DÙNG TỔNG ARCSINE XÁC ĐỊNH NHANH KHOẢNG THỜI GIAN DAO ĐỘNG CƠ

DÙNG TỔNG ARCSINE XÁC ĐỊNH NHANHKHOẢNG THỜI GIAN DAO ĐỘNG Dương Trác Việt** Tóm tắt nội dung Bài viết trình bày chiến lược tổng arcsine và quy trình bốn bước của nó trong việc xác định k

DÙNG TỔNG ARCSINE XÁC ĐỊNH NHANH

KHOẢNG THỜI GIAN DAO ĐỘNG

Dương Trác Việt**

Tóm tắt nội dung

Bài viết trình bày chiến lược tổng arcsine và quy trình bốn bước của nó trong việc xác định khoảng thời gian khi di chuyển giữa hai li độ của một vật dao động điều hòa

Từ khóa

Điều hòa — khoảng thời gian — góc quét — arcsin

** h Diễn đàn Thư viện Vật lý.

Mục lục

2.1Quy ước 1 2.2Quy trình giải 2

1 Vấn đề

Biết phương trình dao động của vật là

x = A cos¡ωt +ϕ¢.

Tìm khoảng thời giantđể vật đi từ li độx1đến li độx2theo một tính chất nào đó [2, tr 3]

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Quy ước

1 Kí hiệua → b thể hiện vật di chuyển từađến b;

2 Kí hiệua ↔ b thể hiện vật di chuyển từađến b hoặc ngược lại;

3 Nếua < 0thì

(i) a ↔ 0đều chuyển về0 → −a, ta hình thức hóa sự chuyển đổi này bởi kí hiệu7→, tức là

(a ↔ 0) 7→ (0 → −a);

(−1 ↔ a) 7→ (−a → 1).

2.2 Quy trình giải

Chúng tôi đề xuất quy trình giải Bài toán 1gồm bốn bước cơ bản

1 Chuẩn hóa li độ

x∗

i =xi

A;

2 Vẽ lược đồ chuyển động đã chuẩn hóa1 (xem Hình1);

−1 −p3

2

p 2 2

p 3

Hình 1 Lược đồ chuyển động đã chuẩn hóa

3 Dựa vào lược đồ và hướng chuyển động, phân tích quãng đường đi được theo li độ chuẩn hóa và vị trí cân bằng VTCB0hoặc vị trí biên VTB±1;

4 Tính toán

(a) Góc quét αi bằng cách lấy α hai vế của kết quả Bước 3 Trong đóαlà hàm số

tuyến tính2 xác định bởi3

α(a → b) = arcsin b −arcsina;

(b) Khoảng thời gian

t =

Pαi

ω .

3 Ví dụ

Ví dụ 1. [1, tr 43] Một vật dao động trên trụcOxvới phương trình

x = 5cos³4πt− π3´

cm

Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độx1= −2,5cm đến li độx2= 2,5p2cm?

A 1

20 s

Lời giải.Chọn đáp án B

1 Chuẩn hóa li độ

x∗

1= −2,55 = −12;

x∗

2=2,5

p 2

p 2

2 .

−12 0 p2

2

S

Hình 2 Ví dụ 1

3 Dựa vào lược đồ, ta phân tích quãng đường đi như sau

−12→

p 2

2 =

µ

−12→ 0

¶ +

Ã

0 →

p 2 2

! (∗)

Vìµ−1

2→ 0

¶ 7→

µ

0 →12

¶

(theo Quy ước2.1) nên

(∗) ⇔ −12→

p 2

2 =

µ

0 →12

¶ +

Ã

0 →

p 2 2

!

4 Tính toán

(a) Góc quét4

α

Ã

−12→

p 2 2

!

= α

µ

0 →12

¶

+ α

Ã

0 →

p 2 2

!

= arcsin12+ arcsin

p 2

2 .

(b) Khoảng thời gian:

t =arcsin

1

2+ arcsinp22

5

48.

Ví dụ 2. [1, tr 48] Một vật dao động điều hòa trên trụcOxvới phương trình

x = 8cos³5πt+ π3´

cm

Khoảng thời gian ngắn nhất để vật dịch chuyển từ li độ x1= 1 cm đến li độx2= 5cm có giá trị gần đúng là

Lời giải.Chọn đáp án A

1 Trên thực tế, chỉ vẽ các đầu mút 0 <12=

p 1

2 <

p 2

2 <

p 3

2 < 1(với chiều âm thì thêm dấu − và viết dãy số này từ phải sang trái).

2 Hàm số y = f (x) là hàm tuyến tính nếu f (x + y) = f (x)+ f (y) và f (ax) = af (x)

3 Để gọi hàm arcsin trong máy tính cầm tay, ta bấm qj<.

4 Lưu ý, arcsin0 = 0

1=18= 0,125;

x∗

2=58= 0,625

2 Lược đồ (xem Hình 3)

S

S1

S2 Hình 3 Ví dụ 2

3 Phân tích

0,125 → 0,625 = (0 → 0,625)−(0 → 0,125)

4 Tính toán

(a) Góc quét

α(0,125 → 0,625) = α(0 → 0,625)−α(0 → 0,125)

= arcsin0,625 − arcsin0,125

(b) Khoảng thời gian

t =arcsin0,625 −arcsin0,1255π

≈ 0,035

Ví dụ 3. [1, tr 51] Một vật dao động điều hòa có phương trình

x = 8cos³7πt+ π6´

cm

Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x1= 4p2cm đến x2= −4p3cm là

A 1

3 s

Lời giải.Chọn đáp án A

1 Chuẩn hóa

x∗

1=4

p2

8 =

p2

2 ;

x∗

2= −4

p 3

8 = −

p 3

2 .

−p23 0 p22

S

S1

S2

Hình 4 Ví dụ 3

2 Lược đồ (xem Hình 4)

3 Phân tích

p2

2 → −

p3

2 =

Ãp2

2 → 0

! +

Ã

0 → −

p3 2

!

7→

Ã

0 →

p 2 2

! +

Ã

0 →

p 3 2

!

4 Tính toán

(a) Góc quét

α

Ãp 2

2 → −

p 3 2

!

= α

Ã

0 →

p 2 2

!

+ α

Ã

0 →

p 3 2

!

= arcsin

p 2

2 + arcsin

p 3

2 .

(b) Khoảng thời gian

t =arcsin

p 2

2 + arcsinp23

7π

=121

Ví dụ 4. [1, tr 51] Một vật dao động điều hòa có phương trình

x = A cos¡ωt +ϕ¢.

Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độx1= −Ap2

2 đếnx2= Ap3

âm là

A T3 B T6 C T8 D 13T24

Lời giải.Chọn đáp án D

1 Chuẩn hóa

x∗

1= −

p 2

2 ;

x∗

2=

p3

2 .

−1 −p2

2

S1

Hình 5 Ví dụ 4

2 Lược đồ (xem Hình 5)

3 Phân tích

−p2 2

chiều âm

GGGGGGGGGGA

p 3

2 =

Ã

−

p 2

2 → −1

! + (−1 → 0) +

Ã

0 →

p 3 2

!

7→

Ãp2

2 → 1

! + (0 → 1) +

Ã

0 →

p3 2

!

4 Tính toán

(a) Góc quét

αà −p2 2

chiều âm

GGGGGGGGGGA

p 3 2

!

= α

Ãp 2

2 → 1

!

+ α(0 → 1) + α

Ã

0 →

p 3 2

!

= arcsin1 − arcsin

p 2

2 + arcsin1 + arcsin

p 3 2

= 2arcsin1 + arcsin

p 3

2 − arcsin

p 2

2 .

(b) Khoảng thời gian

t =2arcsin1 +arcsin

p 3

2 − arcsinp22

ω

=

13π

12

2π

T

=13T

24 .

Ví dụ 5. [2, tr 30] Một vật nhỏ thực hiện dao động điều hòa theo phương trình

x = 5cos³4πt− π3´

cm

Khoảng thời gian vật di chuyển từ vị trí ban đầu đến vị trí có tọa độ−2,5p3cm lần thứ hai là

A 1

48 s

Lời giải.Chọn đáp án C

Nhập vào màn hình

5cos(−π÷3)

2, vậyx1= 2,5 Trong chế độ radian (qw4), sửa màn hình thành

d

dx(5cos(4πX −π÷3))¯¯x=0

bấm =, máy hiện54.41398093 > 0, vậy v1> 0

Hai thông tin trên chứng tỏ rằng tại t1= 0vật qua tọa độ x1= 2,5theo chiều dương

Ta giải bài toán trên theo bốn bước như sau

1 Chuẩn hóa

x∗

1=2,55 =12;

x∗

2= −2,5

p 3

5 = −

p 3

2 .

2 Lược đồ (xem Hình 6)

−1 −p3

S

S1

S2

S3

S4

Lần 1

Lần 2

Hình 6 Ví dụ 5

3 Phân tích

1 2

chiều dương

GGGGGGGGGGGGA

lần 2 −

p 3

2 =

µ1

2→ 1

¶ + (1 → 0) + (0 → −1) +

Ã

−1 → −

p 3 2

!

7→

µ1

2→ 1

¶ + (0 → 1) + (0 → 1) +

Ãp 3

2 → 1

!

=

µ1

2→ 1

¶ + 2(0 → 1) +

Ãp 3

2 → 1

!

4 Tính toán

αà 1 2

chiều dương

GGGGGGGGGGGGA

lần 2 −

p 3 2

!

= α

µ1

2→ 1

¶

+ 2α(0 → 1) + α

Ãp 3

2 → 1

!

= arcsin1 − arcsin12+ 2arcsin1 + arcsin1 − arcsin

p 3

2 .

= 4arcsin1 − arcsin12− arcsin

p3

2 .

(b) Khoảng thời gian

t =4arcsin1 −arcsin

1

2− arcsinp23

4π

=38

4 Kết luận

Khi biết phương trình dao động và một số tính chất của chuyển động, tổng arcsinlà một chiến lược hữu hiệu giúp xác định nhanh khoảng thời gian vật di chuyển từ li độ x1 đến li độx2

Tài liệu

Vật lý, tập 1: Dao động cơ học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội