứng minh AM  BC’

c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ = a/4 và J là trung điểm của B’C’

a) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD Chứng minh SC  (AHK)

b) Gọi C’ là giao điểm của SC với (AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a

BD

a) Chứng minh C’K  BD

b) Chứng minh (C’BD)  (C’CK)

c) Kẻ CH  C’K Chứng minh CH  (C’BD)

Câu 8: Cho tam giác đều ABC Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S Gọi D là trung điểm của BC

a) Chứng minh (SAD)  (SBC)

b) Kẻ CI  AB, CK  SB Chứng minh SB  (ICK)

c) Kẻ BM  AC, MN  SC Chứng minh SC  BN

d) Chứng minh (CIK)  (SBC) và (MBN)  (SBC)

e) MB cắt CI tại G, CK cắt BN tại H Chứng minh GH (SBC)

f) Chứng minh 6 điểm B, C, I, K, M, N cách đều D