Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)

Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ

Mã số: ĐH2016-TN06-01

Chủ nhiệm đề tài: ThS NCS Dương Thị Việt An

Thái Nguyên, 4/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ

Mã số: ĐH2016-TN06-01

(ký, họ tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài(ký, họ tên)Xác nhận của tổ chức chủ trì

ThS NCS Dương Thị Việt An

Thái Nguyên, 4/2018

DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN

VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

I Thành viên thực hiện đề tài

1 ThS Dương Thị Việt An Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Chủ nhiệm

2 TS Mai Viết Thuận Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Thư ký +NCV

3 ThS Nguyễn Thị Thanh Huyền Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH NCV chính

II Đơn vị phối hợp thực hiện

Viện Toán học, Viện Tư vấn, giúp đỡ, định hướng nghiên cứu GS TSKH Nguyễn

Công nghệ Việt Nam

Đại học Quốc gia Tôn Hợp tác nghiên cứu, viết chung bài báo GS Jen-Chih YaoTrung Sơn, Đài Loan

Đại học Bách Khoa Hợp tác nghiên cứu, viết chung bài báo TS Nguyễn Thị Toàn

Hà Nội

Mục lục

1.1 Nón pháp tuyến của tập lồi 3

1.2 Dưới vi phân của hàm lồi 3

1.3 Đối đạo hàm 3

1.4 Hàm giá trị tối ưu 4

1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm thức 4

1.6 Một số kết quả bổ trợ 4

Chương 2 Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi sử dụng điều kiện chính quy kiểu Aubin 6 2.1 Tính ổn định vi phân dưới điều kiện chính quy kiểu Aubin 6

2.2 Phân tích các điều kiện chính quy 7

2.3 Kết luận 7

Chương 3 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc 8 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số 8

3.2 Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch có tham số 9

3.3 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu 9

3.4 Các ví dụ minh họa 11

3.5 Kết luận 11

Chương 4 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu lồi, liên tục 12 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục 12

4.2 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển 14

4.3 Các ví dụ minh họa 15

4.4 Kết luận 15

Lp([0, 1], Rn) không gian các hàm đo được Lebesgue

x : [0, 1] → Rn với R01||x(t)||pdt hữu hạn

W1,p([0, 1], Rn) không gian Sobolev gồm các hàm

liên tục tuyệt đối x : [0, 1] → Rnvới ˙x ∈ Lp([0, 1], Rn)

các ma trận thực tuyến tính n × nsup

x∈K

inf

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của hàm f tại x

∂xϕ(¯x, ¯y) dưới vi phân riêng theo biến x

của hàm ϕ tại (¯x, ¯y)

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi

của Ω tại ¯x

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị giữa hai không gian X và Y

D∗F (¯x, ¯y)(·) đối đạo hàm của F tại (¯x, ¯y)

M∗ : Y∗ → X∗ toán tử liên hợp của M

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Đơn vị: Trường Đại học Khoa học

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu

có tham số

- Mã số: ĐH2016-TN06-01

- Chủ nhiệm: ThS NCS Dương Thị Việt An

- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

- Thời gian thực hiện: 05/2016 - 05/2018

- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài và cán bộ giảng dạyToán ứng dụng của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên; phục vụ hiệuquả cho công tác NCKH và đào tạo đại học, đào tạo sau đại học chuyên ngành Toánứng dụng tại Đại học Thái Nguyên

- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với các cơ sở nghiên cứu ngoài Đại học TháiNguyên

3 Tính mới, tính sáng tạo:

- Giải quyết được một số vấn đề nghiên cứu mới;

- Các kết quả thu được dưới dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa

4 Kết quả nghiên cứu:

- Các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối

ưu của bài toán quy hoạch lồi có tham số dưới ràng buộc bao hàm thức;

- Các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối

ưu của bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và hệ động lựctuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn các hệ liên tục

5 Sản phẩm:

5.1 Sản phẩm khoa học:

a) 03 bài báo đăng trên các tạp chí Quốc tế có uy tín:

1 Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability ofconvex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170,

pp 28–42 (SCI)

2 Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discrete

optimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus,ESCI)

3 Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of

a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization,DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI)

b) 01 bài báo đăng trên kỷ yếu hội nghị trong nước:

4 Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite sional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ Trường Đại học Khoa học lần thứhai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên, tr 93–99

dimen-5.2 Sản phẩm đào tạo:

- Hướng dẫn 01 KLTN Đại học đã nghiệm thu:

Đào Thị Hiều (2017), Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của hàm lồi, Khóa luận tốtnghiệp, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

- Đề tài là một phần của Luận án tiến sĩ của chủ nhiệm đề tài:

Tên luận án: “The Optimal Value Function and Solution Map in Some Parametric timization Problems”, với tên Tiếng Việt tương ứng là: “Hàm giá trị tối ưu và ánh xạnghiệm trong một số bài toán tối ưu có tham số”

Op-6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lạicủa kết quả nghiên cứu:

- Cung cấp tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh, và cácnghiên cứu viên chuyên ngành Toán ứng dụng

Ngày tháng 4 năm 2018

Tổ chức chủ trì

(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài(Ký, họ và tên)

ThS NCS Dương Thị Việt An

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: The optimal value function and solution map in some metric optimization problems

para Code number: ĐH2016para TN06para 01

- Coordinator: MSc PhD Student Duong Thi Viet An

- Implementing institution: TNU - University of Sciences

- Have some contributions to enhance the research capacity for the coordinator and turers teaching applied mathematics of TNU - University of Sciences; effectively servethe research and training as well as postgraduate training in applied mathematics ofTNU

lec Expand the scientific research cooperations with research institutes outside TNU

3 Creativeness and innovativeness:

- Resolve several research problems;

- Obtain results under minimal assumptions with maximal conclusions

4 Research results:

- Formulas for computing the subdifferential and the singular subdifferential of theoptimal value function in parametric convex optimization problems under inclusionconstraints;

- Formulas for computing the subdifferential and the singular subdifferential of theoptimal value function of parametric optimal control problems with convex objectivefunctions and linear dynamical systems, either discrete or continuous

5 Products:

5.1 Scientific publications:

a) Published 03 papers in ISI and Scopus journals:

1 Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differential stability ofconvex optimization problems”, Journal of Optimization Theory and Applications, 170,

pp 28–42 (SCI)

2 Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability of convex discreteoptimal control problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 43, pp 201–217 (Scopus,

ESCI)

3 Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differential stability of

a class of convex optimal control problems”, Applied Mathematics and Optimization,DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI)

b) Published 01 conference paper:

4 Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in infinite sional vector spaces”, Proceedings of The 2nd Scientific Conference of University ofSciences, Thai Nguyen University Publishing House, Thai Nguyen, pp 93–99

dimen-5.2 Training results:

- Supervised 01 undergraduate thesis:

Dao Thi Hieu (2017), Directional Derivatives and Subdifferentials of Convex Functions,Undergraduate Thesis, Thai Nguyen University of Sciences

- The project is a part of the coordinator’s PhD dissertation: Title of the dissertation:

“The Optimal Value Function and Solution Map in Some Parametric OptimizationProblems”

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits ofresearch results:

- Provide the reference for bachelor, master and Ph.D students whose major is AppliedMathematics, and for researchers

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Nếu bài toán quy hoạch toán học là phụ thuộc tham số, tức là các hàm ràng buộc

và hàm mục tiêu của nó phụ thuộc vào các tham số nào đó, thì giá trị tối ưu là mộthàm của tham số và ánh xạ nghiệm là một ánh xạ đa trị theo tham số của bài toán.Nói chung thì hàm giá trị tối ưu là một hàm khá phức tạp theo tham số; nó thườngkhông khả vi theo tham số, dù rằng bài toán được xét là bài toán quy hoạch với cáchàm trơn theo tất cả các biến và theo tham số Vì thế, người ta thường đặt vấn đề tìmcác công thức tính toán đạo hàm theo hướng suy rộng (đạo hàm theo hướng Dini, đạohàm theo hướng Dini-Hadarmard, đạo hàm suy rộng theo hướng Clarke, ) và các côngthức đánh giá dưới vi phân (dưới vi phân theo nghĩa Giải tích lồi, dưới vi phân Clarke,dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân qua giới hạn - tức là dưới vi phân Mordukhovich, )của hàm giá trị tối ưu Người ta cũng quan tâm đến các điều kiện đủ cho tính liên tục,tính Lipschitz, và tính khả vi theo hướng của ánh xạ nghiệm

Các nghiên cứu về tính chất khả vi của hàm giá trị tối ưu và của ánh xạ nghiệmtrong quy hoạch có tham số được xếp vào chủ đề tính ổn định vi phân của các bàitoán tối ưu J.-P Aubin, A Auslender, J F Bonnans và A Shapiro, P H Dien và

N D Yen, J Gauvin và F Dubeau, B Gollan, R T Rockafellar, B S Mordukhovich,

N M Nam và N D Yen, L Thibault, và rất nhiều tác giả khác, đã có những đónggóp cho hướng nghiên cứu này

Nghiên cứu dáng điệu bậc nhất của hàm giá trị tối ưu là một vấn đề quan trọngtrong giải tích và lý thuyết tối ưu Bên cạnh việc nghiên cứu các tính chất vi phân bậcnhất của hàm giá trị tối ưu trong bài toán quy hoạch toán học chứa tham số, các nhànghiên cứu trên thế giới cũng quan tâm đến việc nghiên cứu dáng điệu bậc nhất củahàm giá trị tối ưu trong bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số

Ngày nay, khi mà khoa học máy tính đã phát triển, hầu hết các bài toán trong lĩnhvực tính toán khoa học đều được rời rạc hóa để thuận lợi cho việc tính toán Một bàitoán được gọi là ổn định nếu như sai số của các dữ liệu đầu vào bé thì sai số trong kếtquả đầu ra không đáng kể Trong trường hợp ngược lại, sai số của dữ liệu đầu ra sẽrất lớn và kết quả tính toán khác xa với kết quả mong đợi Nghiên cứu bài toán điềukhiển tối ưu rời rạc là một đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm Bên cạnh đó bàitoán điều khiển tối ưu liên tục cũng đóng một vai trò quan trọng và được nhiều tácgiả tập trung nghiên cứu

2 Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu các tính chất vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch lồichứa tham số dưới ràng buộc dạng bao hàm thức

- Áp dụng các kết quả thu được vào nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điềukhiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và hệ động lực tuyến tính, cả hệ rờirạc lẫn hệ liên tục

- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài và cán bộ giảng dạyToán ứng dụng của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phục vụ hiệuquả cho công tác NCKH và đào tạo đại học, đào tạo sau đại học chuyên ngành Toánứng dụng tại Đại học Thái Nguyên

- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với các cơ sở nghiên cứu ngoài Đại học TháiNguyên

3 Nội dung nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu mở rộng các kết quả của D.T.V An và N.D Yen (2015), về tính ổnđịnh vi phân của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm thức trong các khônggian Banach, dưới giả thiết hàm mục tiêu là nửa liên tục dưới và ánh xạ mô tả tậpràng buộc có đồ thị đóng

- Nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu dưới giả thiết hàmmục tiêu lồi, hệ động lực tuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn hệ liên tục Bằng cách thiết lậpmột kết quả trừu tượng cho dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi của hàm giá trị tối

ưu của bài toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số, chúng tôi đưa ra các công thứctính toán dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu lồi chứatham số Các kết quả thu được dưới dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi và giảitích hàm nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các chương sau Đồng thời chúng tôi cũnggiới thiệu khái niệm hàm giá trị tối ưu trong bài toán quy hoạch toán học có tham sốvới ràng buộc bao hàm thức và nhắc lại các kết quả đã biết về tính ổn định vi phân củabài toán quy hoạch lồi chứa tham số

1.1 Nón pháp tuyến của tập lồi

Cho X là không gian Banach, X∗ là không gian đối ngẫu của X

Định nghĩa 1.1.1 Cho C là tập con lồi khác rỗng của X, ¯x ∈ C Nón pháp tuyến(normal cone) của tập lồi C tại điểm ¯x, ký hiệu là N (¯x; C), và được định nghĩa bởi

N (¯x; C) = {x∗ ∈ X∗ | hx∗, x − ¯xi ≤ 0, ∀x ∈ C}

1.2 Dưới vi phân của hàm lồi

Xét hàm f : X → R nhận giá trị trong tập số thực suy rộng R = [−∞, +∞].Định nghĩa 1.2.1 Phiếm hàm x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient (subgradient) củahàm f tại ¯x ∈ X, nếu

Định nghĩa 1.3.2 Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị lồi F tại (¯x, ¯y) ∈ gph F là ánh xạ

đa trị D∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ được cho bởi công thức

D∗F (¯x, ¯y)(y∗):={x∗ ∈ X∗ | (x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gph F )}, ∀y∗ ∈ Y∗

Nếu (¯x, ¯y) /∈ gph F thì ta quy ước rằng tập D∗F (¯x, ¯y)(y∗) là rỗng, với mọi y∗ ∈ Y∗

1.4 Hàm giá trị tối ưu

Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach, ϕ : X × Y → R

là hàm nhận giá trị trong tập số thực suy rộng Hàm giá trị tối ưu (optimal valuefunction) của bài toán quy hoạch toán học có ràng buộc bao hàm thức, được cho bởi G

và ϕ, là hàm µ : X → R, với

µ(x) := inf {ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (1.1)

Do quy ước inf ∅ = +∞, ta có µ(x) = +∞ khi x /∈ dom G

Ứng với mỗi cặp dữ liệu {G, ϕ} ta có một bài toán tối ưu phụ thuộc tham số x sauđây:

(Px) min{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)}

Các công thức tính chính xác và các đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối

ưu µ(x), sẽ được xét trong các chương sau, có liên quan chặt chẽ đến ánh xạ nghiệm

M : dom G ⇒ Y , với

M (x) := {y ∈ G(x) | µ(x) = ϕ(x, y)}, ∀x ∈ dom G,của bài toán (Px)

1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm

Định lý 1.6.1 (Xem An và Yen (2015)) Giả sử rằng G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi

và ϕ : X × Y → R là hàm lồi chính thường Nếu ít nhất một trong các điều kiện chínhquy sau được thỏa mãn:

(a) int(gph G) ∩ dom ϕ 6= ∅,

(b) ϕ liên tục tại một điểm (x0, y0) ∈ gph G,

khi đó với bất kì ¯x ∈ dom µ, mà µ(¯x) 6= −∞, và bất kì ¯y ∈ M (¯x) ta có

Chương 2

Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi sử dụng điều kiện

chính quy kiểu Aubin

Trong chương này chúng tôi phát triển một số kết quả của bài báo An và Yen(2015) về tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi có tham số Cụ thể, dựa trên

ý tưởng của Aubin (1998), chúng tôi thu được các công thức tính toán dưới vi phân

và dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong bài toán tối ưu lồi có tham số dưới cácgiả thiết:

(a1) Hàm mục tiêu là đóng;

(a2) Ánh xạ mô tả tập ràng buộc có đồ thị đóng;

(a3) Điều kiện chính quy kiểu Aubin được thỏa mãn

2.1 Tính ổn định vi phân dưới điều kiện chính quy

kiểu Aubin

Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi giữa các không gian Banach, có đồ thị đóng Cho

ϕ : X × Y → R là hàm lồi, đóng, chính thường Xét bài toán tối ưu lồi chứa tham số: