Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)

Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bài toán tối ưu có tham số (NCKH)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ

Mã số: ĐH2016-TN06-01

Chủ nhiệm đề tài: ThS NCS Dương Thị Việt An

Thái Nguyên, 4/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU VÀ ÁNH XẠ NGHIỆM TRONG CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ

Mã số: ĐH2016-TN06-01

(ký, họ tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên) Xác nhận của tổ chức chủ trì

ThS NCS Dương Thị Việt An

Thái Nguyên, 4/2018

DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN

VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

I Thành viên thực hiện đề tài

1 ThS Dương Thị Việt An Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Chủ nhiệm

2 TS Mai Viết Thuận Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH Thư ký +NCV

3 ThS Nguyễn Thị Thanh Huyền Khoa Toán - Tin, Trường ĐHKH NCV chính

II Đơn vị phối hợp thực hiện

Viện Toán học, Viện Tư vấn, giúp đỡ, định hướng nghiên cứu GS TSKH Nguyễn

Công nghệ Việt Nam

Đại học Quốc gia Tôn Hợp tác nghiên cứu, viết chung bài báo GS Jen-Chih Yao Trung Sơn, Đài Loan

Đại học Bách Khoa Hợp tác nghiên cứu, viết chung bài báo TS Nguyễn Thị Toàn

Hà Nội

Mục lục

Thông tin kết quả nghiên cứu vi Information on research results ix

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Nón pháp tuyến của tập lồi 4

1.2 Dưới vi phân của hàm lồi 5

1.3 Đối đạo hàm 7

1.4 Hàm giá trị tối ưu 8

1.5 Bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàm thức 8

1.6 Một số kết quả bổ trợ 10

Chương 2 Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi sử dụng điều kiện chính quy kiểu Aubin 14 2.1 Tính ổn định vi phân dưới điều kiện chính quy kiểu Aubin 14 2.2 Phân tích các điều kiện chính quy 22

2.3 Kết luận 26

Chương 3 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu lồi, rời rạc 28 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc chứa tham số 28

3.2 Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch có tham số 30

3.3 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu 34

3.4 Các ví dụ minh họa 43

3.5 Kết luận 48

Chương 4 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu lồi, liên tục 49 4.1 Bài toán điều khiển tối ưu lồi liên tục 49

4.2 Tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển 52

4.3 Các ví dụ minh họa 61

4.4 Kết luận 70

coneA nón suy rộng của tập A

co A bao lồi của tập A

Lp([0, 1],Rn) không gian các hàm đo được Lebesgue

x : [0, 1] → Rn với R01||x(t)||pdt hữu hạn

W1,p([0, 1],Rn) không gian Sobolev gồm các hàm

liên tục tuyệt đối x : [0, 1] → Rn

với ˙x ∈ Lp([0, 1],Rn)

Mn,n(R) tập các hàm từ R vào không gian

các ma trận thực tuyến tính n × nsup

epif trên đồ thị của hàm f

∂∞f (x) dưới vi phân suy biến của hàm f tại x

∇ f (x) đạo hàm Fréchet của hàm f tại x

∂xϕ(¯x, ¯y) dưới vi phân riêng theo biến x

của hàm ϕ tại (¯x, ¯y)

N (¯x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi

của Ω tại x¯

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ không gian X vào Y

D∗F (¯x, ¯y)(·) đối đạo hàm của F tại (¯x, ¯y)

M∗ : Y∗ → X∗ toán tử liên hợp của M

l.s.c nửa liên tục dưới

h.k.n hầu khắp nơi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Đơn vị: Trường Đại học Khoa học

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong các bàitoán tối ưu có tham số

- Mã số: ĐH2016-TN06-01

- Chủ nhiệm: ThS NCS Dương Thị Việt An

- Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

- Thời gian thực hiện: 5/2016 - 5/2018

- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài và cán bộgiảng dạy Toán ứng dụng của Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên; phục vụ hiệu quả cho công tác NCKH và đào tạo đại học, đàotạo sau đại học chuyên ngành Toán ứng dụng tại Đại học Thái Nguyên

- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với các cơ sở nghiên cứu ngoài Đạihọc Thái Nguyên

3 Tính mới, tính sáng tạo:

- Giải quyết được một số vấn đề nghiên cứu mới;

- Các kết quả thu được dưới dạng giả thiết tối thiểu, kết luận tối đa

4 Kết quả nghiên cứu:

- Các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàmgiá trị tối ưu của bài toán quy hoạch lồi có tham số dưới ràng buộc baohàm thức;

- Các công thức tính toán dưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàmgiá trị tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mụctiêu lồi và hệ động lực tuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn các hệ liên tục

5 Sản phẩm:

5.1 Sản phẩm khoa học:

a) 03 bài báo đăng trên các tạp chí Quốc tế có uy tín:

1 Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differentialstability of convex optimization problems”, Journal of Optimization The-ory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI)

2 Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability

of convex discrete optimal control problems”, Acta Mathematica ica, 43, pp 201–217 (Scopus, ESCI)

Vietnam-3 Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differentialstability of a class of convex optimal control problems”, Applied Mathe-matics and Optimization, DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI)

b) 01 bài báo đăng trên kỷ yếu hội nghị trong nước:

4 Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in finite dimensional vector spaces”, Kỷ yếu Hội nghị Khoa học trẻ TrườngĐại học Khoa học lần thứ hai, NXB Đại học Thái Nguyên, Thái Nguyên,

in-tr 93–99

5.2 Sản phẩm đào tạo:

- Hướng dẫn 01 KLTN Đại học đã nghiệm thu:

Đào Thị Hiều (2017), Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của hàm lồi,Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên

- Đề tài là một phần của Luận án tiến sĩ của chủ nhiệm đề tài:

Tên luận án: “The Optimal Value Function and Solution Map in SomeParametric Optimization Problems”, với tên Tiếng Việt tương ứng là: “Hàmgiá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm trong một số bài toán tối ưu có tham số”.

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợiích mang lại của kết quả nghiên cứu:

- Cung cấp tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên, nghiên cứu sinh,

và các nghiên cứu viên chuyên ngành Toán ứng dụng

Ngày 5 tháng 4 năm 2018

Tổ chức chủ trì

(ký, họ và tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài(Ký, họ và tên)

ThS NCS Dương Thị Việt An

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: The optimal value function and solution map insome parametric optimization problems

- Code number: ĐH2016-TN06-01

- Coordinator: MSc PhD Student Duong Thi Viet An

- Implementing institution: TNU - University of Sciences

coordi Expand the scientific research cooperations with research institutes outcoordi side TNU

out-3 Creativeness and innovativeness:

- Resolve several research problems;

- Obtain results under minimal assumptions with maximal conclusions

4 Research results:

- Formulas for computing the subdifferential and the singular

subdiffer-ential of the optimal value function in parametric convex optimizationproblems under inclusion constraints;

- Formulas for computing the subdifferential and the singular tial of the optimal value function of parametric optimal control problemswith convex objective functions and linear dynamical systems, either dis-crete or continuous

subdifferen-5 Products:

5.1 Scientific publications:

a) Published 03 papers in ISI and Scopus journals:

1 Duong Thi Viet An, Yao J.-C (2016), “Further results on differentialstability of convex optimization problems”, Journal of Optimization The-ory and Applications, 170, pp 28–42 (SCI)

2 Duong Thi Viet An, Nguyen Thi Toan (2018), “Differential stability

of convex discrete optimal control problems”, Acta Mathematica ica, 43, pp 201–217 (Scopus, ESCI)

Vietnam-3 Duong Thi Viet An, Yao J.-C., Nguyen Dong Yen (2018), “Differentialstability of a class of convex optimal control problems”, Applied Mathe-matics and Optimization, DOI 10.1007/s00245-017-9475-4 (SCI)

b) Published 01 conference paper:

4 Duong Thi Viet An (2017), “An application of the Farkas lemma in nite dimensional vector spaces”, Proceedings of The 2nd Scientific Confer-ence of University of Sciences, Thai Nguyen University Publishing House,Thai Nguyen, pp 93–99

infi-5.2 Training results:

- Supervised 01 undergraduate thesis:

Dao Thi Hieu (2017), Directional Derivatives and Subdifferentials of vex Functions, Undergraduate Thesis, Thai Nguyen University of Sciences

Con The project is a part of the coordinator’s PhD dissertation: Title of

the dissertation: “The Optimal Value Function and Solution Map in SomeParametric Optimization Problems”.

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts andbenefits of research results:

- Provide the reference for bachelor, master and Ph.D students whose jor is Applied Mathematics, and for researchers

ma-Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Nếu bài toán quy hoạch toán học là phụ thuộc tham số, tức là các hàmràng buộc và hàm mục tiêu của nó phụ thuộc vào các tham số nào đó,thì giá trị tối ưu là một hàm của tham số và ánh xạ nghiệm là một ánh

xạ đa trị theo tham số của bài toán Nói chung thì hàm giá trị tối ưu làmột hàm khá phức tạp theo tham số; nó thường không khả vi theo tham

số, dù rằng bài toán được xét là bài toán quy hoạch với các hàm trơntheo tất cả các biến và theo tham số Vì thế, người ta thường đặt vấn đềtìm các công thức tính toán đạo hàm theo hướng suy rộng (đạo hàm theohướng Dini, đạo hàm theo hướng Dini-Hadarmard, đạo hàm suy rộng theohướng Clarke, ) và các công thức đánh giá dưới vi phân (dưới vi phântheo nghĩa Giải tích lồi, dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Fréchet, dưới

vi phân qua giới hạn - tức là dưới vi phân Mordukhovich, ) của hàm giátrị tối ưu Người ta cũng quan tâm đến các điều kiện đủ cho tính liên tục,tính Lipschitz, và tính khả vi theo hướng của ánh xạ nghiệm

Các nghiên cứu về tính chất khả vi của hàm giá trị tối ưu và của ánh

xạ nghiệm trong quy hoạch có tham số được xếp vào chủ đề tính ổnđịnh vi phân của các bài toán tối ưu J.-P Aubin [2], A Auslender [3],

J F Bonnans và A Shapiro [6], P H Dien và N D Yen [9], J Gauvin

và F Dubeau [10, 11], B Gollan [12], R T Rockafellar [20], B S dukhovich, N M Nam và N D Yen [17], L Thibault [23], và rất nhiềutác giả khác, đã có những đóng góp cho hướng nghiên cứu này

Mor-Nghiên cứu dáng điệu bậc nhất của hàm giá trị tối ưu là một vấn đềquan trọng trong giải tích và lý thuyết tối ưu Bên cạnh việc nghiên cứucác tính chất vi phân bậc nhất của hàm giá trị tối ưu trong bài toán quyhoạch toán học chứa tham số, các nhà nghiên cứu trên thế giới cũng quantâm đến việc nghiên cứu dáng điệu bậc nhất của hàm giá trị tối ưu trongbài toán điều khiển tối ưu chứa tham số (xem [7, 8, 14, 18, 22, 25, 26, 27]

và các tài liệu được trích dẫn trong đó)

Ngày nay, khi mà khoa học máy tính đã phát triển, hầu hết các bài toántrong lĩnh vực tính toán khoa học đều được rời rạc hóa để thuận lợi choviệc tính toán Một bài toán được gọi là ổn định nếu như sai số của các

dữ liệu đầu vào bé thì sai số trong kết quả đầu ra không đáng kể Trongtrường hợp ngược lại, sai số của dữ liệu đầu ra sẽ rất lớn và kết quả tínhtoán khác xa với kết quả mong đợi Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưurời rạc là một đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm Bên cạnh đó bàitoán điều khiển tối ưu liên tục cũng đóng một vai trò quan trọng và đượcnhiều tác giả tập trung nghiên cứu

2 Mục tiêu của đề tài

- Nghiên cứu các tính chất vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toánquy hoạch lồi chứa tham số dưới ràng buộc dạng bao hàm thức

- Áp dụng các kết quả thu được vào nghiên cứu tính ổn định vi phâncủa bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số với hàm mục tiêu lồi và hệđộng lực tuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn hệ liên tục

- Góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu cho chủ nhiệm đề tài và cán

bộ giảng dạy Toán ứng dụng của Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, phục vụ hiệu quả cho công tác NCKH và đào tạo đại học, đàotạo sau đại học chuyên ngành Toán ứng dụng tại Đại học Thái Nguyên

- Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với các cơ sở nghiên cứu ngoàiĐại học Thái Nguyên.

3 Nội dung nghiên cứu của đề tài

- Nghiên cứu mở rộng các kết quả của D.T.V An và N.D Yen [1], vềtính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc bao hàmthức trong các không gian Banach, dưới giả thiết hàm mục tiêu là nửa liêntục dưới và ánh xạ mô tả tập ràng buộc có đồ thị đóng

- Nghiên cứu tính ổn định vi phân của bài toán điều khiển tối ưu đượcxét trong [7, 8, 14, 24, 25, 26, 27] dưới giả thiết hàm mục tiêu lồi, hệ độnglực tuyến tính, cả hệ rời rạc lẫn hệ liên tục Bằng cách thiết lập một kếtquả trừu tượng cho dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi của hàm giá trịtối ưu của bài toán quy hoạch toán học lồi chứa tham số, chúng tôi đưa racác công thức tính toán dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu của bài toánđiều khiển tối ưu lồi chứa tham số Các kết quả thu được dưới dạng giảthiết tối thiểu, kết luận tối đa

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của giảitích lồi, giải tích hàm, nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu các chương sau.Đồng thời chúng tôi cũng giới thiệu khái niệm hàm giá trị tối ưu trong bàitoán quy hoạch toán học có tham số với ràng buộc bao hàm thức và nhắclại các kết quả đã biết về tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồichứa tham số

Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1, 4, 6, 13, 15]

Cho X là không gian Banach, X∗ là không gian đối ngẫu của X.Định nghĩa 1.1.1 Cho C là tập con lồi khác rỗng của X, x ∈ C¯ Nónpháp tuyến (normal cone) của tập lồi C tại điểm x¯, ký hiệu là N (¯x; C),

và được định nghĩa bởi

Mệnh đề 1.1.1 (Xem [13, Mệnh đề 1, tr 205]) Nếu

A0 ∩ (int A1) ∩ · · · ∩ (int An) 6= ∅, (1.1)thì

N (x; A) = N (x; A0) + N (x; A1) + · · · + N (x; An)

với mọi x ∈ A Nói cách khác, nếu điều kiện chính quy (1.1) được thỏamãn, thì nón pháp tuyến của giao các tập bằng tổng các nón pháp tuyếncủa các tập đó

Mệnh đề 1.1.2 (Xem [13, Mệnh đề 3, tr 206]) Nếu ta có int Ai 6= ∅ với

i = 1, 2, , n thì, với mọi x0 ∈ A, khẳng định sau là tương đương:

(a) A0 ∩ (int A1) ∩ · · · ∩ (int An) = ∅;

(b) Tồn tại x∗i ∈ N (x0; Ai) với i = 0, 1, , n, không đồng thời bằng không,sao cho

x∗0 + x∗1 + · · · + x∗n = 0

Xét hàm f : X → R nhận giá trị trong tập số thực suy rộng R =[−∞, +∞] Ta nói f là chính thường (proper) nếu như f (x) > −∞ vớimọi x ∈ X, và miền xác định

Định nghĩa 1.2.2 Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là dưới

vi phân (subdifferential) của f tại x¯, ký hiệu là ∂f (¯x), tức là

∂f (¯x) = {x∗ ∈ X∗ | f (x) − f (¯x) ≥ hx∗, x − ¯xi, ∀x ∈ X}

Về mặt hình học, từ định nghĩa dưới vi phân ta thấy rằng hàm affine

ϕ(x) := f (¯x) + hx∗, x − ¯xi, ∀x ∈ X

có đồ thị là một siêu phẳng tựa của epif tại điểm (¯x, f (¯x))

Từ định nghĩa của dưới vi phân, ta dễ dàng chỉ ra được

x∗ ∈ ∂f (¯x) ⇔ (x∗, −1) ∈ N (¯x, f (¯x)); epi f

Định lý sau là một kết quả quen thuộc trong giải tích lồi

Định lý 1.2.1 (Định lý Moreau-Rockafellar) (Xem [13, Định lý 0.3.3, tr.47–50, Định lý 1, tr 200]) Cho f1, f2, , fm là các hàm lồi chính thườngtrên X Khi đó

được gọi là hàm chỉ (indicator function) của tập Ω.

gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)},dom F := {x ∈ X | F (x) 6= ∅}

Được trang bị bởi chuẩn k(x, y)k := kxk + kyk, không gian tích X × Y

là một không gian Banach

Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ đa trị F được gọi là ánh xạ đa trị lồi nếu

gph F là tập lồi trong không gian tích X × Y

Nhờ các khái niệm nón tiếp tuyến đã được xét ở trên, ta có thể địnhnghĩa các khái niệm đối đạo hàm của ánh xạ đa trị như sau

Định nghĩa 1.3.2 Đối đạo hàm (coderivative) của ánh xạ đa trị lồi F

tại (¯x, ¯y) ∈ gph F là ánh xạ đa trị D∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ được cho bởicông thức

D∗F (¯x, ¯y)(y∗):={x∗ ∈ X∗ | (x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gph F )}, ∀y∗ ∈ Y∗

(1.2)Nếu(¯x, ¯y) /∈ gph F thì ta quy ước rằng tập D∗F (¯x, ¯y)(y∗) là rỗng, với mọi

y∗ ∈ Y∗

1.4 Hàm giá trị tối ưu

Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào khônggian Banach Y, và ϕ : X × Y → R là hàm nhận giá trị trong tập số thực

suy rộng Hàm giá trị tối ưu (optimal value function) của bài toán quyhoạch toán học có ràng buộc bao hàm thức, được cho bởi G và ϕ, là hàm

µ : X → R, với

µ(x) := inf {ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (1.3)

Do quy ước inf ∅ = +∞, ta có µ(x) = +∞ khi x /∈ dom G

Ánh xạ G (tương ứng, hàm ϕ) được gọi là ánh xạ mô tả tập ràng buộc(tương ứng, hàm mục tiêu) của bài toán ở vế phải của (1.3)

Ứng với mỗi cặp dữ liệu {G, ϕ} ta có một bài toán tối ưu phụ thuộctham số x sau đây:

(Px) min{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)}

Các công thức tính chính xác và các đánh giá dưới vi phân của hàm giátrị tối ưu µ(x), sẽ được xét trong các chương sau, có liên quan chặt chẽđến ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y, với

M (x) := {y ∈ G(x) | µ(x) = ϕ(x, y)}, ∀x ∈ dom G,

của bài toán (Px)

thức

Trong trường hợp hàm mục tiêu là hàm lồi và ánh xạ đa trị mô tả tậpràng buộc là ánh xạ đa trị lồi, ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.5.1 Cho G : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi và ϕ : X × Y → R

là hàm lồi Khi đó µ(x) được định nghĩa như ở (1.3) là hàm lồi

Chứng minh Ta sẽ đi chứng minh epi µ = {(x, α) ∈ X ×R | µ(x) ≤ α}

là tập lồi Thật vậy, lấy tùy ý (x, α), (x0, β) ∈ epi µ, λ ∈ (0, 1) Ta sẽ chỉra

λ(x, α) + (1 − λ)(x0, β) ∈ epi µ

Điều này tương đương với

inf{ϕ(λx+(1−λ)x0, z) | z ∈ G(λx + (1−λ)x0)} ≤ λα+(1 − λ)β (1.4)Lấy ε > 0 bé tùy ý Do (x, α) ∈ epi µ nên ta có

α ≥ µ(x) = inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (1.5)

• Nếu inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} = −∞ Khi đó với mọi α thuộc R, tồn tại

y1 thuộc G(x) sao cho

• Nếu inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} > −∞ Theo định nghĩa infimum ta có

α > inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} − ε Vậy tồn tại u ∈ G(x) sao cho

Tương tự, với (x0, β) ∈ epi µ

• Nếu inf{ϕ(x0, y0) | y0 ∈ G(x0)} = −∞ Khi đó với mọi β thuộc R, tồntại y2 thuộc G(x0) sao cho

• Nếu inf{ϕ(x0, y0) | y0 ∈ G(x0)} > −∞, tồn tại v ∈ G(y) sao cho

β > ϕ(x0, v) − ε (1.9)

Mệnh đề 1.5.2 (Xem [1, Mệnh đề 4.2]) Nếu f : X → R là hàm lồi chính

thường, thì

∂∞f (x) = N (x; dom f )

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong giải tích hàm

và giải tích lồi nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính ở cácchương sau

Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một kết quả liên quan đến toán tử tuyếntính liên tục Xét toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y, từ khônggian Banach X vào không gian Banach Y, với toán tử liên hợp tương ứng

A∗ : Y∗ → X∗ Hạt nhân và tập ảnh của A được định nghĩa tương ứngbởi ker A = {x ∈ X | Ax = 0} và rge A = {y ∈ Y | y = Ax, x ∈ X}

Mệnh đề 1.6.1 (Xem [6, Mệnh đề 2.173]) Các tính chất sau đây nghiệmđúng:

(i) (ker A)⊥ = cl∗(rge (A∗)), ở đó cl∗(rge (A∗)) kí hiệu cho bao đóng củatập rge (A∗) trong tôpô yếu∗ của X∗, và

(ker A)⊥ = {x∗ ∈ X∗ | hx∗, xi = 0 ∀x ∈ ker A}

kí hiệu cho phần bù trực giao của ker A

(ii) Nếu rge A là tập đóng, thì (ker A)⊥ = rge (A∗), và tồn tại c > 0 saocho với mọi x∗ ∈ rge (A∗) tồn tại y∗ ∈ Y∗ mà ||y∗|| ≤ c||x∗|| và x∗ = A∗y∗.(iii) Nếu, thêm vào đó, rge A = Y, tức là, A là ánh xạ tràn, thì A∗ là đơnánh và tồn tại c > 0 sao cho ||y∗|| ≤ c||A∗y∗||, với mọi y∗ ∈ Y∗

(iv) (ker A∗)⊥ = cl(rge A)

Định nghĩa 1.6.1 (Xem [15, Mục 32]) Một hàm f xác định trên đoạn

[a, b] ⊂ R được gọi là có biến phân giới nội (of bounded variation) nếu tồn

tại một hằng số C ≥ 0 sao cho

của [a, b] bởi các điểm chia x0, x1, , xn

Các kết quả sau đây được tham khảo trong [13, tr 20–22]

Với mọi p ∈ [1, +∞), ký hiệu Lp([0, 1],Rn) là không gian Banachbao gồm các hàm do được Lebesgue x từ [0, 1] vào Rn mà tích phân

kx(t)kpdt

1p

Không gian đối ngẫu của Lp([0, 1],Rn) là Lq([0, 1],Rn), ở đó 1p + 1q = 1

Nói cách khác, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục ϕ trên không gian

Lp([0, 1],Rn), tồn tại duy nhất một phần tử x∗ ∈ Lq([0, 1],Rn) sao cho

ϕ(x) = hϕ, xi =

Z 1 0

x∗(t)x(t)dt ∀x ∈ Lp([0, 1],Rn)

Hơn nữa, ta có ||ϕ|| = ||x∗||q

Không gian Sobolev W1,p([0, 1],Rn) bao gồm các hàm liên tục tuyệt đối

x : [0, 1] → Rn sao cho ˙x ∈ Lp([0, 1],Rn) là không gian được trang bịchuẩn

W1,p([0, 1],Rn) đều có thể được biểu diễn dưới dạng

hϕ, xi = ha, x(0)i +

Z 1 0

˙x(t) ˙y(t)dt,

với mọi x, y ∈ W1,2([0, 1],Rn)

Chúng ta sẽ cần đến Bổ đề Farkas cho không gian vô hạn chiều sau đây

Bổ đề 1.6.1 (Xem [4]) Cho W là không gian véc tơ trên trường số thực

R Cho A : W → Rm là ánh xạ tuyến tính và γ : W → R là phiếm hàm

tuyến tính Giả sử rằng ánh xạ A được biểu diễn dưới dạng A = (αi)mi , ở

đó mỗi αi : W → R là một phiếm hàm tuyến tính (điều đó có nghĩa là:

với mỗi x ∈ W, A(x) là một véc tơ cột mà thành phần thứ i là số thực

αi(x), với i = 1, , m) Khi đó, bất đẳng thức γ(x) ≤ 0 là hệ quả của hệbất đẳng thức

α1(x) ≤ 0, α2(x) ≤ 0, , αm(x) ≤ 0

khi và chỉ khi tồn tại các hệ số thực λ1, λ2, , λm ≥ 0 sao cho

γ = λ1α1 + · · · + λmαm

Các công thức tính toán cho dưới vi phân và dưới vi phân suy biến củahàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch lồi chứa tham số dưới ràng buộcbao hàm thức được đưa ra trong [1] Đây cũng là những kết quả ban đầuthúc đẩy cho việc nghiên cứu đề tài này

Định lý 1.6.1 (Xem [1, Định lý 4.2]) Giả sử rằng G : X ⇒ Y là ánh xạ

đa trị lồi và ϕ : X × Y → R là hàm lồi chính thường Nếu ít nhất một

trong các điều kiện chính quy sau được thỏa mãn:

(a) int(gph G) ∩ dom ϕ 6= ∅,

(b) ϕ liên tục tại một điểm (x0, y0) ∈ gph G,

khi đó với bất kì x ∈ dom µ¯ , mà µ(¯x) 6= −∞, và bất kì y ∈ M (¯¯ x) ta có

Chương 2

Tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi sử dụng điều kiện

chính quy kiểu Aubin

Trong chương này chúng tôi phát triển một số kết quả của bài báo [1,Định lý 4.2] về tính ổn định vi phân của bài toán quy hoạch lồi có tham số

Cụ thể, dựa trên ý tưởng của Aubin [2, Bài toán 35 - Subdifferentials ofMarginal Functions, tr 335], chúng tôi thu được các công thức tính toándưới vi phân và dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong bài toán tối ưulồi có tham số dưới các giả thiết:

(a1) Hàm mục tiêu là đóng;

(a2) Ánh xạ mô tả tập ràng buộc có đồ thị đóng;

(a3) Điều kiện chính quy kiểu Aubin được thỏa mãn

Kết quả của chương được viết dựa trên bài báo (1) được nhận đăng trêntạp chí Journal of Optimization Theory and Applications

kiểu Aubin

Nhắc lại rằng, cho X là một không gian Banach, f : X → R là hàm

số nhận giá trị trong tập số thực suy rộng Nếu epi f là một tập con đóngcủa X ×R thì f được gọi là hàm đóng

Ký hiệu tập tất cả các lân cận của x là N (x), ta nói rằng f là nửa liêntục dưới (l.s.c.) tại x ∈ X nếu với mọi ε > 0 tồn tại U ∈ N (x) sao cho

f (x0) ≥ f (x) − ε với mọi x0 ∈ U Nếu f là l.s.c tại mọi điểm x ∈ X thì

f được gọi là l.s.c trên X Chú ý rằng: f là l.s.c trên X nếu và chỉ nếu

f là đóng và dom f cũng đóng Một ví dụ đơn giản f (x) = x−1 với x > 0

và f (x) = +∞ với mọi x âm cho ta thấy tính đóng của epi f một mìnhkhông thể đảm bảo f là l.s.c trên X

Aubin [2, Bài toán 35 - Subdifferentials of Marginal Functions, tr 335]

đã nghiên cứu bài toán tối ưu có tham số:

min{ϕ0(y) | y ∈ G(x)}, (2.1)

ở đó X, Y là các không gian Hilbert, ϕ0 : Y → R ∪ {+∞} là hàm lồi,chính thường, nửa liên tục dưới, G : X ⇒ Y là hàm lồi, có đồ thị đóng.Hàm giá trị tương ứng của bài toán được cho bởi

µ(x) = inf{ϕ0(y) | y ∈ G(x)} (2.2)

Sử dụng các kết quả về hàm liên hợp, định lý Fenchel-Moreau, và một

số kết quả bổ trợ liên quan đến toán tử tuyến tính liên tục, hàm lồi, tậplồi trong không gian Hilbert, Aubin đã chứng minh được định lý sau.Định lý 2.1.1 (Xem [2, tr 335]) Giả sử rằng

A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục Đặt F (x) := f (x) + g(Ax) Giả

sử rằng điều kiện chính quy

0 ∈ int(A(dom f ) − dom g) (2.3)được thỏa mãn Khi đó, với mọi x ∈ dom F, ta có

∂F (x) = ∂f (x) + A∗(∂g(Ax)), (2.4)

ở đó A∗ : Y∗ → X∗ là toán tử liên hợp của toán tử A

Chúng ta hãy xét một ví dụ để thấy sự cần thiết của điều kiện chínhquy (2.3) cho khẳng định (2.4)

Ví dụ 2.1.1 Lấy X = Y = R, A ≡ I, ở đó I là toán tử đơn vị, và f

được cho bởi f (x) = 0 nếu x = 0 và f (x) = +∞ nếu x 6= 0 Cho g đượcxác định bởi g(y) = −√

y nếu y ≥ 0 và g(y) = +∞ nếu y < 0 Khi đó

Ta có A(dom f ) = dom f = {0}, dom g = [0, +∞) Vì thế,

Với x = 0¯ , ta có ∂F (¯x) =R trong khi đó ∂f (¯x) + A∗(∂g(A¯x)) = ∅.

Đặt X = Y, A = I, từ Định lý 2.1.2 ta thu được một phiên bản hìnhhọc của Định lý Moreau–Rockafellar (Định lý 1.2.1)

Sử dụng điều kiện chính quy kiểu Aubin

(0, 0) ∈ int(domϕ − gph G) (2.8)chúng tôi đưa ra các công thức để tính toán dưới vi phân và dưới vi phânsuy biến của hàm giá trị tối ưu µ : X → R của bài toán (2.7), ở đó

µ(x) = inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} (2.9)Kết quả chính đầu tiên của Chương 2 được phát biểu như sau

Định lý 2.1.4 Nếu điều kiện chính quy (2.8) được thỏa mãn, khi đó vớimọi x ∈ dom µ¯ mà µ(¯x) 6= −∞, và với mọi y ∈ M (¯¯ x), ta có

Lấy bất kì u ∈ X và chọn một véc tơ v ∈ G(u), khi đó ta có

ϕ(u, v) − ϕ(¯x, ¯y) = ϕ(u, v) − µ(¯x) ≥ µ(u) − µ(¯x)

lồi và đóng Do dom δ(·; gph G) = gph G, từ (2.8) ta được

(0, 0) ∈ int (dom ϕ − dom δ(·; gph G))

Vì vậy, sử dụng Định lý 2.1.3 để tính vế phải của (2.12) ta thu được

Từ đó suy ra(¯x∗−x∗, −y∗) ∈ N ((¯x, ¯y); gph G), hayx¯∗−x∗ ∈ D∗G(¯x, ¯y)(y∗)

Bao hàm thức sau cùng cho ta

u∗ − x∗ ∈ D∗G(¯x, ¯y)(y∗) (2.15)Điều kiện (2.15) được biến đổi tương đương như sau:

ϕ(x, y) − ϕ(¯x, ¯y) ≥ hu∗, x − ¯xi + h0, y − ¯yi, ∀(x, y) ∈ gph G (2.16)Với mỗi x ∈ dom G, lấy infimum cả hai vế của (2.16) theo y ∈ G(x) và sửdụng ϕ(¯x, ¯y) = µ(¯x), ta được µ(x) − µ(¯x) ≥ hu∗, x − ¯xi Vì µ(x) = +∞

với mọi x /∈ dom G, nên bất đẳng thức cuối suy ra u∗ ∈ ∂µ(¯x); vậy (2.14)

µ(x) = inf{ϕ(x, y) | y ∈ G(x)} < ∞ (2.18)

Vì đẳng thức (2.18) đúng nếu và chỉ nếu tồn tại y ∈ G(x) mà (x, y) ∈dom ϕ, ta có

δ(x; dom µ) = inf{δ((x, y); dom ϕ) | y ∈ G(x)} (2.19)

Ta sẽ áp dụng Định lý 2.1.4 cho bài toán (2.7) với ϕ(x, y) được thay thếbởi δ((x, y); dom ϕ) Chú ý rằng dom ϕ là tập lồi, đóng, khác rỗng theogiả thiết của định lý Vì vậy δ(·; dom ϕ) là hàm lồi, đóng, chính thường

Rõ ràng dom δ(·; dom ϕ) = dom ϕ

Một mặt, (2.19) chỉ ra rằng δ(·; dom µ) là hàm giá trị tối ưu của bàitoán mới Mặt khác, điều kiện chính quy (2.8) cho ta

(0, 0) ∈ int dom δ(·; dom ϕ) − gph G

∂δ(·; dom µ)(¯x) = N (¯x; dom µ) = ∂∞µ(¯x)

và

∂δ(·; dom ϕ)(¯x, ¯y) = N ((¯x, ¯y); dom ϕ) = ∂∞ϕ(¯x, ¯y)

Vì vậy từ (2.20) ta thu được (2.17) 

Ví dụ sau đây minh họa cho các kết quả của Định lý 2.1.4 và Định

lý 2.1.5

Ví dụ 2.1.3 Cho X = Y = C[a, b] ở đó C[a, b] là không gian Banachbao gồm các hàm thực liên tục xác định trên đoạn [a, b] ⊂ R, a < b,với chuẩn sup Theo định lý biểu diễn Riesz (xem [15, tr 374] và [16,

tr 113–115]), không gian đối ngẫu của C[a, b] là không gian N BV [a, b]

bao gồm các hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b], triệt tiêu tại a

và liên tục trái trên (a, b) Với bất kì x∗ ∈ N BV [a, b] và x ∈ C[a, b],

ta có hx∗, xi = Rabx(t)dx∗(t), ở đó vế trái là tích phân Riemann-Stieltjescủa x tương ứng với x∗ trên [a, b] Xây dựng hàm ϕ : X × Y → R và

ánh xạ G : X ⇒ Y như sau ϕ(x, y) = x(b+a2 )
2 + (y(b))2, G(x) = {0}

với x = 0 và G(x) = ∅ với mọi x 6= 0 Khi đó gph G = {(0, 0)} và

dom ϕ = C[a, b] × C[a, b] Suy ra điều kiện chính quy (2.8) được thỏamãn Ta cũng có µ(x) = 0 nếu x = 0, µ(x) = +∞ nếu x 6= 0 Chọn

Đầu tiên, chúng tôi xây dựng một ví dụ cho thấy điều kiện chính quykiểu Aubin (2.8) thỏa mãn, nhưng cả hai điều kiện chính quy (a) và (b)trong Định lý 1.6.1 không thỏa mãn, trong khi đó kết luận của Định lý 1.6.1nghiệm đúng.

Ví dụ 2.2.1 Lấy X = Y = R2 và (¯x, ¯y) = (0, 0) Xét hàm giá trị tối ưu

µ(x) được xác định trong (2.9) với

với mọi x = (x1, x2) ∈ X Rõ ràng, ϕ0 là hàm lồi, đóng, chính thường với

dom ϕ0 là tập đóng Thêm vào đó, G là ánh xạ đa trị lồi có đồ thị đóng.Đặt ϕ(x, y) = ϕ0(y) với mọi (x, y) ∈ X × Y, ta có gph G = {0R2} ×R×{0} và dom ϕ = R2 × {0} × R Vì int(gph G) = ∅, điều kiện chính quy

int(gph G) ∩ dom ϕ 6= ∅ không thỏa mãn Hiển nhiên, ϕ không liên tụctại bất cứ điểm (x0, y0) ∈ gph G Trong khi đó, dom ϕ − gph G = X × Y,vậy (2.8) thỏa mãn Ta có

Bằng các phép tính đơn giản, ta được ∂µ(¯x) =R2 và ∂ϕ(¯x, ¯y) = {0R2} ×

Vì dom ϕ = R× [0, +∞) và gph G = {(0, 0)}, nên (2.8) không thỏa mãn.Trong khi đó,

Do đó ∂µ(¯x) = R Vì M (¯x) = {0} và ∂ϕ(0, 0) = ∅, nên tập hợp trong vếphải của (2.10) là tập rỗng Vì vậy, đẳng thức (2.10) không đúng

Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng dưới một giả thiết phụ, thì điều kiện (a)

trong Định lý 1.6.1 tương đương với (2.8)

Mệnh đề 2.2.1 Nếu int(gph G) 6= ∅ được thỏa mãn, thì điều kiện chínhquy (a) trong Định lý 1.6.1 tương đương với điều kiện chính quy kiểuAubin (2.8)

Chứng minh Nếu điều kiện int(gph G) ∩ dom ϕ 6= ∅ được thỏa mãn,khi đó tồn tại (x0, y0) ∈ gph G với (x0, y0) ∈ dom ϕ và các tập mở U ∈

Ngược lại, giả sử rằng (2.8) được thỏa mãn Nếu điều kiện (a) trongĐịnh lý 1.6.1 bị vi phạm, thì int(gph G) ∩ dom ϕ = ∅ Do int(gph G) 6= ∅,theo định lý tách [21, Định lý 3.4(a)], ta có thể tìm được phiếm hàm

(x∗, y∗) ∈ X∗× Y∗\ {(0, 0)} tách các tập lồi gph G và dom ϕ, tức là, vớimọi (u, v) ∈ domϕ, (x, y) ∈ gph G thì

h(x∗, y∗), (u, v)i ≥ h(x∗, y∗), (x, y)i (2.22)Một mặt, giả thiết (0, 0) ∈ int(dom ϕ − gph G) suy ra rằng tồn tại mộtlân cận U × V của (0, 0) trong X × Y sao cho U × V ⊂ dom ϕ − gph G.Mặt khác, từ (2.22) ta có

h(x∗, y∗), z1 − z2i ≥ 0, ∀z1 ∈ dom ϕ, ∀z2 ∈ gph G

Vì vậy h(x∗, y∗), (˜u, ˜v)i ≥ 0 với mọi (˜u, ˜v) ∈ U × V Điều này có nghĩa

(x∗, y∗) = (0, 0) Ta đi đến điều mâu thuẫn

Mệnh đề được chứng minh xong Cùng với Mệnh đề 2.2.1, một câu hỏi tự nhiên đặt ra là: Có điều kiệnnào bảo đảm sự tương đương giữa điều kiện (b) trong Định lý 1.6.1 và điềukiện (2.8), hay không?

Nhờ sử dụng một kết quả cơ bản về tính liên tục của các hàm lồi, đóng,chính thường trong không gian Banach, chúng tôi đưa ra một câu trả lờinhư sau

V ∈ N (0Y) sao cho

|ϕ(x0 + u, y0 + v) − ϕ(x0, y0)| < ε, ∀u ∈ U, ∀v ∈ V

Nói riêng ra, (x0+ u, y0 + v) ∈ dom ϕ với mọi (u, v) ∈ U × V Khi đó, tacó

(0, 0) ∈ U × V = {(x0 + u, y0 + v) − (x0, y0) | (u, v) ∈ U × V }

⊂ dom ϕ − gph G,

điều này suy ra (2.8)

Bây giờ, giả sử rằng (2.8) và (2.23) được thỏa mãn Ta cần chỉ ra rằng

ϕ liên tục tại một điểm gph G Vì ϕ là hàm lồi, đóng, chính thường trênkhông gian Banach X × Y nên theo [6, Mệnh đề 2.111], ta có ϕ liên tụctrên int(dom ϕ) Vì vậy, để chứng minh ϕ liên tục trên gph G, ta cần chỉra

int(dom ϕ) ∩ gph G 6= ∅ (2.24)Giả sử phản chứng, (2.24) không thỏa mãn, khi đó theo định lý tách [21,Định lý 3.4(a)] ta sẽ tìm được (x∗, y∗) ∈ X∗ × Y∗ \ {(0, 0)} sao cho vớimọi (u, v) ∈ domϕ, (x, y) ∈ gph G thì

h(x∗, y∗), (u, v)i ≥ h(x∗, y∗), (x, y)i (2.25)

Do (2.8), tồn tại một lân cận mởU ×V của(0, 0) ∈ X ×Y sao choU ×V ⊂dom ϕ − gph G Khi đó, từ (2.25) ta kết luận rằng h(x∗, y∗), (u0, v0)i ≥ 0,

với bất kì (u0, v0) ∈ U × V Điều này suy ra (x∗, y∗) = (0, 0), mâu thuẫn.Vậy điều giả sử là sai, hay nói cách khác (2.24) nghiệm đúng

Mệnh đề được chứng minh xong 

Trong chương này, chúng tôi thu được các công thức tính chính xácdưới vi phân và dưới vi phân suy biến của hàm giá trị tối ưu cho bài toánquy hoạch lồi chứa tham số dưới các giả thiết: tính đóng của hàm mục

tiêu; tính đóng của ánh xạ mô tả tập ràng buộc; và điều kiện chính quykiểu Aubin được thỏa mãn Đồng thời, chúng tôi cũng phân tích chi tiếtmối quan hệ giữa điều kiện chính quy kiểu Aubin và các điều kiện chínhquy trong bài báo [1].