Tính toán áp lực đất theo rankine và columb

Tính toán áp lực đất theo rankine và columb Tấm giảm tải này chia tường thành hai đoạn, đất đắp ở dưới tấm giảm tải gây ra áp lực chủ động ở đoạnh H2. Nếu tấm giảm tải vươn ra đủ lớn thì hiệu quả làm giảm áplực lên tường ở đoạnH2càng lớn, vì lúc đó đất đắp trên tấm giảm tải coi nhưkhông gây ảnh hưởng đối với lưng tường H

TÍNH TOÁN ÁP LỰC ĐẤT

Trong thi công đào đất, khi tạo mái dốc thành hố đào, gia

cường chống sụt lở cho vách thành hố đào, đào đất thi công

tường chắn đất hoặc tường tầng hầm nhà cao tầng… chúng ta

đều phải tính toán áp lực đất của thành hố đào

Tính toán áp lực đất có hai phương pháp tính toán chủ

yếu:

Phương pháp tính toán của W.J.M Rankine

Phương pháp tính toán của C.A Coulomb

Phương pháp tính của Coulomb giản đơn, phạm vi sử dụng

tương đối rộng rãi

Phương pháp tính của Rankine cũng giản đơn, dễ ứng dụng,

nói chung người thi công lập biện pháp sử dụng tương đối

nhiều

I Tính toán áp lực đất theo phương pháp Rankine:

1 Tính áp lực đất

chủ động:

Đất giáp lưng

tường thẳng đứng, đất

trên đỉnh tường ngang

phẳng, bỏ qua lực ma

sát giữa đất và mặt

đứng của tường chắn,

cường độ áp lực đất

chủ động Pa được tính

như công thức dưới

đây

Đối với đất

không dính:

a

2 45

( 0

2

Đối với đất dính:

a a

a

a

K c HK

P

ctg Htg

P

2

) 2 45 ( 2 ) 2 45

2

−

=

−

−

−

=

γ

ϕ ϕ

γ

Trong đó:

γ: khối lượng riêng của đất sau tường chắn KN/m3 nếu

thấp hơn mức nước ngầm thì đó chính là dung trọng nổi

H: chiều sâu mặt đất đắp cần tính (m)

ϕ: góc ma sát trong của đất đắp – xác định theo kết quả

thí nghiệm Nếu không có kết quả thí nghiệm có thể tham

khảo của bảng dưới

Ka: hệ số áp lực đất chủ động; Ka=tg2(450-ϕ/2) Trị số Ka có

thể thm khảo bảng hệ số áp lực đất Ka.Kp trang kế tiếp Nếu

1

-Á ù p lực đất dính (b)

Tường chắn tính á p lực chủ động

b

a

d

2c K a

c

không có thông số ϕ để tra cứu Ka và Kp thì ta có thể lấy giá trị Ka như sau:

Đất không dính Ka=0,4-0,5 Đất dính đất sét Ka=0,5-0,6 c: lực dính kết của đất đắp (KN/m2)

Góc ma sát trong của một số loại đất.

Loại

đất

Đất cát bột

Đất cát mịn

Đất cát vừa

Cát thô, sỏi đá cuội

Đá dăm Đấtdính

ϕ0 góc

ma sát

0-200 200-300 250-350 300-400 400-450 100-300

Với chiều cao tường chắn là H, tổng áp lực đất chủ động của đất Ea trên suốt chiều cao của tường được tính theo công thức dưới đây:

- Với đất không dính:

a

2

1 ) 2 45 ( 2

1

γ

ϕ

=

Ea ở tại trọng tâm của hình tam giác Như vậy, vị trí của Ea ở cách chân tường khoảng cách H/3

- Với đất dính:

γ

γ ϕ

ϕ ϕ

2 2

1 2 ) 2 45 ( 2 ) 2 45 ( 2

K cH K

H

c cHtg

tg H

Ea của đất dính ở tại trọng tâm của tam giác abc, cách chân tường chắn một khoảng

3 0

Z

H −

Trong đó:

a K

c tg

c Z

γ ϕ γ

2 ) 2 45

(

2 0

−

=

2 Tính áp lực bị

động:

Đất giáp lưng

tường chắn thẳng đứng,

đất trên đỉnh tường

ngang phẳng Bỏ qua lực

ma sát giữa đất và

mặt đứng của mặt

tường Cường độ áp lực

bị động Pp đước tính theo công thức dưới đây

2

-(b)

Tường chắn tính á p lực bị động

(a)

Đất không dính (c) Đất dính

Hình 2: Á p lực đất bị động.

Đối với đất không dính:

Pp=γHtg2(450+ϕ/2)=γHKp

Đối với đất dính:

p p

2 45 ( 2 ) 2 45 ( 2

+

= + +

+

Kp là hệ số áp lực bị động Kp=tg2(450+ϕ/2) Nếu biết ϕ ta có thể tìm giá trị Kp bằng phương pháp tra bảng

Các ký hiệu khác giống như các kí hiệu đã nói phần trên

Bảng hệ số áp lực đất K a và K p

ϕ tg(450-ϕ/2) tg2(450-ϕ/2)

(Ka) tg(450-ϕ/2) tg2(450-ϕ/2)

(Kp)

00

20

40

50

60

100

1.000 0.966 0.933 0.916 0.900 0.869 0.839

1.000 0.933 0.870 0.840 0.811 0.756 0.704

1.000 1.036 1.072 1.091 1.111 1.150 1.192

1.000 1.072 1.150 1.190 1.233 1.323 1.420

120

140

150

160

180

200

0.810 0.781 0.767 0.754 0.727 0.700

0.656 0.610 0.589 0.568 0.528 0.490

1.235 1.280 1.303 1.327 1.376 1.428

1.525 1.638 1.698 1.761 1.894 2.040

220

240

250

260

280

300

0.675 0.649 0.637 0.625 0.601 0.577

0.455 0.422 0.406 0.390 0.361 0.333

1.483 1.540 1.570 1.600 1.664 1.732

2.198 2.371 2.464 2.561 2.770 3.000

320

340

350

360

380

400

0.554 0.532 0.521 0.510 0.488 0.466

0.307 0.283 0.271 0.260 0.238 0.217

1.804 1.881 1.921 1.963 2.050 2.145

3.255 3.537 3.690 3.852 4.204 4.599

420

440

450

460

480

500

0.445 0.424 0.414 0.404 0.384 0.364

0.198 0.180 0.172 0.163 0.147 0.132

2.246 2.356 2.414 2.475 2.605 2.747

5.045 5.550 5.828 6.126 6.786 7.549

Tổng áp lực đất bị động Ep suốt trên chiều cao H của tường chắn được tính theo các công thức dưới đây

- Với đất không dính:

3

2

1 ) 2 45 ( 2

1

γ

ϕ

=

Vị trí của Ep ở tại trọng tâm của tam giác tức là cách chân tường một khoảng cách H/3 tính từ dưới lên

- Với loại đất dính:

p p

2 45 ( 2 ) 2 45 ( 2

Vị trí của Ep là tại trọng tâm hình thang, cách chân tường tính từ dưới lên một khoảng cách là:

c K H

c K H H

p

p

4

6

+

× γ γ

Ví dụ tính toán:

Tường chắn đất cao 4,8m lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đầu tường bằng phẳng Đất đắp có dung trọng 18 KN/m3 Tìm áp lực đất chủ động và điểm tác dụng áp lực của nó Vẽ biểu đồ phân bố áp lực chủ động

Bài giải:

Biết ϕ=200, tra bảng ta có Ka=0,49; Do đó

cường độ áp lực của đất tại chân tường

sẽ là:

2 / 28 49 , 0 10 2 49 , 0 8 , 4

Aùp lực đất chủ động sẽ là:

m KN E

E

a

a

/ 5

,

45

18

10 2 49 , 0 8 , 4 10 2 49 , 0 8 , 4 18 2

2

=

× +

×

×

×

−

×

×

×

=

Chiều sâu giới hạn Z0 là:

m

49 , 0 18

10 2

×

×

=

Điểm tác dụng của Ea cách chân tường

một đoạn chiều cao là:

m Z

H

07 , 1 3

59 , 1 8 , 4 3

−

Phân bố áp lực chủ động được thể hiện

như biểu đồ bên cạnh

3 Tính áp lực đất trong các trường hợp

đặc biệt:

a Tính áp lực đất khi trên mặt đất

đỉnh tường chắn có tải trọng phân

bố đều:

Phía trên mặt đất sau tường chắn có

tải trọng phân bố đều q thì tải trọng q được

quy đổi ra trọng lượng đất tương đương.Lớp

đất dày tương đương quy đổi h đó là:

γ

q

h=

4

28,3 KN/m

2

γ.( h+H).K a

B

A

C

D q

γ H.K a

Hình 3: Sơ đồ tính áp lực đất tường chắn khi có tải trọng phân bố đều q ở trên tường chắn

γ là dung trọng đất đắp sau tường chắn.

Khi tính toán, ta xem A’B là lưng tường chắn và tính như trường hợp không có tải trọng trên mặt đất đỉnh tường

Ví dụ như tính cho trường hợp đất không dính thì cường độ áp lực đất tại điểm A là:

a

2 45 ( 0 2

Cường độ áp lực đất tại điểm B là:

a

2 45 ( )

Aùp lực chủ động của đất được thể hiện bằng biểu đồ ABCD

a

2 ( ) 2 45 ( )

2

=

Điểm tác dụng của áp lực chủ động lên tường chắn chính là trọng tâm của hình thang ABCD, cách chân tường một đoạn là:

H h

H h H

+

+

×

2

3 3

Ví dụ tính toán:

Tường chắn đất cao 5,5m, lưng tường thẳng đứng trơn nhẵn; tại mặt trên đất đỉnh tường có tải trọng phân bố đều q=12KN/m2.Dung trọng đất đắp sau tường γ=19KN/m3; góc ma sát trong ϕ=340; lực dính c=0 hãy tìm áp lực chủ động Ea và điểm tác dụng của nó

Bài giải:

Đem tải trọng phân bố đều q chuyển

đổi ra chiều dày lớp đất tương đương h

h=12/19=0,632m

Cường độ áp lực đất ở đỉnh tường

chắn:

2 0

2 ) 3,4 /

2

34 45 ( 632 , 0

Cường độ áp lực đất tại chân tường

chắn:

2 0

2 ) 32,94 /

2

34 45 ( ) 5 , 5 632 , 0 (

Tổng áp lực chủ động Ea:

m KN

2

5 , 5 ) 94 , 32 4 , 3

=

Vị trí điểm tác dụng của Ea cách chân

tường chắn một khoảng cách theo chiều

cao là:

m

0 , 2 2

5 , 5 632 , 0 3 3

5 ,

5

E 0 = 99,94 KN/m

32,94 KN/m

3,4 KN/m A

A'

q=12 KN/m

Hình 4: Biểu đồ phân bố áp lực đất chủ động khi có phụ tải trên mặt đất đỉnh tường chắn A

A'

d

B

b c

α

γ h.K a

q

E e

Hình 5: Biểu đồ tính toán áp lực đất khi mặt tường chắn nghiêng và có tải trọng trên đỉnh tường.

b Tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường có tải trọng phân bố đều q và mặt đứng lưng tường chắn là mặt nghiêng.

Tải trọng phân bố đều được quy đổi ra lớp đất tương đương có chiều dày h:

γ

q

h=

Giả thiết mặt đất đắp và cạnh AB lưng tường kéo dài gặp nhau ở A’ Khi tính toán, ta xem A’B như cạnh của lưng tường và tính toán áp lực đất như trường hợp trên mặt đất không có tải trọng chiều cao tường tính toán lúc này là H+h’

Xét tam giác A’AE ta có thể tìm ra h’:

) cos(

cos cos '

β α

α

β

−

h

Với trường hợp đất không dính, cường độ áp lực của đất tại điểm A mặt đất đỉnh tường chắn là:

a

2 45 ( ' 2 0 ϕ γ

=

Cường độ áp lực đất tại điểm B (chân tường):

a

2 45 ( ) '

Tổng áp lực chủ động là:

a

2 ' ( ) 2 45 ( )

2 '

=

Vị trí điểm tác dụng của lực Ea là trọng tâm của hình thang abcd

Ví dụ tính toán:

Tường chắn cao 5,5m, lưng tường giáp mặt đất nhẵn, nghiêng một góc α=100 Mặt đất trên đỉnh tường đắp dốc với góc β=300 Tải trọng phân bố đều q=12 KN/m2 Dung trọng đất đắp ở lưng tường γ=19KN/m2, góc ma sát trong của đất ϕ=340; lực dính c=0 hãy tìm Ea (áp lực chủ động của tường chắn) và điểm tác dụng của Ea

Bài giải:

Quy đổi tải trọng phân bố đều: h=12/19=0,632m

Căn cứ vào h và các góc α, β, ta tính h’:

574 , 0 ) 30 10 cos(

10 cos 30 cos 632 0

−

×

=

Cường độ áp lực đất trên mặt đất đỉnh tường là:

2 0

2 ) 3,08 /

2

34 45 ( 574 , 0

Cường độ áp lực đất ở chân tường là:

2 0

2 ) 32,63 /

2

34 45 ( ) 5 , 5 574 , 0 (

Tổng áp lực chủ động:

6

-Ea=1/2(3,08+32,63)x5,5=98,2KN/m Điểm tác dụng của áp lực chủ động Ea là:

m

2 63 , 32 08 , 23

63 , 32 08 , 3 2 3

5 ,

+

+

×

×

c Tính áp lực đất trường hợp khi trên mặt đất đỉnh tường có tải trọng phân bố cục bộ:

Có hai trường hợp phân bố tải trọng

* Trường hợp 1: Cách đỉnh tường một đoạn l có tải trọng phân

bố đều liên tục q (KN/m 2 ) tác dụng (như hình a thể hiện) Tính toán áp lực chủ động, điểm tải trọng tác dụng bắt đầu từ O kéo xuống đến C (OC tạo với đường ngang một góc (

2

450 +ϕ) Từ

C trở lên đỉnh tường xem như không chịu tác dụng của tải trọng, áp lực chủ động vùng này chỉ đơn thuần do đất sau lưng tường (từ đỉnh đến điểm C) gây ra

Biểu đồ phân bố áp lực đất được thể hiện như hình (a): Aba Từ điểm C trở xuống, ta xét thêm tác dụng của tải trọng trên mặt đất đỉnh tường chắn Aùp lực chủ động do tải trọng này gây ra được thể hiện ở hình (a) là acde

Tổng áp lực chủ động tác dụng lên đỉnh tường chính là diện tích của ABcde Phương pháp tính toán cũng như các ví dụ trước

* Trường hợp 2:

Cách đỉnh tường

một đoạn l bắt

đầu có tải trọng

phân bố đều tác

dụng lên mặt đất

với chiều dài tải

trọng l1 (như hình b)

Tính toán lực chủ

động, điểm tải

trọng trên mặt

đất bắt đầu tác

dụng từ C đến D

(từ O và O’ ta kẻ

hai đường xiên tạo

với OO’ một góc

(450+ϕ/2) và sẽ gặp AB ở hai điểm C và D) từ C trở lên xem như không có tải trọng trên mặt đất tác dụng xuống tường chắn và từ D đến A cũng không có tải trọng trên mặt đất tác dụng xuống tường chắn

Diện tích hình ABcefda chính là tổng áp lực chủ động tác dụng lên lưng tường chắn

d Tính toán áp lực đất tường chắn có nhiều lớp:

7

Cá ch mộ t đoạn l có mộ t đoạn tả i trọng phâ n bố đề u l 1 tá c dụng lê n mặ t đấ t đỉ nh tườ ng.

Cá ch mộ t đoạn l bắ t đầ u có tả i trọng phâ n bố đề u tá c dụng trê n mặ t đấ t đỉ nh tườ ng.

A (a)

a e

C c d

l

(b)

C

f d

c e

l

l 1

Hình 6: Tính á p lực đấ t khi có tả i trọng ở đỉ nh tườ ng.

D

Trường hợp sau lưng tường chắn đắp bằng nhiều lớp đất khác nhau thì khi tính áp lực đất, trước hết ta tính áp lực đất lớp 1

Biểu đồ áp lực đất lớp 1

chính là tam giác abc

Khi ta tính áp lực đất do

lớp 2 gây ra, ta đem đất lớp 1

quy đổi ra lớp 2 với chiều cao

tương ứng để tính lớp 1 là h’1

2

1 1 1 '

γ

γ

h

Sau đó lấy chiều cao

(h’1+h2) làm chiều cao tính toán

của tường chắn và ta tiếp tục

tính toán như đối với trường

hợp đất đắp đồng chất Tính

toán tầng nào thì nên dùng

các thông số của tầng ấy

(góc ma sát trong, lực chính)

nhưng điều này chỉ thực hiện

khi ta tính lớp đất thứ 2 – như hình bdef

Ví dụ như hình vẽ có hai lớp đất này, nếu là đất không dính, áp lực chủ động của đất sẽ là:

2

2

1 2

1

) 2 45 ( ) ' 2 ( 2

1 ) 2 45 ( 2

1

) 2 45 ( ) '

' ( 2

1 ) 2 45 ( 2

1

1 2 2 2

2 1 1

2 0 2 2 1 2 2 1

0 2 2 1 1

2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1

0 2 2 1 1

a a

a a a

K h h h K

h E

tg h h h tg

h E

tg h h h h tg

h E

+ +

=

− +

+

−

=

− +

+ +

−

=

γ γ

ϕ γ

ϕ γ

ϕ γ

γ γ

ϕ γ

Ví dụ tính toán:

Tường chắn cao 4,7m, lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đỉnh tường phẳng, đất đắp sau đỉnh tường gồm 2 lớp Chiều dày và tính cơ lý của đất được thể hiện như hình vẽ Hãy tìm áp lực chủ động Ea, vẽ biểu đồ phân bố áp lực đất

Bài giải:

Cường độ áp lực đất lớp

1:

2

0 2 1

0 2

1

1

1

/

49

,

11

) 2

32 45 ( 2 , 2 17 ) 2 45 (

m

KN

tg tg

h

P a

=

−

×

=

−

Cường độ áp lực đất lớp

2:

8

-a

f e

Lớp 2

ϕ 2 γ 2

Lớp 1

ϕ 1 γ 1

sau tường có nhiều lớp.

Lớp 1: γ 1 = 17 KN/m

6,17 KN/m

33,14 KN/m

c

Lớp 2: γ 2 = 19 KN/m

C 2 = 10 KN/m

11,49 KN/m

a

Hình 8: Biểu đồ áp lực đất đắp theo lớp

Quy đổi chiều dày lớp 1:

m h

19

17 2 , 2 '

2

1 1

γ γ

Cường độ áp lực đất trên lớp đất 2 và trên mặt, gồm hai loại '

2

a

P và P : a2

) 2 45 ( 2 ) 2 45

2 2 0 2 ' 1 '

1 2

ϕ ϕ

P a

2 '

2 '

2 0 2 2 0 2 1 1 '

/ 17 , 6 07 , 15 24 , 21

) 2

16 45 ( 10 2 ) 2

16 45 ( 2 , 2 17

) 2 45 ( 2 ) 2 45 (

2 2 2

m KN P

tg tg

P

tg c tg

h P

a a a

=

−

=

−

×

−

−

×

=

−

−

−

2 2

2

2 0 2 2 0 2 2 2 1 1

2 0 2 2 0 2 2

' 1 2

/ 14 , 33 /

07 , 15 21 , 48

) 2

16 45 ( 10 2 ) 2

16 45 ( ) 5 , 2 19 2 , 2 17 (

) 2 45 ( 2 ) 2 45 ( ) (

) 2 45 ( 2 ) 2 45 ( ) (

2 2 2 2

m KN m

KN P

tg tg

P

tg c tg

h h P

tg c tg

h h P

a a a a

=

−

=

−

×

−

−

× +

×

=

−

−

− +

=

−

−

− +

=

ϕ ϕ

γ γ

ϕ ϕ

γ

Ea=1/2x11,49x2,2+1/2(6,16+33,14)x2,5=61,76 KN/m

2

e Tính toán áp lực đất khi có nước ngầm:

Khi dưới lớp đất đắp sau tường có nước ngầm thì áp lực hông tác dụng lên mặt đứng của tường bao gồm áp lực đất và áp lực nước Khi tính toán ta giả thiết rằng góc ma sát trong của đất ϕ và góc ma sát giữa tường và đất δ ở trên mức nước ngầm và dưới mức nước ngầm là như nhau Nếu lưng tường trơn nhẵn và không thoát nước được thì góc ma sát ở lưng tường δ=0 Dung trọng đất trên

mức nước ngầm là dung trọng đất

thiên nhiên Dung trọng đất dưới mức

nước ngầm là dung trọng nổi

Ví dụ như laọi đất không dính,

diện tích abdec chính là áp lực của

đất trên mực nước ngầm gây ra

Diện tích cef chính là áp lực của đất

dưới nước ngầm gây ra còn cfg chính

là áp lực do nước ngầm gây ra

Tổng áp lực tác dụng lên lưng

tường chính là diện tích abdefgca Như

vậy, tổng áp lực chủ động là:

9

γ ' h 2 K a

γ w h 2

f e d

γ h 1 K a

g

b

γ h 1 K a

c

a

Hình 9: Tính toán áp lực đất có mức nước ngầm

E a h h h K a w h K a

2 ) ' ( 2

) 2 (

2 2 1

2

1+ γ + γ +γ

=

Trong đó:

h1 và h2 là khoảng cách từ mực nước ngầm lên đến đỉnh tường và từ mực nước ngầm đến chân tường

γ’: Dung trọng nổi: γ’=γ-1

γw: Trọng lượng riêng của nước.

γ và Ka: như các phần trước

Ví dụ tính toán:

Tường chắn đất cao 6m: Đất đắp sau tường là đất không dính Mặt đất đỉnh tường phẳng Dung trọng đất thiên nhiên

γ=18KN/m3 Góc ma sát trong ϕ=300, cách mặt đất đỉnh tường 2m có nước ngầm Dung trọng đất đắp bão hòa γsat=19KN/m 3 Hãy tìm tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường (áp lực đất và áp lực nước) và vị trí điểm tác dụng của áp lực chủ động

Bài giải:

Ta có h1=2m và h2=6-2=4m; γw=10KN/m 3; γ’=19-10=9 KN/m3

Góc ma sát trong của đất không đổi Hệ số áp lực đất chủ động Ka trên mức nước ngầm đều giống nhau: Ka=tg2(450 -30/2)=0,333

Theo công thức tính tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường:

a w

a

E

2 ) ' ( 2

) 2 (

2 2 1

2

1 + γ + γ +γ

=

Ta có:

2

2

/ 56 , 110 333 , 0 2

4 ) 10 9 ( 333 , 0 2

2 18 ) 4 2 2

Nếu gọi y là khoảng cách từ tổng áp lực chủ động đến chân tường thì ta có:

m y

y

98 , 1

3

4 2

333 , 0 4 ) 10 9 ( 2

333 , 0 4 2 18 ) 3

2 4 ( 2

333 , 0 2 18 56 , 110

2 2

2

=

×

× +

+

×

×

× + +

×

×

=

f Tính áp lực đất trên mặt

nghiêng của tường chắn:

Mặt tường nghiêng có hai dạng:

lưng nghiêng ra ngoài và lưng nghiêng

ngả vào trong Người ta thường dùng

theo phương pháp tính gần đúng dưới để

tính toán

* Lưng tường nghiêng ra ngoài:

Gióng đường thẳng đứng từ A,

gặp đường ngang trên cùng ở C Ta xem

AC như lưng tường trơn nhẵn, ta có áp lực

đất trên mặt AC là

a K H tg

H

1

2

1 ) 2 45 ( 2

1

γ

ϕ

=

Các ký hiệu vẫn như các vị trí

trước

10

-G

B

A

E1

Ea C

nghiêng (ra ngoài).