K½nh chóc quþ Th¦y Cæ ÷ñc nhi·u sùc khäe... Trong ph¦n n y, ta sû döng Metric Trotter º chùng minh tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸nng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi v x²t tèc ë hëi tö cõa têng n
Trang 1Luªn v«n tèt nghi»p (Chuy¶n ng nh: To¡n Ùng Döng)
TÈC Ë HËI TÖ CÕA DY BIN NGU NHIN TRONG CC ÀNH L GIÎI HN
Trang 2LÍI CM ÌN
Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i Håc C¦n Thì, Ban chõ nhi»mKhoa Khoa Håc Tü Nhi¶n còng quþ Th¦y Cæ thuëc Bë mæn To¡n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñicho em håc tªp v thüc hi»n · t i
C£m ìn Th¦y L¥m Ho ng Ch÷ìng ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï em ho n th nh · t i.C£m ìn sü gióp ï cõa gia ¼nh v c¡c th nh vi¶n trong lîp To¡n Ùng Döng K33
Trong qu¡ tr¼nh l m b i khæng tr¡nh khäi nhúng sai sât, em r§t mong quþ Th¦y Cæ thængc£m v gióp em khc phöc º luªn v«n cõa em ho n thi»n hìn
K½nh chóc quþ Th¦y Cæ ÷ñc nhi·u sùc khäe
Em xin ch¥n th nh c£m ìn!
C¦n Thì, ng y 30 th¡ng 5 n«m 2011
Nguy¹n Thà Huýnh Nh÷
Trang 3PHN MÐ U
I Lþ do chån · t i v möc ½ch nghi¶n cùu
X¡c su§t thèng k¶ l chuy¶n ng nh quan trång cõa tin håc, to¡n håc v câ vai trá thi¸t y¸u
èi vîi sü ph¡t triºn cõa c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷: hâa håc, vªt lþ, y håc èi t÷ñngnghi¶n cùu cõa x¡c su§t thèng k¶ l c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n, c¡c quy luªt ng¨u nhi¶n m chóng ta th÷íng g°p trong thüc t¸
Kh¡c vîi mët sè mæn to¡n håc trøu t÷ñng, lþ thuy¸t x¡c su§t thèng k¶ l¤i gn li·n vîic¡c b i to¡n thüc t¸ trong cuëc sèng, trong tü nhi¶n v x¢ hëi nh÷: vi»c x¡c ành rõi ro trongbuæn b¡n h ng hâa hay sû döng lþ thuy¸t ë tin cªy trong thi¸t k¸ s£n ph©m º gi£m thiºux¡c su§t häng hâc
Trong lþ thuy¸t x¡c su§t ành l½ giîi h¤n trung t¥m l ành l½ n·n t£ng v câ vai trá quantrång Nâ l k¸t qu£ v· sü hëi tö y¸u cõa mët d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n, vîi ành l½ n y ta câk¸t qu£ l têng cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n s³ hëi tö v· mët bi¸n ng¨u nhi¶n n o â
Tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t cõa ành l½ giîi h¤n trung t¥m l ta x²t sü hëi tö cõa c¡c bi¸nng¨u nhi¶n ëc lªp, câ còng k¼ vång v ph÷ìng sai
Tuy nhi¶n công tçn t¤i sü hëi tö trong tr÷íng hñp c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥nphèi nh÷ng v¨n £m b£o i·u ki»n khæng câ bi¸n ng¨u nhi¶n n o câ ph¥n phèi trëi hìn ho°cg¥y £nh h÷ðng ¸n ph¥n phèi cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n kh¡c i·u n y ÷ñc £m b£o bði i·uki»n Lindeberg
Ngo i ra trong ành l½ giîi h¤n trung t¥m vi»c ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸n ëclªp trong mët sè ành l½ giîi h¤n trung t¥m công câ vai trá quan trång ¥y l mët v§n ·
¢ v ang ÷ñc r§t nhi·u nh to¡n håc quan t¥m â công l möc ti¶u c¦n ¤t ÷ñc cõaluªn v«n n y
II èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu
Trong to n bë luªn v«n n y, chóng ta sû döng to¡n tû Trotter nh÷ l mët cæng cö ch½nhcho vi»c ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö tro¡g c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m
Ð c¡c ph¦n ti¸p theo, ta s³ ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö b¬ng cæng cö to¡n tû Trotter cho d¢yc¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n, b¬ng Metric Trotter cho têng ng¨u nhi¶n cõa c¡c ¤i l÷ñng ng¨unhi¶n
Trang 4III Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
º thüc hi»n luªn v«n n y, em ¢ s÷u t¦m v åc c¡c t i li»u chuy¶n ng nh câ li¶n quan
tø internet, s¡ch tham kh£o Thæng qua sü gióp ï cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n, em ¢ sp x¸p,chùng minh l¤i t§t c£ c¡c ph¦n trong luªn v«n n y; çng thíi công câ mët v i nhªn x²t, l÷uþ
IV C§u tróc cõa luªn v«n
Luªn v«n chia l m ba ch÷ìng:
∗ Ch÷ìng 1: To¡n tû Trotter trong chùng minh c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m
Trong ch÷ìng n y, ta s³ i chùng minh: ành l½ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñngng¨u nhi¶n câ còng ph¥n phèi v ành l½ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨unhi¶n khæng còng ph¥n phèi b¬ng to¡n tû Trotter
∗ Ch÷ìng 2: Tèc ë hëi tö trong ành l½ giîi h¤n trung t¥m
Trong ch÷ìng n y ta chùng minh tèc ë hëi tö cõa d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n trong mët
sè ành l½ giîi h¤n trung t¥m b¬ng to¡n tû Trotter
∗ Ch÷ìng 3: ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö trong mët sè ành l½ giîi h¤n trung t¥m b¬ng ph÷ìngph¡p Metric Trotter
Trong ph¦n n y, ta sû döng Metric Trotter º chùng minh tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸nng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi v x²t tèc ë hëi tö cõa têng ng¨u nhi¶n c¡c bi¸nng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi
Nguy¹n Thà Huýnh Nh÷
Trang 5Möc löc
1.1 To¡n tû Trotter 7
1.2 ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp câ còng ph¥n phèi: 15
1.3 ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi: 18 Ch÷ìng 2 Tèc ë hëi tö trong ành l½ giîi h¤n trung t¥m 25 2.1 Mð ¦u 25
2.2 C¡c ành l½ v· tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp 29
Ch÷ìng 3 Metric x¡c su§t düa tr¶n to¡n tû Trotter 41 3.1 Metric x¡c su§t 41
3.1.1 V½ dö v· mët sè metric x¡c su§t thæng döng 42
3.1.2 Quan h» giúa c¡c metric x¡c su§t 43
3.2 To¡n tû Trotter 43
3.2.1 T½nh ch§t 43
3.3 Metric Trotter 44
3.4 Ùng döng 45
5
Trang 7Ch÷ìng 1 To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m
Trong ch÷ìng n y, chóng ta x¥y düng l¤i to¡n tû Trotter v sû döng nâ nh÷ l mët ph÷ìngph¡p trong chùng minh sü tçn t¤i cõa c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m cê iºn
1.1 To¡n tû Trotter
Gi£ sû CB(R) l tªp hñp c¡c h m thüc li¶n töc ·u bà ch°n tr¶n (−∞, ∞).Vîi méi f ∈ CB(R),
ành ngh¾a quan h» k · k nh÷ sau:
Trang 8∀f, g ∈ CB(R); α, β ∈ R Trong ph¦n ti¸p theo ta s³ thay kþ hi»u Af b¬ng A(f )).
N¸u A, B l nhúng to¡n tû tuy¸n t½nh tr¶n CB(R), th¼ têng A + B ÷ñc x¡c ành bði(A + B)f = Af + Bf, ∀f ∈ CB(R); t÷ìng tü A − B ÷ñc x¡c ành bði (A − B)f = Af − Bf T½ch AB th¼ ÷ñc x¡c ành bði AB.f = A(Bf); 2 to¡n tû A, B ÷ñc gåi l giao ho¡n n¸u
AB = BA
To¡n tû A câ t½nh ch§t kAfk ≤ kfk vîi ∀f ∈ CB(R) ÷ñc gåi l to¡n tû co
Nhªn x²t 1.1 Têng, hi»u v t½ch cõa 2 to¡n tû tuy¸n t½nh l to¡n tû tuy¸n t½nh
Chùng minh : Gåi A, B l 2 to¡n tû tuy¸n t½nh tr¶n CB(R), vîi f, g ∈ CB(R); α, β ∈ R
Ta câ:
A(αf + βg) = αAf + βAgB(αf + βg) = αBf + βBgKhi â:
1
(A + B)(αf + βg) = A(αf + βg) + B(αf + βg)
= αAf + βAg + αBf + βBg
= α(A + B)f + β(A + B)g2
(A − B)(αf + βg) = A(αf + βg) − B(αf + βg)
= αAf + βAg − αBf − βBg
= α(A − B)f + β(A − B)g3
(A.B)(αf + βg) = AB(αf ) + AB(βg)
= α(AB)f + β(AB)g
ành ngh¾a 1.2 Cho khæng gian x¡c su§t tòy þ (Ω, A, P ), khi â h m ph¥n phèi F cõa ¤il÷ñng ng¨u nhi¶n X, kþ hi»u FX(x) ÷ñc x¡c ành bði:
P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} = FX(x), ∀x
Trang 91.1 To¡n tû Trotter 9N¸u f l h m sè b§t ký trong CB(R), ∃ E{f (X)} v
f (x + y)dFX(x), vîi ∀y
Bê · 1.1 N¸u f li¶n töc ·u th¼ VXf công li¶n töc ·u, bà ch°n (VXf ∈ CB(R)) Hìn núa
≤
[f (x + x1) − f (x + x2)] dFX(x)
f (x + y)dFX(x)
|x|≥ δ σ
(f ”(η) − f ”(y))x2dFX(x)
Trang 18
σ, |η − y| ≤ |σx| < δ v ∀η, |f”(η) − f”(y)| ≤ 2kf”k, x2dFX(x)l húu h¤nlim
|(VσXf )(y) − (VσX ∗f )(y)| = |(VσXf )(y) − f (y) − 1
nkVσXf − VσX∗f k ≤ 2εChån gi¡ trà n õ lîn i·u n y óng cho b§t k¼ ε > 0 v do â
Gi£ sû r¬ng X1, X2, l d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp, vîi Xi câ h m ph¥n phèi FX i
t÷ìng ùng Khi â, méi Xi câ:
E(Xi) =
xdFXi(x) = 0, D(Xi) =
Trang 191.3 ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi: 19
ành lþ 1.2 Cho X1, X2, l d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp nh÷ tr¶n
Ta chùng minh n¸u X1, X2, thäa i·u ki»n Lindeberg, th¼ lim
n→∞kn= 0, khi â i·u ki»ncõa X∗
1, X2∗, công ÷ñc thäa
Trang 211.3 ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi: 21
V gièng nh÷ trong tr÷íng hñp c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n còng ph¥n phèi, i·u n y õ ºcho th§y:
Trang 22= f (y)
dFXi(x) + f0(y)σ
xdFXi(x)
|x|<δσ
(f ”(η) − f ”(y))x2dFXi(x)+
|x|≥δσ
(f ”(η) − f ”(y))x2dFXi(x)
... data-page="15">
1.2 nh lỵ giợi hÔn trung tƠm cho cĂc Ôi lữủng ngău nhiản ởc lêp cõ phƠn phối: 15
x2dFX(x) = 1Khi õ, mởt dÔng cừa nh lỵ giợi hÔn trung tƠm cõ th ữủc...
v i·u n y cán óng vỵi ∀ε > 0, lim
nFn(y) = F (y)
Trong phƯn tiáp theo ta dũng X kẵ hiằu cho bián ngău nhiản chuân hõa; tực l X... class="text_page_counter">Trang 17
1.2 nh lỵ giợi hÔn trung tƠm cho cĂc Ôi lữủng ngău nhiản ởc lêp cõ phƠn phối: 17Chựng minh Cho f ∈ C2
B(R),