a Chứng minh DM là tiếp tuyến của đường tròn O,R b Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH c Hai đường kính AH và DE của O,R phải thỏa mãn điều kiện gì để d
Trang 1UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Đề gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN : TOÁN
LỚP : 9 Thời gian : 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ Câu 1: (5 điểm)
a) Chứng minh: 2002
2 M 4 31
b) Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 cũng là số nguyên tố
Câu 2: (5 điểm)
a) Giải phương trình: 4 4
x x b) Giải hệ phương trình sau:
xy x y
yz y z
zx z x
�
�
�
�
( I )
Câu 3: (5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2
x x b) Cho a,b,c � 0 Chưng minh rằng a3 b3 c3 �a2 bc b 2 ca c 2 ab
Dấu “ =” xảy ra khi nào ?
Câu 4: (5 điểm)
Cho đường tròn (O,R), hai đường kính AH và DE.Qua H kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O,R) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BH và HC
a) Chứng minh DM là tiếp tuyến của đường tròn (O,R)
b) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c) Hai đường kính AH và DE của (O,R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN bé nhất?
Trang 2
-Hết -UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN : TOÁN
LỚP : 9 Thời gian : 150 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
1
a) (2điểm) Chứng minh : 2002
2 M 4 31
2000
2000 2 2
2002
2002
Vậy : 2002
b) (3 điểm) Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p+14 cũng là số
nguyên tố
- Nếu p=2 thì p+10=12 và p+14=16 đều là hợp số nên loại 0.5đ
- Nếu p=3 thì p+10=13 và p+14=17 đều là số nguyên tố nên
- Nếu p>3 thì p 3k� 1(do p là số nguyên tố) 0.5đ Với p=3k+1 thì p 14 3k 15 3M 0.5đ Với p=3k-1 thì p 10 3k M 9 3 0.5đ
2 a) (2 điểm) Giải phương trình: 4 4
x x
2
t x x �x t
0.25đ
Ta có : 4 4
t t
4 4 3 6 2 4 1 4 4 3 6 2 4 1 2 0
t t t t t t t t
Trang 34 2
4 2
t t
�
2 2
0
t t
t
�
�
(vì t2 6 0 vô nghiệm)
0.25đ
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -4 0.25đ b) (3 điểm) Giải hệ phương trình:
xy x y
yz y z
zx z x
�
�
�
�
( I )
Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ đã cho 0.5đ Xét trường hợp xyz 0 thì hệ
( I ) �
3 2 5 6 4 3
x y xy
y z yz
z x xz
�
�
�
�
�
�
�
�
2
6
3
x y
y z
z x
�
�
�
�
�
�
�
�
� (II)
1đ
Cộng theo vế ba phương trình của hệ pt (II) ta được:
2 1 1 1 11 1 1 1 11
Lấy (1) trừ theo vế lần lượt các pt của hệ (II ) ta được:
x = 1 ; y = 2 ; z = 3 0.75đ Vậy hệ pt có hai nghiệm ( 0;0;0) và ( 1;2;3) 0.25đ
3 a) (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2
x x
Ta có B = x2 3x 3 =
2
2
x x ��x ��
Vì
2 3 0 2
x
� � �
� � nên
2
x
� � �
Vậy B đạt GTNN bằng 3
4 khi
2
0
� � �
0.5đ
Trang 4b) (3 điểm)
Cho a,b,c � 0 Chứng minh rằng:
a b c �a bc b ca c ab
Dấu “ =” xảy ra khi nào ? Áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm a3 và abc 0,25đ
Tương tự ta có :
2 2
b abc b ca
c abc c ab
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được:
a b c abc� a bc b ca c ab ( 1) 0,5đ
Mà a3 b3 c3 3abc a b c a 2 b2 c2 ab bc ca 0,25đ
=1 2 2 2
0
2 a b c ��a b b c c a ��� 0,25đ
Do đó 3 3 3
3
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
2a3 b3 c3� 2a2 bc b 2 ca c 2 ab
Hay a3 b3 c3 �a2 bc b 2 ca c 2 ab
0,5đ
//
//
/
/
N
B
I
M
C
D
H A
Trang 5a) (1.75điểm) Chứng minh DM là tiếp tuyến của đường tròn
(O,R)
Ta có: OHD ODH Vˆ ˆ ( ì DOH V cân tại O) (1) 0.25đ Chứng minh được tam giác DMH cân tại M �MHD MDHˆ ˆ (2) 0.25đ Cộng (1) với (2) theo vế ta được: OHD MHD ODH MDHˆ ˆ ˆ ˆ 0.5đ Mà: OHD MHDˆ ˆ 90 ên 0n ODH MDHˆ ˆ 900 0.25đ
DM OD
Vậy: DM là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) 0.25đ b) (1.5 điểm) Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung
điểm của OH
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
: 2 : 2
BH AH BH AH BH AH
ˆ ˆ
BHO AHN c g c
OBH NAH
�
�
0.25đ Mà: NAHˆ IMHˆ ( Vì cùng phụ với góc ANM) 0.25đ
OBH IMH OB MI
Vì M là trung điểm của BH nên I là trung điểm của OH
Vậy trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH 0.25đ c) (1.5điểm) Hai đường kính AH và DE của (O,R) phải thỏa mãn
điều kiện gì để diện tích tam giác AMN bé nhất?
2
AMN
AH MN
ABC
( Chú ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa cho ý đó)