VỊ TRÍ CUA CÁC ĐIỂM CÓ N VÂN TRÙNG NHAU

Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước sóng nằm trong khoảng từ 0,45 µm đến 0,75 µm.. Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng

Vị trí của các điểm có đúng n vân sáng trùng nhau

Không mất tính tổng quát ta xét nửa vùng giao thoa với x0

Ta đã biết vân trung tâm có màu giống màu của ánh sáng do nguồn phát ra, các vân sáng bậc khác không bị tách thành một dải màu (quang phổ liên tục) Bề rộng của quang phổ liên tục bậc k được tính bởi:

D k

a

Khi k tăng, các dải màu nói trên sẽ dãn ra và có thể chồng chất dần lên nhau Vậy điểm có n vân sáng trùng nhau phải thuộc vùng giao nhau của n quang phổ có bậc liên tiếp nhau

Gọi k là bậc thấp nhất của các vân sáng trùng nhau và đặt max

min









Để trong quang phổ bậc k tồn tại vùng mà các điểm trong đó có ít nhất

n vân sáng trùng nhau (vùng tô màu trên hình) ta có điều kiện cần là :





 (*)

Do k là bậc bé nhất của vùng đang xét nên ta có







 (**)

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra như sau:

1 Khi maxD   minD n



 Lúc này hiển nhiên ta có:   maxD   minD

Vùng loại a được hình thành như hình 1

Kết hợp với (*) ta có: n k n 1



 

Điểm M thuộc các vùng này có tọa độ được giới hạn bởi :

M

(a) Khi dấu đẳng thức xảy ra tại đầu bên trái của biểu thức (1) thì tại vị trí biên trên của vùng loại này có n  1 vân sáng trùng nhau Do đó ta không thể dùng đồng thời dấu đẳng thức bên trái của (1) và (a)

2 Khi maxD   minD n





Có hai khả năng sau:







 Vùng loại b được hình thành như hình 2

Vậy lúc này ta có: n k n 1

Điểm M thuộc các vùng này có tọa độ được giới hạn bởi:

M

k(λmax)

k + n – 1 (λmin)

k(λmin) Hình 1

I Vùng a

∆k

k + n (λmin)

k – 1 (λ max )

k(λ max )

k + n – 1 (λ min )

k + n (λ min )

Hình 2

k – 1 (λ man )

k (λ min )

Vùng b

∆k

k(λmax)

k + n – 1 (λmin)

k(λmin)

∆k

Tương tự như trên ta cũng không thể dùng đồng thời dấu đẳng thức bên phải của (2) và (b)



 Vùng loại c được hình thành như hình 3

Kết hợp với (**) ta có: n k n 1



Điểm M thuộc các vùng này có tọa độ được giới hạn bởi:

M

D D





Tương tự như trên ta cũng không thể dùng đồng thời dấu đẳng thức bên phải của (3) và (c)

Trên cơ sở các kết quả thu được ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1: Tìm số vùng mà mọi điểm trong đó có đúng n vân sáng trùng nhau

Từ (1), (2) và (3) ta có trong nửa vùng giao thoa đang xét, số vùng có đúng n vân sáng trùng nhau là số giá trị

nguyên của k thỏa: n k n 1



* Với ánh sáng trắng ta có   2 nên điều kiện trên trở thành: n     2 k n 1

Nghĩa là đối với ánh sáng trắng luôn có 6 vùng trong đó có đúng n bức xạ cho vân sáng trùng nhau

Ví dụ 1 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước sóng nằm trong khoảng từ 0,45 µm đến 0,75 µm Tìm số vùng trên màn mà tại mỗi điểm trong vùng đó có sự trùng nhau của đúng 4 vân sáng

Ta có: 5

3



Tồn tại 4 giá trị nguyên của k Vậy có 8 vùng cần tìm

Ví dụ 2 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước sóng nằm trong khoảng từ 0,4 µm đến 0,5 µm Tìm số vùng trên màn mà tại mỗi điểm trong vùng đó có sự trùng nhau của đúng 4 vân sáng

Ta có: 5

4



Tồn tại 10 giá trị nguyên của k Vậy có 20 vùng cần tìm

Bài toán 2: Tìm điểm gần vân trung tâm nhất có đúng n bức xạ trùng nhau

Từ chứng mih trên ta có giá trị nguyên nhỏ nhất của k thỏa (1) cho ta vùng gần vân trung tâm nhất nên điểm cần tìm chính là điểm I thuộc vùng loại a và ứng với giá trị nguyên nhỏ nhất của k

D

x k n 1

a



   (5) với kmin n 1

1









Ví dụ 1 (trích đề thi 2017) Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là 1

mm, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là 2 m Chiếu vào hai khe ánh sáng trắng có bước sóng từ 380 nm đến 760 nm Trên màn, M là vị trí gần vân trung tâm nhất có đúng 5 bức xạ cho vân sáng Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

∆k

k + n (λ min )

k – 1 (λ max )

k + n – 1 (λ min )

Hình 3

k (λ min )

Vùng c

k(λ max )

J

A 6,7 mm B 6,3 mm C 5,5 mm D 5,9 mm

Ta có điều kiện để có 5 vân sáng trùng nhau: k 5 1 4 kmin 4

1





Tại điểm M cần tìm ta có:   min

D

a



Ví dụ 2 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước sóng biến thiên liên tục từ 0,45 µm đến 0,75 µm Biết D = 2m, a = 2mm Khoảng cách ngắn nhất từ vân trung tâm đến vị trí có đúng 4 bức xạ cho vân sáng trùng nhau có giá trị nào sau đây?

Tương tự bài trên ta có điều kiện: k 3 4,5 kmin 5

1



Điểm cần tìm có tọa độ:   min min

I

Bài toán 3: Tìm vị trí của điểm xa vân trung tâm nhất mà tại đó có n vân sáng trùng nhau

Vùng mà mọi điểm trong đó có đúng n vân sáng trùng nhau và xa vân trung tâm nhất chính là vùng ứng với giá trị nguyên lớn nhất của k thỏa (c)

Do tại J tồn tại n  1 vân sáng nên điểm M cần tìm có tọa độ :

D

x x k n

a



   (6) với kmax n

1











Ví dụ 1 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến

thiên liên tục từ 405 nm đến 690 nm Gọi M là điểm xa vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng với

4 bức xạ đơn sắc trùng nhau Biết D = 1 m; a = 1 mm Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

Ta có: kmax n 8,1 kmax 8

1







Vậy điểm M có tọa độ thỏa:   min

M

D

a



Ví dụ 2 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe S1 và S2 được chiếu bởi ánh sáng có bước sóng nằm trong khoảng từ 0,4 µm đến 0,5 µm Gọi M là điểm xa vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng với 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau Biết D = 1 m; a = 1 mm Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A 10,0 mm B 9,7 mnm C 9,4 mm D 8,7 mm

Tương tự bài toán trên ta có: kmax n 21 kmax 20

1







Vậy điểm M có tọa độ thỏa:   min

M

D

a



Bài toán 4: Tìm điểm M mà tại đó có n vân sáng trùng nhau trong đó có vân sáng của bức xạ với bước sóng λ0 cho trước

+ Nếu điểm M thuộc vùng loại a ta có điều kiện: maxD 0D   minD

Suy ra phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa : max   min

k m k n 1 

Trong vùng loại a ta phải lưu ý vị trí biên trên khi dấu đẳng thức xảy ra trong các biểu thức (1)

+ Nếu điểm M thuộc vùng loại b ta có điều kiện:   minD 0D   minD



Suy ra phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa :   min   min

k n  m k n 1 

+ Nếu điểm M thuộc vùng loại c ta có điều kiện:   minD 0D   maxD



Suy ra phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa :   min   max

k n  m k 1 

Ví dụ 1 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến

thiên liên tục từ 405 nm đến 690 nm Gọi M là điểm gần vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng với 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau Biết một trong 4 bức xạ này màu lam ứng với bước sóng 525 nm Bước sóng ngắn nhất của 4 bức xạ nói trên

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 5 thỏa: 5,68 4 k 3 4,26

Vậy chỉ tồn tại một vùng loại a

Nếu bức xạ đang xét cho vân sáng thuộc vùng này thì phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa:

5 m 5 4 1 

       6,6  n  6,2 Vô nghiệm

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 6 thỏa: 6,68 n 1 k n 5, 68

Vậy chỉ tồn tại một vùng loại b

Nếu bức xạ đang xét cho vân sáng thuộc vùng này thì phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa:

6 4  m 6 4 1 

      7,7  m  6,94  m  7

Bước sóng nhỏ nhất lúc này được tính bởi: 9   70    408 nm

Ví dụ 2 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến

thiên liên tục từ 405 nm đến 690 nm Gọi M là điểm xa vân trung tâm nhất mà ở đó có đúng 4 vân sáng ứng với 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau Biết một trong 4 bức xạ này màu lam ứng với bước sóng 525 nm Bước sóng dài nhất của 4 bức xạ nói trên

Ta có: 8,1 n k n 1 6,68





Tồn tại hai vùng loại c ứng với các giá trị k = 7 và k = 8

Nếu bức xạ đang xét cho vân sáng thuộc vùng k = 8 thì phải tồn tại giá trị nguyên của m thỏa:

D

Tương tự với k = 7 ta có :   min   max

7 4  m 7 1 

     8,5  m  7,3  m  8 Bước sóng dài nhất lúc này được tính bởi: 7   80    600 nm

Ví dụ 3 Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng có bước sóng biến

thiên liên tục từ 392 nm đến 711 nm Gọi M là điểm trên màn mà ở đó có đúng 4 vân sáng của 4 bức xạ đơn sắc trùng nhau Biết một trong 4 bức xạ này có bước sóng 582 nm Bước sóng ngắn nhất và dài nhất của 4 bức xạ nói trên là bao nhiêu?

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 4 thỏa: 4,9 n k n 1 3,7



Điều kiện để bức xạ màu lam đang xét cho vân sáng thuộc vùng này

4 m 4 4 1 

       6,57  m  6,17 Vô nghiệm

Tồn tại 1 giá trị nguyên k = 5 thỏa: 5,9 n 1 k n 4,9

Điều kiện để bức xạ màu lam đang xét cho vân sáng thuộc vùng này là:

5 4  m 5 4 1 

Bước sóng ngắn nhất được tính bởi: 60  8 1  1  436,5 nm

Bước sóng dài nhất được tính bởi: 60  52  2  698,4 nm

Tồn tại 2 giá trị nguyên của k thỏa: 7,1 n k n 1 5,9





Với k = 6 ta có: min max

10 m 5

     6,7  m  6,1 Vô nghiệm

Với k = 7 ta có:   min max

7 4  m 6

    7,4  m  7,3 Vô nghiệm