b Gọi Sn là tổng các chữ số của n.. b Cho góc xAy nhọn.. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz sao cho tia Ay nằm trong góc xBz và Ay // Bz.. Vẽ tia Am và Bn lần lượt là tia phân
Trang 1B
C
TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 7, 8
LẦN 1 NĂM HỌC 2017- 2018
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Chú ý: Thí sinh dự thi không được sử dụng máy tính cầm tay!
Bài 1 (2,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức 1 1 1 1
4 28 70 10300
b) Tìm x, y, z biết: 1 2 2 3
và x 2y3z2 18.
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Cho dãy tỉ số bằng nhau
2007 2009 2011
Chứng minh rằng: ( )2 ( )( )
4
a c
a b b c
b) Cho a c d a b d a b c b c d
(Với các số a, b, c, d và các tổng b + c + d,
c + d đều khác 0) Tính giá tị của biểu thức A a a b a b c a b c d
Bài 3 (3,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 x 3 x4.
b) Gọi S(n) là tổng các chữ số của n Tìm số tự nhiên n, biết: n + S(n) = 94.
c) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn 1 1x y 23.
Bài 4 (2,0 điểm)
a) Cho hình vẽ bên, biết: 0
180
xAC yBC ACB
Chứng tỏ Ax // By.
b) Cho góc xAy nhọn Trên tia đối của tia Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz sao cho tia Ay nằm trong góc xBz và Ay // Bz Vẽ tia Am và Bn lần lượt là tia phân giác của góc xAy và góc ABz Chứng tỏ
Am // Bn.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho a và b là các số nguyên dương sao cho a2 + b 2 chia hết cho tích ab Hãy tính A =
2018 2018
1009 1009
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
====== HẾT =====
Họ tên học sinh: ……….……… SBD: ………… Phòng thi số: ………….
Trang 2TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 7, 8
LẦN 1 NĂM HỌC 2017- 2018
(HDC này gồm 02 trang)
Bài 1: (2,0 điểm)
a
1,0 điểm
4 28 70 10300
3 4 4 7 100 103
1
3 103
= 34
103
0,5 0,5
b
1,0 điểm
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
2
2 3 6 18 6
3
1 3 2
x
x = 5
y = 7;
z2 = 9 x = 3
Vậy các bộ số (x; y; z) thỏa mãn là (5; 7; 3); (5; 7; -3)
0,25
0,25
0,25 02,5
Bài 2: (2,0 điểm)
a
1,0 điểm
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2007 2009 2011 2007 2011 207 2009 2009 2011
a c a b b c
a c a b
2
a c a b b c
2
( )
( )( ) 4
a c
a b b c
0,25 0,25 0,25 0,25
b
1,0 điểm
Nếu a + b + c+ d = 0 thì b + c + d = -a; a + b = - (c + d); a + b + c = - d; b + c +
d = a
A
0
Nếu a + b + c + d 0 thì a = b = c = d
A = 1 2 3 4
3 2 1 1 =
25 3
Vậy A = - 4 nếu a + b + c + d = 0 và A = 25/3 nếu a + b + c + d 0
0,25
0,25 0,25 0,25
Bài 3: (3,0 điểm)
a
A = x1 x2 x 3x4
Ta có: x 3 x4 7 Dấu bằng xảy ra khi – 4 x 3
x x Dấu bằng xảy ra khi -2 x 1
0,25
Trang 31 2 1
1
y B
C
z
z
x
y n
B
m
A
1,0 điểm Do đó A 7 + 3 = 10
Dấu bằng xảy ra khi – 4 x - 2 và 1 x 3 nên -2 x 1
Vậy MinA = 10 khi -2 x 1
0,25 0,25 02,5
b
1,0 điểm
n + S(n) = 94 (*)
n < 94 => S(n) ≤ 8 + 9 =17
n + S(n) = 94 n = 94 – S(n) ≥ 94 - 17 = 77
nên 94 > n ≥ 77
n = ab (a, b N, 9 ≥ a ≥ 7)
n = 9b (*) 90 +b + 9 + b = 94 2b = -5 ( vô lý do b là chữ số )
n = 8b (*) 80 + b + 8 + b = 94 2b = 6 b =3
n =7b (*) 70 + b + 7 + b = 94 2b = 17 => b = 17/2 (loại)
Vậy n = 83
0,25 0,25 0,25 0,25
c
1,0 điểm
x và y có vai trò như nhau nên giả sử x y
2 1 1 1 1 2
3 x y y y y nên
2 2
3y y 3
Nếu y = 1 thì x = - 3 (loại)
Nếu y = 2 thì x = 6 (thỏa mãn)
Nếu y = 3 thì x = 3 (thỏa mãn)
Vậy các cặp số (x, y) thỏa mãn là: (2; 6); (6; 2); (3; 3)
0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 4: (2,0 điểm)
a
1,0 điểm
Kẻ tia Cz sao cho Cz // Ax
(Cz và Ax nằm cùng phía trên nửa mặt phẳng bờ AC)
A1C11800 (trong cùng phía) 0
A B C (gt)
nênB1BCz
By // Cz (cặp góc so le trong bằng nhau)
Mà Cz // Ax nên Ax // By
0,25 0,25 0,25 0,25
b
1,0 điểm
Ay // Bz nên xAy = ABz (đồng vị)
1
2
xAm xAy ; 1
2
ABn ABz(t/c tia phân giác)
Do đó xAm ABn
Suy ra Am // Bn (góc đồng vị bằng nhau)
0,25 0,25
0,25 0,25
Bài 5: (1,0 điểm)
1,0 điểm
Gọi d = (a, b);
Suy ra a = dm, b = dn với m, n N và (m, n) = 1
a2 + b2 = d2(m2 + n2) và ab = dmn
a2 + b2 chia hết cho ab nên m2 + n2 chia hết cho mn
(m, n) = 1 nên m2 + n2 m và m2 + n2 n
m2
n và n2 m
mn và n m
m = n mà (m, n) = 1 nên m = n = 1
2018 2018
0,25 0,25 0,25 0,25
Giám khảo chú ý: - HDC chỉ là một cách giải HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm
cụ thể của HS để cho điểm Bài 4b không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không chấm điểm