LUẬN văn sư PHẠM TOÁN PHÁT TRIỂN tư DUY THUẬT TOÁN CHO học SINH THÔNG QUA dạy học BẰNG PHƯƠNG PHÁP tọa độ HÌNH học 10

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10”, ngoài những cố gắng và nổ lực của bản thân, tôi còn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN TOÁN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN

CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH HỌC 10

Người hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

MSSV: 1070179 LỚP: SƯ PHẠM TOÁN - TIN K33

Cần Thơ, 10/2010

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10”, ngoài những cố gắng và nổ lực của bản thân, tôi còn nhận được rất nhiều sự giúp đỡ của các thầy cô, bạn bè và người thân

Xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã hết lòng dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt khóa học, tạo mọi điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin gửi đến thầy Nguyễn Phú Lộc – Người đã trực tiếp hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, tìm tòi và hoàn thành luận văn

sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất

Cảm ơn các bạn sinh viên lớp Sư phạm Toán – Khóa 33: Trần Kim Yến, Nguyễn Bảo Ngọc Phượng, Lương Mạnh Khương đã hỗ trợ tôi trong việc lấy kết quả khảo sát

Chân thành cảm ơn Hiệu trưởng Trường Trung học phổ thông Phan Văn Trị, các thầy cô bộ môn và đặc biệt là giáo viên hướng dẫn giảng dạy – Thầy Bùi Khắc Phú đã tạo điều kiện, nhắc nhở và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực tập và khảo sát thực tiễn Cảm ơn sự hợp tác của các em học sinh lớp khảo sát

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình thực hiện đề tài

Mặc dù đã có nhiều cố gắng và nổ lực để hoàn thành tốt luận văn nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô, những ý kiến đóng góp của các bạn và độc giả

Tác giả

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 7

4 Đối tượng nghiên cứu 7

5 Phương pháp nghiên cứu 7

6 Đóng góp chính của luận văn 7

7 Cấu trúc của đề tài 8

PHẦN NỘI DUNG Chương I - CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Tư duy 9

1.1.1 Khái niệm 9

1.1.2 Bản chất xã hội của tư duy 10

1.1.3 Đặc điểm của tư duy 10

1.1.4 Các thao tác tư duy 12

1.2 Thuật toán 13

1.2.1 Khái niệm bài toán 13

1.2.2 Khái niệm thuật toán 13

1.2.3 Tính chất của thuật toán 14

1.2.4 Các phương pháp biểu diễn thuật toán 16

1.3 Quy tắc tựa thuật toán 19

1.4 Tư duy thuật toán 20

1.4.1 Khái niệm 20

1.4.2 Đặc trưng của tư duy thuật toán 20

1.4.3 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy thuật toán 20

1.5 Kết luận chương I 21

Chương II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

2.1 Sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 22

2.2 Vai trò của phương pháp tọa độ 22

2.3 Ý nghĩa thực tiễn 23

2.4 Đặc điểm của nội dung chương trình hình học 10 - Phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 25

2.4.1 Đặc điểm 25

2.4.2 Các dạng bài tập thường gặp 28

2.5 Kết luận chương II 28

Chương III - PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN THÔNG QUA DẠY HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH HỌC 10 3.1 Luyện tập các hoạt động của tư duy thuật toán 29

3.1.1 Luyện tập cho học sinh thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước 29

3.1.1.1 Luyện tập thông qua dạy học khái niệm 29

3.1.1.2 Luyện tập thông qua dạy học định lý 35

3.1.1.3 Luyện tập thông qua dạy học giải bài tập 37

 Viết phương trình tổng quát của một đường thẳng 38

 Viết phương trình tham số của một đường thẳng 41

 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 42

 Tìm góc giữa hai đường thẳng 44

 Tìm tâm và bán kính của đường tròn được cho bởi phương trình 45

 Viết phương trình đường tròn 47

3.1.2 Rèn luyện cho học sinh phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định 52

3.1.3 Rèn luyện cho học sinh mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

55

3.1.4 Rèn luyện cho học sinh khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng 55

3.1.5 Rèn luyện cho học sinh so sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu 57

3.1.5.1 Luyện tập phân tích dữ kiện bài toán 57

3.1.5.2 Luyện tập so sánh thuật toán 59

3.2 Kết luận chương III 59

Chương IV – KHẢO SÁT THỰC TIỄN 4.1 Mục đích khảo sát 60

4.2 Tổ chức khảo sát và nội dung khảo sát 60

4.2.1 Tổ chức khảo sát 60

4.2.2 Nội dung khảo sát 60

4.3 Đánh giá kết quả khảo sát 62

4.3.1 Đáp án đề kiểm tra 62

4.3.2 Đánh giá kết quả khảo sát 65

 Đề 1 65

 Đề 2 70

 Đề 3 74

4.4 Kết luận chung về khảo sát 77

PHẦN KẾT LUẬN 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa của nước ta hiện nay thì giáo dục là vấn đề được quan tâm hàng đầu Để mang lại hiệu quả cao trong dạy học, cùng với việc cải cách chương trình và thay sách giáo khoa thì phương pháp dạy học phải được chọn lọc sao cho phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học

sinh Theo qui định của Luật giáo dục năm 2005: [12] “Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

“Môn toán là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới

làm chủ tập thể” [6]

Hơn nữa, mỗi một môn học đều có những đặc thù riêng và chúng đòi hỏi người giáo viên nhận ra được những đặc điểm đó để tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp Trong đó toán học là một trường hợp cụ thể Toán là một môn học gắn liền với các quy trình Vì thế, bên cạnh việc rèn luyện tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo cho học sinh, chúng ta cần rèn luyện cho học sinh các thao tác,

cách thức giải quyết vấn đề theo một quy trình nhất định

Thực tế cho thấy, đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy

thuật toán như:

 Khái niệm thuật toán trong giáo trình môn toán ở nhà trường phổ thông

(U.A Makarenco)

 Hình thành văn hóa thuật toán cho học sinh trong khi dạy học môn toán

(V.M Monakhop)

 Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở

trường phổ thông – Luận án Phó tiến sĩ Trường Đại học sư phạm Đại học

Quốc gia Hà Nội 1996 (Vương Dương Minh)

 Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông

thông qua dạy học nội dung lượng giác 11 – Luận văn thạc sĩ (Nguyễn Thị

Mặt khác, chúng ta có thể đơn giản hóa một số bài toán hình học phẳng bằng cách chuyển chúng sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số suy ra

được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học [5]

Ngoài ra, khối lượng kiến thức của phần phương pháp tọa độ ở bậc Trung học phổ thông chiếm tỉ lệ rất lớn: 1/3 tổng số chương (8/16 tổng số bài) ở lớp 10 và 1/3 tổng số chương (3/11 tổng số bài) ở lớp 12 Cho nên, việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10 là thực sự cần thiết cho việc nâng cao chất lượng giảng dạy chương trình lớp 10, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh khi học chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12

Phát triển tư duy thuật toán là một điều kiện để rèn luyện kỹ năng tính toán,

nó không những cần thiết cho việc học hiệu quả nội dung môn toán mà còn giúp học sinh học hiệu quả những môn học khác Người có tư duy thuật toán cũng dễ hòa nhập vào xã hôi tự động hóa

Những lí do trên đã thúc đẩy tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10”

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Nghiên cứu, vận dụng việc phát triển tư duy thuật toán thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10

2.2 Tìm ra những biện pháp phù hợp nhằm rèn luyện, phát triển khả năng tư duy thuật toán cho học sinh, nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường Trung học phổ

thông

2.3 Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực vào công tác giảng

dạy sau này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về dạy học bằng phương pháp tọa độ Tìm hiểu cơ sở lí luận về thuật toán, tư duy, tư duy thuật toán, quy trình có tính chất thuật toán và các đặc điểm của nó

3.2 Nghiên cứu, đề xuất một số biện pháp nhằm giúp cho việc vận dụng phương thức phát triển tư duy thuật toán cho học sinh vào dạy học bằng phương pháp tọa độ ở trường Phổ thông trung học đạt hiệu quả hơn

3.3 Khảo sát năng lực tư duy thuật toán của học sinh ở trường Trung học phổ thông Phan Văn Trị

4 Đối tượng nghiên cứu

Các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học

bằng phương pháp tọa độ - Hình học 10

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu sách Tâm lí học, Giáo dục học, Lí luận dạy học

5.2 Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp phát triển tư duy thuật toán, tham khảo các bài giảng liên quan đến phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và các

tài liệu liên quan đến Toán Hình học 10

5.3 Quan sát việc sử dụng phương pháp dạy học của giáo viên phổ thông, rút

ra kinh nghiệm

5.4 Tiến hành khảo sát năng lực tư duy thuật toán hiện nay của học sinh ở

trường Trung học phổ thông

6 Đóng góp chính của luận văn

Qua những lý thuyết và mục đích đã nêu trên, hy vọng rằng đề tài nghiên cứu

khoa học này sẽ đem lại những ứng dụng thiết thực sau đây:

 Xây dựng cơ sở lí luận cho việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh

 Góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy ở bậc phổ thông

 Đề tài sẽ là bảng cung cấp khá đầy đủ và chính xác tư liệu cho các ngành như: Sư phạm Toán, Sư phạm Toán - Tin….đồng thời là tài liệu hướng dẫn nghiên cứu, học tập cho sinh viên, độc giả muốn tìm hiểu về phương pháp

giảng dạy Hình học 10

 Tích luỹ thêm nhiều kiến thức và kinh nghiệm thực hành cho bản thân sau

quá trình thực hiện đề tài

7 Cấu trúc của đề tài

PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG

Chương I - CƠ SỞ LÍ LUẬN

Chương II - PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Chương III - PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN THÔNG QUA DẠY HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ- HÌNH HỌC 10

Chương IV- KHẢO SÁT THỰC TIỄN

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Chương I - CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm

Theo [7], “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách

đặc biệt - Bộ não người Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng

các khái niệm, sự phán đoán, lý luận v.v ”

Theo [8], “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản

chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.”

Theo [10], “Tư duy là hoạt động trí tuệ nhằm thu thập thông tin và xử lý

thông tin Chúng ta tư duy để hiểu tự nhiên, xã hội và chính mình Sự phát triển tư duy nói chung được dựa trên sự rèn luyện thành thạo và vững chắc các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa… kết hợp với các phương pháp tư duy như quy nạp, suy diễn, loại suy.”

Theo [13], “Tư duy là danh từ triết học dùng để chỉ những hoạt động của

tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó.”

Ví dụ:

1) Bạn chuẩn bị tham gia một cuộc thi chạy mà cái đích bạn cần đến nằm ở bờ hồ đối diện Có hai con đường để cho bạn đến đích, một là chạy men theo bờ hồ và một là chạy qua cây cầu bắc qua hồ chỉ bằng một thân cây Bạn sẽ phải lựa chọn một trong hai con đường đó Chạy men theo bờ hồ sẽ an toàn hơn nhưng thời gian

sẽ lâu hơn, còn đi qua cầu có thể sẽ không mất nhiều thời gian nhưng bạn sẽ rất dễ rơi xuống hồ và cuộc thi với bạn sẽ kết thúc Sự suy nghĩ để lựa chọn cách đến đích

như vậy gọi là tư duy

2) Khi bạn phải làm một bài tập toán, bạn phải đọc kỹ để tìm hiểu đề bài, phải đánh giá về dạng toán, các dữ kiện đã cho, các yêu cầu bạn phải giải đáp, sau đó bạn phải tìm phương pháp giải, các công thức, các định lý cần áp dụng Bạn cần phải tư duy trước khi làm bài

3) Khi bạn vô tình chạm tay vào cốc nước nóng, bạn sẽ rụt tay lại Đây là phản xạ không điều kiện do hệ thần kinh chỉ đạo các cơ bắp thực hiện chứ không phải là tư duy

1.1.2 Bản chất xã hội của tư duy

Tư duy được tiến hành trong bộ óc của con người, được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động nhận thức tích cực của bản thân mỗi người nhưng tư duy bao giờ cũng có bản chất xã hội, thể hiện ở những mặt sau:

 Hành động tư duy phải dựa vào kinh nghiệm của các thế hệ trước đã tích lũy, tức dựa vào kết quả hoạt động nhận thức mà xã hội loài người đã đạt được ở trình độ phát triển lịch sử lúc đó

 Tư duy phải sử dụng ngôn ngữ do các thế hệ trước đã sáng tạo ra tức dựa vào phương tiện khái quát (nhận thức) hiện thực và gìn giữ các kết quả nhận thức của loài người trước đó

 Bản chất của quá trình tư duy được thúc đẩy do nhu cầu của xã hội, tức con người được hướng vào giải quyết các nhiệm vụ cấp bách nhất của giai đoạn lịch sử lúc đó

 Tư duy mang tính tập thể, tức tư duy phải sử dụng các tài liệu đã thu được trong các lĩnh vực tri thức liên quan, nếu không sẽ không giải quyết được nhiệm vụ đã đặt ra

 Tư duy là để giải quyết nhiệm vụ, vì vậy nó có tính chất chung của loài người

1.1.3 Đặc điểm của tư duy

Tư duy bắt nguồn từ hoạt động tâm lý và có những đặc điểm cơ bản sau: [8]

1.1.3.1 Tính có vấn đề

Khi gặp những hoàn cảnh, tình huống chứa đựng vấn đề mới, mục đích mới

mà với những hiểu biết, phương pháp, hành động cũ, con người không đủ sức giải quyết Để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm cách thức mới để giải quyết nghĩa là phải tư duy Nhưng hoàn cảnh có vấn đề phải được cá nhân nhận

thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân Tức là, cá nhân phải xác định được yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm và động cơ giải quyết vấn đề

1.1.3.2 Tính gián tiếp của tư duy

Trong quá trình tư duy, con người sử dụng các phương tiện, công cụ khác nhau để nhận thức về sự vật, hiện tượng Trong đó ngôn ngữ đóng vai trò quan trọng, nhờ ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức vào quá trình tư duy để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng Nhờ có tính gián tiếp mà tư duy của con người đã mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức

1.1.3.3 Tính trừu tượng và khái quát

Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà mà khái quát chúng thành một nhóm, một loại, một phạm trù với những thuộc tính bản chất chung Tính trừu tượng và khái quát của tư duy không những giúp con người giải quyết được những nhiệm vụ ở hiện tại mà còn giúp họ giải quyết được những nhiệm vụ ở tương lai

1.1.3.4 Tư duy quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

Kết quả tư duy được ghi lại bởi ngôn ngữ Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền với ngôn ngữ và được thực hiện thông qua ngôn ngữ Vì vậy, ngôn ngữ chính là cái vỏ hình thức của tư duy Sự ra đời của ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ thuộc vào ngôn ngữ Ngược lại, ngôn ngữ là vô nghĩa nếu không có tư duy Vì vậy, việc phát triển tư duy phải gắn liền với trau dồi ngôn ngữ

1.1.3.5 Tính chất lý tính của tư duy

Chỉ có tư duy mới giúp con người phản ánh được bản chất của sự vật, hiện tượng, những mối liên hệ và quan hệ có tính chất quy luật Bởi vì, chỉ có tư duy mới

có thể vượt qua được những giới hạn trực quan, cụ thể của nhận thức cảm tính Nhưng như thế không có nghĩa là cứ tư duy là phản ánh đúng đắn, sâu sắc sự vật, hiện tượng Tư duy có phản ánh đúng đắn hay không còn tùy thuộc vào chiến thuật

và phương pháp tư duy

Khi con người có tinh thần hoài nghi toán học luôn tự vấn: “Vì đâu?”, “Tại sao?”, những câu hỏi như thế giúp con người xuất hiện tư duy và tiếp tục nhận thức đúng đắn sự vật, sự việc hơn

1.1.3.6 Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính

“Nhập vào với con mắt của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa” (Ph Angghen)

“Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa cho tư duy” (X.L.Rubinstein- Nhà tâm lý học Xô Viết)

Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính giúp con người nhạy bén hơn

1.1.4 Các thao tác tư duy [14]

1.1.4.1 Phân tích

Là quá trình tách các bộ phận của sự vật, hiện tượng tự nhiên của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng xác định Trong đó có một số thuộc tính quan trọng nhất, cơ bản nhất nổi lên hàng đầu cần phải quan tâm đối với người đang tư duy

1.1.4.2 Tổng hợp

Là quá trình hợp nhất các bộ phận, các thành phần đã tách ra ở trên nhờ sự phân tích thành một tổng thể để tư duy

1.1.4.3 So sánh

Là quá trình con người dùng trí óc để xác định sự giống nhau, khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật, hiện tượng Thông qua quá trình so sánh, người ta rút ra từ trong mỗi sự vật, hiện tượng những cái chung và những cái khác biệt

1.1.4.4 Trừu tượng hóa

Là quá trình con người dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ chủ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố nào cần thiết, cơ bản để tư duy

1.1.4.5 Khái quát hóa

Là quá trình con người dùng trí óc để thống nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng có chung những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ nhất định thành một nhóm hay một loại

1.2 Thuật toán

1.2.1 Khái niệm bài toán

Trong phạm vi tin học, ta có thể quan niệm bài toán là một việc nào đó ta

muốn máy tính thực hiện [15]

Ví dụ:

 Bài toán giải phương trình bậc hai

 Bài toán tìm ước chung lớn nhất

 Bài toán chứng minh một tam giác là tam giác vuông

Khi cần máy tính giải một bài toán ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào máy tính thông tin gì (Input) và cần lấy ra thông tin gì (Output) Vậy giải toán là quá trình đi từ Input đến Output

Ví dụ:

1) Bài toán giải phương trình bậc nhất: ax + b = 0

Input: Hệ số của phương trình a, b

Output: Giá trị x thỏa phương trình

2) Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên dương

Input: Hai số nguyên dương A, B

Output: Bội chung nhỏ nhất của A và B

1.2.2 Khái niệm thuật toán

Thuật toán được hiểu như một quy trình mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích

đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định [15]

Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0

 Xác định bài toán

+ Input: Hệ số của phương trình a, b, c

+ Output: Tìm tất cả các giá trị x thỏa phương trình

 Thuật toán

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c

Bước 2: Xét hệ số a:

+ Nếu a = 0 chuyển sang bước 7

+ Nếu a0 chuyển sang bước 3

Bước 3: Tính Δ = b 2 4ac

+ Nếu Δ < 0 chuyển sang bước 4

+ Nếu Δ = 0 chuyển sang bước 5

+Nếu Δ > 0 chuyển sang bước 6

Bước 4: Kết luận phương trình vô nghiệm Kết thúc

Bước 5: Kết luận phương trình có nghiệm kép

=

x  

Kết thúc

Bước 7: Phương trình trở về phương trình bậc nhất

1.2.3 Tính chất của thuật toán

 Tính chính xác: Để đảm bảo kết quả tính toán hay các thao tác mà máy tính

thực hiện được là chính xác

 Tính rõ ràng: Thuật toán phải được thể hiện bằng các câu lệnh minh bạch;

Các câu lệnh được sắp xếp theo thứ tự nhất định

 Tính khách quan: Một thuật toán dù được viết bởi nhiều người trên nhiều

máy tính vẫn phải cho kết quả như nhau

 Tính hữu hạn (Tính dừng): Thuật toán bao giờ cũng phải dừng lại sau một số

hữu hạn bước

 Tính đúng đắn: Sau khi thực hiện tất cả các thao tác của thuật toán ta phải

thu được kết quả như mong muốn

 Tính phổ dụng (Tính tổng quát): Thuật toán phải áp dụng được cho mọi

trường hợp của bài toán chứ không chỉ được áp dụng cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được yêu cầu đó Đôi khi người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi

 Tính có đại lượng vào và ra: Khi bắt đầu, một thuật toán bao giờ cũng nhận

được các đại lượng vào (Dữ liệu vào - Input), các dữ liệu vào thường lấy từ một tập xác định cho trước Sau khi kết thúc một thuật toán bao giờ cũng cho

ta một số đại lượng ra (Dữ liệu ra - Output)

 Tính hiệu quả của thuật toán: Được đánh giá dựa theo những tiêu chuẩn: Số

các phép tính, thời gian cần thực hiện, mức độ khó hiểu Tùy vào yêu cầu

sử dụng mà người ta lựa chọn tiêu chuẩn để xây dựng thuật toán

 Tính đơn vị: Tính đơn vị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải

được mô tả một cách chính xác, chỉ có một cách hiểu duy nhất, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả Vì thế khi thực hiện thuật toán, chúng ta không cần hiểu ý nghĩa của những thao tác Nhờ tính chất này mà chúng ta

có thể sử dụng thiết bị tự động để thực hiện thuật toán

Trong những tính chất trên thì tính xác định, tính hữu hạn và tính đúng là những tính chất đặc trưng của thuật toán

Ví dụ: Trường hợp quy trình không phải là thuật toán

Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán của Pôlya

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán

 Bước 2: Xây dựng chương trình giải

 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

 Bước 4: Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải

Quy trình trên không phải là thuật toán vì không đảm bảo tính đơn trị

1.2.4 Các phương pháp biểu diễn thuật toán

Ðể trình bày một thuật toán hay biểu diễn một thuật toán, ta có thể sử dụng

các phương pháp biểu diễn thuật toán sau đây: [16]

 Dùng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

 Dùng lưu đồ hay sơ đồ khối

 Dùng mã giả

1.2.4.1 Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Sử dụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuật toán Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết hay đọc thuật toán phải nắm các quy tắc Tuy vậy, cách biểu diễn này thường dài dòng, không thể hiện

rõ cấu trúc của thuật toán, đôi lúc gây hiểu lầm hoặc khó hiểu cho người đọc

Ví dụ: Thuật toán để giải phương trình bậc nhất P(x): ax + b = 0 (a, b là các số

thực)

Bước 1: Xét hệ số a

+ Nếu a = 0 Chuyển sang bước 2

+ Nếu a ≠ 0 Chuyển sang bước 3

Bước 2: Xét hệ số b

+ Nếu b = 0 thì P(x) có vô số nghiệm Kết thúc

+ Nếu b ≠ 0 thì P(x) vô nghiệm Kết thúc

Bước 3: Kết luận P(x) có duy nhất một nghiệm x =

a

b

 Kết thúc

1.2.4.2 Dùng lưu đồ (Sơ đồ khối)

Lưu đồ là một công cụ trực quan để biểu diễn các thuật toán giúp ta có được cái nhìn tổng quan về toàn cảnh của quá trình xử lý theo thuật toán Lưu đồ là một

hệ thống các nút có hình dạng khác nhau, thể hiện các chức năng khác nhau và được nối với nhau bởi các cung Lưu đồ được tạo thành bởi 4 thành phần chủ yếu:

1/ Nút giới hạn: được biểu diễn bởi hình ôvan có ghi chữ bên trong

Ví dụ:

Hình 1.1

Các nút trên còn được gọi là nút đầu và nút cuối của lưu đồ

2/ Nút thao tác: là một hình chữ nhật có ghi các lệnh cần thực hiện

Ví dụ:

Hình 1.2 3/ Nút điều kiện: Là một hình thoi có ghi điều kiện cần kiểm tra Trong các cung nối

với nút này có 2 cung ra chỉ hướng đi theo 2 trường hợp: điều kiện đúng và điều kiện sai

Ví dụ

Hình 1.3 4/ Cung: là các đường nối từ nút này đến nút khác của lưu đồ

Hoạt động của thuật toán theo lưu đồ được bắt đầu từ nút đầu tiên Sau khi thực hiện các thao tác hoặc kiểm tra điều kiện ở mỗi nút thì bộ xử lý sẽ theo một cung để đến nút khác Quá trình thực hiện thuật toán dừng khi gặp nút kết thúc

Nhược điểm: việc biểu diễn thuật toán bằng lưu đồ sẽ rất cồng kềnh đối với

Ví dụ: Lưu đồ thuật toán giải phương trình bậc 2

Hình 1.4 1.2.4.3 Mã giả

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợp của thuật toán nhưng lại cồng kềnh Khi thể hiện thuật toán bằng mã giả, ta sẽ vay mượn các cú pháp của ngôn ngữ lập trình để thể hiện thuật toán Tất nhiên, mọi ngôn ngữ lập trình đều có những thao tác cơ bản là xử lý, rẽ nhánh và lặp Dùng mã giả vừa tận dụng được các khái niệm trong ngôn ngữ lập trình, vừa giúp người cài

đặt dễ dàng nắm bắt nội dung thuật toán Tất nhiên là trong mã giả ta vẫn dùng một phần ngôn ngữ tự nhiên

Ví dụ: Một đoạn mã giả của thuật toán giải phương trình bậc hai

Xuất kết quả : Phương trình có nghiệm kép là -b/(2*a)

else {Trường hợp delta < 0}

Xuất kết quả : Phương trình vô nghiệm

end

1.3 Quy tắc tựa thuật toán

Ngoài những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán, chúng ta còn gặp một số quy tắc mang nhiều đặc điểm của thuật toán nhưng chưa đầy đủ các đặc trưng của thuật toán gọi là quy tắc tựa thuật toán Quy tắc tựa thuật toán cũng đóng

một vai trò vô cùng quan trọng trong việc giải toán [19]

Sự khác biệt của quy tắc tựa thuật toán so với thuật toán [19]

 Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;

 Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị;

 Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán

Ví dụ: Quy tắc xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:

 Bước 1: Viết phương trình của hai đường thẳng cần tìm giao điểm

 Bước 2: Tìm nghiệm của hệ hai phương trình vừa tìm được ở bước 1

 Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm dựa vào nghiệm của hệ phương trình Chỉ dẫn ở bước 1 chưa mô tả một cách xác định, chưa chỉ rõ phương trình của hai đường thẳng là phương trình tổng quát, tham số hay chính tắc Ở bước 2, hệ phương trình có thể vô nghiệm

Quy tắc trên không đảm bảo tính đặc trưng của thuật toán, nhưng với quy tắc này học sinh có được một quy trình tìm tọa độ giao điểm giữa hai đường thẳng khá

rõ ràng

1.4 Tư duy thuật toán

1.4.1 Khái niệm

Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để nhận thức, để giải quyết vấn đề một

cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau) [17]

1.4.2 Đặc trưng của tư duy thuật toán [17]

 Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước

 Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định

 Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

 Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng

 So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu

Khả năng đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn khả năng sau thể

hiện khả năng xây dựng thuật toán, đặc biệt khả năng thứ hai thể hiện con mắt phát

hiện thuật toán

1.4.3 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy thuật toán

Theo Nguyễn Bá Kim, việc phát triển tư duy thuật toán có những ý nghĩa rất quan trọng:

 Tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được tự động hóa trong những lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giữa

nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một

số chức năng của con người cho máy thực hiện

 Tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải toán bằng máy tính điện tử Thật vậy, thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của việc lập trình, tư duy thuật toán tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó

 Tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai

 Tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra

1.5 Kết luận chương I

Chương đầu tiên của luận văn đề cập khái niệm tư duy thuật toán, sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán cho học sinh làm cơ sở cho các phương pháp phát triển tư duy thuật toán thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ mà những chương sau sẽ đề cập đến

Chương II- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

2.1 Sự ra đời của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Descartes (1596 - 1650) là nhà toán học đầu tiên của nhân loại đưa ra phương pháp xác định tọa độ một điểm bằng một hệ trục vuông góc Đây là ý nghĩ sản sinh ra Hình học giải tích, một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa hình học và đại số

2.2 Vai trò của phương pháp tọa độ

2.2.1 Đối với toán học

Phương pháp tọa độ có ứng dụng quan trọng trong việc giải hàng loạt các bài toán khác của toán học sơ cấp như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình và bất phương trình, giải các bài toán hình học phẳng và hình học tổ hợp

Ví dụ: Cho x, y, z tùy ý

Chứng minh: x2+ xy + y 2 + x2+ xz + z 2  y2+ yz + z 2

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức:

2 2

2 2

2 2

2

32

32

22

32

2

3

z y ( z) ( + )

z + (x + y) (

Vật lý có mối liên hệ với các môn học khác, đặc biệt là môn toán Nếu không

có toán học thì vật lý không thể tiến xa được, bởi vì vật lý học không chỉ giải quyết định tính các vấn đề mà còn phải tính toán định lượng Những vấn đề vật lý thông qua việc sử dụng toán học sẽ được rõ ràng hơn, tường minh hơn nếu ta biết thêm vào những hình ảnh minh họa Những hình ảnh ấy được thể hiện thông qua việc sử dụng đồ thị các hàm số để biểu diễn các trạng thái, các đại lượng trong vật lý

x

y

80 cm

40 cm

2.2.3 Đối với Sinh học, Hóa học và Địa lí

Ứng dụng lớn nhất của phương pháp tọa độ được thể hiện qua các biểu đồ, giản đồ

2.3 Ý nghĩa thực tiễn

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán có ý nghĩa thực tiễn Từ đó, chúng ta phát huy được tính tích cực của học sinh

Ví dụ 1: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhỏ

là 40cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình vẽ Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

y + a x

Theo đề bài, ta có: 2a = 80, 2b = 40

Suy ra: a = 40, b = 20

Ta có: c2 = a2 – b2 = 1600 – 400 = 1200

=> c = 20 3

Ta phải ghim hai cái đinh tại hai tiêu điểm F 1 và F 2, nghĩa là cách mép tấm

ván ép một đoạn: A 1 F 1 = a – c = 40 – 20 3  5.36 (cm)

Theo cách vẽ như trên thì vòng dây phải có chiều dài:

2a + 2c = 80 + 40 3 (cm)

Ví dụ 2: Hai thiết bị dùng để ghi âm một vụ nổ đặt cách nhau 1 dặm Thiết bị A ghi

được âm thanh vụ nổ trước thiết bị B là 2 giây Biết vận tốc của âm thanh là 1100 feet/s, tìm các vị trí mà vụ nổ có thể xảy ra (1 dặm = 5280 feet, 3 feet = 0,914m)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy mà Ox đi qua A và B, Oy là đường trung trực của

AB như hình vẽ dưới đây:

Hình 2.2

Kí hiệu d 1 là quãng đường âm thanh đi được từ vụ nổ đến thiết bị A

d 2 là quãng đường âm thanh đi được từ vụ nổ đến thiết bị B

b2 = c2 – a2 = 5759600

Vậy vụ nổ nằm trên một nhánh của hypebol có phương trình:

157596001210000

2 2

= y x



Nhận xét: Nhận thấy rằng ta chỉ xác định được một nhánh của hypebol mà

trên đó vụ nổ xảy ra, nhưng không biết chính xác vụ nổ xảy ra ở đâu Tuy nhiên, nếu ta dùng một thiết bị thứ ba C để ghi âm vụ nổ thì ta sẽ xác định được một nhánh của hypebol thứ hai với tiêu điểm là B và C (hoặc A và C) Khi đó, vị trí của vụ nổ được xác định tại điểm mà hai nhánh trên cắt nhau

2.4 Đặc điểm của nội dung chương trình Hình học 10 - Phần phương pháp tọa

độ trong mặt phẳng

2.4.1 Đặc điểm

Khi bước vào lớp 10, học sinh được tiếp cận với một khái niệm hoàn toàn mới của toán học, đó là khái niệm vectơ Với công cụ đó, học sinh tiếp tục làm quen với việc nghiên cứu hình học bằng phương pháp mới - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng mang tầm khái quát cao và hiệu quả Phương pháp này giúp học sinh tư duy một cách chặt chẽ và chính xác, tránh được những hiểu lầm do trực giác gây ra Khi đó, kiến thức của học sinh ngày càng được mở rộng, tạo điều kiện cho học sinh

dễ dàng tiếp cận với những kiến thức cao hơn, tổng quát hơn ở bậc cao đẳng, đại học…

Theo Phó giáo sư Trần Kiều - Viện Chiến lược và chương trình Bộ Giáo dục

và Đào tạo: “Nội dung học tập phải đảm bảo được xác định xuất phát từ những quan niệm về học vấn, khắc phục tình trạng quá tải Chương trình mới phải trực tiếp góp phần vào đổi mới phương pháp giảng dạy, đảm bảo nguyên tắc phân hoá giáo

dục, coi trọng thực hành, tạo hứng thú cho học sinh” [18]

Sách giáo khoa Hình học 10 nói chung, chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” nói riêng được viết với tinh thần nhằm góp phần đổi mới phương pháp dạy và học, nhằm phát huy tốt nhất tính tích cực học tập của học sinh, tạo điều kiện

cho học sinh tự học, tự nghiên cứu để nắm được các kiến thức cơ bản trong khi học Trên tinh thần đó, chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” trong sách giáo khoa Hình học 10 được xây dựng theo các nguyên tắc:

a Nguyên tắc tích cực hóa hoạt động của học sinh

Đây là nguyên tắc nổi bật nhất, đặc trưng cho tính hiện đại của sách giáo khoa Hình học 10 so với trước đây Từng bài học trong chương, đi đôi với kiến thức cần đạt được là hệ thống các hoạt động phong phú, đa dạng giúp cho học sinh có điều kiện ôn lại kiến thức cũ, áp dụng ngay các kiến thức vừa học và giúp giáo viên đặt vấn đề cho kiến thức mới Đặc biệt, nội dung các hoạt động này thuộc nhiều tầng bậc khác nhau, phù hợp cho nhiều loại đối tượng học sinh khác nhau Các hoạt động trong sách giáo khoa chỉ mang tính chất gợi ý, giáo viên có thể tìm hiểu về nội dung bài giảng và suy nghĩ để đưa ra những hoạt động gây hứng thú cho học sinh, nhằm vào việc rèn luyện kiến thức, kỹ năng cơ bản và phát huy tinh thần tìm tòi sáng tạo của nhiều học sinh hơn nữa Hệ thống các hoạt động dành cho học sinh khá phong phú được thể hiện:

Phương trình đường thẳng có 12 hoạt động

Phương trình đường tròn có 4 hoạt động

Phương trình đường elip có 2 hoạt động

Phương trình đường hypebol có 3 hoạt động

Phương trình đường parabol có 1 hoạt động

Các hoạt động ấy đã làm cho sách giáo khoa Hình học 10 trở thành một phương tiện để học sinh chủ động khám phá kiến thức

Với nguyên tắc tích cực hóa hoạt động của học sinh chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” đã làm rõ tính hiện đại của sách giáo khoa mới: Lấy học sinh làm trung tâm, tạo mọi điều kiện cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo trong học tập

b Nguyên tắc giảm tải

 Giảm tải theo chiều rộng

So với số lượng kiến thức của sách giáo khoa Hình học 12 thì phần “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở sách giáo khoa Hình học 10 đã được giảm tải rất nhiều nhưng vẫn đảm bảo tính khoa học và sự đầy đủ về nội dung

Trong bài Phương trình đường thẳng, khái niệm phương trình chính tắc của

đường thẳng đã được bỏ đi mà không ảnh hưởng đến việc giải toán tìm phương trình đường thẳng Bởi vì việc thiết lập phương trình của đường thẳng có thể hoàn toàn dựa vào định nghĩa phương trình tổng quát hay phương trình tham số Mặt khác, chúng ta cũng có thể suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng khi đã biết phương trình tổng quát hay phương trình tham số của đường thẳng đó Khái niệm chùm đường thẳng cũng không được đề cập đến Bởi lẽ, sử dụng chùm đường thẳng chỉ là để viết phương trình đường thẳng mà thật ra chúng ta có thể dùng định nghĩa để thực hiện điều đó

Trong bài Phương trình đường tròn, chúng ta không thấy nhắc đến khái niệm

phương tích, trục đẳng phương Bởi vì, việc đề cập đến phương tích của một điểm đối với một đường tròn là để xét vị trí tương đối của điểm đó với đường tròn Thật vậy, chúng ta có thể thực hiện điều này nhờ vào việc so sánh bán kính đường tròn

và khoảng cách từ điểm đó đến tâm đường tròn Còn khái niệm trục đẳng phương thì thật sự có rất ít ứng dụng trong thực tế

 Giảm tải theo chiều sâu

Việc giảm tải theo chiều sâu được thể hiện ở việc cố gắng giảm nhẹ phần chứng minh các tính chất, các định lý hoặc trình bày các định lý còn mang nặng tính chất lý thuyết mà không mang lại lợi ích nhiều Sách giáo khoa Hình học 10 đã thay việc chứng minh bằng các ví dụ minh họa và việc kiểm chứng Chẳng hạn trong bài phương trình đường thẳng không hề đề cập đến sự xác định đường thẳng mà chỉ nêu định nghĩa phương trình tổng quát, tham số của đường thẳng Đồng thời bỏ qua việc thiết lập phương trình chính tắc của elip

Sự giảm tải theo chiều sâu còn được thể hiện qua hệ thống bài tập về nhà, ưu tiên những bài tập vận dụng, hạn chế những bài tập mang nặng tính chất lý thuyết

c Nguyên tắc phân hoá giáo dục, coi trọng thực hành

Thể hiện qua việc giảm nhẹ lý thuyết, tăng cường ví dụ và bài tập củng cố vận dụng Nội dung đa dạng, phân hóa theo mức độ tư duy, có cả hình thức trắc nghiệm, câu hỏi đúng, sai lẫn tự luận

d Nguyên tắc gắn liền giữa lý luận và thực tiễn

Sách giáo khoa đưa ra một số bài tập, ví dụ có ý nghĩa thực tiễn cao góp phần gây hứng thú học tập cho học sinh

 Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm giữa các đường thẳng

 Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước

 Tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

 Xác định tâm và bán kính của đường tròn

 Tìm tọa độ tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn trục bé của elip

 Tìm tọa độ tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của hypebol

 Xác định tiêu điểm và đường chuẩn của các đường cônic

2.5 Kết luận chương II

Sách giáo khoa lớp 10 nói chung, chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” nói riêng được biên soạn trên tinh thần đổi mới Các hoạt động, ví dụ và bài tập mang tính hướng dẫn nhằm lấy học sinh làm trung tâm, làm cho quá trình dạy học không đơn thuần là quá trình truyền tải kiến thức cho học sinh mà còn là điều kiện, cơ hội để học sinh phát triển tư duy Tuy nhiên, sách giáo khoa chưa trình bày đầy đủ tất cả các thuật toán cần thiết để học sinh có thể áp dụng Vấn đề trên cũng

là một trong những thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Chương III - PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN THÔNG QUA DẠY HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - HÌNH

HỌC 10

3.1 Luyện tập các hoạt động của tư duy thuật toán

Những đặc trưng của tư duy thuật toán được trình bày ở chương I (Trang 20)

là cơ sở cho việc phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học bằng phương pháp tọa độ Vì thế, việc luyện tập các hoạt động của tư duy thuật toán sẽ được dựa vào những đặc trưng đó

3.1.1 Luyện tập cho học sinh thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước

3.1.1.1 Luyện tập thông qua dạy học khái niệm

Hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm là điều quan trọng bậc nhất trong việc dạy học toán Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần dần đạt được các yêu cầu

sau: [11]

 Nắm vững các đặc điểm đặc trưng của một khái niệm

 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước

có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

 Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm

 Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Thực tế cho thấy, còn có rất nhiều học sinh tuy biết cách định nghĩa nhưng không nhận biết được một đối tượng cụ thể có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không

Vì thế, việc vận dụng vào các tình huống cụ thể trong giải toán, luyện tập cho học

sinh nắm vững các khái niệm là điều vô cùng quan trọng

Các khái niệm thường được định nghĩa theo cấu trúc sau: [11]

A(x)  B(x)  C(x)

Trong đó: A(x) là khái niệm được định nghĩa

B(x), C(x) là khái niệm dùng để định nghĩa

Muốn nhận dạng khái niệm cần luyện tập cho học sinh vận dụng sơ đồ:

B(x)  C(x)  A(x)

Cụ thể như sau:

Bước 1: Kiểm tra xem x có thỏa mãn tính chất B hay không?

 Nếu đúng thì chuyển sang bước 2

 Nếu sai thì chuyển sang bước 3

Bước 2: Kiểm tra xem x có thỏa mãn tính chất C hay không?

 Nếu đúng thì chuyển sang bước 4

 Nếu sai thì chuyển sang bước 3

Bước 3: Kết luận x không thỏa mãn tính chất A

Bước 4: Kết luận x thỏa mãn tính chất A

Sơ đồ khối biểu diễn các bước của thuật toán nhận dạng khái niệm hội 2 điều kiện:

Kết luận x thỏa A

Kết thúc Đúng

Đúng

Sai Sai Xác định giả thiết

Hình 3.2

Khi dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng, cần luyện tập cho học sinh các bước nhận biết một vectơ n

có là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

hay không, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra vectơ n

có là vectơ khác vectơ 0

hay không?

 Nếu không, ta kết luận n

không là vecơ pháp tuyến của đường thẳng d

 Nếu có, chuyển sang bước 2

Bước 2: Kiểm tra xem giá của n

có vuông góc với đường thẳng d hay không?

 Nếu không, ta kết luận n

không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

 Nếu có, ta kết luận n

là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

Bên cạnh quy trình nhận dạng đã nêu, ta có thể sử dụng sơ đồ khối để biểu diễn quy trình như sau:

Sai

Sai

i:=i+1

Hình 3.3

Sau đó, giáo viên cho bài tập để học sinh vận dụng thuật toán trên nhằm rèn luyện khả năng nhận dạng một vectơ là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng

Bài tập vận dụng:

Cho hình vuông ABCD (Như hình vẽ) Hãy cho biết các vectơ sau có phải là

vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB hay không, giải thích?

tuyến của d

Bắt đầu

Kết luận n

là vectơ pháp

tuyến của d

Kết thúc Đúng

Đúng

Sai Sai

C

D

O

Bài tập loại này đòi hỏi học sinh thực hiện theo quy trình kiểm tra từng điều kiện để xem điều kiện nào thỏa mãn, điều kiện nào không thỏa mãn Từ đó, luyện tập kĩ năng vận dụng thuật toán đã có để nhận dạng đối tượng

a) Kiểm tra xem AC có phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB hay không?

Bước 1: Vectơ AC khác vectơ 0

Bước 2: Giá của vectơ AC là đường thẳng AC không vuông góc với đường thẳng

AB

Vậy vectơ AC không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB

b) Kiểm tra xem AD có phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB hay không?

Bước 1: Vectơ AD khác vectơ 0

Bước 2: Giá của vectơ AD là đường thẳng AD vuông góc với đường thẳng AB

Vậy vectơ AD là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB

c) Kiểm tra xem CB có phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB hay không?

Bước 1: Vectơ CB khác vectơ 0

Bước 2: Giá của vectơ CB là đường thẳng CB vuông góc với đường thẳng AB

Vậy vectơ CB là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB

d) Kiểm tra xem AC có phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB hay không?

Bước 1: Vectơ OC khác vectơ 0

Bước 2: Giá của vectơ OC là đường thẳng OC không vuông góc với đường thẳng

AB

Vậy vectơ OC không là vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB

3.1.1.2 Luyện tập thông qua dạy học định lý

Việc dạy học định lý toán học nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản, giúp học sinh nắm được các định lý, mối quan hệ giữa các định lý để vận dụng chúng vào việc giải toán và giải quyết các vấn đề thực tiễn Ngoài ra, dạy học định

lý còn giúp học sinh thấy được sự cần thiết của việc chứng minh định lý, hình thành

và phát triển năng lực chứng minh

Thông thường các định lý toán học có cấu trúc sau: [11]

A(x)  B(x)

Trong đó A(x) có thể là hội của nhiều điều kiện

Để vận dụng cấu trúc trên giải bài tập hay chứng minh định lý khác, cần rèn luyện cho học sinh thực hiện quy trình sau:

Bước 1: Kiểm tra giả thiết của bài toán có thỏa điều kiện A hay không?

 Nếu không thì chưa khẳng định có B

 Nếu có thì chuyển sang bước 2

Giả thiết bài toán

được có B hay không

Mặt khác, thông qua những ví dụ cụ thể, giáo viên còn cần quan tâm bác bỏ những sai lầm do học sinh thường hay ngộ nhận các quy tắc sau đây:

A

B B

A ,

B

A B

A ,

Đây là hoạt động nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng định lý vào giải bài tập

Ví dụ: Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể vận dụng định lý sau:

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng a, b có phương trình:

2 1

2

1

,,

c

c b

b a a

1

b b

 Nếu hai tỷ số trên bằng nhau, chuyển sang bước 3

 Nếu hai tỷ số trên khác nhau, kết luận hai đường thẳng a, b cắt nhau Kết thúc thuật toán

1

c c

 Nếu hai tỷ số trên bằng nhau, kết luận hai đường thẳng a, b trùng nhau Kết

thúc thuật toán

 Nếu hai tỷ số trên khác nhau, kết luận hai đường thẳng a, b song song nhau Kết thúc thuật toán

3.1.1.3 Luyện tập thông qua dạy học giải bài tập [19]

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Bài tập toán học ở trường Phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán Góp phần hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn; Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ; Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Hơn nữa, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Bài tập toán học còn là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau

về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh

Việc hệ thống các dạng bài tập và các quy trình giải các bài tập đó giúp học sinh tiến hành các hoạt động giải toán, tức là rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện theo thuật toán cho trước để vận dụng vào giải bài tập Tuy nhiên, một bài toán

có thể giải bằng nhiều cách tùy thuộc vào giả thiết Việc lựa chọn phương pháp ứng với thuật toán phù hợp đã có để thực hiện còn liên quan đến thuật toán tối ưu Phần này chỉ nhấn mạnh ở chỗ khả năng áp dụng thuật toán đã biết để giải bài tập

a Dạng toán viết phương trình tổng quát của một đường thẳng

Để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng d, ta cần thực hiện các

bước sau:

Bước 1: Xác định tọa độ vectơ pháp tuyến, tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d Bước 2: Giả sử đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n 

(a;b) và điểm M(x 0 ;y 0) thuộc

d Khi đó, phương trình tổng quát của d là: a(x – x 0 ) + b(y – y 0) = 0

Bước 3: Biến đổi phương trình trở thành phương trình dạng: ax + by + c = 0

Sơ đồ xác định phương trình tổng quát của đường thẳng d:

Hình 3.6

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Ox

Đối với dạng bài tập này học sinh cần có những kiến thức cơ bản về hình học

để có thể xác định được vectơ pháp tuyến của đường thẳng và điểm thuộc đường thẳng đó Từ đó, học sinh chỉ việc thực hiện tuần tự theo quy trình định sẵn sẽ giải quyết được vấn đề, khắc sâu được tri thức và rèn luyện khả năng thực hiện thuật toán

Bước 1: Xác định tọa độ vectơ pháp tuyến, tọa độ một điểm thuộc đường thẳng Ox

Bước 3: Biến đổi (1) ta được: y = 0

Vậy y = 0 là phương trình tổng quát của Ox

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(x 0 ; y 0 ) và song song với Ox

Bước 1: Xác định tọa độ vectơ pháp tuyến, tọa độ một điểm thuộc đường thẳng d

Bước 3: Biến đổi (1) ta được: y – y0 = 0

Vậy y – y 0 = 0 là phương trình tổng quát của d

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là:

AB: 2x – 3y – 1 = 0;

BC: x + 3y + 7 = 0;

CA: 5x – 2y + 1 = 0

Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B

Đối với bài tập này, chúng ta cần vẽ hình để học sinh dễ theo dõi

Hình 3.7

Gọi h là đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B

Bước 1: Xác định tọa độ vectơ pháp tuyến, tọa độ một điểm thuộc h

Ta có: B h

B

h