LUẬN văn sư PHẠM TOÁN một số vấn đề LIÊN QUAN đến GIÁ TRỊ RIÊNG và VEC tơ RIÊNG

Nếu rankA = m bằng số vectơ của hệ thì hệ độc lập tuyến tính, ngược lại nếu rankA... Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độc lập tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VEC TƠ RIÊNG

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Bùi Thế Phương ThS.Nguyễn Hoàng Xinh MSSV: 1090056

Lớp: Sư phạmToán K35

CẦN THƠ 2013

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ngày… tháng….năm 2013 Giáo viên hướng dẫn

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ngày… tháng….năm 2013 Giáo viên phản biện

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm việc

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích phục vụ cho luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua

Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ

em hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mong nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình

Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè và người thân đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn!

Người viết

Bùi Thế Phương

 K Vô hướng  thuộc trường K

KGR Không gian riêng

K[X] Vành đa thức (không gian các vec tơ một ẩn x trên trường K

MỤC LỤC

BẢNG KÝ HIỆU iv

PHẦN MỞ ĐẦU 7

PHẦN NỘI DUNG 10

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1 Các định nghĩa về ma trận 9

2 Các phép toán trên ma trận 10

3 Khái niệm Không gian vectơ 11

4 Không gian vectơ con 12

5 Sự độc lập tuyến và phụ thuộc tuyến tính 13

6 Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ 14

7.Tổng và giao các không gian con 17

8 Toán tử tuyến tính 18

9 Định thức 19

10 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 20

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT 21

§1 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 21

§2 CHÉO HÓA MA TRẬN 31

§3 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN 37

§4 ĐA THỨC TỐI TIỂU 47

§5 ĐA THỨC MA TRẬN 53

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP 62

PHẦN KẾT LUẬN 93

TÀI LIỆU THAM THẢO 94

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình, chúng tôi đã được học môn “Đại số tuyến tính” Nhưng

do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng tôi chỉ nghiên cứu một số nội dung cơ bản Đại số tuyến tính là một môn học rất hay và tạo cho tôi nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho tôi niềm đam mê nghiên cứu về Đại số tuyến tính Đại số tuyến tính chứa kiến thức rất rộng nhưng tôi đặc biệt quan tâm các vần đề liên quan tới “Giá trị riêng, vec tơ riêng”

2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “giá trị riêng, vec tơ riêng”, tôi hướng đến mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới với bản thân

Đây cũng là dịp để tôi có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặc biệt là về Đại số tuyến tính – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung Việc nghiên cứu này cũng giúp tôi có thêm nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi sau này và rèn luyện bản thân trong việc chủ động nghiên cứu khoa học

3 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phân tích, khái quát hóa

Tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó

4 Nội dung luận văn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương 2 LÝ THUYẾT

§3 DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN

§4 ĐA THỨC TỐI TIỂU

§5 ĐA THỨC MA TRẬN

Chương 3 Bài tập

PHẦN NỘI DUNG:

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Các định nghĩa về ma trận

1.1 Định nghĩa Một ma trận A loại (cấp) m  n trên trường K là một bảng chữ nhật

m m

n n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

ngắn gọn là A mn

Các ma trận thường được ký hiệu bởi A, B, C và tập hợp tất cả các ma trận

loại mn trên trường K được ký hiệu bởi A m n (K)

- Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n trên K Tập hợp tất cả các ma

cột

- Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì đường chứa các phần tử a11, a22, a33,…, ann được

gọi là đường chéo chính của A

1.2 Định nghĩa Cho A (a ij) M n(K) Khi đó:

- Nếu a ij  , 0 i j (nghĩa là tất cả các phần tử bên ngoài đường chéo chính của A

đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận đường chéo

có các phần tử trên đường chéo lần lượt là a 1 , a 2 , …, a n.

- Ma trận chéo có a ii  ,1i(nghĩa là các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1)

- Một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng

nhau được gọi là ma trận vô hướng

- Nếu a ij  , 0 i j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên dưới đường chéo chính của

A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác trên

- Nếu a ij  , 0 i j (nghĩa là tất cả các phần tử nằm bên trên đường chéo chính của

A đều bằng 0) thì ta nói A là ma trận tam giác dưới

- Ma trận tam giác trên hay tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác

Ghi chú: Cho AM n (K) Khi đó, nếu A T = A thì ta nói A là ma trận đối xứng;

Nhận xét: Nếu B là ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính

của B đều bằng 0

2.4 Phép nhân một số với một ma trận Cho AM mn(K),aK Ta gọi tích a và

A (ký hiệu aA) là một ma trận C (c ij) M mn(K)được xác định bởi: c ij a.a ij Nếu a = -1 thì ta ký hiệu (-1).A bởi -A và gọi là ma trận đối của A

2.5 Cộng hai ma trận Cho A,BM m n(K) Ta gọi tổng của A và B (A + B) là một

ma trận C  (c ij) M mn(K) được xác định bởi: c ij a ij b ij.Tổng của A + (-B)

được ký hiệu bởi A – B và gọi là hiệu của ma trận A và B

2.6 Tính chất Cho AM mn(K);,K Ta có: (ab).A = a.(bA); (aA) T = a.(A T )

2.7 Định lý Cho AM mxn(K);, K Khi đó:

i.Tổng hai ma trận có tính giao hoán: A + B = B + A

ii.Tổng hai ma trận có tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C

iv Tồn tại ma trận đối của A sao cho: A + (- A) = (- A) + A = 0

v.Phép nhân vô hướng có tính phân phối:

α(A+B) = αA + αB; (α +β)A=αA+Βa

vi.Chuyển vị của tổng bằng tổng các chuyển vị: (A + B) T = A T + B T

3 Khái niệm Không gian vectơ

3.1 Định nghĩa Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một

K-không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng),

ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau:

iii Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn:  x V x,  0 x;

iv  x V,tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là xthỏa mãn: x ( x)0;

- Các phần tử 0 trong điều kiện (3) và phần tử xtrong điều kiện (4) là duy nhất.-

Các phần tử của V được gọi là vectơ được ký hiệu bởi các chữ La tinh nhỏ

- Ta định nghĩa phép trừ vectơ bằng công thức sau:xyx( y )

- Luật phân phối đối với hiệu: ( )x x x;

4 Không gian vectơ con

4.1 Định nghĩa Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K-

không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên

W

4.2 Định lý Tập con W   của không gian vectơ V là một không gian con của V

khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa:

),(, x y W2 x y W

5 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

5.1 Tổ hợp tuyến tính

5.1.1 Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v v1, 2, ,v nlà các

phần tử của V Ta nói vectơ v là tổ hợp tuyến tính của các vectơ v v1, 2, ,v n nếu tồn tại các vô hướng  1, 2, ,  n K sao cho v1 1v 2 2v   n n v

5.1.2 Nhận xét

i) Nếu v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v v1, 2, ,v n thì v cũng là tổ hợp

tuyến tính của các vectơ v v1, 2, ,v v n, n1

ii) Vectơ 0 luôn là tổ hợp tuyến tính của một họ vectơ bất kỳ

5.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính – Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

5.2.1 Định nghĩa Họ các vectơ v v1, 2, ,v n của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng  1, 2, , n K không

phải tất cả đều bằng 0 sao cho: 1 1v 2 2v   n n v 0 Họ vectơ không phụ thuộc

tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính

Suy ra, nếu các vectơ v v1, 2, ,v n phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại ít nhất một vectơ là

tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

- Các vectơ v v1, 2, ,v n độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu

1 2

1

n n

i Từ ví dụ trên để xét hệ m các vectơ v v1, 2, ,v mlà độc lập tuyến tính hay phụ

K , ta lập ma trận A với các cột là các vectơ v v1, 2, ,v m, rồi

tìm rankA Nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ) thì hệ độc lập tuyến tính, ngược

lại nếu rankA <m thì hệ phụ thuộc tuyến tính

Do rankArankA T nên nếu lập ma trận A có các dòng là các vectơ v v1, 2, ,v m và

thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang¸khi đó hệ vectơ là độc lập tuyến nếu rankA = m (bằng số vectơ của hệ), ngược lại nếu rankA

<m thì hệ phụ thuộc tuyến tính

ii Vectơ uVgọi là biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ v v1, 2, ,v m, nếu tồn tại các số  1, 2, , mK, sao cho u1 1v 2 2v   m m v (hay phương trình vectơ ux v1 1x v2 2 x v m mcó nghiệm)

5.3 Định lý và hệ quả

5.3.1 Định lý Điều kiện cần và đủ để hệ các vectơ u u1, 2, ,u nVphụ thuộc tuyến

tính là một trong các vectơ đó là tổ hợp của các vectơ còn lại

5.3.2 Hệ quả Trong các vectơ u u1, 2, ,u nV nếu có vectơ 0 thì hệ các vectơ này phụ thuộc tuyến tính

i Nếu một phần của họ các vectơ u u1, 2, ,u nV phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ của hệ đó đều phụ thuộc tuyến tính

ii  v Vthì {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v 0

iii Hệ gồm hai vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ

Sau đây, ta sẽ mở rộng định nghĩa độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cho một họ bất kỳ những vectơ của không gian vectơ V

5.3.3 Định nghĩa Một họ khác rỗng những vectơ của không gian vectơ V gọi là

phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính

6.1.1 Định nghĩa Cho S là một tập con của không gian vectơ V Ta gọi tập hợp các

tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S) S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không

chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh

Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều

Do đó, nếu cho S  { ,u u1 2, ,u n} V,S là hệ sinh của V khi và chỉ khi:

.

: ) , , (

Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu V  S { ,u u1 2, ,u n}

6.1.2 Định lý E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V

chứa tập S

6.1.3 Định lý S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính 6.2 Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ

6.2.1 Định nghĩa Ta gọi hệ vectơ SV là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu của

V Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ

độc lập tuyến tính

Nếu tập được sắp thứ tự S{ |u i i I} là cơ sở của V và uVthì bộ các số

( i i I) được gọi là tọa độ của u theo S nếu i i

i I





6.2.2 Định lý Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V

là như nhau Số này gọi là số chiều của V Ký hiệu là dimV

6.2.3 Định lý Cho S là một hệ vectơ của không gian vectơ V Khi đó, các điều kiện

sau tương đương:

i) S là cơ sở của V;

ii) Mỗi vectơ của V có thể biểu diễn duy nhất qua các vectơ của hệ S;

iii) S là một hệ độc lập tuyến tính tối đại của V Khi ta có dimV = n thì các điều kiện trên tương đương với: iv) S là một hệ sinh có đúng n phần tử;

v) S là một hệ độc lập tuyến tính có n phần tử;

vi) S có đúng n phần tử và ma trận các cột (dòng) là các vectơ tọa độ của các phần tử của S theo một cơ sở đã biết có định thức khác không

6.2.4 Nhận xét Đối với không gian hữu hạn chiều (giả sử dim V = n ) thì để chứng

minh một hệ vectơ gồm n vectơ là cơ sở của không gian V ta chỉ cần chứng minh hệ

vectơ này là độc lập tuyến tính

6.2.5 Hệ quả 1

i) Bất kỳ hệ sinh nào của V cũng chứa một cơ sở của V

ii) Bất kỳ hệ độc lập tuyến tính nào cũng có thể bổ sung các vectơ để trở thành cơ sở

6.2.6 Hệ quả 2

i) Không gian con của không gian hữu hạn chiều là không gian có số chiều hữu hạn

ii) Không gian chứa một không gian vô hạn chiều là vô hạn chiều

6.2.7 Định nghĩa Cho một hệ hữu hạn vectơ  x i i I

phần tử của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của  x i i I

này được gọi là hạng của hệ vectơ   x i i I Ta ký hiệu hạng của hệ  x i i I là

( )i i I

rank x 

6.2.8 Định lý Gọi A là ma trận có các dòng (cột) là các tọa độ của các vectơ x ikhi

đó ta có rank A( ) rank x( )i i I

Nhận xét: Từ định lý trên muốn tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trận

gồm có các dòng là tọa độ của các vectơ và tìm hạng của ma trận đó

Chú ý: Trong phạm vi của tài liệu này ta chỉ đề cập đến không gian vectơ hữu hạn

chiều, tức là dimV n 

6.3 Không gian hữu hạn chiều

6.3.1 Định nghĩa Không gian vectơ V được gọi là không gian vectơ n chiều nếu cơ

sở của V có n vectơ

6.3.2 Tính chất Cho V là một không gian hữu hạn chiều, dimV = n Khi đó mọi hệ vectơ

có nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính.

(a) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của V

(b) Mọi hệ có n vectơ là hệ sinh của V đều là cơ sở của V

(c) Mọi hệ độc lập tuyến tính có k vectơ đều có thể bổ sung thêm n-k vectơ

để lập thành một cơ sở của V

Chú ý: Từ tính chất (b) và (c) ta suy ra, nếu biết dimV = n thì để chứng minh một

hệ n vectơ là cơ sở thì ta cần chứng minh đó là hệ độc lập tuyến tính hoặc đó là hệ sinh

7 Tổng và giao các không gian con

7.1 Tổng của các không gian con – Tổng trực tiếp

7.2.1 Định lý Trong không gian vectơ V cho m (m 2) không gian con

1 , 2 , , m

W W W Khi đó tập hợp W  {xx1x2 x m|x iW i i,  1, }m là một không gian con của V, hơn nữa nó là không gian nhỏ nhất (theo quan hệ bao hàm) của

không gian V chứa

1

m i i



chỉ có một cách biểu diễn duy nhất xx1x2 x n, với x iW i i,  1,n Khi đó ta

7.2.4 Định lý Cho W W W, 1, 2, ,W m là những không gian con của không gian vectơ V Khi đó, W là tổng trực tiếp của W W1, 2, ,W m nếu và chỉ nếu mọi phần tử x của W đều

viết được một cách duy nhất dưới dạng: xx1x2 x m, với x iW i i,  1,m

7.2.5 Định lý Giả sử W1và W2là hai không gian con của không gian vectơ V khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

i) W1W2là tổng trực tiếp;

ii) W1W2{0}

7.2.6 Định lý Cho W1và W2là hai không gian con của không gian vectơ hữu hạn

chiều V Khi đó, dim(W1W2)dimW1dimW2dim(W1W2)

7.2.7 Hệ quả Nếu tổng W + Z của hai không gian hữu hạn chiều W, Z trong không

gian vectơ V là tổng trực tiếp thì dimWdimZ dim(WZ)

8 Toán tử tuyến tính

8.1 Định nghĩa Cho V và V’ là hai không gian vec-tơ trên trường số K Ánh

tính chất sau đây:

i f(x y) f(x) f(y),x.yV (tính bảo toàn phép cộng)

ii f( x) f(x),xV,K (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng) Một ánh xạ tuyến tính đi từ V vào chính nó còn gọi là phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V

Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:

8.3 Định lý Cho một cơ sở B(e1,e2, ,e n)(n1) của không gian vec-tơ n chiều V

và w1,w2, ,w n là n vec-tơ tùy ý của không gian vec-tơ W Khi đó, tồn tại duy nhất

một ánh xạ tuyến tính f :V W sao cho f(e i) w i;i 1 ;n

Ta bảo: ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở

8.8 Định nghĩa nhân (Kernel) và ảnh (Image) của ánh xạ tuyến tính

}0)(:{)ker(f  vV f v  W

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp:

})(:/

{)Im(f  wW vV f v w

Số chiều của Imf và kerf tương ứng gọi là hạng và số khuyết của f, ký hiệu lần lượt

là rank(f) và def(f) (nghĩa la dim(imf) ≡ rank(f); dim(kerf) ≡ def(f) )

9 Các khái niệm cơ bản về định thức

9.1 Định nghĩa định thức Cho A(a ij)M n(K) Định thức ma trận A (ký hiệu det

A hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức :

n

n A a A a A a A

trong đó:

ik ik k

i

cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k Đại lượng A ik được gọi là phần bù đại số của a ik

9.2 Định lý

bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo các công thức sau:

- Theo dòng i: det(A)  A a i1A i1a ì2A i2  a in.A in

- Theo cột j: det(A)  A a1j A1j a2j A2j  a nj.A nj

Với A ij là phần bù đại số của phần tử a ij được xác định như trên

Chú ý: Ma trận vuông P(A)(A ij)M n(K) (với A ij là phần bù đại số của a ij)

được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

10 Hệ phương trình tuyến tính

10.1 Định nghĩa Một hệ phương trình tuyến tính trên trường K là hệ thống gồm m

phương trình, mỗi phương trình gồm n ẩn, có dạng

m

n n

b a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1

1 1

2 12 1 11

(*)

Trong đó a ijK(gọi là các hệ số) và b iK(gọi là các hệ số tự do) là các phần tử cho trước, còn các x j là các ẩn

Nếu hệ (*) có b i=0, với mọi i1, 2, ,m thì hệ (*) được gọi là hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất trên trường K

Bộ số (c1,c2, ,c n) n

K được gọi là nghiệm của (*) nếu ta thay x  j c jvào hệ (*) thì ta được m đẳng thức đúng với mọi j 1,2, ,n

10.2 Nhận xét Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất ngiệm (0, 0,

, 0) Nghiệm này được gọi là nghiệm không tầm thường

10.3 Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính trên trường K

m

n n

b a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1

1 1

2 12 1 11

m m

n n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

b b

B

2 1

x x

X

2 1

, AA|B

gọi là ma trận bổ sung của hệ phương trình (*)

Chương 2 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

§1 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN

1.1 Định nghĩa Cho ma trận A  M n (K) và K Phần tử  là một giá trị riêng

của ma trận A nếu tồn tại vectơ u = (x 1 , x 2 , , x n )  Kn\{0} sao cho Au  u

1 , 6 3

3 2

v u

1 6 3

3 2

8 2

1 6 3

3 2

k Av

Kết luận: u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng  7, còn v không là vectơ riêng của ma trận A vì không tồn tại một số thực k nào thỏa Av = kv

0 3

0 3

(1,0) = (3,0) =3(1,0) Do đó   3 là một

trị riêng của A và u = (1,0) là một vectơ riêng ứng với trị riêng 3

c) Ma trận không 0  Mn(R) chỉ có trị riêng  0và mọi u  Rn\{0} đều là vectơ

riêng của 0

d) Ma trận đơn vị I Mn(R) chỉ có trị riêng 1 và mọi vectơ u  Rn\{0} đều là vectơriêng của I.

Nhận xét:

i.Vectơ riêng phải là vectơ khác 0

ii Nếu u là vec-tơ riêng của A thì giá trị riêng tương ứng với nó la duy nhất

1.2 Đa thức đặc trưng Cho ma trận A  Mn(R) Đa thức bậc n theo định bởi:

nn

n n

a a

a

a a

a

a a

22

1 12

1.3 Định lý Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Khi đó số Klà

giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu phương trình đặc trưng (A I n)x 0có nghiệm

không tầm thường

Chứng minh

không u  K nsao cho Au u, suy ra (A I u n)  0 hay u chính là nghiệm của phương trình thuần nhất (A I n)x 0 Vậy phương trình nhất (A I n)x 0có nghiệm không tầm thường

Ngược lại, nếu phương trình (A I n)x 0có nghiệm không tầm thường

n

K

u  thì (A I u n)  0hay Au u nên u là vectơ riêng của ma trận A ứng với giá

trị riêng 

1.4 Hệ quả Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Khi đó, 0 là giá trị

riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch

Chứng minh

Ta có 0 là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu phương trình

( 0 n) 0

nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi ma trận A không khả nghịch Do đó 0 là giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu A không khả nghịch

1.5 Định nghĩa Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K và Klà giá trị

riêng của A Tập tất cả các nghiệm của phương trình (A I n)x 0 được gọi là

không gian vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng  và ký hiệu là E A( )

riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng 

1.6 Định lý Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K và K là giá trị riêng của

A Khi đó, không gian vectơ riêng E A( ) là một không gian vectơ con của K n

k  Vậy u+v và ku đều thuộc E A( ) với mọi kK u v; , E A( ) Vậy E A( ) là một

Ta có u 1 (3,1) và u 2 (1, 3)  lần lượt là cơ sở của E A(3) và E  A( 7) Do u u1 ; 2 độc lập tuyến tính nên lập thành một cơ sở của R2

có các giá trị riêng là 1, 2 Không gian vectơ

riêng E A(1)(1,1,1)|R ứng với giá trị riêng   1 Không gian này có số chiều bằng 1 và có cơ sở gồm một vectơ u 1 (1, 1,1)  Không gian vectơ riêng

E A(  2 )  (  1 , 1 , 0 ) (  1 , 0 , 1 ) |, ứng với giá trị riêng và có số chiều bằng 2 với cơ sở gồm hai vectơ u2   ( 1,1, 0);u3  ( 1, 0,1) Nhận thấy { , , }u u u1 2 3 độc lập tuyến

tính nên là cơ sở của R3

1.7 Định lý Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Khi đó số K là

giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu  là nghiệm của phương trình đặc trưng f A()0

Chứng minh

 là giá trị riêng của ma trận A nếu và chỉ nếu hệ phương trình tuyến tính

trên có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi det(A I n)  0 hay f A( ) 0  Vậy

 là nghiệm của phương trình đặc trưng

● Thuật toán tìm trị riêng- vec-tơ riêng và không gian riêng của ma trận

Lập đa thức đặc trưng  A() A(I)

Giải phương trình  A()0để tìm giá trị riêng của ma trận A

2 1 1

2 3 3

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của

A Xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng tương ứng

Giải

- Đa thức đặc trưng: f A (  ) = (4 −  )(  2 + 4)

- Giá trị riêng: Ma trận A chỉ có một trị riêng  1 = 4

- Không gian riêng V( 1) ứng với giá trị riêng  1 = 4 là không gian nghiệm của hệ:

0 2 3

0 2 3

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Giải hệ ta tìm được nghiệm tổng quát (x1,x2,x3)  ( , ,) với Rtùy ý

ứng với giá trị riêng  1

Vì det(B - I3) = 0 nên hệ phương trình tuyến

tính thuần nhất (B - I3)x = 0 (1) có nghiệm không tầm thường Suy ra 1 là giá trị

riêng của B Hơn nữa, xét ma trận :

(  3 

r B I

Suy ra hệ phương trình có nghiệm phụ thuộc vào 1 tham số

t x R

x

x x x

x

x x

2 1

2

2 1

2 1

2

0 9 3

0 3

Do đó u (3t,t)với t 0là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng  3

Nhận xét: ta cũng dễ dàng đưa ra thuật toán này đối với toán tử tuyến tính (như ta

đã biết, ma trận là trường hợp cụ thể của toán tử tuyến tính)

● Thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng của một toán tử tuyến tính:

Ví dụ 1 Cho toán tử tuyến tính  của k n có ma trận biểu diển trong cơ sở chính

Nhận thấy f t A( ) có hai nghiệm là  2 hay  có hai giá trị riêng là  2

Khi đó ta có hai hệ phương trình tuyến tính tương ứng sau đây:

Giải lần lượt các hệ ta được:

Tập các vectơ riêng ứng với giá trị riêng   2 là c( 2,1),c 0 Tập các vectơ riêng

ứng với giá trị riêng    2 là:

Xét phương trình đặc trưng của ma trận A ta có được hai nghiệm t = 1 và t = 3 Khi

đó  1 và 3 là hai giá trị riêng của A

t x

2 1

Khi đó vectơ u1 = (-1, 1) là một vectơ riêng của A

t x

2 1

Khi đó vectơ u2 = (1, 1) là một vectơ riêng của A

( 2, 1), 0

1.8 Định lý Cho A là một ma trận vuông cấp n trên trường K Giả sử u u1, 2, ,u rlà các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng  1, 2, , r của ma trận A, khi đó tập

nghĩa là tồn tại k k1, 2, ,k sK sao cho: u s1k u1 1k u2 2 k u s s

Do u i là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  inên Au i i i uvới mọi i1, 2,

Vì tập { ,u u1 2, ,u s} độc lập tuyến tính nên k i( i s1)  0 do đó k  i 0 với mọi i = 1,2

…, s Điều này dẫn đến u s1 0 mâu thuẫn với u s1khác 0 Vậy tập { ,u u1 2, ,u r} độc lập tuyến tính

1.9 Định lý Mọi ma trận vuông A trên trường số phức đều có giá trị riêng

Chứng minh

Đa thức đặc trưng của ma trận A là f A() C[x] Theo định lý cơ bản của đại

số thì phương trình đặc trưng f A()0 luôn có nghiệm  Ctrong trường số phức Giá trị  C chính là giá trị riêng của ma trận A

1.10 Định nghĩa Giả sử A và B là các ma trận vuông cấp n trên K Ta nói rằng A và

B là hai ma trận đồng dạng nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P sao cho

1.11 Mệnh đề Quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương trên M K n( )

1.12 Định lý (Định lý Caley-Halmilton) Ma trận A là nghiệm của đa thức đặc trưng

phần bù đại số của phần tử dòng i cột j trong ma trận A I nên là một đa thức

ij

§2 CHÉO HÓA MA TRẬN

2.1 Định nghĩa Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K Ma trận A được gọi là

chéo hóa được nếu A đồng dạng với một ma trận đường chéo

Nhận xét: Ma trận vuông A chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch P và

chéo hóa được vì tồn tại ma trận khả nghịch P

và ma trận đường chéo D lần lượt là:

2.2 Định lý Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K Khi đó A chéo hóa được

là ma trận chéo thì các phần tử trên đường chéo chính của D là các giá trị riêng của

ma trận A và các cột của ma trận P là các vectơ riêng tương ứng

Chứng minh

Nếu P là ma trận vuông cấp n với các cột u u1, 2, ,u n và D là ma trận đường

chéo với các phần tử trên đường chéo chính là các giá trị riêng  1, 2, , n thì

Vì A chéo hóa được nên tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho A  PDP Nhân bên

Từ (1) và (2) suy ra [Au1 Au2 Au n]  [1 1u 2u2  n u n] (3)

Khi đó các cột tương ứng phải bằng nhau tức là:

1 1 1 ; 2 2 2 ; ; n n n

Vì ma trận P khả nghịch nên các cột u u1, 2, ,u n phải độc lập tuyến tính Từ (4) suy

ra các  1, 2, , n là các giá trị riêng và u u1, 2, ,u n là các vectơ riêng tương ứng với từng giá trị riêng đó

Ngược lại nếu u u1, 2, ,u n là các vectơ riêng của ma trận A độc lập tuyến tính tương

ứng với các giá trị riêng  1, 2, , n

Khi đó từ (1) (2) và (3) ta suy ra AP = PD Do các vectơ riêng u u1, 2, ,u n độc lập

tuyến tính nên ma trận P khả nghịch suy ra tồn tại 1

Nhận xét: Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được nếu và chỉ nếu nó có đủ n vectơ

riêng u u1, 2, ,u n độc lập tuyến tính và lập thành một cơ sở của n

u u1 , 2 , ,u n được gọi là cơ sở vectơ riêng của ma trận A

(Ta cũng kết luận tương tự khi A là toán tử tuyến tính)

●Thuật toán chéo hóa ma trận

ma trận P làm chéo hóa A cũng như dạng chéo của A (trường hợp A chéo hóa được)

gồm các bước sau:

Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng  A()

Nếu  A()không thể phân tích được thánh tích các đa thức bậc nhất thì A không

chéo hóa được và thuật toán kết thúc

Trường hợp ngược lại, phân tích  A()thành tích các đa thức bậc nhất:

k

r k r

r n

Bước 1b: Tìm các trị riêng  icùng với các số bội r i tương ứng ( 1 i  k)

Bước 2: Với mỗi 1 i  k, tìm cơ sở B i và số chiều dimV( i)của các không gian riêng V( i)

+ Nếu tồn tại 1i  k sao cho dimV( i)r i thì A không chéo hóa đươc và

thuật toán kết thúc

+ Trường hợp ngược lại, ta có dimV( i)r i với mọi 1 i  k và A chéo hóa

được, sau đó chuyển sang bước 3

Bước 3: Đặt P là ma trận có được bằng cách lần lượt dựng các vec-tơ trong

k

B

B

B1, 2, , thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P 1AP có dạng chéo

Nhận xét: Do mỗi không gian riêng đều có số chiều dương nên  ilà nghiệm đơn của đa thức đặc trưng thì luôn luôn có dimV( i)  1 ( r i) Do đó, nếu chỉ cần biết A

có chéo hóa được hay không (mà không cần tìm ma trận P làm chéo hóa A cũng như dạng chéo của A) thì ở bước 3 ta chỉ cần so sánh các số chiều dimV( i)với các

số bội r i ứng với các trị riêng  i có số bội r i>1

Ví dụ 1 Chéo hóa ma trận A nếu được với

Ta thực hiện theo 4 bước sau:

Bước 1: Xác định các giá trị riêng của ma trận A Trong bước này ta cần xác định

đa thức đặc trưng f t A( )và giải phương trình đặc trưng f t A( )= 0 để tìm các giá trị

thành cơ sở của R Muốn xác định được ba vectơ riêng của ma trận A lập thành cơ

mỗi giá trị riêng 

Cơ sở của E A(1) là 1

1 1 1

Bước 3: Lập ma trận P từ các vectơ riêng trong bước 2 Thứ tự các vectơ riêng

không quan trọng Sử dụng thứ tự đã chọn trong bước 2, ta lập được ma trận khả

Lập ma trận đường chéo D từ các giá trị riêng tương ứng Trong bước này thứ tự

của các giá trị riêng là quan trọng Nó phải sắp xếp theo thứ tự của các cột của ma

trận P Ở đây ta sử dụng giá trị riêng    2 hai lần Một lần cho vectơ riêng u2 và một lần cho vectơ riêng u3 ứng với giá trị riêng    2

Vậy A chéo hóa được

2.3 Hệ quả Cho A là ma trận vuông cấp n trên K Khi đó nếu A có n giá trị riêng

phân biệt thì A chéo hóa được

hơn n giá trị riêng phân biệt thì ta vẫn tìm được ma trận khả nghịch P và ma trận

 PDP

2.4 Định lý Cho A là ma trận vuông cấp n trên K Giả sử  1, 2, , rlà các giá trị

riêng phân biệt của A và S i là cơ sở của không gian vectơ riêng E A( ) i với mọi i = 1,

2, …, r Khi đó SS1S2 S r độc lập tuyến tính trong Kn và A chéo hóa được

nếu và chỉ nếu S chứa n vectơ

trận A ứng với giá trị riêng  i hoặc u  i 0 Do tập các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt là độc lập tuyến tính nên từ đẳng thức u1u2 u r  0ta suy ra

E  nên a  ij 0với mọi i = 1, 2, …r và j = 1, 2, …,k i Vậy S S1S2 S r độc

lập tuyến tính trong Kn Nếu S chứa n vectơ riêng độc lập tuyến tính Nhóm các vectơ riêng ứng với giá trị riêng  i vàoS i Chú ý rằng S i S j   với mọi i khác j

Từ đó suy ra, SS1S2 S r chứa n vectơ riêng của ma trận A

2.5 Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ n chiều trên trường K và  là một

Nhận xét: Cho V là một không gian vectơ n chiều trên trường K,  là một toán tử

hóa được nếu và chỉ nếu A chéo hóa được

Nhận xét: ta cũng có thuật toán chéo hóa toán tử tuyến tính tương tự như thuật toán

chéo hóa ma trận

n j K j

k k J

một khối Jordan thuộc giá trị  k

Nhận xét: Mỗi ma trận Jordan J gồm nhều khối Jordan tạo nên

2

k

J J J

trong đó J J1, 2, ,J k là các khối Jordan

Trong ví dụ trên thì ma trận A gồm các khối Jordan sau:

Ta cần tìm điều kiện để một ma trận A đồng dạng với một ma trận Jordan Có hai

cách tìm dạng chuẩn tắc của một khối Jordan, dựa vào khái nhiệm đa thức tối tiểu

3.3 Định nghĩa Ta gọi ma trận vuông cấp n trên trường K là ma trận có dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

0 0

0 1 0

0 0

0 0 )

1 ( 0 0

0 0 0

1 0

0 0 0

0 1 )

(

2 2

của đa thức f() tại ma trận A, ký hiệu là f() hay

)(A a0A m a1A m 1 a m 1A A m I n

Nếu f A ( ) 0  [0]nxn thì A được gọi là nghiệm của đa thức f()

3.5 Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng chính tắc một cách duy nhất nhờ một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp

Khi k =1 thì A( )  [a11( )] có dạng chính tắc (nếu cần thì nhân một số thích hợp để

11 ( )

a  có hệ số cao nhất là 1