Thủy văn học - Chương 5

Hiện tượng lũ lụt, khô hạn, vấn đề điều khiển hệ thống thoát lũ và cung cấp nước, vấn đề chất lượng nước và môi trường là các vấn đề có ý nghĩa quan trọng trong thuỷ văn học hiện đại

Chương 5

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN THUỶ VĂN

5.1 Đặt vấn đề

Có nhiều phương pháp để tính toán các giá trị của đại lượng thuỷ văn Trong

phạm vi môn học, chỉ nghiên cứu phương pháp tính toán sử dụng lý thuyết xác suất

thống kê Theo phương pháp này, giá trị của các đại lượng thuỷ văn được tính toán

theo khả năng xuất hiện của chúng Khả năng xuất hiện này chính là tần suất

Công cụ để tính toán theo phương pháp này là đường tần suất Đường tần suất là

đồ thị biểu diễn mối quan hệ hàm số giữa giá trị của đại lượng thuỷ văn và khả năng

xuất hiện (tần suất) của giá trị đó Khi có đường tần suất, biết một giá trị cụ thể của đại

lượng thuỷ văn, tra đồ thị xác định được khả năng xuất hiện giá trị đó Ngược lại, khi

yêu cầu tìm một giá trị với khả năng xuất hiện nào đó, tra đồ thị với tần suất yêu cầu

cũng xác định được giá trị tương ứng

Như vậy trong chương này chủ yếu nghiên cứu cách vẽ đường tần suất trong thuỷ

văn Còn việc tra đồ thị để xác định giá trị của đại lượng hoặc khả năng xuất hiện là

hoàn toàn đơn giản

5.2 Đường tần suất thực nghiệm

5.2.1 Khái niệm

Đường tần suất thực nghiệm là đường tần suất được xây dựng từ mẫu số liệu

thực nghiệm của đại lượng ngẫu nhiên, biểu thị mối quan hệ hàm số giữa biến ngẫu

nhiên nghiên cứu và xác suất luỹ tích tương ứng và thể hiện cụ thể quy luật thống kê

của tập hợp mẫu

5.2.2 Các bước tiến hành vẽ đường TSTN

1 Tiến hành sắp xếp, thống kê và phân cấp số liệu:

- Các số liệu thực nghiệm được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

Đối với các đại lượng thuỷ văn, số liệu được sắp xếp theo thứ tự giảm dần

- Thống kê số lần xuất hiện các giá trị

- Nếu chuỗi số liệu dài, biên độ lớn thì có thể phân thành các cấp có độ lớn

bằng nhau và thống kê số lần xuất hiện trong từng cấp

- Số lần xuất hiện 1 giá trị (hay cấp giá trị) được gọi là tấn số - ký hiệu f

2 Tính tần suất lũy tích thực nghiệm:

Giá trị tần suất lũy tích thực nghiệm của mỗi giá trị hay mỗi cấp giá trị xác định

bằng công thức:

% 100 n

m

i

X

Với:

mXi - tổng số lần xuất hiện các giá trị lớn hơn hoặc bằng giá trị Xi đang xét;

∑

≥

=

i

i

X X X

m

n - tổng số giá trị trong liệt tài liệu (dung lượng của mẫu)

3 Vẽ đồ thị quan hệ X ~ pX được đường tần suất lũy tích thực nghiệm

Quá trình trên có thể lập thành bảng để tiện cho tính toán

VD: Vẽ đường tần suất thực nghiệm của lưu lượng TB tại một trạm thuỷ văn A với mẫu tài liệu 20 năm theo bảng sau:

Trình tự tính toán:

- Ở đây số liệu không nhiều, không cần phân cấp lưu lượng mà chỉ cần sắp xếp lại số liệu theo thứ tự từ lớn đến nhỏ để tìm ra số lần xuất hiện trị số nào đó rồi tính ra tần suất luỹ tích theo công thức sau:

% 100 n

m p

i

Bảng 5.1 Tính tần suất của lưu lượng Q TB năm ở trạm thuỷ văn A, n=20

STT Năm xuất

hiện

Lưu lượng

Q TB

m 3 /s

Sắp xếp lại

(x ≥ xi) = n .100%

m i

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1923

1924

1925

1926

1927

1928

1929

1930

1931

1932

1933

1934

1935

1936

1937

1938

1939

1940

1941

1942

176

212

234

147

288

215

262

250

192

167

284

264

275

213

188

221

242

189

245

196

288

284

275

264

262

250

245

242

234

221

215

213

212

196

192

189

188

176

167

147

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100 Dựa vào các điểm Qi ở cột (4) và tần suất tương ứng ở cột (7), chấm các điểm quan hệ lên hệ trục toạ độ vuông góc và vẽ đường cong đi qua trọng tâm khối điểm được đường tần suất thực nghiệm

Từ bảng tính toán và đồ thị nhận thấy:

Trong 20 năm chỉ có 1 lần xuất hiện Q ≥ 288 m3/ s

→ P(Q = 288) = 100%

20

1

= 5%

Trong 20 năm xuất hiện 20 lần trị số Q ≥ 142 m3/ s

→ P(Q ≥142) = 100%

20

20

= 100%

Trong tính toán thuỷ văn, đường tần suất có ý nghĩa lớn vì nó cho phép xác định

khả năng xuất hiện 1 giá trị của đại lượng thuỷ văn là bao nhiêu Cần chú ý do đặc

điểm của hiện tượng thuỷ văn, khi xuất hiện giá trị lớn hơn thì coi như đã xuất hiện giá

trị nhỏ hơn rồi, nên có thể sử dụng đường tần suất luỹ tích để xác định khả năng xuất

hiện giá trị Khả năng xuất hiện ở đây cần được hiểu là xuất hiện giá trị lớn hơn hoặc

bằng giá trị đang xét Ví dụ, khi thiết kế luồng tàu, quy định mực nước chạy tàu là

+1,5m, thì khi khai thác luồng, không nhất thiết phải đợi đến khi mực nước đạt đúng

giá trị +1,5m mới chạy tàu mà có thể chạy tàu với mọi mực nước cao hơn hoặc bằng

+1,5m Khi xuất hiện mực nước lớn hơn +1,5m thì coi như đã xuất hiện mực nước

+1,5m rồi Và khả năng xuất hiện mực nước +1,5m bằng tần suất lũy tích của mực

nước +1,5m

Phần lớn các trường hợp trong tính toán thuỷ văn đều sử dụng tần suất lũy tích

Nhưng cũng có một số trường hợp đặc biệt sử dụng tần suất xuất hiện - là khả năng

xuất hiện chính xác một giá trị nào đó

Tần suất xuất hiện tính bằng công thức:

% 100 n

f

i

X

Với fXi - là tần số hay số lần xuất hiện chính xác giá trị Xi Đường tần suất xuất

hiện cũng có dạng hình chuông như đường mật độ tần suất

Trong thuỷ văn quy ước nói tần suất là tần suất lũy tích

5.2.3 Các công thức tính đường tần suất thực nghiệm

n

m

p= được sử dụng ở trên luôn cho tần suất ứng với trị số

bé nhất của mẫu bao giờ cũng là 100%, nghĩa là sẽ không có trị số nào bé hơn nó nữa

Điều này là bất hợp lý vì liệt tài liệu thu được chỉ là một phần nhỏ của tổng thể, ta

không thể khẳng định được trước đây hoặc sau này còn xuất hiện trị số nào nhỏ hơn trị

số nhỏ nhất của mẫu không Công thức này chỉ ứng dụng khi n →∞

Để khắc phục nhược điểm trên, đưa ra một số công thức sau:

1) Công thức trung bình (Hazen):

% 100 n

5 , 0 m

2) Công thức vọng số:

% 100 1 n

m p

+

3) Công thức số giữa (Tregozaev):

% 100 4 , 0 n

3 , 0 m

p

+

−

4) Công thức Alếcxâyép:

% 100 5 , 0 n

25 , 0 m

p

+

−

Với cùng một liệt tài liệu thì tính toán theo các công thức trên sẽ cho những kết

quả khác nhau Vẽ các đường tần suất theo các công thức trên thu được kết quả như

hình (5….)

Từ đồ thị, nhận thấy:

- Khi thiết kế các công trình chống lũ, giá trị thiết kế (mực nước, lưu tốc, lưu

lượng …) lớn tương ứng với tần suất thiết kế nhỏ Khi tần suất p < 50% thì

với cùng một giá trị tần suất, công thức vọng số cho trị số của đại lượng thuỷ

văn là lớn nhất, do đó thiên về an toàn

- Khi thiết kế các công trình dùng nước, giá trị thiết kế nhỏ tương ứng với tần

suất thiết kế lớn Khi tần suất p > 50% thì với cùng một trị số tần suất, công

thức vọng số cho trị số của đại lượng thuỷ văn là lớn nhất, do đó cũng thiên

về an toàn

Như vậy công thức vọng số cho kết quả luôn thiên về an toàn, do đó được sử

dụng phổ biến nhất

5.2.4 Các hạn chế của đường tần suất thực nghiệm và cách khắc phục

Đường tần suất thực nghiệm vẽ như trên sẽ có những hạn chế như sau:

- Bản thân đường tần suất thực nghiệm vẽ trên cơ sở những điểm thực nghiệm

của tập hợp mẫu, mà tập hợp mẫu không thể đại diện cho quy luật ngẫu nhiên

của tổng thể

- Đường tần suất thực nghiệm vẽ trên cơ sở các điểm thực nghiệm nên có nhiều

sai số trong quá trình quan trắc, đo đạc và sai số chủ quan trong quá trình vẽ

đồ thị

- Đường tần suất thực nghiệm bị hạn chế ở hai đầu đường cong vì ở đó có ít

hoặc không có số liệu thực đo (những giá trị đặc biệt lớn hoặc đặc biệt nhỏ)

Nhưng thực tế khi thiết kế lại rất cần những giá trị này

VD: Các công trình chống lũ cần xác định lưu lượng MN ứng với tần suất rất nhỏ

(1%; 0,1%; 0,01%) Còn các công trình cấp nước giao thông, phát điện lại

phải xác định các đặc trưng dòng chảy với tần suất rất lớn: 95%; 98%; 99%;

99,9%

- Đường tần suất thực nghiệm nếu vẽ trên đồ thị thông thường thì hai đầu sẽ rất

dốc (do có ít số liệu), nếu phải xác định các trị số ở vùng này hoặc kéo dài

một cách trực quan thì sẽ mắc phải sai số chủ quan rất lớn và sẽ ảnh hưởng

đến quy mô kích thước công trình, đến vốn đầu tư, độ an toàn cũng như hiệu

quả khai thác các công trình thiết kế

Để khắc phục những hạn chế trên, cần hiệu chỉnh đường tần suất thực nghiệm

theo những nguyên tắc sau:

- Chính xác, tiện lợi hạn chế sai số, phù hợp với thực tế

- Mô tả được quy luật ngẫu nhiên thông qua các mô hình xác suất (các hàm

phân phối) phù hợp

- Hạn chế sai số do độ dốc quá lớn ở 2 đầu đường cong

Để đảm bảo được những nguyên tắc trên, việc vẽ đường tần suất trong thuỷ văn

được thực hiện bằng những biện pháp như sau:

- Sử dụng mô hình xác suất hay các hàm phân phối xác suất phù hợp để vẽ các

đường tần suất lý luận

- Hiệu chỉnh đường lý luận vừa vẽ bằng thực nghiệm để tôn trọng quy luật tự

nhiên Đường tần suất lý luận vẽ trên cơ sở các hàm phân phối xác suất là các

hàm toán học nên chính xác, đơn giản Việc sử dụng hàm số để mô tả diễn

biến của hiện tượng cũng đảm bảo yêu cầu mô tả hiện tượng ngẫu nhiên Việc

hiệu chỉnh đường lý luận bằng chuỗi số liệu thực đo cũng đảm bảo nguyên tắc

dùng thực tế kiểm nghiệm lý luận, đảm bảo cho hàm phân phối được chọn

phù hợp với thực tế Và việc vẽ đồ thị của hàm số toán học cũng khắc phục

được sai số chủ quan người vẽ

- Đường tần suất được vẽ trên giấy xác suất, là loại giấy vẽ đồ thị có tỷ lệ chia

là khác nhau trên các trục, có tác dụng làm giảm độ dốc ở 2 đầu đường cong,

hạn chế được sai số khi vẽ ở vùng này cũng như khi ngoại suy và tìm các giá

trị đặc biệt lớn hoặc đặc biệt nhỏ

Vấn đề trước hết cần được giải quyết ở đây là lựa chọn mô hình xác suất (hàm

phân phối xác suất) phù hợp Để giải quyết được vấn đề này, cần nắm được một số

khái niệm cơ bản về các tham số thống kê

5.3 Các tham số thống kê cơ bản

5.3.1 Các tham số thống kê biểu thị xu thế tập trung

5.3.1.1 Số trung bình số học X

Giả sử có một liệt trị số quan trắc: X1, X2, Xn thì số trung bình của liệt số đó, ký

hiệu X , xác định bằng công thức:

∑

=

1 i i

X n

1

Nếu tần số xuất hiện của mỗi giá trị Xi là fi thì X xác định bằng công thức:

∑

= +

+ +

+ + +

1 i

i i i

n 2

1

n n 2

2 1

f

1 f

f f

f

X

f

X f

X

X phản ánh độ lớn bình quân của toàn liệt số, tuy nhiên dễ bị ảnh hưởng của các

trị số cực đoan, nhất là khi dung lượng mẫu ít

5.3.1.2 Số đông Xđ

Trị số ứng với mật độ tần suất lớn nhất trên đường phân bố mặt độ tần suất

được gọi là số đông So với các trị số khác trong liệt tài liệu thì số đông được xuất hiện

nhiều nhất, vì vậy tại vị trí số đông hàm mật độ tần suất f(x) có đạo hàm f’(x) = 0

X®

f'(x) = 0

Hình 5.1 Xác định số đông

Số đông có ưu điểm là không bị ảnh hưởng của trị số cực đoan, phản ánh khả

năng xuất hiện của liệt số Tuy nhiên đối với đại lượng thuỷ văn khó xác định được

chính xác, chỉ có tác dụng tham khảo, không áp dụng thực tế

5.3.1.3 Số trung vị XV (số giữa)

Khi số giá trị của liệt tài liệu là chẵn, số trung vị là số bình quân toán học của 2

số ở giữa sau khi đã sắp xếp

VD: Liệt số X1, X2, … X6 được xếp từ lớn đến bé, số trung vị

2

X X

= Khi số trị số trong liệt tài liệu là lẻ, số trung vị là số ở giữa liệt tài liệu

VD: Liệt số từ X1, X2, X5 → XV = X3

5.3.2 Các tham số thống kê biểu thị xu thế phân tán

5.3.2.1 Khoảng lệch (hiệu số tách rời, ly sai)

Khoảng lệch là hiệu số giữa trị số trong liệt tài liệu Xi và số bình quân X :

X X

Xi = i −

Khoảng lệch biểu thị độ chênh lệch giữa một giá trị cụ thể trong liệt số và số bình

quân, tuy nhiên không biểu thị được mức độ phân tán của toàn liệt số

5.3.2.2 Khoảng lệch quân phương (phương sai) σ

Khoảng lệch quân phương, còn gọi là phương sai, ký hiệu σ, xác định bằng:

n

X X

n 1 i

2 i

∑

=

−

=

σ phản ánh được mức độ dao động của các trị số quanh số bình quân, từ đó suy

ra xu thế tập trung hay phân tán

VD: có 2 liệt số 18, 19, 20, 21, 22 và 16, 18, 20, 22, 24 đều có số bình quân là

20, tuy nhiên liệt thứ nhất có σ = ±1,58; liệt thứ hai có σ = ±3,16 Vậy liệt số thứ nhất

tập trung hơn liệt thứ hai

Hạn chế của σ là có thứ nguyên, nên không thể dùng để so sánh 2 đại lượng khác

thứ nguyên

VD: không thể dùng σ để so sánh 2 liệt tài liệu: thời gian mưa là 18, 19, 20, 21,

22 phút và lượng mưa là 16, 18, 20, 22, 24 mm

5.3.2.3 Hệ số phân tán Cv

Hệ số phân tán Cv là tỷ số giữa khoảng lệch quân phương và số trung bình của

liệt số:

∑

∑

=

−

=

σ

1 i

2 i

n 1 i

2 i

n

1 X

X X n 1 X

Trong đó

X

X

i = gọi là hệ số môđuyn hoặc là hệ số biến suất

Hệ số Cv là một số không âm và không có thứ nguyên, biểu thị mức độ phân tán

của liệt số CV càng lớn liệt số càng phân tán

Do không có thứ nguyên nên CV có thể dùng để so sánh mức độ phân tán của các

liệt tài liệu có thứ nguyên khác nhau

VD: so sánh mức độ phân tán của thời gian mưa 18, 19, 20, 21, 22 phút và lượng

mưa là 16, 18, 20, 22, 24 mm

Thời gian mưa có CV =

Lượng mưa có CV =

Hạn chế của CV là chỉ phản ánh mức độ phân tán - tập trung của liệt tài liệu,

không thể hiện được tình hình phân phối của liệt số quanh trị số bình quân, đối xứng

hay không đối xứng

5.3.2.4 Hệ số thiên lệch Cs

Hệ số thiên lệch Cs để phản ánh hình dáng của đường phân bố mật độ tần suất

lệch về phía bên phải hay bên trái của trị số bình quân

3 V

n 1 i

3 i 3

3 V

n 1 i

3 i S

C n

1 K X

C n

X X

=

=

−

=

−

Khi ∑ (Ki−1)3 >0 → CS > 0, đường phân bố lệch về bên trái trị số bình quân,

gọi là phân bố lệch dương

Khi ∑ (Ki −1)3 <0 → CS < 0, đường phân bố lệch về bên phải trị số bình quân,

gọi là phân bố lệch âm

Khi ∑ (Ki −1)3 =0 → CS = 0, đường phân bố lệch đối xứng qua trị số bình

quân

Cs = 0

Cs > 0 Cs < 0 y

x X

Hình 5.2 Sự biến đổi của đường mật độ tần suất khi C S thay đổi

Chú ý: các công thức tính σ, Cv, CS trên chỉ thích hợp khi mẫu có dung lượng rất

lớn (n → ∞) Khi n ≤ 30 thì xem liệt tài liệu là ngắn và khi đó dùng các công thức sau:

∑

=

=

−

−

=

−

−

=

1 i

2 i n

1 i

2

1 n

1 X X

X 1 n

1

(5.13)

∑

=

=

−

−

=

−

−

1 i

2 i n

1 i

2 i

1 n

1 X

X 1 n

1 X

1

=

−

−

1 i

3 i 3

V

C 3 n

1

5.3.3 Sai số mẫu thống kê

Trong tính toán thuỷ văn, ngoài sai số sinh ra trong quá trình đo đạc còn có sai số

trong quá trình lấy mẫu tổng thể vì dung lượng của tập hợp mẫu lấy được thường khá

ngắn không đủ đại diện cho tình hình phân bố của tổng thể Sai số đó gọi là sai số mẫu

thống kê (sai số lấy mẫu)

Việc tính toán sai số mẫu thống kê có thể tham khảo trong các tài liệu [ ]

5.4 Đường tần suất lý luận thường dùng trong thuỷ văn

Như đã phân tích ở trên, để khắc phục những hạn chế của đường tần suất thực

nghiệm, cần tìm được một mô hình xác suất - hay một hàm phân phối xác suất - có thể

biểu diễn được diễn biến của hiện tượng thuỷ văn Từ đó sử dụng hàm xác suất này,

kết hợp với những hiệu chỉnh từ số liệu thực nghiệm để xây dựng đương tần suất tính

toán Các đường tần suất xây dựng theo các hàm xác suất này gọi là các đường tần suất

lý luận Thực tế chưa thể xuất phát từ lý thuyết xác suất để chứng minh hiện tượng

thuỷ văn phù hợp với mô hình xác suất nào Hiện nay sử dụng 2 mô hình phân phối

xác suất tương đối phù hợp với hiện tượng thuỷ văn là mô hình Piêcsơn III và Krisky -

Menkel

5.4.1 Đường tần suất Piếcsơn III (P III )

5.4.1.1 Khái niệm

Nhà sinh vật học Piếcsơn (Pearson) đã đưa ra 13 đường mật độ tần suất để biểu

diễn các quy luật khác nhau của các đại lượng ngẫu nhiên, các quy luật này nói chung

đều không đối xứng

Các đại lượng thuỷ văn cũng là các đại lượng ngẫu nhiên không đối xứng và

tương đối phù hợp với dạng đường thứ 3 trong họ 13 đường phân bố mật độ Piếcsơn

cho nên trong tính toán thuỷ văn sử dụng mô hình Piếcsơn III (viết tắt là PIII)

d y

x

a

Hình 5.3 Họ đường cong Piếcsơn

Phương trình vi phân tổng quát của Piếcsơn có dạng:

2 2 2 1

0 b x b x b

y )

d x dx

dy

+ +

+

Đường PIII là đường có b2 = 0:

x b b

y )

d x dx

dy

1

0 +

+

=

Chuyển trục toạ độ từ vị trí X về Xđ và tích phân phương trình vi phân ta được

phưng trình của đường phân bố mật độ tần suất PIII:

d

x d a

a

x 1 y

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

Trong đó:

x,y – toạ độ đường cong;

y0 – xác suất xuất hiện số đông (tung độ lớn nhất của đường cong ứng với vị trí

Xđ);

a – khoảng cách từ điểm cuối bên trái đường cong tới vị trí số đông Xđ

d - Độ lệch từ vị trí Xđ tới X;

e - Lôgarít tự nhiên = 2,718

Đặc điểm của đường PIII: đầu trái có giới hạn (tồn tại trị số nhỏ nhất Xmin) còn

đầu phải vô hạn (không có Xmax)

5.4.1.2 Cách vẽ đường tần suất lý luận theo PIII

Khi biết 3 tham số y0, a, d thì đường cong tần suất hoàn toàn được xác định

Qua phân tích toán học thống kê, rút ra được quan hệ giữa 3 tham số trên với các tham

số thống kê như sau:

X 2

C C

d C

X C 2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ Γ

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

−

2 S C

4 V

C 4

2 S S 0

C

4 e C

1 C

4 C 2 y

2 S

2 S

(5.20)

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

S

C

4

gọi là hàm gamma, giá trị được tra trong bảng lập sẵn

Với một liệt số ngẫu nhiên, xác định được các giá trị X, Cv, Cs thì hoàn toàn xác

định được đường phân bố mật độ tần suất

Tích phân đường phân bố mật độ tần suất thu được đường tần suất lũy tích lý

luận theo Piếcsơn III

Tuy nhiên khi áp dụng trong thực tế thì việc xác định y0, a, d và tích phân hàm

phân phối mật độ tần suất là quá phức tạp nên để thuận lợi trong thực hành tính toán

Foster và Rupkin đã tiến hành phân tích và lập thành bảng tra sẵn để vẽ đường tần suất

luỹ tích theo PIII như sau:

- Gọi

X

X

Kp = p , gọi là hệ số môđun hay hệ số biến suất với Xp là giá trị lý luận của đại lượng ngẫu nhiên ứng với tần suất p cho trước

- Gọi hàm số Ф (chỉ phụ thuộc vào CS và tần suất p) là hệ số tách rời hoặc

khoảng lệch tung độ, công thức của Ф là:

(C ,p f C

1 K

S V

p− =

=

Ф được tra bảng lập sẵn Foster - Rupkin theo CS và p

- Có Ф xác định được Kp:

1 C

- Từ đó xác định được các giá trị lý luận Xp ứng với các tần suất p:

( C 1).X X

K

- Từ các cặp trị số Xp ~ p vẽ trên giấy xác suất được đường tần suất lũy tích

theo PIII của đại lượng cần nghiên cứu

Chú ý: Khi sử dụng đường PIII

+ Khi Cs < 0 vẫn có thể tra bảng Foster – Rupkin nhưng phải biến đổi:

p C <0 =−Φ − C

+ Khi áp dụng đường PIII cho hiện tượng thuỷ văn, giới hạn của Cs là: