Nguyên hàm tích phân HD ôn tập và phương pháp giải

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.. - Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức... Phương pháp tích phân từng phần.. a Như vậy việc chọn được u và dv c

TT |}

Chuyén dé: NGUYEN HAM - TICH PHAN

A MOT SO VAN DE LY THUYET

1 Bảng các công thức tích phân

Các hằng số của tích phân đã bỏ qua

n+

x

1 Jƒx" dx = (n # —1)

n+1

2 f 1 dx = In|x|

r

Ina

6 cosxdx = sinx

7 [ sec? x dx = tanx

8

9

f csc? x dx = —cotx fsecxtanx dx = secx

11 ƒsecxdx =ln|secz + tanz|

12 ƒcscxdx =In|cscx — cotx|

13 ƒtanxdx = In|secx|

14 ƒcotxdx =ln|sinz|

15 f sinhx dx = coshx

16 J f coshx dx =sinhx

18 &— = = sin’ +

f dx

Veta

II Một số tính chất

TT |}

1 Định lý cơ bán của Giải tích: Nếu ƒ là hàm liên tục trên [a,b] thi:

f ° K(ø)dz = F(b) — F(a),

trong đó # là một nguyên hàm của ƒ tức là F’ =f

2 Tính chất:

Néu a =6, thi J ˆƑ(ø)dz =0

1 Ƒ cd = e(b — a), với e là hằng số bắt kỳ

2 ƒ[f(s)+ g(e)|dx= [ˆ /@0dz+ [ at):

8 ƒ " of (@)dx =e f " f(a)da, véic 1a hang, s6-Bat ky

4 f[t(2)- g(z)|ảz = Ƒ (7) = f° oleae

5ƒ " fede = J 1+ [ b/ (ỒN

6 Nếu ƒ(z)>0 với a<#<ö,thì J 1ư) >0

7, Néu f(x) > g(x) voi a< z < b, thì f f@)dr > sa

§ Nếu m < ƒ(#)< M với øa< z< b, thì

m(b—a) < [ f(z)dz < MỤ — a)

= J a

II Các phương pháp tính tích phân

f f(a)da

1 Ap dung trực tiếp bảng các nguyên hàm cơ bản

TT |}

2 Phương pháp thế (đỗi biến)

b

1) DANG 1:Tinh I= fflucx)].u Codx bằng cách đặt t = u(x)

Công thức đổi biến số dạng 1: [fluo wae = [ƒŒ)dr

a u(a)

Cách thực hiện:

Bước l: Đặt t=u(x) > dt =u (x)dx

¬ x=j |t=u(b) Bước 2: Đối cận : =>

x=a_ |t=u(a) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

b u(d)

1=[ ƒi@)]#@)dv= [ ƒ0)đ (ti€p tuc tinh tich phân mới)

b

2) DANG 2: Tinh I= jfaxx bằng cách đặt x = g(t)

Công thức đổi biến số dạng 2: 1=[ ƒ(x)ww = [ƒ[ø()]p)#

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt x=ø()—= dx = ø (0)di

f= 8B

f=a

x=b

>

x=a

Bước 2: Đổi cận :

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

1=Í f(xww = flo@lo'\Wat (tiếp tục tính tích phân mới)

Một số phép đổi biến thông dụng:

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t là phần bên trong dấu căn thức

TT |}

- Nếu tích phân chứa an thì đặt ý = lnz

%

- Nếu tích phân chứa e” thì đặt £ = e”

- Nếu tích phân chứa -^= thì đặt t = Vz

- Nếu tích phân chứa ie thi dat t = oy

- Nếu tích phân chứa coszdz thì đặt ý = sinz

- Nếu tích phân chứa sin zd+ thì đặt ¿ = cosz

- Nếu tích phân chứa = thì đặt ¢ = tgr

cos #Ø

- Nếu tích phân chứa ——— thì đặt t = cot gz

sin’ x

3 Phương pháp tích phân từng phần

b Công thức: fete = uo, -Ƒ udu

a

Như vậy việc chọn được u và dv có vai trò quyết định trong việc áp dụng phương pháp này

Ta thường sặp ba loại tích phân như sau:

Loại 1:

=> u= P (x): Trong dé P (x) là đa thức bậc n

TT |}

Ta phải tính n lần tích phân từng phần

Loại 2:

(x).dz = u = In" ƒ(z): Tính n lần tích phân từng phần

Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân

J e*" cos Ba.dx

a

còn lại Thông thường ta làm như sau:

b

- Tính fe-sin Øz.dz :Đặt u — e°” Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân

b

J e°”.cos đz.dz Ta lại áp dụng TPTP với u như trên

a

- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết quả

4 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ:

a) Phan 1: Tích phân hữu tỷ cơ bản

Ạ de =Atnjax +1) +C

ax +b a

1 a.Dang: J

TT |}

dx

2.Dang: | ————————

J ax +bx+ce

x—2,)—(x—2,)dx _

-Nến A>0: a(x —2,)(x—2,) Ly — £, mm

ø|#———

2a

-Nếu A<0: ƒ———- Đặt (z—a) = B.tgt

(z— a) +

3 Dang: J = fa a

ax +br+ec

Phan tich: J = ƒ = m.[*>z—>—=Sdy+m.[—T———

= m.tn ar +b Rp [= —

av +ba+c

b

b) Phan 2: Tich phan hitu ty tong quat J QO me

x

Bước I: Nếu bậc của A(x) lớn hơn bậc của B(x): Chia chia A(x) cho B(x) Ta phai tinh tích phân:

b

P(x)

Bước 2:

+ Nếu Q(x) chi toan nghiém don: Q(x) = (« =— a,) (x = a,) (2 — 4, ) ,tatim A,,A, 4,„ sao

cho :

TT |}

+ Nếu Q(x) gồm cả nghiệm đơn và nghiệm bội: (+) = (z — a) (x — b) (x — ce) , ta tim

A,P,C,,C, sao cho :

Qe) t-a a-b Gy ea

+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai đơn:

Q(z) = (z — a)( + px + a), ta tìm A,B,C sao cho:

PA ,_ Br+O

Qe) z—a +z+pz+q

+ Nếu Q(x) gồm nhân tử bậc hai đơn và nhân tử bậc hai bội:

Q(x) = (z — a)(2 + pr+ 4) »tatim A,B,C,,.B,,C, sao cho :

Q(z) «a (2? bx a) x +pr+q

5 Tích phân hàm vô tỷ đơn giản:

b

1 Dang: J Re f(a) )dx Trong đú R(x, f(x)) ci dang:

đc XL

) dat x =acos2t,t € |0; “]

a) R(x,

b) R(x, Va? — 2” ) dit x = al sin£ hoặc x= al cost

c) RK 3 ant) ) as, —_ ax+b

1

(ax + b)\|a#” + Øz + +

TT |}

Dat t= Jax’ + Øz + +, hoặc t= :

ax+b

e) R(x, Va’ +2” ) dat x= |a|tot,t € Fee

2 Dang: fs ax + b.da; ƒ MU Đổi |az +b = (ax + b)'

Var +b

b

3 Dang: J ax’ + bx + c.da

b

+ Nếu a>0: Tích phân có dạng J w”-Ea “du - đặt u=atgf

+C

Hoặc chứng minh ngược công thức: J w”-Ea” đụ = E wta + om utyu+a

b + Nếu a<0 : Tích phân có dạng Pp a —u’du dat u=asint

dx

4 Dang: | —————————

a(z— z,)(= — +, # @ a(x—2,)(—2,)

-Nếu A=0: [ a == % thu ; =

-Nếu A <0:

| 2012

+_ Với a>o: Saw Bee) D = B.tgt

utvw+a@a}+C

du Hoặc chứng minh ngược công thitc: | —————_ = _ In

J lu? + a

+ Với a<0: Í=== 1m Đặt ( = @.sint

(z — a)

b

dx

5 Dang: —_

6 Dang: J R le +b)" (ae +b)" jus Dat t = (ax + »): với s là BCNN của n va q

6 Tích phân hàm số lương giác:

Đặt (x+a)=-

1.Dang: fi (sin COS z) dx

- Nếu f là hàm lẻ theo sinx: Dat t=cosx

- Nếu f là hàm lẻ theo cosx: Đặt t=sinx

- Nếu f là hàm chan theo sinx va cosx: Dat t=tgx

2.Dang: fi sin" %.COS” đ

- Nếu m vàn chắn: Hạ bậc

- Néu m le: Dat t=cosx

- Nếu n lẻ: Đặt t=sinx

3.Dang: fr (sin ;COS a) de trong đó R là hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Dat ¢ =tg~ => d= 3; sing = ¡ cosx = —; tgz — 5

24

TT |}

b

i asinaz + bcos

4 Dang: Ï = | —————————d+#

| sdnz+-dosa

Phân tích: (Tử số)=A.(Mâu số)+B.(Mầẫu số)?

b

(csinz + đcosz)

=Aldz+B

j Se csinz + dcosz

‘a, sinz +b cosx +¢

5 Dang: I = | ~——+1—_ dr

da snz+h con

Phân tích: (Tử số)=A.(Mầu s6)+B.(Mdu số) +C

J J sinz +6, cosz+c, Is sinz + b, cosz + ¢,

a, sing + b, cosa +c,

<j en fees tienes) 6,

a, sin x + b, cosz + ¢,

J 1a tich phan tinh duoc

7 Phép đổi biến đặc biệt:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: J f(@de = Jưœ) + ƒ(_-z)ld+

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: J fae =0

TT |}

Bài toán 2; Hàm số y = f(x) liên tục và chãn trên [-a, a], khi đó: [ ƒ(z)dz =2 [ f(z)dz

0

—a

Bài toán 3: Cho hầm số y = f(x) liên tục, chắn trên [-a, a], khi đó:

= n= J ƒf(œ)dz (1z=b>0, Va)

—a

ƒ(sinz) = [Hoos a)dx

=——.-.¬

Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [O; ], thì

Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-I; 1], khi đó: [ zƒ(sinz)dz = 2 J7Ginsz)a

0

0

Bài toán 6: lau +b-a)dt = [see => fs —a)dx = [iu

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:

J flee = nf f(a)de

=>

0

ƒ f(a)dz = [ile

8 UNG DUNG TICH PHAN TINH DIEN TICH MIEN PHANG

b x x £

1 Trong trường hợp thì ƒ_ ƒ(z)dz = diện tích miễn dưới đồ thị ƒ từ a đên ?

2 Diện tích của miền bị chặn bởi đường cong y = ƒ(%),y = g(%), và đường thang x = a va

x = b,6d6 f vag lién tuc va f(x) = g(x) vdi moi x trong [a, b], 1a

b

A= | f@)-o@lax

Bail: Tim nguyén ham cia cac hàm sô sau:

(3 — 22x)

5 fee +1) zảz 6 f@ +ð}z?dxz ``1 fie + 1.zd+z 8 J is dz £

13 f sin [smfrcozh XL COS LAL Wy Set z Mi fea 15 f cotad foo LAL 15, fe J —= 3

17 yf ae 18 J lật 19 J tan adz 20 J a dx

21 J ve? —3 : 22 J cos” x ° d 23 [Vi—-wd 24

29 J cos? asin’ da 30 ƒrdz— 1a 31 J the 32 J# +” +1.dw

e +1