LUẬN văn sư PHẠM vật lý KHẢO sát NHIỆT DUNG RIÊNG của CHẤT rắn với DAO DIỆN COBRA 3

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MẠNG TINH THỂ TRONG CHẤT RẮN 1.1 Các loại liên kết trong vật rắn Ở các vật rắn kết tinh, các nguyên tử hoặc phân tử xếp đặt một cách có trật tự, tuần hoàn trong

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN VẬT LÝ -*** -

LỜI CẢM ƠN

 Trong suốt thời gian thực hiện đề tài tôi đã gặp không ít những khó khăn Tuy nhiên bên cạnh những khó khăn đó tôi đẵ được sụ giúp đỡ tận tình của thầy hướng dẫn, và các thầy cô trong bộ môn vật lý và bạn

bè Cuối cùng đề tài cũng đã hoàn thành tốt đẹp

 Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Bá Thành và thầy Trương Hữu Thành đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuân lợi cho tôi hoàn thành đề tài này

 Tôi xin gởi đến các thầy cô trong bộ môn Vật Lý lòng biết ơn sâu sắc vì

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong việc cung cấp tài liệu trong thời gian qua

 Sau cùng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô, bạn bè đã đóng góp cho đề tài của tôi

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

PHẦN NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1: MẠNG TINH THỂ TRONG CHẤT RẮN 5

1.1 Các loại liên kết trong vật rắn 5

1.1.1 Tinh thể ion 6

1.1.2 Tinh thể cộng hóa trị 8

1.1.3 Tinh thể kim loại 9

1.1.4 Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử 9

1.1.5 Tinh thể có liên kết hiđrô 10

1.2 Mạng tinh thể 11

1.2.1 Mạng không gian 11

1.2.2 Các chỉ số Milơ 13

1.2.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian 14

1.2.4 Các hệ tinh thể 16

1.2.5 Cấu trúc tinh thể 18

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THỂ 20

2.1 Lý thuyết cổ điểm về dao động điều hòa của mạng tinh thể 20

2.2 Lý thuyết lượng tử về dao động điều hòa của mạng tinh thể 22

2.2.1 Lượng tử hóa dao động mạng 22

2.2.2 Phônôn 23

CHƯƠNG 3: NHIỆT DUNG RIÊNG CỦA VẬT RẮN 30

3.1 Định luật Đulông-Pơtit 30

3.2 Nhiệt dung riêng theo lý thuyết cổ điển 33

3.3 Nhiệt dung riêng theo lý thuyết của Einstein 34

3.4 Nhiệt dung riêng theo lý thuyết Debye 38

CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG CHƯƠNG TRÌNH PHYWE MEASURE 4 ĐIỀU KHIỂN THIẾT BỊ GIAO TIẾP COBRA 3 BASIC-UNIT ĐỂ KHẢO SÁT NHIỆT DUNG RIÊNG CỦA CHẤT RẮN 48

4.1 Giới thiệu các thiết bị sử dụng để tiến hành thí nghiệm 48

4.1.1 Máy vi tính 48

4.1.2 Dụng cụ thí nghiệm 48

4.1.3 Phần mềm Phywe Measure 4 48

4.2 Hướng dẫn sử dụng chương trình Phywe Measure 4 49

CHƯƠNG 5: THỰC NGHIỆM 54

5.1 Mục đích 54

5.2 Cơ sở lý thuyết 54

5.2.1 nguyên tắc 54

5.2.2 Dụng cụ thí nghiệm 55

5.3 hướng dẫn các bước tiến hành thí nghiệm 56

5.4 Kết quả thí nghiệm 62

5.4.1 Kết quả thí nghiệm mẫu CuZn 62

5.4.2 Kết quả thí nghiệm mẫu nhôm 64

5.4.3 Kết quả thí nghiệm mẫu sắt 66

PHẦN KẾT LUẬN 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

Việc sử dụng các kiến thức hiện đại của Vât Lý học lượng tử, đi sâu vào nhiều khía cạnh: nhiệt học, điện học, quang học… ở vật rắn, tạo nên một hệ thống kiến thức sâu sắc về mọi mặt nhằm giải thích và dự đoán mọi hiện tượng có liên quan đến môi trường vật chất cần thiết cập nhật này với nhiều ứng dụng kĩ thuật hiện đại

Với sự tiến bộ của khoa học và kĩ thuật hiện nay cũng như trong việc giảng dạy thì mọi vấn đề cần phải rõ ràng và chính xác Chính vì lý do đó mà tôi mạnh

dạn chọn đề tài:“khảo sát nhiệt dung riêng của kim loại với bộ thí nghiệm Cobra 3” để kiểm chứng lại định luật Đulông-Pơtit bằng kết quả thực nghiệm

Trong luận văn này tôi đã tìm hiểu và trình bày lại các khái niệm cơ bản như: nhiệt dung, nhiệt dung riêng , Định luật Đulông-Pơtit…

2 Giả thuyết của đề tài

Trong đề tài này tôi cố gắng lựa chọn những vấn đề cơ bản nhất và xắp xếp chúng theo một trình tự tạm coi là hợp lý, nhằm nêu ra được tính cơ bản và tính hệ thống của vấn đề

Trước hết ta cần nắm lại các khái nhiệt dung riêng, nhiệt dung phân tử đẳng tích (gọi tắt là nhiệt dung đẳng tích) và nhiệt dung phân tử đẳng áp trong đó vấn đề chủ yếu là nhiệt dung riêng của chất rắn

Vấn đề này sẽ được lý giải ở nhiều nhiệt độ khác nhau và chúng ta sẽ lần lượt được giải thích theo quan điểm cổ điển và lượng tử

3 Tiến hành thực hiện

Bước 1: nhận đề tài

Bước 2: nghiên cứu lý thuyết

Bước 3: tiến hành đo đạt bằng thực nghiệm

Bước 4: thực hiện viết đề cương

Bước 5 Viết bài luận văn, chỉnh sửa, hoàn thiện bài viết

Bước 6: viết báo cáo

Bước 7: báo cáo luân văn

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MẠNG TINH THỂ TRONG CHẤT RẮN

1.1 Các loại liên kết trong vật rắn

Ở các vật rắn kết tinh, các nguyên tử hoặc phân tử xếp đặt một cách có trật tự, tuần hoàn trong không gian Các vật rắn có tính chất khác nhau, chính là vì trong mỗi loại, sự phân bố của cácêlêctrô n và hạt nhân của các nguyên tử có những đặc điểm riêng

Do đó để khảo sát tinh thể vật rắn, ta phải nghiên cứu một hệ gồm số rất lớn các nguyên tử và êlêctrôn Chẳng hạn, với tinh thể chỉ gồm một loại nguyên tử, thì với N nguyên tử, ta phải xét một hệ N hạt nhân và NZ êlêctrôn, trong đó Z là số thứ

tự của êlêctrôn trong bảng tuần hoàn Menđêlêép Việc xét hệ bao gồm N hạt nhân và

NZ êlêctrôn là rất phức tạp và không cần thiết, vì rằng các êlêctrôn lấp đầy ở những lớp sâu (chẳng hạn các lớp K, L…), chúng liên kết chặt chẽ với các hạt nhân của nguyên tử và tạo thành các lõi nguyên tử Trong tinh thể, sự phân bố của những

êlêctrôn này không khác mấy so với ở các nguyên tử tự do Chỉ những êlêctrôn hóa trị là những êlêctrôn ở lớp ngoài, mới bị phân bố khác nhiều so với ở các nguyên tử

cô lập Những êlêctrôn này thường là êlêctrôn s, p và d Như vậy, ta có thể coi như mạng tinh thể được tạo thành từ các lõi nguyên tử mang điện dương, nằm ở các nút mạng và các êlêctrôn hóa trị, mà sự phân bố của chúng phụ thuộc liên kết trong tinh thể Bài toán bây giờ được rút về xét một hệ gồm N lõi nguyên tử và n.N êlêctrôn hóa trị, trong đó n là hóa trị của nguyên tố tạo thành tinh thể

Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu nguyên nhân giữ cho các lõi nguyên tử và các

êlêctrôn hóa trị nằm cân bằng trong tinh thể, đó là các liên kết trong tinh thể Tính

chất của một vật rắn phụ thuộc nhiều vào bản chất của liên kết

Có thể nói ngay rằng liên kết trong tinh thể hầu như hoàn toàn được bảo đảm bởi lực tương tác tĩnh điện giữa các êlêctrôn mang điện âm và các hạt nhân nguyên tử mang điện dương Trong từng trường hợp, lực này được thể hiện dưới các dạng khác nhau, chẳng hạn lực tương tác trao đổi, lực Van đe Vanxơ, liên kết đồng hóa

vật rắn thành các loại: tinh thể ion, tinh thể đồng hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử, tinh thể có liên kết hiđrô

1.1.1 Tinh thể ion

a) Tinh thể ion được tạo thành bởi các ion dương và âm nằm xen kẽ với nhau Bản chất của liên kết ion là lực tương tác tĩnh điện giữa các ion mang điện trái dấu

Ví dụ: Tinh thể muối của các kim loại kiềm hoặc kiềm thổ với halogien là

tinh thể ion, chẳng hạn tinh thể muối ăn (NaCl) , liti florua (LiF), cêsi clorua

(CsCl)… chúng được tạo thành từ các ion dương kim loại (Na+, Li+, Cs+…) và các ion âm halogien (Cl-, F-) Những ion này hình thành từ các nguyên tử trung hòa khi một êlêctrôn chuyển từ nguyên tử kim loại sang nguyên tử halogien Thí dụ cấu tạo các lớp êlêctrôn của nguyên tử Liti là 1s22s của Flo là 1s22s22p6 còn cấu tạo của các ion tương ứng trong tinh thể là: Li+: 1s2, F-: 1s22s22p6 Có thể nhận xét thấy rằng các ion này có lớp vỏ êlêctrôn ngoài cùng đặc trưng cho các nguyên tử khí trơ, vì chứa đầy êlêctrôn (He: 1s2; Ar: 1s22s22p6) Giống như ở các nguyên tử khí trơ, sự phân bố điện tích trong các ion có tính đối xứng cầu.Tuy

vậy trong tinh thể sự đối xứng này có bị biến

dạng đôi chút ở chỗ các nguyên tử lân cận kề

sát vào nhau

Dùng hình ảnh về các nguyên tử và các

êlêctrôn hóa trị là cực đại ở xung quanh ion âm

(thí dụ ion F-) và gần như bằng không ở xung

quanh ion dương (Hình 1.1)

b) Để cho các nguyên tử nằm cân bằng bên trong tinh thể, bên cạnh lực liên

kết (có tác dụng hút các nguyên tử), phải có lực đẩy giữa chúng Có nhiều nguyên nhân gây nên lực đẩy giữa các nguyên tử

Các ion trong tinh thể có cấu tạo lớp vỏ êlêctrôn giống như ở các nguyên tử khí trơ, vì vậy lực đẩy giữa chúng giống như lực đẩy giữa các nguyên tử khí trơ Với các nguyên tử này, có thể coi là sự phân bố điện tích của êlêctrôn bên trong nguyên tử bị giới hạn trong một quả cầu cứng Do sự giới hạn về không gian, theo nguyên lí bất định Haizenbec (Heisenberg) động năng của êlêctrôn tăng lên Sự tăng

Hình 1.1

Chính sự giới hạn điện tích êlêctrôn trong quả cầu cứng là một thành phần của lực đẩy giữa các nguyên tử trong tinh thể

Đóng góp quan trọng hơn vào lực đẩy là do sự phủ nhau của các đám mây

êlêctrôn của hai nguyên tử đặt gần nhau

Khoảng cách giữa các nguyên tử càng giảm, các đám mây êlêctrôn càng phủ nhau nhiều và năng lượng tĩnh điện của hệ biến đổi đi ở những khoảng cách đủ nhỏ, năng lượng tương tác do sự phủ của các đám mây êlêctrôngây nên là năng lượng đẩy

Đối với các nguyên tử có lớp vỏ êlêctrôn đầy, thì năng lượng tương tác luôn là năng lượng đẩy với mọi khoảng cách (trong khoảng từ 0,5 A0 đến 5 A0) mà chủ yếu

là do tác dụng của nguyên lí Paoli (Pauly) Nói một cách đơn giản, theo nguyên lí này, hai êlêctrôn không thể cùng có tất cả các só lượng tử giống nhau Như vậy hai

êlêctrôn không thể ở cùng một trạng thái lượng tử Khi các đám mây êlêctrôn của hai nguyên tử A và B phủ nhau, thì êlêctrôn của nguyên tử B có xu hướng chiếm một phần các trạng thái trong nguyên tử A đã bị các êlêctrôn của nguyên tử này chiếm ,

và ngược lại Vì rằng nguyên lí Paoli không cho phép nhiều êlêctrôn chiếm cùng một trạng thái, nên hai đám mây êlêctrôn chỉ có thể phủ nhau nếu các êlêctrôn chuyển một phần lên các trạng thái lượng tử còn trống có mức năng lượng cao hơn Kết quả

là sự phủ nhau của các đám mây êlectrôn làm tăng năng lượng toàn phần của hệ, hay nói cách khác nó làm xuất hiện lực đẩy

Dựa vào các kết quả thực nghiệm, người ta thấy có thể mô tả thế năng đẩy giữa các nguyên tử khí trơ bằng

trong đó A là một hằng số dương, còn  là một đại lượng đặc trưng cho kích thước của khu vực có tương tác

c) Các tinh thể ion dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp và dẫn điện tốt ở nhiệt độ cao hơn Các hạt tải điện trong trường hợp đó là các ion

Tinh thể ion hấp thụ mạnh các bức xạ trong dải hồng ngoại

1.1.2 Tinh thể cộng hóa trị

a) Liên kết cộng hóa trị được tạo thành bởi các cặp êlêctrôn có spin đối

song Đó là loại liên kết mạnh mặc dù là liên kết giữa các nguyên tử trung hoà

Ví dụ: Tinh thể kim cương (gồm các nguyên tử

cacbon), và các tinh thể Ge, Si có cấu trúc giống kim

cương là thí dụ về tinh thể cộng hóa trị Trong các tinh

thể này, mỗi nguyên tử này nằm ở tâm một tứ diện

được tạo thành từ bốn nguyên tử gần nó nhất (Hình

1.2) Giữa hai lõi nguyên tử cạnh nhau, có một mối

liên kết cộng hóa trị kết Hai êlêctrôn này có spin đối

song Chúng định xứ chủ yếu trong khoảng không gian

giữa hai lõi nguyên tử Vì vậy, liên kết cộng hóa trị có

tính phương hướng rõ, khác với liên kết ion trong đó êlêctrôn hóa trị chủ yếu định

xứ quanh các ion

Theo nguyên lí Paoli như đã nói ở trên, các nguyên tử có lớp vỏ êlêctrôn đầy

thì đẩy nhau Nguyên tử C, Ge, Si còn thiếu 4 êlêctrôn mới tạo thành lớp vỏ đầy, nên nguyên tử của các nguyên tố này lại có thể hút nhau do sự phủ của các lớp vỏ êlêctrôn

Thí dụ đơn giản nhất về liên kết cộng hóa trị là liên kết giữa hai nguyên tử hiđrô trong phân tử H2 Tùy theo sự định hướng spin của hai êlêctrôn trong hai nguyên tử, mà lực liên kết giữa hai nguyên tử này có độ lớn khác nhau

Nếu hai êlêctrôn có spin đối song, hai nguyên tử liên kết rất mạnh, tạo thành

phân tử hiđrô bền vững Nếu hai êlêctrôn có spin đối song song theo nguyên lí Paoli, khi có sự phủ nhau của các đám mây êlêctrôn, giữa hai nguyên tử xuất hiện

Hình 1.2 Cộng hóa trị do hai

êlêctrôn từ hai nguyên tử tạo

thành

Phần năng lượng tương tác giữa các êlêctrôn có giá trị phụ thuộc vào sự định

hướng tương đối của spin như vừa xét gọi là năng lượng trao đổi Lực tương tác

ứng với nó là lực tương tác trao đổi

b) Các tinh thể cộng hóa trị có độ cứng cao và dẫn điện kém ở nhiệt độ thấp

c) Nếu coi tinh thể cộng hóa trị và tinh thể ion là các trường hợp giới hạn, thì

giữa chúng còn có hàng loạt tinh thể trong đó liên kết có tính chất trung gian

Các nguyên tử có vỏ êlêctrôn gần giống với vỏ đầy (như Na, Cl) có xu hướng tạo thành liên kết ion Các nguyên tử nhóm III, IV và V của bảng tuần hoàn có xu hướng tạo thành liên kết cộng hoá trị (như In, C, Ge, Si, As)

Sự phân bố không gian của êlêctrôn hóa trị phụ thuộc mức độ ion của liên kết Chẳng hạn, ở tinh thể InSb, mật độ êlêctrôn ở gần nguyên tử Sb lớn hơn ở gần

nguyên tử In Còn ở tinh thể ZnS, êlêctrôn hóa trị chủ yếu tập trung quanh nguyên

tử S

1.1.3 Tinh thể kim loại

Trong tinh thể kim loại, êlêctrôn hóa trị không định xứ ở các nguyên tử mà

phân bố trong tinh thể và là chung cho cả tinh thể (êlêctrôn bị “ tập thể hóa”) Những êlêctrôn này có thể chuyển động tự do trong tinh thể nên được gọi là

êlêctrôntự do Mật độ êlêctrôn tự do tương đối lớn, cùng bậc với mật độ nguyên tử

(cỡ 10-22 cm-3), vì trung bình mỗi nguyên tử đóng góp một vài êlêctrôn tự do cho tinh thể Chúng tạo thành đám mây (hay khí) êlêctrôn trong tinh thể Chính sự tương tác giữa các đám mây êlêctrôn mang điện âm với các ion dương được sắp xếp đều đặn tạo nên lực liên kết các nguyên tử thành tinh thể

Lực này thắng lực đẩy tĩnh điện giữa các ion dương, nên tinh thể là bền vững

1.1.4 Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử

Tinh thể khí trơ được cấu tạo từ các nguyên tử khí trơ Những nguyên tử

này có lớp êlêctrôn ngoài cùng hoàn toàn đầy ở nguyên tử tự do, phân bố êlêctrôncó dạng đối xứng cầu Trong tinh thể, sự phân bố êlêctrôn không có thay

đổi lớn Lực liên kết trong tinh thể khí trơ là lực Van đe Vanxơ Đó là loại lực

Bản chất của lực Van đe Vanxơ chỉ có thể hiểu được một cách sơ lược sự

xuất hiện của nó Nếu vị trí trung bình của hạt nhân nguyên tử luôn trùng với tâm của đám mây êlêctrôn hình cầu bao quanh hạt nhân, thì không thể có tương tác giữa các nguyên tử trung hòa Đó là vì ở bên ngoài nguyên tử, điện thế tĩnh điện gây bới các đám mây êlêctrôn hoàn toàn bù trừ điện thế gây bởi hạt nhân Như vậy, không

có sự liên kết giữa các nguyên tử khí trơ và không có được trạng thái rắn của khí trơ Tuy nhiên, trong thực tế có tồn tại các tinh thể khí trơ Sở dĩ như vậy là vì các êlêctrôn luôn chuyển động tương đối đối với hạt nhân, ngay cả khi chúng ở trạng thái năng lượng thấp nhất Kết quả là vị trí tức thời của tâm đám mây êlêctrôn có thể không trùng với hạt nhân nguyên tử Khi đó mômen lưỡng cực của nguyên tử trở nên khác không Mômen lưỡng cực tức thời này gây ra điện trường ở tâm nguyên tử gần nó, làm cho nguyên tử này bị phân cực, tức là trở nên có mômen lưỡng cực Kết quả là xuất hiện lực tương tác giữa các mômen lưỡng cực của các nguyên tử Lực này là lực hút và có giá trị nhỏ Nó đóng vai trò lực liên kết các nguyên tử trong tinh thể khí trơ

Lực Van đe Vanxơ cũng là lực liên kết chủ yếu trong các tinh thể phân tử,

tức là các tinh thể mà ở các nút mạng có các phân tử trung hòa Hiđrô, Clo, CO2 và nhiều chất hữu cơ, khi hóa rắn tạo thành tinh thể phân tử

Tinh thể khí trơ và tinh thể phân tử có nhiệt độ nóng chảy thấp và dễ bị nén

1.1.5 Tinh thể có liên kết hiđrô

Nguyên tử hiđrô trung hòa có một êlêctrôn Trong một số trường hợp, nguyên

tử hiđrô có thể có liên kết bằng một lực hút đáng kể với hai nguyên tử khác, tạo thành liên kết hiđrô giữa chúng Có thể hình dung sự hình thành phân tử nhờ liên kết hiđrô như sau: êlêctrôn của nguyên tử hiđrô liên kết với một nguyên tử, còn lại proton thì liên kết với nguyên tử thứ hai Kết quả là nguyên tử hiđrô liên kết với hai nguyên tử, mặc dù êlêctrôn của nó chỉ có thể tham gia vào một liên kết cộng hóa trị

Liên kết hiđrô là dạng tương tác quan trọng nhất giữa các phân tử H2O Cùng với lực hút tĩnh điện giữa các mômen lưỡng cực, nó gây nên những tính chất kì lạ, đặc biệt của nước và nước đá Liên kết hiđrô đóng vai trò quan trọng trong các hợp chất có chứa hiđrô cùng với các nguyên tố á kim như F, O, N, C, Cl và S Nó gây

nên sự kết hợp các phân tử, sự pôlime hóa, nó tồn tại và đóng vai trò quan trọng trong các tinh thể hữu cơ, các chất anbumin và các cơ thể sống

bố như nhau

Tinh thể lý tưởng phải có kích thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử khác

Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp Ở các tinh thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều nguyên tử, phân

tử

Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần hoàn trong không gian Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các nguyên tử Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc

Tinh thể lí tưởng có thể coi như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian

Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ a , 1 a , 2 a gọi là ba vectơ tịnh 3

tiến cơ sở Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tuỳ ý có bán kính

vectơ r , ta thấy nó giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán kính vectơ r : '

'

r = r + n1a + 1 n2a + 2 n3a 3 (1.3)

Tập hợp các điểm có bán kính vectơ r (sau này gọi là điểm ' r ) xác định theo '(1-3) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không gian Các điểm

đó gọi là nút của mạng không gian

Ba vectơ cơ sở a , 1 a , 2 a (có khi kí hiệu là a , b , c ) cũng đồng thời xác định 3

các trục của hệ tọa độ trong tinh thể Nói chung, đó là hệ tọa độ không vuông góc

Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp

1.2.2 Các chỉ số Milơ

Trong mạng không gian, đường thẳng đi qua vô số các nút mạng được gọi

là đường thẳng mạng Có thể chứng minh được rằng nếu một đường thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đường thẳng mạng

Mặt phẳng có chứa vô số nút mạng gọi là mặt phẳng mạng Mặt phẳng chứa

1,2n

1,3n1

Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho: h : k : l =

1n

1 : 2n1 :

Bộ ba số h, k, l được đặt trong dấu ngoặc (h k l) và được gọi là chỉ số Milơ của mặt phẳng mạng Trên hình 1.5, ta có n1 = 3, n2 = 4, n3 = 2, do đó:

h : k : l =

3

1 : 4

1 : 2

1 = 12

4 : 12

3 : 12

6 = 4 : 3 : 6

Vậy chỉ số Milơ của mặt phẳng đó là (4 3 6)

1.2.3 Các tính chất đối xứng của mạng không gian

Đặc điểm cơ bản của mạng không gian là tính chất đối xứng của nó Điều này thể hiện ở chỗ mạng bất biến đối với một số phép biến đổi, hay nói cách khác, mạng lại trùng với chính nó khi ta thực hiện một số phép biến đổi

Đối xứng tịnh tiến Vectơ tịnh tiến

Mạng không gian có tính đối xứng tịnh tiến Thật vậy, ta hãy thực hiện một

phép biến đổi toàn bộ mạng không gian đi một vectơ R , gọi là vectơ tịnh tiến:

R = n1a + 1 n2a + 2 n3a 3 (1-4)

Sau phép dịch chuyển này, một nút mạng nào đó đến chiếm vị trí của một nút mạng khác Toàn bộ mạng không có gì thay đổi

Hai nút mạng bất kì được nối với nhau bằng vectơ tịnh tiến (1-4), trong đó

Chú ý rằng n , 1 n , 3 n là những số nguyên Nếu ta lấy điểm gốc ở một nút mạng, 3

thì R là vectơ vị trí của các nút mạng, gọi là vectơ mạng

Phép quay đối xứng

Mạng không gian có tính đối xứng với phép quay quanh một số trục xác

định Để minh họa điều này, ta hãy xét mạng vuông hai chiều (h.1.7) Có thể coi nó như hình chiếu của mạng không gian trên mặt phẳng, nghĩa là phía trên và phía dưới của mặt phẳng hình vẽ, ta có những mạng vuông giống hệt như vậy Khi ta quay

mạng một góc

2

 (hay 4

1 vòng tròn) quanh trục vuông góc với mặt phẳng, đi qua

một nút mạng(hoặc một trong các điểm có đánh dấu X trên hình 1.6)

 mạng lại trùng với chính nó Không tồn tại các mạng có trục quay

bậc 5, bậc 7 hoặc cao hơn

Đối xứng nghịch đảo

Mạng không gian có tính đối xứng nghịch đảo

Phép nghịch đảo là phép biến đổi, trong đó vectơ vị trí đổi dấu: r biến thành  r

Như vậy, mạng không gian có tâm đối xứng Tất nhiên, mạng vuông trên hình 1.9

bất biến với phép nghịch đảo và có tâm đối xứng

Mạng không gian có thể có tính đối xứng với phép phản xạ qua một số mặt

phẳng Phép nghịch đảo chính là gồm một phép quay góc  và phản xạ qua mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi qua tâm đối xứng (h.1.7) Ở đây O là tâm đối xứng, m là mặt phẳng phản xạ, C là trục quay góc 

Các phép biến đổi đối xứng vừa nói ở trên, gồm các phép quay, phản xạ và nghịch đảo có thể cùng tồn tại ở một mạng không gian Tuy nhiên thực tế, mỗi mạng không gian chỉ đối xứng với một số trong các phép biến đổi đó

Hình 1.7

1.2.4 Các hệ tinh thể

Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, người ta chia

Chúng ra thành 7 hệ, ứng với 7 loại ô sơ cấp khác nhau, đó là các hệ: tam tà, đơn tà, thoi, tứ giác, tam giác, lục giác và lập phương Mỗi hệ được đặc trưng bởi quan hệ

giữa các vectơ cơ sở a , 1 a , 2 a và các góc 3  ,,  giữa các vectơ đó, như được vẽ trên hình 1.8

Hình 1.8

Đặc điểm của 7 hệ tinh thể

a) Hệ tam tà: các vectơ cơ sở a1, a2, a3 có độ dài khác nhau, các góc  ,, khác nhau Hệ chỉ đối xứng với phép nghịch đảo

b) Hệ đơn tà: a1a2 a3; 900, 900 Hệ có một trục quay bậc hai (song song với a2) và mặt phẳng phản xạ vuông góc với trục này

Hệ có một trục quay bậc 4 theo phương c , bốn trục bậc 2 vuông góc với trục bậc 4 và 5 mặt phẳng phản xạ

đ) Hệ tam giác (hay hệ lăng trụ thoi): a1 a2 a3, 1200, 900

Hệ có một trục quay bậc 3, 3 trục bậc 2, cắt nhau dưới góc 60 và 3 mặt phẳng 0phản xạ nằm giữa các trục bậc 2

e) Hệ lục giác: ô sơ cấp có dạng lăng trụ đứng, đáy là hình thoi, có góc 60 0Tuy nhiên, để nhấn mạnh đến tính đối xứng thuộc hệ lục giác, người ta thường gộp thêm vào hai ô sơ cấp nữa, đặt lệch nhau 120 , để có ô dưới dạng lăng trụ đứng, 0đáy lục giác, có nút mạng ở tâm hai đáy Ô này có a1 a2 a3 (a3 gọi là c);

Với một mạng không gian nhất định, có thể có nhiều cách lựa chọn hệ trục tọa

độ, cũng tức là lựa chọn ô sơ cấp Bao giờ người ta cũng chọn ô sơ cấp sao cho nó

có tính đối xứng cao nhất có thể có được ô sơ cấp như vậy không nhất thiết chỉ chứa nút mạng ở các đỉnh của nó, mà có thể ở bên trong thể tích (ô tâm khối) hoặc ở các mặt bên (ô tâm mặt),và như vậy không nhất thiết mỗi ô chỉ chứa một nút mạng

Hình 1.9

Với cách lựa chọn ô sơ cấp như vậy, trong 7 hệ tinh thể có tất cả 14 loại ô Chúngtạo thành 14 mạng Brave (Bravais) Các ô mạng được vẽ trên hình 1.9

1.2.5 Cấu trúc tinh thể

Bây giờ ta chuyển từ mạng không gian là mô hình mô tả là mô hình toán học

trừu tượng, sang cấu trúc tinh thể Ta có được cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng Chẳng hạn, có thể đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của Chúng

nằm ở các nút mạng không gian Còn trong tinh thể hiđrô (ở thể rắn), tại mỗi nút

mạng là một phân tử H2 Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân

tử có chứa hàng chục, có khi hàng trăm nguyên tử Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy gọi là gốc

Do đó có thể viết một cách tượng trưng: mạng không gian cộng gốc bằng cấu trúc tinh thể Và lí do đó, cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà

mạng không gian không có, đó là các trục xoắn ốc, và mặt phẳng trượt

Nếu kết hợp đồng thời phép quay thông thường với phép tịnh tiến song song với trục quay, thì ta được trục xoắc ốc Trên hình 1.9 là trục xoắn ốc bậc 4, với bước

tịnh tiến là

4

1

khoảng cách a giữa hai nút mạng (còn gọi là hằng số mạng a)

Mặt phẳng trượt xuất hiện từ sự kết hợp đồng thời phép phản xạ gương và

ghộp song song với mặt phẳng phản xạ Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến, bước

tịnh tiến chỉ có thể là một nửa hằng số mạng (hình 1.11)

Hình 1.10 Hình 1.11

Hình 1.11 Hình 1.10

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA MẠNG TINH THỂ

2.1 Lý thuyết cổ điểm về dao động điều hòa của mạng tinh thể

Trong tinh thể, các nguyên tử, phân tử không nằm cố định ở các nút mạng

hoặc ở các vị trí xác định, mà luôn thực hiện các dao động nhỏ quang các vị trí cân bằng Ta hãy xét tinh thể gồm N ô sơ cấp, mỗi ô sơ cấp có một nguyên tử khối lượng M Năng lượng dao động của tất cả các nguyên tử trong mạng tinh thể là:

2 n

rM2

1

là động năng của các nguyên tử dao động, rn

là độ lệch của nguyên tử khỏi

l,l(U

Trong hệ toạ độ Đêcac (Descartes), ta có:

1

N

1 n N

1 m 3

1

m n 3

2 n

0 n

ll

U2

1rl

UU

 là giá trị thế năng khi mọi hạt đều ở vị trí cân bằng (tức là nằm

ở các nút mạng, và mọi rn = 0) Chỉ số 0 kí hiệu các đại lượng ở vị trí cân bằng Ta giới hạn khai triển ở số hạng bậc 2, tức là xét ở phép gần đúng điều hoà

Khi mọi nguyên tử đều nằm ở vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiểu Do

đó các đạo hàm hạng nhất của thế năng U ở vị trí cân bằng bằng không: 0

1 m 3

1

m n 3

2 n

0 n

rrll

U2

1rl

1

n m n 2

m

ll

Ur

U

Lực này phụ thuộc vào độ dịch chuyển rn

của nguyên tử khác vào các hệ số

có dạng

0 m n

2

ll

Hệ số này đặc trưng cho lực tương tác giữa hai nguyên tử thứ

n và thứ m Nó không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của từng nguyên tử mà vào

khoảng cách giữa hai hạt khi chúng cùng ở vị trí cân bằng, tức là vào Rn Rm

 Ta

có thể viết:

l

U

m n 0

m n

n 3

1

m n m

2.2 Lý thuyết lượng tử về dao động điều hòa của mạng tinh thể

2.2.1 Lượng tử hóa dao động mạng

Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa là:

kxx

Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng của động năng và thế năng :

2

kx2

mxUKE

2 2

x2

mm2

2 2 2

ˆ22

Trong đó n = 0, 1, 2, 3… Lưu ý rằng theo cơ học lượng tử, giá trị nhỏ nhất

của năng lượng dao động tử là 

2

1, ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng dao

động bậc không Ở mục trên đã nói rằng có thể biểu diễn năng lượng dao động của các nguyên tử trong tinh thể thông qua các tọa độ chuẩn Bs( )q

Tọa độ chuẩn Bs( )q

mô tả dao động của dao động tử điều hòa với tần số s q

 , với (2.11), ta thấy có thể

xét bài toán với tọa độ chuẩn theo quan niệm cơ học lượng tử như đã làm với tọa độ

x Ta thu được năng lượng của mỗi dao động tử điều hòa lượng tử là:

Theo phương pháp này, ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như là trạng thái của một khối khí lý tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác nhau Các

thể tích của tinh thể như là các chuẩn hạt có năng lượng và xung lượng xác định Năng lượng của trạng thái kích thích của vật rắn là tổng năng lượng của các chuẩn hạt

Ta hãy nêu một số tính chất của chuẩn hạt trong vật thể Năng lượng của khí chuẩn hạt được xác định bởi:

   



 εf ε,T Z ε dε

trong đó f  ,T là hàm phân bố, cho ta biết số lượng trung bình của các chuẩn

hạt ở trạng thái có năng lương  và nhiệt độ T, Z 

V

1

là mật độ trạng thái Đại

lượng Z  d xác định số trạng thái trong hệ ở khoảng năng lượng từ  đến  + d

- Vận tốc của chuẩn hạt là: v gradp  p

nP

chuẩn hạt không còn là khí lý tưởng nữa Khi đó trạng thái của chuẩn hạt chỉ là chuẩn dừng Nếu thời gian sống của chuẩn hạt là  thì độ bất định về năng lượng của chuẩn hạt:

 q

s s

trung bình có năng lượng s q

 được xác định bởi biểu thức phân bố Plăng

1e

1n

T k q s

B Ð



  



Từ đó, ta thấy rằng khí phônôn ở trạng thái cân bằng nhiệt được mô tả bằng

hàm phân bố Bôdơ - Anhstanh (Bose – Einstein) với thế hóa học bằng không

Khi các phônôn tương tác với nhau, định luật bảo toàn năng lượng được thỏa mãn Còn định luật bảo toàn xung lượng được thỏa mãn sai kém vectơ mạng đảo

G

Chẳng hạn có sự va chạm của hai phônôn có chuẩn xung lượng q1

 và q2

 để tạo thành một phônôn có chuẩn xung lượng q

 (hoặc quá trình ngược lại, một phônôn có chuẩn xung lượng q

 tách thành hai phônôn có chuẩn xung lượng q1

vectơ q

lại hướng theo chiều âm

Hình 2.3

Quy luật tán sắc của phônôn được xác định bởi sự phụ thuộc của tần số góc

s

 vào vectơ sóng q

Quy luật tán sắc của phônôn có thể được xác định bằng thực

nghiệm nhờ quá trình tán xạ không đàn hồi của các hạt có kèm theo sự phát xạ hoặc

hấp thụ phônôn Nếu hạt có năng lượng ban đầu  ka

 năng lượng cuối cùng  kb

 là năng lượng của phônôn

Xung lượng ban đầu của hạt là ka

Vì s là hàm tuần hoàn của q

, với chu kỳ là vectơ mạng đảo, nên

biến thiên xung lượng: kb ka

  Từ đó có thể tìm được quy luật tán sắc của

Hình 2.4

Phương pháp này có hiệu quả nhất để xác định quy luật tán sắc của phônôn là nghiên cứu sự tán xạ không đàn hồi của các nơtrôn chậm Với mục đích nghiên cứu này, các hạt khác hoặc là có năng lượng hoặc là xung lượng không cùng cỡ độ lớn với các đại lượng tương ứng của phônôn, nên không được sử dụng Còn nơtrôn thì

có nưng lượng cỡ 10-3 – 10-1e và xung lượng khoảng 10-19 – 10-18

s

cm.g, tức là so

sánh được với xung lượng phônôn và cỡ

s

cm.g10

sơ cấp

LA là ký hiệu của dao động âm dọc, LO: quang dọc, TA: âm ngang, TO: quang ngang Ở đây, ta xét theo các phương có tính đối xứng cao [111] và [100], nên các nhánh dao động ngang có phân cực khác nhau thì trùng nhau Mỗi nhánh ngang TA và TO ứng với hai phương phân cực của sóng Ô sơ cấp của tinh thể kim cương có chứa p = 2 nguyên tử cacbon, cho nên có ba nhánh âm: một nhánh âm dọc

LA và hai nhánh âm ngang TA và 3(p-1) = 3 nhánh quang: một nhánh quang dọc

LO và hai nhánh quang ngang TO

Các nội dung cần lưu ý:

Việc nghiên cứu các tính chất của tinh thể gặp khó khăn vì phải xác định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau Vì vậy cần thiết phải áp dụng các phương pháp gần đúng

Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài các vật thể Sự tồn tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô Khi cấu trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như khi có chuyển pha), thì chuẩn hạt tương ứng cũng mất đi

Năng lượng của khí chuẩn hạt được xác định bởi:

Quy luật tán sắc của phônôn có thể được xác định bằng thực

nghiệm nhờ quá trình tán xạ không đàn hồi của các hạt có kèm theo sự phát xạ hoặc hấp thụ phônôn

Đối với chuẩn hạt có thể áp dụng được các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng

CHƯƠNG 3: NHIỆT DUNG RIÊNG CỦA VẬT RẮN

3.1 Định luật Đulông-Pơtit

Năm 1819 hai nhà Vật Lý thực nghiệm người Pháp là Đulông và Pơtit, khi tiến hành nghiên cứu về nhiệt dung của chất rắn cho rằng khoảng cách giữa hai hạt kế

tiếp nhau theo một hàng mạng là như nhau và gọi đó là hằng số mạng

Xét mẫu vật rắn để đơn giản ta xét một hàng mạng, vì dao dộng thực hiện quanh một vị trí cân bằng ở một nhiệt độ T(K) nên nó dao dộng điều hòa Trong quá trình cung cấp năng lượng thì áp suất, thể tích ở mẫu vật có thay đổi nhưng không đáng kể và xem các quá trình là đẳng áp ( Cp) và đẳng tích C v C

Đulông-Pơtit đã thực hiện phép đo và thấy đối với mọi vật rắn thì giá trị Cv

luôn luôn không đổi và là một hằng số ở bất kỳ nhiệt độ nào Giá trị thực nghiệm đo

được Cv= 25(

ô đ

Từ thí nghiệm và rút ra kết luận như trên Đulông-Pơtit đã khái quát thành

định luật mang tên hai ông có nội dung như sau: “khi nung nóng một mẫu vật rắn kết tinh bất kỳ, để làm nó tăng thêm 10K thì mỗi hạt cần phải thu một năng lượng

V

T

E T

Để giải thích sự kiện này bằng lí thuyết ta phải sử dụng một định luật Vật Lý

cổ điển, đó là: “sự phân bố đều năng lượng chuyển động nhiệt cho số bậc tự do của phân tử”

Theo định luật Bônzơman: “năng lượng chuyển động nhiệt ứng với mỗi bậc

tự do của mỗi phân tử đều bằng nhau và bằng K B T

Năng lượng chuyển động nhiệt của mỗi hạt: E d K B T K B T

2

3 2

T K T K T K E E

2

3 2

Kcal R

T

E T

E

6 3 ) ( )

Sau đây là các giá trị đo tại nhiệt độ phòng thí nghiệm tại t = 200C

Theo bảng này, định luật là đúng cho rất nhiều chất tại nhiệt độ phòng thí

nghiệm Sự sai lệch giữa kim cương và Bo có thể giải thích là do nhiệt độ phòng

chưa đủ cao đối với chúng, để cho dao động được coi là độc lập

Khi nhà Vật Lý Nerst thực hiện thí nghiệm ở nhiệt độ khác nhau thì thấy: ở nhiệt độ cao, thường thì CV là hằng số nhưng khi xét ở nhiệt độ thấp và siêu thấp thì CV = f(T), giảm theo nhiệt độ hay ta nói “nhiệt dung không phải là một hằng số nếu vật ở nhiệt độ thấp”

Đồ thị biểu diễn CV theo nhiệt độ như sau:

CV

Siêu thấp thấp cao T0K

Hình 3.1

Riêng đối với kim loại mà ta đã biết có chứa các electron chuyển động nhiệt

trong toàn mạng, ngoài các hạt là những iôn tại nút Thí nghiệm cho thấy rằng nhiệt dung kim loại có giá trị không khác gì so với các chất rắn khác Trong khi đó thì Vật Lý cổ điển lại cho rằng mỗi nguyên tử kim loại trung bình cho một electron tự

do Số lượng electron tự do có trong 1 Kmol kim loại là N = N0

Năng lượng toàn phần của 1 Kmol kim loại:

cương Bo

Nhiệt dung

CV =

đô Kmol

Kcal

.

6.14 6.36 5.91 6.11 1.35 2.51

RT T

K N T K N T K N

2

9 2

9 2

Tóm lại:

 Định luật Đulông-Pơtit bảo rằng nhiệt dung riêng của vật rắn là một hằng

số tại mọi điểm chỉ phù hợp với thực nghiệm tại các nhiệt độ thường (của phòng thí nghiệm) và nhiệt độ cao mà thôi

 Tại miền nhiệt độ thấp (cỡ 3000K trở xuống) thì nhiệt dung riêng giảm theo nhiệt độ

 Ở nhiệt độ gần 00K thì nhiệt dung riêng giảm nhanh theo định luật T3 với điện môi và theo T với kim loại

3.2 Nhiệt dung riêng theo lý thuyết cổ điển

a Mô hình:

 Mỗi nút mạng là dao động tử điều hòa

 Tinh thể có 3N dao động điều hòa

b Tính nhiệt dung riêng:

Ta có năng lượng trung bình của một dao động điều hòa:

2 2 2

2

1 2

1

x m mv

2 2 2 2

2 2

2

) (

exp

2

) (

exp ) (

2

dxdv kT

v v m

dxdv kT

v v m v

v m E







2 2 2

2

0

2 0

2 2

2 exp

2

exp 2 2

exp

2

exp 2

dx kT

v m

dx kT

v m v

m

dv kT mv

dv kT

mv mv

2

2 2





u

du m

) exp(

) exp(

2

du u u

du u u

kT E

Theo định nghĩa và tính chất của hàm Gamma ta có:

dx x x

(

0 1





  

) 1 ( ) 1 ( ) (    

 n n n





 ) 2

1 (

kT kT

) 2 3 ( 2

Năng lượng U của hệ gồm 3N dao động tử điều hòa U = 3NkT

cal R

k N

6 3

3  



3.3 Nhiệt dung riêng theo lý thuyết của Einstein

Để giải thích sự sai lệch giữa lý thuyết và thực nghiệm của nhiệt dung riêng chất rắn tại miền nhiệt độ thấp Năm 1907 Einstein đã xuất phát từ thuyết lượng tử