Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether (Luận án tiến sĩ)
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCHCỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINHTRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ KIỀU NGA
MỘT SỐ QUỸ TÍCHCỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH
TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62.46.01.04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn
TS Nguyễn Thị Hồng Loan
Nghệ An - 2014
Trang 3Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giảkhi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là trung thực vàchưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác
Tác giả
Nguyễn Thị Kiều Nga
Trang 4Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi
- PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ nhữngbước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học Với tất
cả niềm say mê khoa học và tâm huyết của người thầy, cô không chỉ dạytôi về tri thức toán học mà còn dạy tôi phương pháp nghiên cứu, cáchphát hiện và giải quyết vấn đề Hơn nữa, cô còn luôn quan tâm, độngviên và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp khó khăn trong cuộc sống Tôi thấymình thật may mắn khi được làm khoa học dưới sự hướng dẫn của cô
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn thứhai của tôi - TS Nguyễn Thị Hồng Loan Cô đã luôn quan tâm, nhắcnhở và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập, nghiêncứu Có những lúc khó khăn trong cuộc sống đã làm tôi nản chí, lúc đó
cô như người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tôi vượt qua mọi khókhăn
Tôi xin trân trọng cám ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy
là người đầu tiên đưa tôi đến với Đại số giao hoán và tận tình dạy dỗtôi từ khi tôi còn là học viên cao học Như một người cha, thầy vẫn luônquan tâm và giúp đỡ tôi trong học tập và trong cuộc sống
Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đạihọc, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện cho tôi họctập
Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2 đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu Đặc biệt, tôixin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo
và đồng nghiệp trong Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
đã quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm
Trang 5nghiên cứu sinh.
Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôinhững tình cảm trìu mến Tôi xin cám ơn các anh chị em trong nhómxêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên về những trao đổi khoa học
và chia sẻ trong cuộc sống Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu và emTrần Nguyên An đã dành cho tôi những tình cảm quý báu
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong giađình của mình Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luônmong mỏi tôi thành công Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêuquí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ côngviệc cho tôi để tôi yên tâm học tập Đó là nguồn động viên rất lớn, giúptôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này
Nguyễn Thị Kiều Nga
5
Trang 6Mục lục
1.1 Tính catenary của vành 211.2 Môđun đối đồng điều địa phương 241.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin 271.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay
suy rộng 29
2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 342.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 412.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay 47
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 543.1 Giá suy rộng 553.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 60
4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 734.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-
Macaulay suy rộng 744.2 Liên hệ với môđun chính tắc 86
6
Trang 7Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cựcđại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krulldim M = d Ta luôn có depth M 6 dim M Nếu depth M = dim Mthì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay Lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổhợp và Hình học đại số
Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã đượcgiới thiệu và quan tâm nghiên cứu Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành(môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng.Với mọi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ), trong
đó e(x; M ) là số bội của M ứng với hệ tham số x Ta luôn có I(x; M ) > 0với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuI(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M Vì thế, năm
1965, D A Buchsbaum [7] đã đưa ra giả thuyết rằng I(x; M ) là mộthằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M Năm 1973, W Vogel
và J St¨uckrad [54] đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyếtcủa D A Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành
và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D A Buchsbaum.Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum Sau đó N T Cường, P.Schenzel và N V Trung [50] đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun Mthỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệtham số x của M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy
7
Trang 8rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán.
Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđunCohen-Macaulay Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thìdim R/p = d với mọi p ∈ AssRM Khi nghiên cứu cho trường hợpmôđun trộn lẫn, R P Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P Schenzel [45], N
T Cường và L T Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trênvành địa phương Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộngcho trường hợp môđun trộn lẫn, N T Cường và L T Nhàn [19] đã giớithiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy
Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớpvành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay suy rộng Cho x = (x1, , xd) là hệ tham số của M Đặt
QM(x) = [
t>0((xt+11 , , xt+1d )M :M xt1 xtd)
Khi đó QM(x) là môđun con của M và xM ⊆ QM(x) R Hartshorne[27] đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì xM = QM(x)với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M , tức là
J (x; M ) = e(x; M ) − ` M/QM(x)= 0
Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J (x; M ) < ∞,trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M (xem [16]) Vì thế,năm 2003, N T Cường và L T Nhàn [19] đã nghiên cứu lớp môđun Mthỏa mãn điều kiện J (x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số xcủa M Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay Đồng thời
N T Cường và L T Nhàn [19] cũng nghiên cứu lớp môđun M với tínhchất sup J (x; M ) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham
số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng
8
Trang 9Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđunBuchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulaydãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay
và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđunđược quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã đượcbiết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47],[48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đếntính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quantâm của Đại số giao hoán
Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulaychỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R.Hartshorne [28], P Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10],[11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vànhGorenstein địa phương Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn
đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồngthời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tínhcatenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điềukiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức.Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tínhCohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộngdãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suyrộng
Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận áncủa mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địaphương Noether "
9
Trang 102 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay vàmột số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích khôngCohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹtích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay
và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng Đồng thời chứng minh một
số kết quả mới về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary,tính catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay củacác thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương vàkiểu đa thức
3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđunhữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan đếntính Cohen-Macaulay
4 Phạm vi nghiên cứu
Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán Luận ántập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địaphương Noether
5 Phương pháp nghiên cứu
Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới thiệu bởi
M Brodmann và R Y Sharp [5], đồng thời đưa ra khái niệm giá suyrộng để mô tả các quỹ tích Ngoài ra, chúng tôi sử dụng một số lý thuyếtquan trọng của Đại số giao hoán để nghiên cứu như lý thuyết đối đồngđiều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứcấp, kiểu đa thức
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu vềcác quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu
10
Trang 11Luận án đầy đủ ở file: Luận án full