Giải nhanh Toán GTLN GTNN mô đun số phức với elip và không elip lục trí tuyên File Word có lời giải chi tiết

Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc với và . Tìm Min, Max của : Tính và Định nghĩa: Cho hai điểm cố định với độ dài tập hợp các điểm trong mặt phẳng thõa mãn: Bài toán chung: Cho chuyển động trên Elip và một điểm cố định. Tìm GTLN, GTNN của . Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức thỏa mãn với . Tìm GTLN, GTNN của . Sự tương ứng ở đây gồm M là điểm biểu diễn .

GIẢI NHANH GTLN-GTNN MÔ ĐUN SỐ PHỨC VỚI ELIP

GIẢI THÍCH CỤ THỂ 1.Hình dạng và thông số của Elip:

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F F1, 2 với độ dài F F1, 2 2ctập hợp các điểm

M trong mặt phẳng thõa mãn:

Với a c 0 là số dương không đổi

- Hình dạng:

.Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc z z   1 z z2 2a với z1z2 2avà

1, 2 ;

z z   c ci Tìm Min, Max của P z z0 :

Tính z1z2 2c và b2 a2c2

(2) Nếu thấy 1 2

2

  maxPa; minPb

0

2









1 2 0

max

2

1 2 0

min

2

0

2









1 2 0

max

2

(3.3) Nếu thấy z0z1  z0z2 1 2

0 min

2

P z   b

- Mối quan hệ: a b c a, , : 2 b2c2

2.Bài toán liên quan:

Bài toán chung: Cho M chuyển động trên Elip ( )E và một điểm A cố định Tìm GTLN, GTNN của AM

Bài toán số phức tương ứng: Cho số phứcz thỏa mãn z z    1 z z2 2 a với 2a z1z2 Tìm GTLN, GTNN của P z z0

Sự tương ứng ở đây gồm

- F F1, 2tương ứng là điểm biểu diễn z z1, 2

- A là điểm biểu diễn z0

3.Các dạng giải được:

Bài toán 1: Phương trình( )E dạng chính tắc

a  b 

Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thỏa mãn z c   z c 2a hoặc

2

z ci  z ci  a (Elip đứng) Tìm GTLN, GTNN của P z z0

Giải

- Tính b2 a2c2

- Lập phương trình chính tắc của Elip

a  b  với z c   z c 2a Hoặc

a  b  với z ci  z ci 2a

- Rút y theo dạng: y b a2 x2

a

   đối với

a  b  tương tự đối với x22 y22 1

a

- Dùng chức năng TABLE của máy tính cầm tay Casio tìm ra GTLN và GTNN của hàm P từ 2

đó có P

Ví dụ minh họa:

Cho số phứczthỏa mãn z   2 z 2 6 Tìm GTLN và GTNN của P  z 1 3i

Giải:

- Có a3,c 2 b2   9 4 5

- Phương trình chính tắc của Elip

2 2

2 5

- Vậy 2  2 2  

1,2

5

3

       

- Bấm TABLE các hàm f1,2 x với x  3;3 được GTLN, GTNN của P 2

Bài toán 2 Elip không chính tắc nhưng Alà trung điểm của F F1, 2 tức Alà tâm của Elip Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thỏa mãn z z   1 z z2 2a với 2a z1z2

Tìm GTLN, GTNN của P z z0 Với đặc điểm nhận dạng 1 2

0 2

Giải

2

z z

- Tính b2 a2  c2 b a2c2

- Vì A là tâm Elip và M di chuyển trên Elip nên:

+ AMlớn nhất bằng a haymax Pa

+ AMnhỏ nhất bằng b hay min Pb

Ví dụ minh họa

Cho số phức z thỏa mãn z     1 3i z 2 i 8 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

2 1 2

P z  i

Giải

- Ta có 2 1 2 1

P

P z  i    z i Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của ' 1

2

P   z i

- Ta thấy z1 1 3 ,i z2   2 i và 0

1 2

z   i

Do đó

1 2 0

2



2

c z z   c a  a Vậy 16 25 39

max 4; min

2

P  P  , Do đó maxP8; minP 39

Bài toán 3 Elip không có dạng chính tắc, A không là trung điểm của F F1, 2 nhưng

Anằm trên các trục của Elip

Bài toán 3.1: A nằm trên trục Elip lớn và ngoài:

- Dấu hiệu nhận biết: 0 1  0 2







0 max

2

0 min

2

Bài toán 3.2: Anằm trên trục lớn và ở phía trong Elip:

- Dấu hiệu nhận biết: 0 1  0 2







- Thì 1 2

0 max

2

Còn GTNN không xác định nhanh được

Bài toán 3.3 Anằm trên trục nhỏ (bất kể trong hay ngoài) Elip:

- Dấu hiệu nhận biết: z0z1  z0z2

0 min

2

   Còn GTLN không xác định nhanh được

Ví dụ minh họa:

Cho số phứczthỏa mãn z i   z 3 3i 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

6 7

P  z i

Giải:

1 1(0;1); 2 3 3 2(3; 3); 0 6 7 (6; 7)

z  i F z   i F  z   i A  I là trung điểm của F F1, 2 thì

; 1

 

Có z0  z1 6 8 ;i z0     z2 3 4i z0 z1 2(z0z2) VậyA thuộc F F1, 2

Mặt khác z0 z1 z0z2 10 5 6 Vậy A nằm ngoài Elip

0

21 max

0

9 min

Bấm máy: thấy ngay a3

+ Gán z vào A; 0 z vào B và 1 z vào C 2

+ Kiểm tra A, B, C thẳng hàng A B *

k

A C



 

 + Kiểm tra A nằm ngoài Elip: A B   A C 6

+ Bấm max 3

2

B C

2

B C

ELIP SUY BIẾN

Bài toán: Cho số phức zthỏa mãn: z z    1 z z2 2 a nhưng có z1z2 2a Tìm GTLN, GTNN của T  z z0

Giải:

- Bài toán tương đương với bài toán hình học MF1MF2 F F1, 2 Tìm GTLN, GTNN của

- Giả thiết MF1MF2 F F1, 2 tương đương với M di chuyển trong đoạn thẳng F F Do đó: 1 2

- Viết phương trình đường thẳng F F với 1 2 xx x1; 2 (ở đây x x lần lượt là hoành độ của 1, 2

1 2

F F )

- Rút ytheo x từ phương trình F F vào T được 1 2 T  f x  với xx x1; 2

- Tìm GTLN, GTNN của f x trên đoạn   xx x1; 2

Ví dụ minh họa:

Cho số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 10 Tìm GTLN, GTNN của P  z 1 4i

Giải

Với các quy ước từ ban đầu, có F1( 2;1), F2(4; 7) và A(1; 4) M là điểm biểu diễn z Có

1 2 10

F F  do đó z    2 i z 4 7i 10Mthuộc đoạn thẳng F F 1 2

Có F F1 2 (6; 8) nên phương trình tham số của 1 2: 2 3

1 4

F F

  



  

 Với x  2; 4 t  0; 2

Có 2   2  2  2 2 2

Khảo sát hàm f t( )25t2 6t 18trên  0; 2 được GTNN của f t( ) bằng 18, giá trị lớn nhất bẳng 130

Vậy minP3 2 và maxP= 130

GTLN-GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC VỚI ELIP

1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA

 Cho số phức z a bi mô đun củazký hiệu là z được tính bởi z  a2b2

 Mỗi số phức z a bi được biểu hiện bởi điểm M a b( ; )hay OM

 Mỗi số phức z a bi có thể coi là một vecto u( ; )a b

 Tổng (hiệu) hai số phức bằng tổng (hiệu) hai vecto

2 TÍNH CHẤT

 2

;

 1 1

;

z

z

 z1  z2  z1z2 Dấu “=” xảy ra khi z1 kz k2( 0)

 z1z2  z1  z2 Dấu “=” xảy ra khi z1kz k2( 0)

 Cho M, N lần lượt biểu diễn 2 số phức z z1, 2 thì MN  z1z2

 M biểu diễn z và I biểu diễn z0 thì zz0  R M thuộc đường tròn tâm 0 bán kính R

 M biểu diễn z, F1 biểu diễn z1 và F biểu diễn 2 z2thì zz1  z z2 M thuộc đường trung trực của F F 1 2

3.MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG

Dạng 1: Tìm z hoặczthỏa mãn phương trình z f    x g x nghĩa là phương trình bậc nhất

ẩn zchứa z

Cách giải

+ Nhận biết: Phương trình đã cho chỉ có bậc nhất với znhưng có thể đứng nhiều nơi, còn lại là các biểu thức chứa z

+ Nhóm z sang một vế đưa về dạng z f    x g x (*)

+ Lấy mô đun hai vế (*) sử dụng tính chất z f    x g x được phương trình ẩn là z

+ Giải phương trình được z

+ Thế z trở lại vào (*) giải ra z

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn z 3 z z 1 z2 6 iz

Hướng dẫn Ta thấy trong phương trình chỉ có bậc nhất với z, còn lại là z (chú ý là z z  z2) Vậy đây là dạng toán đang tìm hiểu!

Chuyển hết z sang một vế ta được:  2 

z z   z i  z (*)

z z   z  z  z   (do z0) 1

13

z

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

10 (2 i z) 1 2i

z

    Tìm z

Hướng dẫn Điều kiện z0, quy đồng ta được (2i z z)  10 z 2zi

2 z 1 z 2 i z 10 2 z 1 z 2 z 10 5 z 5z 10 z 1

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z  4 (1 i z)  (4 3 )z i Tìm z

Đáp số: z 2

Hướng dẫn: dồn z về một vế ta được z(1 3 ) i  z  4  z 4i

Lấy mô đun 2 vế suy ra   2 2 2 2

Ví dụ 4: Tìm z biết (1 i z) 1 i 2

z

   

Đáp số: z 1

Hướng dẫn: Quy đồng và dồn z về một vế ta được (1i z z)  1 2z z i Lấy mô đun 2 vế

2 z  1 2 z  z 2 z 5 z 4 z 1 (chú ý  z 0)

Nhẩm thấy phương trình có nghiệm z 1, phương trình bậc 3 còn lại vô nghiệm với z 0

Dạng 2: Cho z1 m, z2 n và az1bz2  p tính q cz1dz2

Cách giải

Coi z1 u và z2 v thì u2  u2 m v2, 2  v2 n2 và  2  2

,

Khai triển:

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2

Bây giờ khử uv là xong

Nhân (1) với ab và nhân (2) với cd rồi trừ đi, được:

Đặc biệt khi a b 1 và c  d 1, ta có công thức hình bình hành

2 z  z  z z  z z

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho các số phức thỏa mãn z 1; z 3 và z 3z 2 Tính P 2z 3z

Đáp số: P 241

Hướng dẫn: coi các số phức z z1, 2 là vector u v, ta có:

4 z 3z  z 9 z 6 u v (1)

2

Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được:

8P 6 z 27 z P 241 P 241

Ví dụ 2: Cho 2 số phức z z1, 2thỏa mãn z1z2 5 và z1z2 3 Tìm GTLN của P z1  z2

Đáp số: maxP 34

Hướng dẫn: Cho các số phức là z z1, 2các vecto u v, ta có:

25 z  z 2 u v (1) và 9 z12 z222 ,u v (2) Cộng (1) với (2) được

 2 2

342 z  z

Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có 2  2  2 2 2

34

P

Ví dụ 3: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z12z2 5 và 3z1z2 3 Tìm GTLN của

1 2

P z  z

14

P

Hướng dẫn: coi các số phức z z1, 2 là các vecto u v, ta có:

25 z 4 z 4 u v (1) và 99 z12 z2 26 ,u v (2) Nhân (1) với 3 và nhân (2) với 2 rồi

9321z 14 z Bây giờ áp dụng bất đẳng thức BNC cho 2

P :

zz   z z z

Dạng 3: Cho số phức zthỏa mãn zz0 R Tìm GTLN của Pa z z1 b zz2 biết rằng

z   z k z z k và a b, 

Cách giải

Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R Cho A, B là 2

điểm cố định thỏa mãn I nằm trong đoạn thẳng AB Tìm giá trị lớn nhất của

Trừ khi I là trung điểm của AB, nếu không

sử dụng hình học để giải bài này là nhiệm

vụ không hề dễ dàng Ta sẽ dùng các tính

chất về mô đun của số phức để giải quyết

bài toán

Ta có:

zz    z z z z

zz    z z z z  z z  z z  u v (2)

với u là vecto biểu diễn zz0 và v biểu diễn z0z2 với lưu ý z0  z1 k z 0z2

Nhân (2) với k rồi cộng với (1) ta được:

zz k zz  k R k z z (không đổi)

Áp dụng bất đẳng thức BNC cho 2

P , ta có:

k k

 

2

2

0 2 (1 )

b

k

Vậy, với công thức cồng kềnh như vậy rất khó nhớ, cho nên các em nên nhớ cách làm của nó

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 Tìm GTLN của T     z i z 2 i

Đáp số: maxT 4

Hướng dẫn: Ta có Tâm I đường tròn trong giả thiết z0 1 bán kính r 2 Điểm A và B ứng với 2 số phức z1  i và z2  2 i Dễ thấy rằng z0  z1 (z0z2) Vậy thậm chí I là trung điểm của AB Ta có:

zi    z i     z i uv (1)

z i    z i     z i uv (2) Với u v, biểu diễn z1 và 1 i

Cộng (1) với (2) ta được:

z   i z i  z   (không đổi)

Áp dụng đẳng thức BNC:

2

T  z   i z i   z   i z i   T

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm GTLN của T    z z 3 6i

Đáp số: maxT 3 7

Hướng dẫn: Ta có

1 2 1 2 1 2 1 2 2

z     z i i   z i   i  u v (1)

3 6 1 2 2 4 1 2 4 1 2 4

z  i     z i i   z i   i  u v (2) Với u v, biểu diễn z 1 2i

và 1 2i :

Nhân (1) với 2 rồi cộng với 2 được:

2 z   z 3 6i 3 z 1 2i 6 1 2 i 12 30 42

Áp dụng bất đẳng thức BNC:

 2  2 2

2 2

T  z   z i  z   z i     z   z i   T

Dạng 4: Cho số phức z thỏa mãn z z0 k k, ( 0)

z

   hay dạng tương đương 2

0 , ( 0)

z z k z k  Tìm GTLN, GTNN của T  z

Cách giải

Áp dụng bất đẳng thức z1  z2  z1z2 , ta có 2 2

z  z  z z Mặt khác, 2

0

2

0

0 0





z

   Đánh giá 1 lần đối với 2 hàm biến đảm bảo dấu “=” xảy ra Tôi không giải chi tiết ở đây

Vậy

2 0 4 min

2

2 0 4 max

2

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4i 2

z

  Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của z

Tính T Mm

Đáp số: T 2 5

i

z

     Áp dụng bất đẳng thức z1  z2  z1z2 , ta

z   z  i   z  z   z     z  

Vậy M= 1 5 và m  1 5 Do đó: T 2 5

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 2

(1i z)  1 2i  2 z Tìm GTLN, GTNN của T  z

Hướng dẫn: Ta có thể đưa về dạng quen thuộc bằng cách chia cả hai vế cho 1 i ta được

2 1 2

1

i

i



Áp dụng bất đẳng thức z1  z2  z1z2 ta có

1 2 2

i

i





2 10

1 1 2 10 1 1 2 10 2

Vậy maxT  1 1 2 10 và minT   1 1 2 10

Dạng 5: Cho số phức z thỏa mãn z z1 z2  k 0 Tìm GTLN, GTNN của T  z z0

Cách giải

biểu diễn 2

1

z

z và R là 1

k

z Vậy M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R Gọi A là điểm biểu diễn z0 thì, bài toán trở thành: “cho M di chuyển trên đường tròn tâm I và A là điểm cố định Tìm GTLN, GTNN của AM”

Nhìn vào hình vẽ ta sẽ thấy ngay

1 0 2 2

0

minT AI R z z k z z z k

1 0 2 2

0

 

(tử số như là thay vào phương trình đường tròn vậy)

Lưu ý: không phải phương trình đường tròn nào cũng là

dạng z z1 2z2  k 0 mà đôi khi ở dạng

z zz  z zz với z1  z2 do đó để kiểm tra điều

kiện giả thiết là phương trình đường tròn hay phương

trình đường thẳng trong trường hợp lạ cách tốt nhất là

gọi z x yi rồi thay vào giả thiết để biết ( ; )x y thỏa

mãn phương trình nào

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn    z 1 2i 4 Tìm GTLN, GTNN của T     z 1 i

Đáp số: minP 4 13 và maxP 4 13

Hướng dẫn: Viết T dạng T   z z0 thì z0   1 i Thay vào phương trình đầu ta được

     

Vậy minP 4 13 và maxP 4 13

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn    2iz 1 3i 1 Tìm GTLN, GTNN của T     z 2 3i

2

và max 5 2 1

2

Hướng dẫn: Viết T dạng T    thì z z0 z0   2 3i Thay z0 vào     ta được 2iz 1 3i

     

Vậy min 5 2 1

2

 và max 5 2 1

2

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn      Tìm GTLN, GTNN của 2z 1 z 2i T    z 1 2i

Hướng dẫn: Gọi z x yi ( ,x y ) và M x y( ; ) biếu diễn z thì

2z 1 z 2i

    

Vậy M nằm trên đường tròn tâm 1 1;

3 3

  bán kính

11 3

Có T    z 1 2i AM với A( 1; 2) 

Dạng 6: Cho số phức z thỏa mãn     z z1 z z2 Tìm GTNN của T    z z0

Cách giải

Ý nghĩa hình học: điều kiện      thực chất là phương trình đường thẳng z z1 z z2

Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z, A là điểm biểu diễn z1 và B là điểm biểu diễn z2thì giả thiết tương đương với MAMA hay M nằm trên đường trung trực của AB Gọi I là điểm biểu diễn của z0 thì T IM

Vậy IMnhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d Giá trị nhỏ nhất bằng

minT d I d( , )

Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng     z z1 z z2 , cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng hay đường tròn là gọi z x yi

rồi thay vào phương trình

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z i   1 z 2i Tìm GTNN của   z

2

z

 

Hướng dẫn: Gọi z x yi thì M x y( ; )là điểm biểu diễn z Từ

(x 1) (y 1) x (y 2) x y 1 0

           Vậy M di chuyển trên (d)

Có z OM do đó  z nhỏ nhất bằng ( ; ) 1

2

d O d 

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn (z 3 i z)(  1 3 )i là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của

1

T    z i

Đáp số: minT 3 2

Hướng dẫn: Gọi z x yi, ta có  3 z  1 3i  x 3 y1i x   1  y 3i Tích này có phần ảo là x3  y 3 y1x1 Phần ảo bằng

03x3y        9 x y 1 0 x y 4 0(d) Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễn z thì M chạy trên đường thẳng (d)

Gọi A(1; 1) là điểm biểu diễn  1 i thì T  AM Giá

trị T nhỏ nhất bằng khoảng cách từ A đến (d)

Vậy min 1 1 4 3 2

2

T    

Dạng 7: Cho 2 số phức z z1, 2 thỏa mãn   z1 z1* R và

    với * * *

1, 2, 3

của T    z1 z2

Cách giải

Ý nghĩa hình học: Gọi M,N là các điểm biểu diễn z z1, 2 Giả thiết   z1 z1* R tương đương với

M thuộc đường tròng tâm I bán kính R (gọi là đường tròn (C)) Giả thiết * *

     tương đương N thuộc đường thẳng (d) Bài toán trở thành tìm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho

T MN ngắn nhất Từ hình vẽ ta thấy ngay GTNN của MNbằng d I d ,  R

Vậy minT d I d ,  R

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho 2 số phức z z1, 2 thỏa mãn   z1 5 5 và        Tìm GTNN của z2 1 3i z2 3 6i

1 2

T   z z

2

MN 

Hướng dẫn: Gọi M, N là các điểm biểu diễn z z1, 2 Giả thiết   z1 5 5 tương đương M thuộc đường tròn tâm I( 5;0) , bán kính R5 Giả thiết        z2 1 3i z2 3 6i thuộc đường

thẳng  d : 8x6y350 Vậy     15 5

MN d I d  R  

Ví dụ 2: Cho 2 số phức z z1, 2 thỏa mãn    z1 4 3i 2 và        Tìm giá trị z2 2 3i z2 1 2i

nhỏ nhất của T    z1 z2

34