LUẬN văn sư PHẠM vật lý cấu tạo NGUYÊN tử và hệ THỐNG TUẦN HOÀN các NGUYÊN tố hóa học

Tuy nhiên trong thế kỉ 19 các nhà hóa học vẫn coi nguyên tử là hạt nhỏ nhất của vật chất, không thể phân chia ñược.. Để ñưa vật lí học ra khỏi sự bế tắc về sự “khủng hoảng tử ngoại”, Max

ĐỀ TÀI CẤU TẠO NGUYÊN TỬ

VÀ HỆ THỐNG TUẦN HOÀN CÁC NGUYÊN TỐ HÓA HỌC

Luận văn tốt nghiệp Ngành : SƯ PHẠM VẬT LÍ

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Thầy HOÀNG XUÂN DINH NGUYỄN THỊ KIM ÁNH

Lớp: SP Vật Lí- K32

Mã số SV: 1060101

Cần Thơ, 2010

LỜI CẢM ƠN

۝

Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu và làm việc nghiêm túc, tôi ñã hoàn thành luận văn của mình Để ñạt ñược ñiều này, tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp ñỡ tận tình của thầy Hoàng Xuân Dinh, quý thầy cô ở bộ môn Vật Lý, cảm ơn sự ñộng viên khích lệ của gia ñình và bạn bè trong lớp

Với tất cả mọi sự cố gắng của mình, tôi hi vọng cuốn luận văn sẽ mang ñến cho người ñọc những ñiều mới mẻ Mặc

dù vậy, luận văn này chắc hẳn sẽ có nhiều thiếu sót, tôi rất mong

ñược sự góp ý của quý thầy cô và các bạn bè ñể ñề tài này ngày

càng hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn

Cần Thơ, ngày 11 tháng 3 năm 2010 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Kim Ánh

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Môn vật lí nguyên tử và hạt nhân là một môn học rất quan trọng bởi lẽ mọi vật xung quanh ta ñều ñược xây dựng từ những“viên gạch”- nguyên tử Nhưng phải chăng ñó là những viên gạch cuối cùng của lâu ñài vật chất? Phải chăng nguyên tử giống như một hòn bi thu nhỏ ñến kích thước 10-8 cm và không thể phân chia ra nhỏ hơn nữa? Muốn trả lời hết những câu hỏi trên thì ta phải hiểu ñược cấu tạo của nguyên tử Hơn thế nữa, sau khi hiểu cấu tạo của nguyên tử thì vấn ñề khó khăn trong việc tìm hiểu quy luật tuần hoàn của các nguyên tố ñã ñược giải quyết Khi tôi còn học ở trường phổ thông, tôi thường ñặt nhiều câu hỏi Chẳng hạn như: khi cầm bảng tuần hoàn trên tay ta hiểu gì về nó? Các nguyên tử cấu tạo như thế nào ñể các nguyên tố có ñược sự tuần hoàn như vậy? Bây giờ khi học môn vật lí nguyên tử và hạt nhân tôi rất thích thú vì những câu hỏi trên sẽ ñược giải ñáp

Những thắc mắc của bản thân, cộng với nhu cầu cần làm quen dần với phương pháp tự nghiên cứu ñể bổ sung kiến thức, một ñiều rất cần thiết cho sinh viên sau khi ra trường Tôi ñã quyết ñịnh chọn ñề tài “cấu tạo nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố”

2 MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI

Nghiên cứu cấu tạo của nguyên tử và giải thích ñược quy luật tuần hoàn của các nguyên tố hóa học

3 GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Nghiên cứu cấu tạo của nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố là vấn ñề sâu và rộng Vì thế ñối với nguyên tử nhiều ñiện tử tôi chỉ dừng lại ở phần tìm năng lượng của hàm sóng

4 PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

-Nghiên cứu lí thuyết, phân tích và tổng hợp các tài liệu

-Sử dụng sách, báo, khai thác thông tin trên Internet ñể tìm hiểu về vấn ñề cấu tạo nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

-Bước 1: nhận ñề tài

-Bước 2: nghiên cứu tài liệu liên quan ñến ñề tài

-Bước 3: tiến hành viết ñề cương và trao ñổi với giáo viên hướng dẫn

-Bước 4: viết luận văn

NỘI DUNG

Phần I: CẤU TẠO NGUYÊN TỬ

I.1 Sự phức tạp của nguyên tử

Khái niệm nguyên tử ñã ñược Democritus ñề ra từ thế kỉ thứ 5 trước công nguyên, tuy nhiên ñó mới chỉ là một khái niệm triết học Đến ñầu thế kỉ 19 học thuyết nguyên tử

do Dalton ñề xuất mới trở thành một nền tảng vững chắc của khoa học hóa học Sau ñó người ta ñã xác ñịnh ñược khối lượng nguyên tử tương ñối của các nguyên tố theo chiều tăng dần khối lượng nguyên tử Tuy nhiên trong thế kỉ 19 các nhà hóa học vẫn coi nguyên tử là hạt nhỏ nhất của vật chất, không thể phân chia ñược Đến cuối thế kỉ 19 các nhà khoa học mới phát hiện ra nhiều hiện tượng thực nghiệm chứng tỏ nguyên tử có cấu tạo phức tạp

I.1.1 Các hạt cơ bản tạo thành nguyên tử

I.1.1.1 Sự khám phá ra electron

Sự khám phá ra electron, mở ñầu cho quá trình nghiên cứu cấu tạo nguyên

tử, gắn liền với các thí nghiệm phóng ñiện qua khí loãng ñược tiến hành vào nửa sau thế

kỉ thứ 19 Trong một ống thủy tinh có gắn hai ñiện cực, ñã ñược hút chân không rất tốt (áp suất ñạt tới dưới một vài phần trăm Torr) Khi tạo ra một hiệu ñiện thế rất cao (cỡ vài vạn vôn trở lên) giữa hai ñiện cực thì cực âm (catôt) phát ra một chùm tia không nhìn thấy ñược nhưng khi chùm tia ñập vào thành thủy tinh thì phát sáng, khi ñập vào màn chắn có phủ ZnS thì trên màn chắn xuất hiện màu xanh lục Chùm tia này ñược gọi là tia

âm cực hay tia catot Chùm tia âm cực có thể làm quay cái chong chóng nhẹ ñặt trên

ñường ñi của nó và nó bị lệch trong một từ trường hay ñiện trường chứng tỏ ñó là một

dòng hạt vật chất Đó là những hạt nhỏ mang ñiện âm (dựa vào chiều lệch trong từ trường

và ñiện trường) Các hạt tạo thành dòng tia âm cực ñược gọi là electron

Vào những năm bản lề giữa thế kỉ 19 và thế kỉ 20, nhà vật lí học người Anh Thomson ñã tiến hành những thí nghiệm ño ñộ lệch của tia âm cực trong ñiện trường và

từ trường Nhờ vậy ông ñã xác ñịnh ñược vận tốc của hạt trong tia âm cực là vào khoảng 2.107 ms-1 và tỉ số ñiện tích so với khối lượng của hạt ñó bằng -1,76.108 c.g-1 Sau ñó trong một loạt thí nghiệm tiến hành từ những năm 1908 ñến 1917, nhà vật lí học Mỹ Millikan ñã xác ñịnh ñược ñiện tích electron tức là ñiện tích sơ cấp bằng -1,6.10-19 C Như vậy khối lượng của electron là:

m e

8

19

10 09 , 9 10 76 , 1

10 6 ,

Khi dùng các kim loại khác làm âm cực người ta ñều thu ñược tia âm cực tức là electron

có mặt trong tất cả các nguyên tử của mọi nguyên tố

I.1.1.2 Sự khám phá ra proton

Hạt này do Rutherford khám phá ra năm 1911 theo phản ứng sau:

42He+147 N →178 O+11 H

Bằng các phép ño chính xác Rutherford ñã xác ñịnh ñược khối lượng của proton là

mp=1,00728 ñvC Proton mang ñiện dương (proton có một phần lõi nặng ở tâm, mang

khoảng 10% điện tích) Phần điện tích cịn lại phân bố ở phần giữa và ở phần ngồi (cả 3 phần đều mang điện dương)

I.1.1.3 Sự khám phá ra notron

Năm 1930 Bothe thấy rằng dùng hạt α bắn phá vào hạt nhân Berili (4Be9) thì sinh ra những tia cĩ khả năng đâm xuyên sâu rất lớn Lúc đầu người ta cho rằng những tia ấy là tia γ cứng được phát ra khi hạt nhân mới sinh ra là 6C13 chuyển từ trạng thái kích thích về trạng thái bình thường Phương trình phản ứng biểu diễn như sau:

4Be9+2He4→(6C13)*→(6C13)+γ

Trong giả thiết này thì photon (γ) sinh ra cĩ năng lượng khoảng 7 Mev

Năm 1932 ơng bà Joliot Curie thấy rằng tác dụng ion hĩa của các tia mới tìm thấy này tăng lên rất nhiều nếu chúng đi qua lớp paraphin (chứa nhiều nguyên tử hydro) Từ thí nghiệm này họ tính tốn năng lượng của photon(γ) khoảng 55 Mev chứ khơng phải là 7 Mev như nĩi ở trên

Để giải quyết mâu thuẩn trên, năm 1932 Chadwick giả thiết rằng tia sinh ra khi đập vào Be khơng phải là tia γ (photon) mà là các hạt trung hịa, cĩ khối lượng bằng khối lượng của proton và ơng đặt tên là notron (kí hiệu n)

4Be9+2He4→6C12+0n1 Notron khơng mang điện (vì phần lõi và phần giữa mang điện âm, phần ngồi mang điện dương) Về giá trị, hai lượng điện tích âm và dương bằng nhau Do đĩ nơtron trung hịa điện, nên ít tương tác với các nguyên tử ở cạnh đường bay của nĩ, vì vậy độ đâm xuyên lớn và khả năng ion hĩa kém Khối lượng của nơtron bằng 1,00867

đvC

Hơn nữa cịn cĩ những thí nghiệm của W.Rontghen phát hiện ra tia X Giáo

sư vật lí A Becquerel đã phát hiện ra hiện tượng phĩng xạ

Ngồi các phát minh đã nêu cịn cĩ những hiện tượng khác chứng tỏ nguyên tử rất phức tạp

I.1.2 Mơ hình nguyên tử cĩ hạt nhân

Vào những năm 1900 sự phức tạp của nguyên tử đã là điều hiển nhiên và mọi người đều chấp nhận rằng mỗi nguyên tử đều cĩ electron và đều trung hịa về điện Cho đến 1910, Rutherford đã quyết định dùng hạt α để thăm dị cấu tạo của nguyên tử Ơng dùng tia α phát ra từ nguồn phĩng xạ bắn vào những lá vàng và các lá kim loại mỏng Các nhà nghiên cứu nhận thấy rằng hầu hết các hạt α đều xuyên qua lá vàng mà khơng bị lệch hướng hoặc lệch rất ít , điều đĩ chứng tỏ khơng gian trong nguyên

tử phần lớn là khơng gian trống Tuy nhiên họ nhận thấy thỉnh thoảng cĩ một hạt bị lệch rất mạnh, thậm chí cĩ hạt hầu như bị bật trở lại

Để giải thích kết quả này Rutherford đã đốn nhận bên trong nguyên tử phải cĩ một điện

trường cực mạnh được sinh ra bởi điện tích dương tập trung trong một thể tích rất nhỏ và

cĩ khối lượng rất lớn mới cĩ thể làm cho một số hạt α bị lệch với những gĩc lớn Electron phải quay xung quanh hạt nhân theo quỹ đạo trịn với tốc độ phù hợp để tạo ra lực li tâm cân bằng với lực tĩnh điện

Mơ hình nguyên tử cĩ hạt nhân của Rutherford tuy đã giải thích được thí nghiệm tán xạ α nhưng lại gặp khĩ khăn đĩ là electron quay đều đặn xung quanh hạt nhân giống như một dao động điện nên sẽ phát ra sĩng điện từ, tức là mất năng lượng và

cuối cùng electron phải rơi vào hạt nhân Để giải quyết khó khăn ấy cần phải có mô hình mới

I.2 Mô hình của nguyên tử Bohr

I.2.1 Lượng tử năng lượng

Theo vật lí học kinh ñiển thì tự nhiên không có những bước nhảy vọt Trong trường hợp chung, các ñại lượng vật lí ñều có thể biến thiên một cách liên tục, nghĩa là

có thể nhận bất cứ giá trị nào ñó Đối với trường hợp bức xạ ñiện từ thì một dao ñộng tử tích ñiện có thể phát ra hay hấp thụ năng lượng một cách liên tục, nghĩa là với bất cứ giá trị năng lượng nào Để ñưa vật lí học ra khỏi sự bế tắc về sự “khủng hoảng tử ngoại”, Max Plank ñã ñưa ra một quan ñiểm khác với quan ñiểm trên và cho rằng một dao ñộng

tử dao ñộng với tần số υ chỉ có thể bức xạ hay hấp thụ năng lượng từng ñơn vị gián ñoạn, từng lượng tử nhỏ một nguyên vẹn, gọi là lượng tử năng lượng ε; lượng tử năng lượng này tỉ lệ với tần số υ của dao ñộng tử:

ε=hυ

Hệ số tỉ lệ h gọi là hằng số Planck

h= 6,6256.10-27éc.s=6,6256.10-34 J.s

Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Planck là ñã phát hiện ra tính chất gián

ñoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô Năng lượng của ñiện tử

trong nguyên tử, năng lượng quay, năng lượng dao ñộng của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân tử, v.v…Tiếp theo thuyết lượng tử Planck, người ta còn phát hiện

ra là tính chất gián ñoạn hay tính chất lượng tử không phải chỉ là ñặc tính riêng của năng lượng mà là tính chất chung của nhiều ñại lượng vật lí khác Thí dụ, ñối với chuyển ñộng của ñiện tử trong nguyên tử thì ngoài năng lượng, các ñại lượng vật lí khác như momen

ñộng lượng, hình chiếu của momen ñộng lượng ñều nhận những giá trị gián ñoạn xác ñịnh

Riêng ñối với trường hợp dao ñộng trên, theo thuyết lượng tử Planck thì năng lượng của dao ñộng tử dao ñộng với tần số υ chỉ có thể nhận những giá trị gián ñoạn: 0,hυ, 2hυ, 3hυ, 4hυ…

Nghĩa là bội số nguyên lần lượng tử năng lượng ε=hυ;

E=nε=nhυ (n=0,1,2,3…)

Mô hình nguyên tử của Rutherford không thể giải thích ñược quang phổ vạch của nguyên tử hydro cũng như của các nguyên tử khác, chứng tỏ mô hình ñó còn chưa phản ánh ñược những ñặc ñiểm quan trọng của cấu tạo nguyên tử Để giải quyết vấn ñề này nhà bác học Đan Mạch Niels Bohr, học trò của Rutherford ñã áp dụng quan niệm lượng tử của Planck vào lí thuyết cấu tạo nguyên tử, nhờ vậy ñã giải thích thành công quang phổ nguyên tử hydro

I.2.2 Mô hình nguyên tử Bohr

Trong nguyên tử electron không thể quay trên quỹ ñạo bất kì mà chỉ có thể quay trên những quỹ ñạo xác ñịnh gọi là quỹ ñạo dừng Khi quay trên quỹ ñạo dừng năng lượng electron ñược bảo toàn (ñiều này trái với lí thuyết ñiện ñộng lực học cổ ñiển)

Nguyên tử chỉ hấp thụ hay giải phóng năng lượng khi electron chuyển dời từ quỹ ñạo dừng này sang quỹ ñạo dừng khác Nếu gọi E ,E là năng lượng của electron

trên quỹ ñạo trước và sau khi chuyển dời, ∆E là hiệu của hai mức năng lượng thì lượng tử năng lượng của bức xạ ñiện từ ñơn sắc bị hấp thụ hay giải phóng sẽ là:

Ta hãy áp dụng lí luận của Bohr cho nguyên tử hydro và các ion tương tự hydro như một

hệ gồm electron mang ñiện tích –e và hạt nhân mang ñiện tích +Ze

Khi áp dụng giả thiết thứ nhất Bohr cho rằng quỹ ñạo dừng là quỹ ñạo mà momen

ñộng lượng của một vòng quay là bội số nguyên của lượng tử của momen ñộng lượng,

, ν là vận tốc của electron, n là số nguyên, về sau là lượng tử số chính, r

là bán kính quỹ ñạo Khi n=1 electron quay ở quỹ ñạo gần hạt nhân nhất

Khi quay trên quỹ ñạo như vậy electron cũng chịu tác dụng của hai lực cân bằng là lực li tâm bằng

πε Z là ñiện tích hạt nhân khi

lấy trị tuyệt ñối của ñiện tích dương (e) làm ñơn vị,ε0 là hằng số ñiện môi của chân không

mZe

h

n (♣) Đối với nguyên tử hydro, Z=1, bán kính của quỹ ñạo gần nhân nhất khi n=1,

8 1

h

e mZ n

E n

ε

−

= (2-5)

Khi n hữu hạn En có giá trị âm Khi n→∞ thì En→0 Do ñó mức 0 là mức năng lượng của electron tự do

Khi quay trên quỹ ñạo thứ nhất của nguyên tử hydro, electron có năng lượng là:

2 2

0

4 1

me E

ñến 10-8 s, rồi electron trở về quỹ ñạo có n=1 bằng nhiều cách, ñồng thời phát ra bức xạ

ñiện từ mà ta thu ñược dưới dạng các vạch phổ

Ngoài nguyên tử hydro, những hệ có một electron và một hạt nhân như các ion

He+, Li2+,Be3+,…cũng ñược nghiên cứu theo lí luận của Bohr và cho kết quả phù hợp giữa thực nghiệm và lí thuyết

Như vậy thuyết Bohr ñã thành công trong việc tính toán quang phổ của hệ nguyên tử có một electron

Sau ñó vào những năm 1916-1925 A.Sommerfeld (Đức) và những người khác

ñã xây dựng lí thuyết cấu tạo nguyên tử nhiều electron Ngoài quỹ ñạo tròn, Sommerfeld

còn giả thiết có những quỹ ñạo elip Khi ñó kích thước và cách phân bố các quỹ ñạo cũng tuân theo quy tắc lượng tử hóa, nhờ vậy ñã giải thích ñược một số hiện tượng trong quang phổ (cấu tạo tinh tế, sự tách vạch khi có từ trường, ñiện trường…)

Tuy nhiên thuyết Bohr- Sommerfeld thể hiện nhiều thiếu sót không ñáp ứng các yêu cầu của khoa học hiện ñại Trước hết quy tắc lượng tử này có tính chất áp ñặt, không ñược rút ra từ các ñịnh luật chung của cơ học và ñiện ñộng lực học Kết quả tính toán của thuyết này về cường ñộ và ñộ bội của vạch quang phổ không hoàn toàn phù hợp với kết quả thực nghiệm Một thiếu sót quan trọng nữa là thuyết Bohr-Sommerfeld không thể giải thích ñịnh lượng liên kết hóa học

Mặt khác sự phát hiện ra lưỡng tính sóng –hạt của vật chất và sự hình thành cơ học lượng tử ñã tạo ra một cơ sở mới vững vàng cho việc khảo sát nguyên tử và phân tử,

do ñó khoa học bước vào một thời ñại mới

I.3 Tính chất của hạt vi mô Cách miêu tả trạng thái vi mô Khái niệm cơ học lượng tử

I.3.1.Tính chất của hạt vi mô

Đối với hạt vi mô (như electron chẳng hạn) thì có tính chất là lưỡng tính sóng

-hạt

I.3.1.1 Tính chất sóng của hạt vi mô

Để hiểu rõ hơn về tính chất sóng của hạt vi mô ta làm thí nghiệm như sau:

Dùng một khẩu súng máy bắn ñạn thật vào một tấm bia như hình (H.3-1),

số lượng ñạn ñược phân bố ñều theo mọi phương Khi bắn qua khe 1 (bịt khe 2) ta ñược

ñường cong P1, biểu diễn số ñạn trúng vào bia Khi bắn qua khe 2 (bịt khe 1) ta ñược

ñường cong P2 Khi ñồng thời bắn qua cả hai khe ta ñược ñường cong P12, thí nghiệm chứng tỏ P12= P1+P2

Vậy số ñạn ñi qua hai khe ñộc lập nhau, chứng tỏ xác suất có tính tổng

Thay súng bằng nguồn sáng ñơn sắc và thay bia bằng màn chắn sáng như

hình (H.3-2) ψ1,ψ2 biểu diễn hàm sóng của ánh sáng ñi qua từng khe

| ψ1 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng qua màn quan sát khi cho ánh sáng ñi qua khe

1

| ψ2 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng trên màn quan sát khi cho ánh sáng ñi qua khe

2

| ψ12 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng trên màn quan sát khi cho ánh sáng ñồng thời

ñi qua 2 khe

Thí nghiệm chứng tỏ | ψ12 |2 ≠| ψ1 |2 +| ψ2 |2, ñiều này gây nên bởi sự giao thoa của hai chùm ánh sáng ở phía sau khe Ánh sáng tổng hợp là ψ12 =ψ1+ψ2 nhưng do

sự lệch pha về dao ñộng giữa 2 chùm tia nên:

Thay nguồn sáng bằng nguồn electron, thay màn chắn sáng bằng màn phát quang Mỗi electron ñập lên màn phát quang sẽ cho một chấm sáng Cường ñộ sáng tại một ñơn vị diện tích trên màn phát quang tỉ lệ với số electron ñập vào ñơn vị ñó trong một ñơn vị thời gian Thí nghiệm chứng tỏ số electron phân bố trên màn phát quang tỉ lệ với số electron ñập vào ñơn vị ñó trong một ñơn vị thời gian Thí nghiệm chứng tỏ số electron ñược phân bố trên màn phát quang giống như sự phân bố cường ñộ sáng trên màn chắn sáng và | ψ12 |2 ≠| ψ1 |2+| ψ2 |2 Tìm cách giảm số lượng electron ñi qua từng khe ñến mức chỉ còn từng electron lần lượt ñi qua khe ta thấy: khi số electron ñi qua khe còn ít thì các chấm sáng tản mạn trên màn, chỉ khi số lượng electron ñập lên trên màn ñủ lớn thì mới quan sát ñược ñầy ñủ hình ảnh nhiễu xạ

Kết quả thí nghiệm trên cho phép ta kết luận:

-Quy luật chuyển ñộng của các electron khác với quy luật chuyển ñộng của các viên ñạn, nghĩa là quy luật chuyển ñộng của các hạt vi mô khác với quy luật chuyển ñộng của các hạt vĩ mô

-Xác suất tìm thấy hạt ñược biểu thị bằng bình phương modun của hàm sóng Xác suất tìm thấy hạt qua khe 1 hoặc khe 2 là kết quả giao thoa của các hàm sóng

ψ1 và ψ2

-Số lượng electron tại một vị trí nào ñó trong không gian tỉ lệ với bình phương mô ñun của hàm sóng, quan niệm này cũng phù hợp với các photon

I.3.1.2 Tính chất hạt của hạt vi mô

Vật lí cổ ñiển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm ñối với các hiện tượng vật lí mà người ta ñã biết ñến cuối thế kỉ XIX, nó là hệ thống hoàn chỉnh và chặt chẽ trong phạm vi ứng dụng của nó

Theo cổ ñiển thì các loại bức xạ như tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại, tia Rơntghen, tiaγ ñều là sóng ñiện từ lan truyền trong không gian Năng lượng của sóng

thì tỉ lệ với bình phương biên ñộ nên chúng có thể có giá trị liên tục Nghĩa là một vật có thể phát ra hay thu vào (dưới dạng bức xạ) những lượng năng lượng tùy ý Do ñó giá trị năng lượng của một vật là tùy ý (giá trị ñó lắp ñầy trục số) Quan niệm này không thể chấp nhận ñược trong vật lí học hiện ñại, nó không giải thích ñược một số hiện tượng vật

lí mà ta gặp, chẳng hạn như bức xạ của vật ñen

Ta hãy dùng giả thuyết của Planck ở trên ñể giải thích hiệu ứng quang ñiện sau

ñây:

Sơ ñồ thí nghiệm ñược bố trí như hình vẽ (H.3-3) Chiếu ánh sáng ñơn sắc vào catot (K) thì có thể làm bật electron ra khỏi kim loại và có dòng ñiện trong mạch, ñó là dòng quang ñiện Thí nghiệm cho biết ñối với kim loại làm catot ta có:

Nếu ω< ω0 thì không có electron phát ra

Nếu ω>ω0 thì có electron phát ra

Trong ñó ω: tần số góc dao ñộng ñiều hòa của electron, ω0: giới hạn quang ñiện (giới hạn

ñỏ của kim loại làm catot

Động năng ban ñầu của electron phát ra phụ thuộc tuyến tính vào tần số ω chứ không phụ thuộc vào cường ñộ ánh sáng

Số electron phát ra phụ thuộc vào cường ñộ ánh sáng

Hiện tượng trên gọi là hiệu ứng quang ñiện Einstein ñã dựa vào giả thuyết của Planck và giải thích mĩ mãn hiện tượng này như sau:

Ông cho rằng ánh sáng là một dòng hạt photon, mỗi hạt mang một năng lượng bằng lượng tử ε

Nếu năng lượng của photon lớn hơn công thoát A ñể làm thoát electron ra khỏi kim loại thì có sự phát ra electron ra khỏi catot và có dòng quang ñiện chạy trong mạch

ε=hυ= ℏω = A+m e v ⇒ m e v = ℏω−A

2 2

2 2

Nghĩa là ñộng năng phụ thuộc tuyến tính vào tần số của ánh sáng

Vì mỗi photon chỉ tác dụng với một electron nên khi cường ñộ ánh sáng tăng (mật

ñộ hạt lớn) thì số electron bứt ra khỏi catot cũng tăng Tức số electron bứt ra khỏi catot

ℏ và chuyển ñộng với vận tốc c=3.108m/s trong chân không

Nếu ánh sáng là hạt photon thì photon cũng phải có xung lượng.Ta hãy tính xung lượng của photon

Theo Einstein thì mỗi hạt có năng lượng là ε và có hệ thức:

ε2

=p2c2+m02c4Với photon thì khối lượng nghỉ m0=0, do ñó ε=pc

Từ ñó ta suy ra:

p=

c c

h c

ωυ

ω

π

λπ = =

2 2

(3.2) Kết hợp (3.1) và (3.2) ta suy ra

ℏ

→

→

=k p

Là xung lượng của photon

Vậy chùm sáng có tần số ω, vectơ sóng là →k , coi như một dòng hạt photon có năng lượng

I.3.2 Cách miêu tả trạng thái vi mô

Theo cơ học cổ ñiển người ta ñã vẽ quỹ ñạo của hạt ñể mô tả trạng thái của hạt tức là hoàn toàn xác ñịnh ñược tọa ñộ và vận tốc của hạt và khi ñó ta cũng xác ñịnh ñược giá trị của tất cả các ñại lượng khác tại trạng thái ñã cho

Đối với hạt vi mô do có tính chất sóng trong chyển ñộng của chúng nên có thể

chứng minh ñược rằng tọa ñộ và vận tốc của hạt không thể xác ñịnh ñược ñồng thời và chính xác, do ñó không thể vẽ ñược quỹ ñạo chuyển ñộng của hạt Điều này ñược biểu diễn qua công thức:

Trong ñó: ∆x là ñộ bất ñịnh hay sai số của phép ño tọa ñộ theo trục x

∆P x là ñộ bất ñịnh hay sai số của phép ño thành phần ñộng lượng theo trục x

Vì vậy nếu ∆xchính xác thì ∆P x không chính xác và ngược lại

Từ ñó ñể mô tả trạng thái của hạt chuyển ñộng trong cơ học lượng tử người ta dùng tiên ñề sau:“ trạng thái chuyển ñộng của một hạt vi mô (hay một hệ hạt vi mô) ñược

mô tả bằng một hàm của tọa ñộ, kí hiệu là ψ(q) trong ñó q là kí hiệu tổng quát chỉ tọa ñộ của hạt Hàm số này ñược gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái

Ý nghĩa vật lí của hàm sóng: bình phương trị tuyệt ñối của hàm sóng tại một tọa ñộ xác

ñịnh |ψ(q)|2 biểu thị mật ñộ xác suất tìm thấy hạt (hay hệ hạt), tại một tọa ñộ q ñã cho

Từ việc tìm ra tính chất lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô cộng với tất cả những thiếu sót ñã dẫn ñến những mâu thuẩn và bế tắc cho lí thuyết Bohr ñã mở ñường cho một lí thuyết mới Đó là cơ học lượng tử- một lí thuyết có khả năng giải quyết chính xác và ñúng ñắn mọi hiện tượng và quy luật của thế giới vi mô xảy ra trong nguyên tử và hạt nhân Tuy thuyết Bohr chỉ tồn tại trong mười lăm năm, nhưng với những ý tưởng và thành công ñộc ñáo của mình, thuyết Bohr vẫn xứng ñáng là chiếc cầu nối không thể thiếu ñược của hai giai ñoạn phát triển của vật lí học, từ vật lí cổ ñiển sang vật lí lượng

tử

I.3.3 Khái niệm về cơ học lượng tử

Đối với các hạt vi mô, do tính chất sóng nên không còn khái niệm quỹ ñạo,

mặt khác việc xác ñịnh tọa ñộ và vận tốc của hạt luôn luôn nằm trong một tọa ñộ bất ñịnh nào ñó nên kết quả khảo sát mang tính chất thống kê Vì vậy cơ học lượng tử dùng phương pháp khảo sát khác dựa vào những khái niệm sau ñây:

i

Ae

u= ± −Trong ñó chỉ có phần thực là có ý nghĩa

Đối với sóng ĐơBrơi, mặc dù ta chưa xác ñịnh bản chất của nó nhưng có

thể áp dụng một cách hình thức biểu thức sóng phẳng trong cơ học của nó:

ψ(x,t)=A 2π(υ λ)

x t i

e± −

Từ công thức ĐơBrơi ta có:

υ=

h E

e± −

Hay ψ(x,t)=A (Et p x)

i

e±ℏ −

(3.3) Cần chú ý rằng trong cơ học lượng tử dùng hàm sóng dưới dạng phức là bắt buộc chứ không phải do thuận tiện, hay nói cách khác hàm sóng trong cơ học lượng tử

ψ

Hoặc:

) (

)

, , ,

i Et i

e Ae t z y

ψ

Nếu hạt chuyển ñộng trong trường trọng lực ta chỉ xét trường hợp trường lực thế dừng (thế năng U không phụ thuộc vào t) Ví dụ như electron chuyển ñộng trong nguyên tử dưới tác dụng của trường lực của hạt nhân Đương nhiên sóng ĐơBrơi không phải là sóng phẳng nữa Nhưng do trường lực là dừng nên trong biểu thức của hàm sóng, phần phụ thuộc vào thời gian ñược giữ nguyên Do ñó hàm sóng bây giờ có dạng:

(3.4)

(3.4) là nghiệm của phương trình Schrodinger

Hàm ψ(x,y,z) ñược gọi là hàm sóng chứa mọi thông tin về hệ, vì thế người

ta nói trạng thái của hệ ñược ñược mô tả bởi hàm sóng Bản thân hàm ψ không có ý nghĩa vật lí cụ thể, nhưng bình phương của nó |ψ(x,y,z)|2 thì có ý nghĩa là mật ñộ xác suất

có mặt của hệ tại tọa ñộ (x,y,z)

Đại lượng |ψ(x,y,z)|2 dxdydz là xác suất có mặt của hệ tại nguyên tố thể tích dV=dx.dy.dz bao quanh ñiểm (x,y,z)

I.3.3.2 Bộ ñầy ñủ của các ñại lượng vật lý

Đối với các hạt vi mô có tính chất sóng trong chuyển ñộng vì không thể xác ñịnh chính xác ñồng thời vận tốc và tọa ñộ của hạt nên cách mô tả trạng thái chuyển ñộng

của hạt trở nên kém chi tiết Do ñó ta chỉ có thể xác ñịnh chính xác một số ñương lượng vật lí ñặc trưng cho trạng thái của hệ

Trong chương này ta xét cấu tạo nguyên tử tức là xác ñịnh ñược trạng thái của ñiện tử ở trong nguyên tử Trong nguyên tử, ñiện tử chuyển ñộng trong trường ñối xứng tâm do ñiện tích dương của hạt nhân gây ra Nên bộ ñầy ñủ các ñại lượng vật lí ñặc trưng cho trạng thái của ñiện tử là: năng lượng, ñộ lớn của momen ñộng lượng, hình chiếu của momen ñộng lượng và hình chiếu của momen ñộng lượng spin

I.3.3.3 Phương trình Schrodinger

Cơ học lượng tử ñược xây dựng từ một số cơ sở (hàm sóng, toán tử, phương trình hàm riêng trị riêng, nguyên lí chồng chất) ñòi hỏi phải có sự chuẩn bị toán

học công phu Ở ñây chỉ giới thiệu phương trình sóng và kết quả áp dụng phương trình

sóng khảo sát một số hệ ñơn giản và nguyên tử

Trong cơ học lượng tử, các quy luật chuyển ñộng của hạt vi mô ñược biểu diễn bằng phương trình sóng Phương trình này có vai trò như các ñịnh luật Newton trong

cơ học cổ ñiển Phương trình sóng ñược thiết lập vào năm 1926 bởi Erwin Schrodinger,

),,( ),,,

nhà bác học người Áo giảng dạy tại trường ñại học tổng hợp Berlin, bằng cách so sánh sự tương ñồng giữa sóng liên kết của hạt chuyển ñộng với quá trình truyền sóng quang học

Phương trình sóng của Schrodinger là phương trình vi phân ñạo hàm riêng

Đối với một hạt chuyển ñộng trong không gian ba chiều, dưới tác dụng của một trường

ngoài (ví dụ ñiện trường), phương trình Schrodinger có dạng:

ψψψ

∂

∂+

∂

∂

−

2 2 2 2 2 2 2 2

∂

∂ +

∂

∂

z y x

ñược gọi là toán tử Laplace, ñó là phép toán lấy ñạo hàm bậc hai ñối với hàm sóng

Phương trình Schrodinger có thể viết gọn thành:

h

H∧ = − ∇ 2 +

2 2

8π

Hay viết gọn hơn:

V m

H∧ = − ∇ 2 +

2

2 ℏ

Tùy theo từng hệ số cụ thể, toán tử thế năng và do ñó toán tử H∧ có dạng tương ứng, khi ñó có phương trình Schrodinger tương ứng của hệ Giải phương trình Schrodinger ta sẽ ñược nghiệm là hàm ψ(x,y,z) cùng với năng lượng E tương ứng

Như vậy cấu tạo nguyên tử theo quan ñiểm cơ học lượng tử là hoàn thiện nhất Bây giờ ta bắt ñầu nghiên cứu các nguyên tử từ ñơn giản ñến phức tạp

I.4 Nguyên tử một electron

Trong trường hợp gần ñúng có thể coi như hạt nhân ñứng yên vì có khối lượng lớn, trọng tâm của hệ nguyên tử trùng với tâm của hạt nhân và lấy tâm hạt nhân làm gốc

tọa ñộ Khi ñó ta chỉ xét chuyển ñộng của electron trong không gian dưới tác dụng của ñiện trường gây ra bởi ñiện tích của hạt nhân (trường Culông) Xét hạt có khối lượng m0

chuyển ñộng trong một trường lực có thế năng V(r) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ gốc tọa ñộ Bây giờ ta tìm phương trình chuyển ñộng của electron này

I.4.1 Phương trình Schrodinger

Ta ñã biết toán tử năng lượng có dạng:

) ( 2

2 2

r V m

2 1 3 2

2

1 3 2 1

1

3 2 1 3 2 1

2

q h

h h q q

h

h h q q h

h h q h h

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

2 2

) ( ) ( ) (

i i

i i

q

z q

y q

x h

∂

∂ +

∂

∂ +

(sin sin

1 1 ) (

1

2 2 2 2 2

2

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

r

r r r

r r r

VậyH∧ trong tọa ñộ cầu là:

∧

2 ) ( 1 2

2 2 0

2 2

2 0

2

r V r

m r

r r r

,,()(),(2

)(2

2 2 0

2 2

2 0

2

ϕθψϕ

θψϕ

r m r

r r r

Đây là phương trình Schrodinger cho nguyên tử một electron

I.4.2 Giải phương trình Schrodinger ñể tìm năng lượng của hàm sóng

Ta ñã biết:

) , (

2 2

) 1 (l+ ℏ

l , mℏ của 3 toán tử trên là ψ , , ( ) m(θ,ϕ)

l l n m l

m l l n n m l l n m

l l n m

l l

n R Y V r R Y E R Y

r m

L Y

R r

r r r

2 ,

2 2 0

2

) ( 2

) ( 1

n l

n R V r R E R

r m

L R

r

r r r

2 ,

2 2 0

2

) ( 2

) ( 1

1 ) (

1

2 2

2 2

2

r r r

r r r r r

r r r

χχχ

Tiếp tục biến ñổi ta ñược:

1 ) (

1

2 2

r

r r r r r

r r

2 2

r r

r r

l l r r

χχ

) 1 (

2 2

2 2

l l r V E dr

d r

2

2 0

2 2

0 2

−

χ

r m

l l r V E m dr

r m

l l r

V + + ℏ thì phương trình trên trở thành:

2

2 0 2

d

l n

ℏ

Đây là phương trình Schrodinger một chiều với thế năng V l(r) Ta giả thiết rằng khi r→0

thì V l(r)→∞ chậm hơn 12

r

Do ñó khi r≈0 thì thế năng ñã bằng vô cùng rồi Tức là hạt không bao giờ tới

ñược trường (r=0) Nghĩa là hàm sóng χ(r)=rR(r)=0 khi r=0 Như vậy bài toán xuyên tâm trở thành bài toán một chiều với ñiều kiện χ(r)=0 khi r=0

Bây giờ ta giải phương trình (4.2) với trường hợp r nhỏ Khi ñó so với số hạng

2 2

d

2

rR r

l l rR dr

d dr d

r

l l R dr

d r R dr d

r

l l dr

R d r R dr

d R dr d

R d r R dr d

Nhân hai vế của phương trình trên với r và biến ñổi ta ñược:

0 ) 1 (

d r

⇔ ( 2 R) −l(l+ 1 )R= 0

dr

d r dr

r d r dr

d

( s+1) − ( + 1 ) s = 0

r l l sr dr

Ta ñã tìm ñược phần phụ thuộc r của hàm sóng dưới dạng tổng quát

Nguyên tử hydro và các ion tương tự mang ñiện tích +Ze ở hạt nhân và có một electron bay xung quanh hạt nhân Lực tương tác giữa electron và hạt nhân là lực hút

tĩnh ñiện có biểu thức tính là:

F= 2

2

r Ze

Lực này có thế năng là V(r) Ta hãy tìm hiểu biểu thức của V(r)

Vì F→là lực thế chỉ phụ thuộc vào r nên ta có

→ -Fdr=-dV( F→ngược chiều với r→0 )

Hay

Vì hạt nhân có khối lượng lớn hơn khối lượng của electron nhiều nên ta coi hạt nhân ñứng yên Vậy bài toán chuyển ñộng của electron trong nguyên tử hydro và các ion tương

tự là bài toán chuyển ñộng trong trường xuyên tâm với thế năng có biểu thức như trên

Do ñó phương trình mô tả chuyển ñộng của electron như sau:

l l r V E m dr

d r dr

ℏ

n n

E m

=

α

|

|2

2 0

2

n n

E

m Ze

2 0 2

2 2

n

n n

n n

n n n

q R q

l l q

Ze K E m dq

d q dq

d

2 2

2 0 2

⇔

n n

n n

q R q

l l q

Ze K E m dq

d q dq

1

2 0

2 2

n

q R q

l l E m q

Ze K E E dq

d q dq

d

2 4

1 ) (

1

2 0

2 2

q R q

l l E

m q

Ze K dq

d q dq

d

V r

Ze K

dV dr

r KZe

dV dr r

Ze K

1

( 1) ( ) 0

4

1 ) (

1

2 2

l l q dq

d q dq

4

1)(

d q dq

d q

4)2

(1

2

2 2

dq

R d q dq

dR q q

dq

R d dq

dR q

Vì q lớn nên ta bỏ qua số hạng ñầu và ñược:

R’’-( 2

) 2

1

R=0 Phương trình này có nghệm là R= 2

, 2

q l l n

−

= vào (4.5) ta ñược:

0 ) ( ) 1 (

) ( ) 2 2 ( )

, ''

Giải phương trình này ta tìm ñược V n,l(q)và thay vào biểu thức của R n,l(r) ta tìm ñược

hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro ñối với phần phụ thuộc r

Muốn giải ta phải ñặt:

) (

, q

V n l = i

i

i q a

không thể kéo dài ñến vô hạn ñược Điều này ñòi hỏi các hệ số của phương trình

vi phân trên phải thỏa mãn những ñiều kiện nhất ñịnh Ta phải nghiên cứu các ñiều kiện

ấy

Ta có:

1 1

n q ia q V

2 2

n q i i a q V

Thay vào (4.6) ta ñược:

0 )

1 (

) 2 2 ( )

1 (

0 1

1 1 2

=

−

− +

− + +

i i

i i

i

i q ia l q q l a q a

i

0 1

1 1

1 2

=

−

− +

− +

n i

i i i

i i i

i

i q ia l q ia q l a q a

) 1

k

k q a k k

k

k

k q a k k

Số hạng thứ 2:

k k

k l q a

k

∑∞

+ +

0

1 ( 2 2 ) )

1 (

k k k

k k i

i

i q ka q ka q ia

(i cũng như k mà thôi)

Số hạng thứ tư:

k k

k k

a k

) 1 (

) 2 2 )(

1 ( ) 1 (

) 1 (

) 1 (

+ + + +

l k k

k

l k

a a

l k

a l

k k

k a

n k

k

n k

k

λ

λ

Đây là công thức truy toán ñể tìm hệ số ak

Như trên ta ñã ñưa ra ñiều kiện vật lí là chuỗi ak phải ngắt ở một số hạng nào ñó chứ

không kéo dài ñến vô cùng ñược Chẳng hạn chuỗi bị ngắt ở số hạng k=p Khi ñó a(p+1)=0

p-(λn-l-1)=0 → λn=p+l+1 là một số nguyên dương (p,l là các số nguyên), ta ñặt là n

Vậy n=p+l+1→n≥(l+1) ñối với mỗi giá trị l ñã cho

Từ ñó suy ra

n=

|

|2

0 2

n n

E

m Ze K

2Z e m K

Đó là mức năng lượng của electron trong nguyên tử hydro (cũng là của nguyên tử) và các

ion tương tự Ta thấy rằng các mức năng lượng này bị lượng tử hóa theo các số nguyên n Với: k=

8

1

h

m e Z

−Trong quá trình giải xuất hiện các biến số lượng tử, ta sẽ ñi tìm hiểu các biến số lượng tử

này

I.4.3 Các số lượng tử- Bộ ñầy ñủ của các ñại lượng vật lí

Việc tìm những nghiệm thỏa mãn ñiều kiện ñơn trị, giới nội và liên tục của

hàm sóng làm xuất hiện những tham số nguyên, gọi là các số lượng tử:

- Số lượng tử chính: n=1,2,3…

- Số lượng tử phụ: l=0,1,2…,n-1

- Cuối cùng là số lượng tử từ m Bây giờ ta ñi tìm giá trị của m mà nó có thể

ñạt ñược qua việc tìm trị riêng của momen ñộng lượng

Để tìm trị riêng của momen ñộng lượng (L z

∧chẳng hạn), ta phải giải phương trình trị riêng của chúng Gọi ψ(r,θ,ϕ) là hàm riêng của toán tử L z

∧, thì ta có phương trình trị riêng là:

L , z ℏ

Hay:

∧ +

∧

∧ +

∧

∧ +

∧ +

∧ +

∧

∧

∧ +

= +

L L

L L L

z z

z z

ℏ ℏ

Cho 2 vế của phương trình toán tử này tác dụng lên hàm riêng ψm(r,θ,ϕ) của L∧z và cũng

là của L∧ ta ñược:

) )(

1 ( ) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

m m

z

m z m m

z

m z m m

z

L m L

L

L L L

L m

L L L

L L

ψψ

ψψ

ψ

ψψ

ψ

∧ +

∧ +

∧

∧ +

∧

∧ +

∧

∧ +

∧

∧ +

∧

∧ +

+

=

→

= +

→

= +

ℏ

ℏ ℏ

ℏ

Nghĩa là (L∧+ψm) là hàm riêng ứng với trị riêng ℏ (m+ 1 ) của L z

Vì mℏlà trị riêng của L∧z nên m không thể bằng vô cùng ñược Nghĩa là m phải ngắt ở

giá trị lớn nhất nào ñó Gọi l là giá trị lớn nhất của m thì:

0

) 1

8

1

h

m e Z

8

1

h

m e

n ε

−Nếu biểu diễn ra eV ta có công thức sau ñây:

En= 132,6

n

−

Từ công thức này ta suy ra ñược các hệ quả sau:

Vì n là những số nguyên dương nên năng lượng của electron trong nguyên tử chỉ

có thể nhận những giá trị gián ñoạn Ứng với mỗi giá trị n ta có một mức năng lượng, khi

n càng lớn trị số En càng cao (càng gần 0) và hiệu giữa hai mức năng lượng càng nhỏ,

cách chiếu sáng, phóng ñiện, nung nóng…) thì electron nhận thêm năng lượng và chuyển

lên mức cao hơn (En), nguyên tử chuyển sang trạng thái kích thích

Tuy nhiên trạng thái kích thích kém bền, chỉ tồn tại trong khoảng thời gian rất ngắn (cỡ phần triệu giây) sau ñó electron chuyển về mức năng lượng thấp E1 ñồng thời

giải phóng năng lượng ∆E dưới dạng bức xạ ñiện từ Ví dụ khi electron chuyển từ mức năng lượng n’ về mức n, sẽ phát ra một bức xạ có lượng tử năng lượng:

hυ=∆E =E n' −E n

Vì ∆E là những giá trị gián ñoạn (n và n’ là những giá trị gián ñoạn), nên υ sẽ là

những giá trị gián ñoạn và ta có thể giải thích ñược quang phổ vạch của các nguyên tử

−

∧

+ +

1 (

) ( 2

2 2 2

l l L

Dãy Laiman

E∞

Momen ñộng lượng →Llà một vectơ, nên muốn xác ñịnh ñầy ñủ vectơ→L thì ngoài

ñộ lớn của |→L| còn phải biết phương →Lvà chiều tức là phải biết ba hình chiếu của →L lên

ba trục x,y,z là Lx, Ly, Lz Nhưng theo nguyên lí bất ñịnh không thể xác ñịnh chính xác một cách ñầy ñủ vectơ →L mà chỉ có thể xác ñịnh ñược ñộ lớn |→L| và một trong 3 hình chiếu của nó

Thật vậy:

ψψ

ψ

ψψ

ψψ

ψ

ψψ

ψψ

ψ

ψψ

ψ

ψψ

ψψ

ψ

ψψ

ψψ

ψ

) (

) )

( (

) )

( (

)

( ) (

) (

) (

) (

) (

,

2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

x

y y

x y

x x y

y z

xz y

x z

xy y x

z z x zy

z y

zx x y

z z

yx x z

yz x y

y

z z

x z

y z

x y

z z

x y

z x

z y

z z

x z

y x

z z y

y

z z y i z

x x z i z

x x z i y

z z y

i

L L L L L

∂

∂ +

∂

∂

∂ +

∂

∂

∂

∂ +

ℏ

ℏ

ℏ

ℏ ℏ

ℏ ℏ

ℏ ℏ

I.4.3.3 Hình chiếu của momen ñộng lượng orbital lên trục z (L z )

Để tìm L z ta giải phương trình trị riêng của nó Gọi ψ(r,θ,ϕ) là hàm riêng

của toán tử L∧z Khi ñó phương trình trị riêng của toán tử L∧z có dạng:

∧

z

L ψ(r,θ,ϕ) =L z ψ(r,θ,ϕ) Trong tọa ñộ cầu thì phương trình trở thành:

) , , ( )

, ,

),(Trong ñó C(r,θ) là hàm tùy ý, ψ thỏa mãn ñiều kiện của hàm sóng Nghiệm phải ñơn trị ñối với ϕ Vì ϕ là biến số tuần hoàn biến thiên trong (0,2π) cho nên ñiều kiện ñơn trị có thể viết như sau:

ψ(r,θ,ϕ) =ψ(r,θ,ϕ+2π) Hay

ℏ ℏ

ℏ

ℏ ℏ

m L

L e

e e

z z

L i

L i L i

z

z z

2 cos(

1

2

) 2 (

π

π

π ϕ ϕ

Vậy Lz là những giá trị gián ñoạn ñặc trưng cho các phương khả dĩ của →Lcó chọn lọc và giá trị gián ñoạn trong không gian

Trong quá trình tìm năng lượng của nguyên tử ta ñã tìm ñược phần phụ thuộc r của hàm

sóng Sau ñây ta sẽ tìm hoàn chỉnh hàm sóng này tức là tìm phần góc của hàm sóng

I.4.4 Hàm sóng

I.4.4.1 Phần xuyên tâm R(r)

Tiếp tục phần giải tìm năng lượng của hàm sóng ta có phương trình:

qV n'',l(q) + ( 2 + 2l−q)V n',l(q) + ( λn−l− 1 )V n,l(q) = 0 (4.6) Nếu ta ñặt γ=(2l+1), λn=(n+2l+1), suy ra (λn −l− 1)=(n+l)=m thì phương trình (4.6) trở

thành:

qV m''γ(q)+(γ +1−q)V m'γ(q)+mV mγ(q)=0 (4.7) Thay kí hiệu Vmγ(q)=Lγm (q) thì (4.7) trở thành:

qL m''γ(q) + ( γ + 1 −q)L m'γ(q) +mLγm(q) = 0 (4.8) Phương trình (4.8) là phương trình Laguerre Nghiệm Lγm (q) của phương trình có dạng:

Là ñạo hàm cấp γ củaL m (q) Trong ñó, L m (q) ñược gọi là ña thức Laguerre bậc m ñược

Đây là phương trình Laguerre

Đặt y=Lm(x), khi ñó (4.10) ñược viết lại như sau:

Phương trình này có nghiệm không tầm thường khi m là số nguyên không âm

Nghiệm của phương trình Laguerre là ña thức Laguerre

Bây giờ ta sẽ ñi tìm ña thức Laguerre:

L

z =

+

= ( 1)

ρ

ρ

ρρ

x

e x

Khai triển thành chuỗi:

m

m x L

m x

x L

C m

m = ∫ ( +,1 )

2

1)

Trong ñó C là ñường cong kín bao quanh ñiểm ξ=0

Đưa vào biến mới: ξ=1- 2

z

xdz d

z

x ⇒ ξ = ,

x z

e z i

e x L

C

m

z m x

) 1 (

1 ( )

.2

1)

m x

x

e m x

=

) (

) 1 (

) (

) ( 2

! )

(

x z

e z i e

)(

.2

1)

(

) (

1 1

) (

2

!

z m x

dz x

z

e z i

.2

!

)

(

1 1

x m

C

m m m

z m

e x x

dz x

z

e z

e x dx

d e m

−

Được gọi là ña thức Laguerre bậc m

Như vậy biết ñược L m (q) ta suy ra Lγm (q) hay V nl (q) Chú ý rằng γ=(2l+1), m=l+n nên ta

nl e q L N

dz z

f i

= ( 1)

)(

)(2

!

)

(

ξξπ

Với

na

r na

dq q L e q N

nl

l l n q l nl

1

1 ) ( 1

3 2

) 1 2 ( ) ( 0

) 2 2 ( 2 3

−

∞ +

+

−

∞ +

l n

l n

2 )!

1 (

)!

( 2

)!

1 (

l n n

l n

3 2

)!

(

)!

1(

4)!

(

)!

1(

2

12

l n n a

l n K l

n

l n n na

)!

(

)!

1 (

4

l n n a

l n K

2

e m

a= ℏ

Được gọi là bán kính quỹ ñạo Bohr thứ nhất

Như vậy, hàm xuyên tâmR (r)

nl ñã ñược chuẩn hóa có dạng:

K L

e r na

K l

n n a

l n K r

K l

4 )

Vì các toán tử L ,∧2 L∧z không phụ thuộc vào r nên phương trình trị riêng của

chúng, ta không cần viết phần phụ thuộc r cho ñơn giản Ta có các phương trình trị riêng

như sau:

m l m

l z

m l m

l

Y m Y L

Y l

l Y L

) 1 (

l

P

Suy ra

m l

2

sin

1 ) (sin sin

1

ϕθθ

θθ

∂ +

m l im

m

2 2 2

)1()

(cossin

1)

(cos)

(sinsin

θθ

θθ

m l m

l

im m l im

m l m

l

P l l P m P

e P l

l e P m P

) 1 ( sin

) (sin

sin 1

) 1 ( sin

) (sin

sin 1

2 2

2 2

2 2

+

= +

θθθ

θθ

θθ

) (cos )

m l

m l m

l

P l l P m dx

dP dx

d

) 1 ( sin

) sin ( sin

θθ

Chú ý sin2θ=1-cos2θ=1-x2

0 ) ( ) 1 ( 1

) ( )

( 2 ) ( ) 1 (

0 ) ( ) 1 ( ) 1 (

) ( )

( ) 1 (

2 2 2

2 2

2

2 2

x P m dx

x dP x dx

x P d x

x P l l x

x P m dx

x dP x dx d

m l

m l m

l m

l

m l

m l m

l

Ta lưu ý x=cosθ nên nghiệm của phương trình hữu hạn tại x=±1 Phương trình (4.20)

chính là phương trình Legendre liên kết và nghiệm m

l

P của phương trình là ña thức liên

kết Legendre với biến số cosθ có dạng:

m l

(4.19)

Hàm cầu m

l

Y (θ,ϕ)=const m

l

P (cosθ ).eimϕ Hằng số trong biểu thức ñược xác ñịnh bằng

ñiều kiện chuẩn hóa:

Theo (4.20) ta có phương trình Legendre liên kết:

0)(1

)1()(2

)()

1

2 2

−

x

m l

l dx

x dP x dx

x P d

m l m

01

)1(2

)1

2 '

−

x

m l

l xP P

Nghiệm tìm ñược có dạng:

) ( ) 1 ( )

x V x x

P

m

−

=Suy ra

'' 2 2 '

2 2 2 2

4 2 2 2

2 2 ''

' 2 2 2

2 2 '

) 1 ( )

1 ( )

1 ( ) 2 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

V x V

x mx x

x m m V x

m P

V x V

x mx P

m m

m m

m m

− +

−

−

−

− +

−

−

=

− +

Mặt khác từ phương trình (4.20) khi m=0 thì ta ñược phương trình Legendre có dạng:

0 ) 1 ( 2

) 1

P l l dx

dP x dx

P d x

Bây giờ ta lấy vi phân phương trình này m lần ta có:

2 )

1 (

0 )

1 ( 2

) 1 (

2

2 2 2

2 2

= + +

−

−

l m

m l

m

m l

m m

l l

l m

m

P l l dx

d dx

dP x dx

d dx

P d x dx

d

P l l dx

dP x dx

P d x dx

d

Ở ñây ta sử dụng quy tắc Leipnitz ñể tìm ñạo hàm của tích hai hàm như sau:

i m i m

i

i m m

v u C v

=

∑

= ( ) ( ) )

(

0

) (

1

2 1 0

m C C

m m m

Suy ra