LUẬN văn sư PHẠM vật lý TOÁN tử VI PHÂN HẠNG một, HẠNG HAI và ỨNG DỤNG TRONG vật lý

Và một trong những nội dung quan trọng là việc đi nghiên cứu về giải tích vectơ, điển hình là các toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng của nó trong vật lý.. - Nghiên cứu một số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Cần thơ, tháng 5 năm 2012

Và hơn hết, đó là việc tôi nhận được sự quan tâm, khích lệ của thầy Trần Minh Quý Mặc dù thời gian vừa qua, sức khỏe của thầy không được tốt, nhưng thầy luôn động viên không chỉ riêng tôi mà còn nhiều bạn khác cố gắng hoàn thành luận văn của mình đúng tiến độ Bản thân tôi biết khi đi theo con đường vật lý lý thuyết sẽ gặp rất nhiều khó khăn, nhưng tôi vẫn nỗ lực và kiên trì tiến bước Một lần nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn riêng đến người thầy của tôi, mong thầy luôn mạnh khỏe

Để hoàn thành được đề tài này, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, người thân đã luôn ủng hộ và giúp đỡ tôi

Do còn thiếu kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm về nghiên cứu khoa học nên không thể tránh được các sai sót Vì vậy, kính mong quý thầy cô và các độc giả quan tâm đóng góp ý kiến

 

A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Phương pháp, phương tiện nghiên cứu 2

4 Các bước thực hiện đề tài 2

5 Phạm vi thực hiện đề tài 2

B NỘI DUNG 3

PHẦN I: TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT 3

I GRAĐIENT 3

1 Trường vectơ và trường vô hướng 3

2 Građient 3

2.1 Građient của trường vô hướng 3

2.2 Građient của trường vectơ 8

2.2.1 Đạo hàm vectơ theo hướng 8

2.2.2 Građient của vectơ →a theo vectơ →v 9

2.3 Građient theo tọa độ cong 11

2.3.1 Tọa độ cong 11

2.3.2 Tọa độ cong trực giao 15

II DIVE CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ 17

1 Thông lượng của vectơ qua mặt S 18

2 Dive của vectơ →a 19

3 Định lý Oxtrogratxki- Gass 21

4 Dive của vectơ →a trong tọa độ cong 22

III TOÁN TỬ HAMILTON 24

IV ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ 28

1 Lưu số vectơ dọc theo chu tuyến 29

3 Định lý Stokes 33

4 Rota của vectơ trong tọa độ cong 34

PHẦN II : TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG HAI 36

I DIV GRADϕ 36

II ROT GRADϕ 37

III DIV ROT → a 38

IV ROT ROT → a 40

PHẦN III : ỨNG DỤNG CÁC TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI TRONG VẬT LÝ 43

I ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC CHẤT RẮN 43

1.Hiện tượng truyền nhiệt 43

2 Phương trình truyền nhiệt 43

II ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG 46

1.Phương trình liên tục 46

2 Phương trình cơ bản thủy động lực học 48

2.1 Phương trình cơ bản 48

2.2 Phương trình Bernoulli 50

2.3 Tích phân Cauchy 52

2.4 Phương trình sóng 53

III ỨNG DỤNG TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 55

1.Các phương trình cơ bản của trường điện từ 55

1.1 Định luật bảo toàn điện tích và phương trình liên tục 55

1.1.1 Định luật bảo toàn điện tích 55

1.1.2 Phương trình liên tục 55

1.2 Dạng vi phân của định luật Gauss, phương trình Maxwell I 57

1.3 Định luật dòng toàn phần Phương trình Maxwell II 58

1.5 Dạng vi phân của định luật cảm ứng điện từ Faraday Phương trình Maxwell IV.60

1.6 Định luật bảo toàn năng lượng trong từ trường 60

1.6.1 Vectơ mật độ dòng năng lượng 60

1.6.2 Định luật bảo toàn năng lượng trong điện từ trường 61

2.Trường tĩnh điện 62

2.1 Phương trình Poisson 64

2.2 Năng lượng tĩnh điện 64

PHẦN IV : BÀI TẬP 66

C KẾT LUẬN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI VÀ

ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Vật lý học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi

mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà

và vũ trụ) Đây là một ngành khoa học cơ bản với những thành tựu được ứng dụng rộng rãi trong đời sống kĩ thuật và đời sống

Các nghiên cứu trong vật lý được chia ra làm hai loại riêng biệt : vật lý lý thuyết và vật lý thực nghiệm.Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn

đề xây dựng các thuyết vật lý Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý xây dựng các thuyết vật lý Nói chung, các nhà lý thuyết xây dựng và phát triển các lý thuyết để giải thích cho những kết quả của thực nghiêm, và dự đoán cho những kết quả trong tương lai, trong khi các nhà thực nghiệm xây dựng và thiết lập các thí nghiệm kiểm chứng để khám phá ra những hiện tượng mới hay kiểm tra tính đúng đắn của các dự đoán trong lý thuyết Mặc dầu ngành lý thuyết và ngành thực nghiệm được phát triển một cách độc lập, song giữa hai ngành này lại có một mối quan hệ tương hỗ với nhau Vì vậy, việc nghiên cứu vật lý lý thuyết giữ vai trò rất quan trọng

Toán cho vật lý chính là môn cơ sở, là nền tảng vững chắc để bước vào vật

lý lý thuyết Và một trong những nội dung quan trọng là việc đi nghiên cứu

về giải tích vectơ, điển hình là các toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng của nó trong vật lý Việc nghiên cứu các nội dung này sẽ dẫn đến nhiều phương trình quan trọng, chẳng hạn như các phương trình Maxwell, phương trình sóng, phương trình nhiệt…và giải thích được nhiều hiện tượng vật lý Với mong muốn có cơ hội tìm hiểu kĩ hơn về lĩnh vực này, tôi chọn đề tài “ TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT, HẠNG HAI VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” để nghiên cứu Đây là những kiến thức quan trọng để chúng ta có thể song hành cùng vật lý lý thuyết

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Tìm hiểu về toán tử vi phân hạng một : grad, div, rot và một số vấn đề liên quan

- Nghiên cứu một số ứng dụng của các toán tử vi phân trong vật lý

- Giải một số bài tập và chứng minh một số công thức cần thiết

III CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

- Sử dụng các phép tính đạo hàm, tích phân để xây dựng công thức và giải

bài tập

- Dùng các tính chất của phép tính giới hạn, gần đúng, các định lý, định luật

để chứng minh các vấn đề trong đề tài

- Sử dụng một số phương pháp giải bài tập…

- Sử dụng một số phần mềm để vẽ hình…

IV CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

- Nhận đề tài từ giảng viên

- Lập đề cương chi tiết thông qua sự hướng dẫn của GVHD

- Trao đổi và tiếp thu ý kiến, chỉnh sửa những nội dung chưa hoàn thiện

- Viết nội dung đề tài và có chỉnh sửa

- Thực hiện hoàn thành đề tài luận văn

- Báo cáo và tiếp tục tiếp thu ý kiến, hoàn chỉnh đề tài

PHẦN I : TOÁN TỬ VI PHÂN HẠNG MỘT

I GRAĐIENT

1 Trường vectơ và trường vô hướng

Ta xét trường hợp là mỗi điểm của không gian ( hoặc một phần của không gian ) được gán một giá trị vô hướng hay vectơ nào đó Phần không gian được

xét đó gọi là trường vô hướng hay trường vectơ tùy theo hàm được nghiên cứu

là vô hướng hay là vectơ Chẳng hạn ta có trong khí quyển một trường vô hướng, áp suất vô hướng vì mỗi điểm trong khí quyển ứng với một giá trị nào

đó của khí áp Ở dưới sông chúng ta có một trường vectơ vận tốc các chất điểm nước…

Vì mỗi điểm của trường có thể xác định bằng bán kính vectơ của nó, nên cho một trường vô hướng hay một trường vectơ có nghĩa là ứng với mỗi giá trị bán

Ta thường hay xét các hàm vectơ hay hàm vô hướng thay đổi theo thời gian:

)

,

(r t



không dừng; trường không đổi theo thời gian gọi là trường không đổi hay trường dừng

2 Građient

2.1 Građient của trường vô hướng:



vị hướng theo đường thẳng đó Chọn trên đường thẳng một điểm gần với M là

0 0

r s r M

M

M M

), , cos(

), , cos(

( ) (

s r

tại và liên tục )

z y s y x s x s



Và vì :

) , cos(s x ds

dy y ds

dx x

) , cos(

) , cos(

) ,

z y s y x s x s

a s a xcos(s,x)a ycos(s,y)a zcos(s,z) (1.1.4)

Từ đó nếu ta xác định vectơ có các thành phần theo các vectơ đơn vị tọa độ cơ

sở là

z y

j x i grad

grad s

đạo hàm theo hướng đó

z

k y

j x

z

k y

j x

xúc với mặt mức tại điểm M đều bằng không Do đó, đối với mọi hướng như

vậy ta có:

nhau có một minh họa hình học đơn giản

dy y

dx x

z

k y

j x i grad

* Các công thức cơ bản trong lý thuyết građient

Ta nhận được :

s s

( Đạo hàm của tổng bằng tổng các đạo hàm )

Vectơ thế có những tính chất đặc thù của nó gắn liền với khái niệm tích phân đường của vectơ dọc theo một đường cong nào đó

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân mà chỉ phụ thuộc vào các điểm mút của đường Đặc biệt là tích phân đó lấy theo mọi đường cong kín đều bằng

Một tính chất cuối cùng đặc trưng cho vectơ thế ( định lí đảo ) Nếu tích phân

đường của vectơ a dọc theo mọi đường cong kín đều bằng không thì vectơ a là

2.2 Građient của trường vectơ

2.2.1 Đạo hàm vectơ theo hướng

Xét trường vectơ của một vectơ nào đó

) , , ( ) (r a x y z a







Ta chọn một điểm M nào đó và dựng qua nó một đường thẳng có phương của

s

M a M a

s

M a M a s

' 0

Nếu cung của chúng ta bắt đầu từ điểm M ta tính độ dài cung từ điểm M, kí

quy tắc đạo hàm hàm hợp thông thường ta có :

ds

dz z

a ds

dy y

a ds

dx x

a s

a y s x

a x s s

) , cos(

) ,

hàm toán tương tự đối với





s s

) , cos(

) , cos(s x j s y k s z i

j x

y s x

x s s

),cos(

),cos(

x j v k v v

j x

v x v

a v x

a v a

)

a y s x

a x s v a

Hay :

s

a v a v

a dy x

a dx a r d

Chiếu cả hai vế công thức (1.1.23) lên các trục tọa độ, ta nhận được các thành phần của građient một vectơ theo một vectơ khác :

z

a v y

a v x

a v a

z x y x x

z

a v y

a v x

a v a

z

a v y

a v x

a v a

z z y z x

Từ những công thức trên ta suy ra :

x

x a v a

.

và các công thức tương tự đối với các trục y và z

2.3 Građient theo tọa độ cong:

2.3.1.Tọa độ cong:

2.3.1.1 Định nghĩa

Như chúng ta đã biết vị trí của một điểm M trong không gian có thể xác

tọa độ cong của điểm M

q1(r)q1(x,y,z), q2(r)q2(x,y,z) , q3(r)q3(x,y,z) (1.1.29)

x  x(q1,q2,q3), y  y(q1,q2,q3), z  z(q1,q2,q3) (1.1.30)

const r



) (

1

lập thành một họ mặt nào đó Chúng ta xét hai họ mặt nữa :

const r



) (

Qua mỗi điểm M nào đó của không gian mỗi họ có một mặt đi qua ( hình 1) Ta gọi các mặt này là các mặt tọa độ

Toán tử vi phân hạng một, hạng hai và ứng dụng trong vật lý SV: Ngô Thị Thúy

Giao tuyến của hai mặt tọa độ là đường tọa độ Chẳng hạn, giao tuyến của hai

C

q 1

Hai hệ tọa độ hay dùng nhất là hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

 Tọa độ trụ : Vị trí của một điểm được xác định bằng hệ tọa độ ba số :

Các đường tọa độ:

Đường r : Nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O

2.3.1.2 Hệ số Lamer :



2

1 1 1

z j q

y i q

x q

r

1 1 1 1

Do đó :

1

M r

 

2

1 2

1 2

y q

x h

e h q

e h q r

Trong đó:

 

2 2

2 2

i i

q

z q

y q

x h

2.3.1.3 Thông số vi phân hạng nhất:

q i x

q gradq i i i i

 

2 2

2 2

q x

2.3.2 Tọa độ cong trực giao:

Hệ tọa độ cong mà các đường tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một tại mỗi

điểm gọi là hệ tọa độ cong trực giao

Điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao :

i j

gradq q

r

k i

k h e e k h gradq q r

Do đó, trong hệ tọa độ cong trực giao, ta có:

i i

k

h  1

Hay :

1 2 2

2 2

2 2

q x

q q

z q

y q

x

i i

e e h h q

r q

i gradq k k e e gradq

i j

i j

z q

z q

y q

y q

x q

x q

r q

q y

q y

q x

q x

q gradq

j i

Điều tiên ta tính các hệ số Lamer:

2 2

2 2

z e

e e

e r e

II/ DIVE CỦA MỘT TRƯỜNG VECTƠ :

Ta xét trường của vectơ nào đó :

) , , ( ) (r a x y z a

Bây giờ chúng ta tiến hành nghiên cứu một vài đại lượng mà ở một mức độ nào





r

xét Các đại lượng đóng vai trò cực kì quan trọng trong giải tích vectơ là dive

Các đại lượng này xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu tích phân mặt và

xét tích phân khối ( ba lớp ), tích phân mặt và tích phân đường là hoàn toàn cần thiết

Đầu tiên chúng ta sẽ xét các vấn đề về tích phân mặt, về dive của vectơ và các tính chất của nó

1/ Thông lượng của vectơ qua mặt S :

Ta chọn trong không gian một mặt S nào đó kín hoặc không kín Bây giờ ta xác

mặt S bằng cách sau: Tại mỗi điểm của mặt ta dựng một vectơ đơn vị pháp

ngoài của pháp tuyến; trong trường hợp mặt S không kín ta chọn một trong hai

hướng của pháp tuyến nhưng phải chọn sao cho hướng của pháp tuyến thay đổi liên tục khi ta chuyển từ một điểm sang điểm lân cận của mặt

tuyến đơn vị của mặt tại điểm đó, ta luôn kí hiệu :

) , cos(

) , cos(

) , cos(

là hình chiếu của vectơ a lên hướng của pháp tuyến, tức là thành phần pháp

Nếu chia mặt S ra thành một số lớn các yếu tố nhỏ, mỗi yếu tố này được biểu

( Tổng tiến đến giới hạn khi tất cả mọi yếu tố của mặt dẫn đến không )

và gọi là tích phân mặt của vectơ theo mặt S hay thông lượng của vectơ qua

mặt S

dS n S d

x n

S

ds z n a y n a x n a ds n a dS

a

S

d

Cuối cùng ta đưa ra các kí hiệu sau :

dydz dS x



) , cos(

dxdy dS

z



) , cos(

trong đó, ta hiểu dydz là hình chiếu của dS lên mặt phẳng yz lấy với dấu thích

hợp ( dương nếu pháp tuyến của mặt tại điểm mà yếu tố mặt được xét tạo với

trục x một góc nhọn và âm nếu góc tạo bởi pháp tuyến và trục x là một góc tù)

Khi đó tích phân mặt có dạng sau :

x S

dxdy a dzdx a dydz a S d

chia nó cho V để quay về một đơn vị thể tích và chuyển qua giới hạn khi mọi kích thước của thể tích V tiến tới không Đồng thời thể tích V co lại điểm P Kết

điểm P và đặc trưng cho mức độ chạy ra khỏi lân cận điểm P Số đó được gọi

V

dS a a

n V

) qua mặt của thể tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét

Ở đây ta giả thuyết rằng các đạo hàm riêng theo x, y, z của các thành phần

một cách đều theo nghĩa khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ các điểm của mặt

S đến điểm P là những đại lượng vô cùng bé cùng cấp, ta lấy làm cấp một, thì

diện tích của mặt S là vô cùng bé cấp hai và độ lớn của thể tích V giới hạn trong mặt S là vô cùng bé cấp ba

tính :

dS z n a y n a x n a dS a

S S

z y

x n

) , cos(

) , cos(

Vì mặt S co lại gốc tọa độ, nên trên mặt đó x, y, z là những đại lượng vô cùng

bé Theo công thức Taylor ( chỉ xét những số hạng đầu tiên của khai triển ) ta

z z

z

z

a z y

a y x

a x a

được đẳng thức :

x y z  n z dS dS

z n z z

a dS z n y

z

a

dS z n x x

a dS z n a

dS z n z

y

x

a

S S

O S

z O

z

S O S

z z

S

z

) , cos(

) , cos(

) , cos(

) , cos(

) , cos(

) ( ) , cos(

z n y dS z n x dS z n

) , cos(

0 ) , cos(

) , cos(

) , cos(

y

cấp một, toàn bộ bề mặt S là vô cùng bé cấp hai và V là vô cùng bé cấp ba

Như vậy :

V z

a dS z n z y x a

O S

) , , (

Hoàn toàn tương tự như vậy ta tìm được:

V x

a dS z n z y x a

O S

) , , (

V y

a dS z n z y x a

O S

) , , (

z

a y

a x

a V dS

a x

a a

n V

không phụ thuộc vào hình dạng của thể tích V Vì định nghĩa cơ bản của diva

không thay đổi khi chuyển từ hệ tọa độ vuông góc này sang hệ tọa độ khác

3/ Định lý Oxtrôgratxki-Gauss :

Định lý quan trọng nhất liên quan đến khái niệm dive của vectơ là định lý

Oxtrôgratxki-Gauss về phép biến đổi tích phân mặt thành tích phân khối

Thông lượng của vectơ qua mặt kín bằng tích phân khối của dive của vectơ đó

k

n V k

V

dS a M

a div

dS a M a

k V a dS V M

a div

n k

k

k V a dS V M

a div

K S n

V k k

dS a dS a

dV a div V

M a div

k

lim

trong đó S là mặt bao quanh thể tích V, ta có :



S n V

dS a dV a div (1.2.8)

Đó là công thức Oxtrôgratxki-Gauss cho mối liên hệ giữa tích phân theo thể tích và tích phân mặt bao quanh thể tích đó

4/ Dive của vectơ



a trong tọa độ cong

Lấy V là thể tích của hình hộp cong

d  

3 2 1 1

3 2 1 3 2

q

h h a h h a

3 2

q

h h a

3 2

q

h h a

n V

 

3 2 1 3

3 2

q

h h a

3 2 2 1

3 2 1 3

h h a q

h h a h

a a

r h

III/ TOÁN TỬ HAMILTON

k y

j x i grad

j x

Cho hàm vô hướng  chúng ta nhận thấy thêm rằng nhờ toán tử đó mà cả gradient của một vectơ cũng được biểu diễn theo cách khác :

z

a y

a x

a a

Vì vậy ta sẽ khảo sát chi tiết các tính chất của toán tử này

z y

x j a k a a

i a

x a b a b a b

b x

a x

a

V

dS a n a

0

Xét đẳng thức này thấy rằng dưới dấu tích phân mặt là tích vô hướng của vectơ

Chúng ta sẽ xét thêm hai ví dụ để chứng minh điều đó không phải ngẫu nhiên

dS y n dV

y

dS x n dV

x

) , cos(

) , cos(

) , cos(

j x i

n z n k y n j x n

icos( , ) cos( , ) cos( , )

nên ta nhận được công thức tương tự như công thức O-G :



V S

dV grad dS

y V dV y

x V dV x

3 2 1

i x V dV grad

M M

trở thành M, với giả thiết các đạo hàm riêng

dz

d dy

d dx

j y

i x V

dS n

M M

M

S V

hay :

V

dS n S V

này công thức sau đây là đúng :

V

dS a n v a

x S

dS z n a v y n a v x n a v n

Trước đây ta đã có công thức :





V S

dV x dS x

dV x

a dS x n

dV y

a dS y n

dV z

a dS z n

x S

z y

z

a v y

a v x

a v dS z n a v y n a v x n

a

hay :

v.nadS v  a dV (1.3.13)

từ đó lặp lại lý luận như đã dùng đối với grad ta sẽ đi đến công thức (1.3.8)

thức thỏa mãn hai điều kiện sau :

b L a L b a L

j x

sau nó, và không tác dụng lên những vectơ đứng sau nó

Các ví dụ :

z

k y

j x

a x

a k x

a z

a j z

a y

a i

z

a v y

a v x

a v a

a v x

a v a v

z y

Sau này chúng ta sẽ sử dụng rộng rãi phương pháp ký hiệu cho những tính toán liên quan đến tới việc áp dụng cho những toán tử Hamilton

IV/ ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ

1/ Lưu số vectơ dọc theo chu tuyến

Khi nghiên cưu gradient chúng ta đã đưa ra khái niệm tích phân đường của







L r d a

và chúng ta đã chứng minh rằng tích phân lấy theo mọi đường cong kín bằng

z

a y

a x a grad

hơn tích phân đường theo chu tuyến kín dẫn tới khái niệm của một phép toán vi

cong này tích phân đường :

dz a dy a dx a r d

Bây giờ ta lấy một điểm M cố định trong không gian, để thuận tiện cho chúng

ta luôn luôn làm gốc tọa độ Sau đó ta xét chu tuyến C vô cùng bé bao quanh điểm M, trên C đã cho một chiều đi xác định cuối cùng, chúng ta giả sử rằng

0 về độ lớn và về hướng thì tiến đến một hướng cố định, mà vectơ đơn vị của

Bây giờ ta đặt bài toán :

dz a dy a dx a r d a

S

dz a dy a dx a S

r d a

C

z y x S C

) , , ( lim

0





của x, y, z và giới hạn xét các số hạng có lũy thừa bậc nhất, chúng ta có :

y O

x x

x

z

a z y

a y x

a x a

z

y

x

a

Trong đó chỉ số O chỉ rằng cần phải lấy giá trị của các đạo hàm trong ngoặc

z

a y

a x

dọc theo đường cong C, đồng thời đưa hằng số nhân ra ngoài dấu tích phân :

zdx z

a ydx y

a xdx x

a dx a

x

x x

);

, cos(

C C

Sau đó chúng ta giả sử rằng chu tuyến C có tính chất là : nếu ký hiệu khoảng

a z n y

a dx

z y x a

x O

x C

x

) , cos(

) , cos(

z

a z n y

a S

dx a

O x O

x C

x S

Tương tự chúng ta nhận được hai công thức nữa :

) , cos(

) , cos(

x

a x n z

a S

dy a

O y O

y C

y S

) , cos(

y

a y n x

a S

dz a

O z O

z C

z S

) , cos(

lim

0

0 0

0

z n y

a x

a

y n x

a z

a x n z

a y

a S

r d a

O

x y

O

z x O

y z C

và nằm trên một đường thẳng xác định, giá trị của biểu thức vừa tìm được cho

phép tính gần đúng lưu số theo mọi chu tuyến đủ bé bao quanh điểm M và nằm

2/ Rota của trường vectơ

) , cos(

) , cos(

) , cos(n x A n y A n z A

a a rot x

a z

a a rot z

a y

a a

z z

x y

y z x

z) sẽ được xác định bởi công thức :

r d

n C

S 0

Công thức này cho cách xác định một hình chiếu của vectơ rot a mà như ta

thấy, hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ

Thật vậy, thành lập tích vectơ theo công thức :

) (

) (

) (A y B z A z B y j A z B x A x B z k A x B y A y B x i

y

z

A y

A x

a k x

a z

a j z

a y

a i

Trong đó V là thể tích vô cùng bé co lại điểm M, S là mặt cong giới hạn thể tích

a rot a

rot n a

.

0

giới hạn :

S

r d

S n

được cực đại khi hướng của vectơ này được chọn làm trục chiếu)

gì, chúng ta xét trường vận tốc của cố thể tại một thời điểm nào đó

v

z z v

v

r z v

v

y x z z

y z y y

y x x

a v rot   2

Nếu chúng ta xét trường vận tốc của chất lỏng thì có thể nói bằng

2

vận tốc góc quay thể tích vô cùng bao quanh điểm M, với giả thiết rằng tại thời

điểm đang xét phần thể tích của chất lỏng được đột ngột làm cứng lại Điều đó

cắt nghĩa tên gọi rôta (xoáy) của vectơ liên quan với chuyển động quay của các

hạt chất lỏng

3/ Định lý Stokes

cho phép biến đổi tích phân đường thành tích phân mặt :

Lưu số của một vectơ dọc theo chu tuyến kín bằng thông lượng của rôta vec tơ

d r rot a dS rot a dS

S n S

tiến đến không Đối với mỗi yếu tố, khi

ta có thể viết bất đẳng thức :

k k n C

S S a rot r d

Cộng tất cả các đẳng thức này lại và chú ý rằng tích phân đường chỉ lấy theo C;

tiêu nhau :

S S a rot r

S n

chu tuyến này bằng :

3 2 3 2

d  

C Sk

Hình 10