Lý Thuyết đàn hồi ,Tương tự màng mỏng , Theory of Elasticity

I.Phương pháp Prandtl- Giả sử ta có một mặt cứng trên đó có khoét lỗ, hình dạng lỗ giống như hình dạng mặt cắt.Trên mặt lỗ có căng một cái màng mỏng .màng chịu áp lực phân bố đều p.. -T

SỰ TƯƠNG TỰ MÀNG MỎNG

Môn học: Lý Thuyết Đàn Hồi

Giảng viên: Vũ Công Hòa

Nhóm: 2

Nội dung báo cáo:

I.Phương pháp Prandtl

- Giả sử ta có một mặt cứng trên đó có khoét lỗ,

hình dạng lỗ giống như hình dạng mặt cắt.Trên mặt

lỗ có căng một cái màng mỏng màng chịu áp lực phân bố đều p các điểm trên mặt trung giang của màng sẽ có chuyển vị nhỏ z(x,y).Áp lực p coi như tác dụng theo phương thẳng đứng.

Bài toán đặt ra:

-Xét màng mỏng chịu tác dụng của áp suất p làm nó phồng lên so với mặt phẳng ban đầu.

p

z

y

x

- Gọi q là lực căng màng trên một đơn vị chiều dài.

A

B

qdx

qdy

dx dy

x

y O

- Ở phân bố màng mỏng ABCD Lực qdy tác dụng lên cạnh AD và nghiêng 1 góc  với trục ox.

    𝑧

𝑥

z

O

x q

z

-Vì góc     𝑧

𝑥 là nhỏ.Nên lực tác dụng trên BC nghiêng 1 góc:

z

x

qdy

qdy

z

x +

2z

x2 dx z

x O

 +  

𝑥 dx  z

𝑥 + 2 𝑧

𝑥2dx dx

AD

BC

-Tương tự như vậy ta cũng có được góc nghiêng

của lực:

AB: 𝑧

𝑦 CD: z 𝑦 + 2 𝑧

𝑦2dy

-Chiếu tất cả các lực tác dụng trên phân bố ABCD lên

trục Oz:

-qdy z

x + qdy( z

x + 2 z

x2dx) - qdx z

y + qdx( z

y + 2 z

y2 dy) + pdxdy =0

-Rút gọn biểu thức ta được:

2𝑧 = 2 z

x2 + 2 z

y2 = −𝑝

𝑞 (1)

-Trên chu tuyến của màng: z = 0 (2)

-So sánh điều kiện (1), (2) , 2 = −2𝐺 và  = 0 trên chu tuyến

 z =  với điều kiện 𝑝

𝑞 = 2𝐺

-Tưởng tượng cắt màng mỏng nằm ngang song song với

mặt cứng, ta được một đường khép kín đường đồng mức và chiếu nó lên mặt cắt ngang thanh tròn bị xoắn.

y

z

𝑛

K

𝐾′



𝑧𝑦

𝑧𝑥

- Trên các đường đồng mức z = const  𝑑𝑧

𝑑𝑠 = 0  𝑑

𝑑𝑠 = 0

- Điều này chứng tỏ , ứng suất tiếp tại một phân bố diện tích dọc theo đường cong có phương trùng với phương tiếp tuyến

đường cong đường ứng suất tiếp

- Ứng suất  tại một điểm:

 = 𝑧𝑦 cos  − 𝑧𝑥 sin 

cos  = 𝑑𝑥

𝑑𝑛 sin  =

𝑑𝑦 𝑑𝑛

 = −  

𝑥

𝑥

𝑛 − 

𝑦

𝑦

𝑛 = − 

𝑛

𝑦𝑧 = − 

𝑥 𝑥𝑧 =



𝑦  𝑛 = − 𝑧

𝑛 = 𝑡𝑎𝑛

-  là góc nghiêng của màng so với mặt phẳng nằm ngang

  = tan

x h

b

max𝑧𝑥

max𝑧𝑦

𝑧𝑥

𝑧𝑦

𝑧𝑦

𝑧𝑥

-Vì góc nghiêng tỷ lệ với các đường đồng mức trên màng, nên hệ các

đường đồng mức cho ta bức tranh về sự phân bố ứng suất tiếp trong

thanh bị xoắn

Hình 1

Từ hình ảnh, ta rút ra một số nhận xét sau:

1 Càng gần biên, mật độ các đường đồng mức càng cao Tại biên

có ứng suất lớn nhất

2 Đối với các biên là hình có hai trục đối xứng (hình ellip, hình

chữ nhật), thì mật độ đường đồng mức sẽ cao nhất ở cuối trục ngắn của hình

3 Nếu mặt cắt là hình chữ nhật hẹp thì tại những nơi đủ xa cạnh

ngắn, có thể coi màng mỏng bị biến dạng như một mặt trụ có đường sinh song song với cạnh h Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều p lên màng, giao tuyến của mặt trụ này với mặt cắt vuông góc với trục Oy là một đường parabol, dạng parabol này suy ra từ (1):

Z= 𝑝

2𝑞(- 𝑥2 + 𝑏2

4 )

Theo (1) hàm ɸ có dạng:

ɸ= Gθ(-𝑥2 + 𝑏2

4 )

Tương tự ở (1) và Mz=2 ∫F ɸdF, ta có:

Mz=2 ∫F zdF (4) Tức là mô men xoắn có thể đo bằng hai lần thể tích phần phồng lên của màng, với điều kiện thay 𝑝

𝑞 Bằng 2Gθ Xét điều kiện cân bằng của phần màng nằm trên mặt cắt 1-1 ta có:

F là diện tích phần mặt cắt giới hạn bởi đường đồng mức, dấu ∫

biểu thị tích phân trên toàn bộ đường đồng mức khép kín

pF – q ∫tgβ ds = 0 (5)

Thay (1) và (3) vào (5), ta được:

∫τds = 2 GθF

Quan hệ này biểu thị định lý luân lưu của ứng suất tiếp: tích phân của ứng suất tiếp trên một đường đồng mức là một hằng số tỉ lệ với diện tích giởi hạn bởi đường đồng mức đó

Phương pháp tương tự màng mỏng rất thuận tiện cho việc nghiên cứu ứng suất và biến dạng của thanh bị xoắn có mặt cắt phức tạp mà việc giải bằng lý thuyết có khó khăn

Người ta thường chế tạo một cái hộp, ở mặt trên có khoét lỗ có hình dạng mặt cắt ngang thanh bị xoắn Lỗ được phủ một lớp màng mỏng Khi bơm hơi hoặc chất lỏng vào hộp, màng phồng lên Bằng phương pháp chụp ảnh nổi, người ta vẽ được các đường đồng mức

và tính được thể tích do màng phồng lên, từ đó tính được góc xoắn

và ứng xuất tiếp

Trở lại với hình 1

Thay z =ɸ= Gθ(-𝑥2 + 𝑏

2

4 ) vào công thức (4), ta có:

Mz=2h ׬

−𝑏

2

𝑏

2 (−𝑥2 + 𝑏2

4 ) dx= Gθ𝑏3ℎ

3

Do đó:

θ = Mz

1

3 𝐺𝑏3ℎ

Trên mỗi đường thẳng y = const đủ xa cạnh trên và cạnh dưới của mặt cắt, ứng xuất tiếp có giá trị

τ zy=− 

𝑥=− 6Mz

𝑏3ℎ 𝑥

Ứng xuất này phân bố theo quy luật tuyến tính, biểu đồ phân bố

vẽ ở hình 1 Ứng xuất tiếp lớn nhất khi x=±𝑏

2

𝑏2ℎ