SKKN Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

I. Lý do chọn đề tài Khảo sát hàm số và ứng dụng của khảo sát hàm số là một phần rất quan trọng trong chương trình lớp 12, trong các đề thi đại học. Một trong các ứng dụng của khảo sát hàm số là biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Đây là dạng toán rất hay, rất có ích cho học sinh, không chỉ cho học sinh lớp 12 mà kể cả cho học sinh lớp 10 và 11.

Trang 1

NĂM HỌC 2008-2009 1 GV : TRÁC THỊ HÙYNH LIÊN

A/ PHẦN MỞ ĐẦU

I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Khảo sát hàm số và ứng dụng của khảo sát hàm số là một phần rất quan trọng trong chương trình lớp 12, trong các đề thi đại học Một trong các ứng dụng của khảo sát hàm số là biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Đây là dạng toán rất hay, rất có ích cho học sinh, không chỉ cho học sinh lớp 12 mà kể cả cho học sinh lớp 10, 11 Rất nhiều bài toán muốn biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình theo tham số m, nếu dùng phương pháp đại số các em gặp nhiều khó khăn vì phải xét quá nhiều trường hợp, nhưng nếu dùng đồ thị thì bài toán trở nên đơn giản, dễ thấy hơn Đề tài này đi sâu vào việc giúp học sinh có kỹ năng giải nhanh và chính xác loại toán này

II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình lớp 12 , khi dạy phần biện luận phương trình bằng đồ thị, tôi thấy sách giáo khoa chỉ đề cập đến hai dạng thường gặp đó là trường hợp phương trình đề bài cho là phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C ) với một đường thẳng d mà đường d là đường thẳng cùng phương với trục Ox.Trong khi đó có nhiều bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học thì phương trình đề bài cho là phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C ) với một đường thẳng d mà những đường thẳng d luôn song song với nhau, không cùng phương Ox, hoặc những đường d này luôn quay quanh một điểm A cố định Ngoài ra còn rất nhiều bài toán khi giải ta thường đưa về dạng xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c trên miền K , dạng toán này học sinh thường gặp phải khó khăn khi a có chứa tham số và có rất nhiều em giải thiếu trường hợp , kể cả khi các em đọc lời giải sẵn , có em vẫn không hiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế Song nếu có sự giúp đỡ của đồ thị thì việc giải quyết các bài toán trên trở nên nhẹ nhàng hơn và ít xảy ra tình trạng thiếu nghiệm Vì vậy với bài viết này tôi hy vọng giúp các em học sinh tháo gỡ được những khó khăn khi gặp các bài toán trên

Bài viết còn nhiều hạn chế, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quí thầy cô cùng đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn

Đồng Xoài, ngày 21 tháng 2 năm 2009

Giáo viên

Trang 2

B/ PHẦN NỘI DUNG

Vấn đề 1 : Giải và biện luận phương trình bằng đồ thị

Cho phương trình (1) , đππể dùng đồ thị (C ) : y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình (1) thì ta biến đổi sao cho một vế của (1) là f(x) còn vế còn lại sẽ có một trong 5 dạng sau :

DẠNG 1 : f(x) = m (1) Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của

(C ) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m

d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta tìm được số nghiệm của phương trình (1)

GIẢI:

1/ + Tập xác định : D = R

+ y/ = 3x2 – 6x = 3x ( x – 2)

y/ = 0 





















3

1 2

0

y

y x

x

+ y// = 6x – 6 = 6 ( x – 1 )

y// = 0 x1y 1

BXD :

x - 1 +

y// - 0 +

(C) lồi ĐU lõm + BBT : x - 0 2 +

y/ + 0 - 0 +

CĐ +

y 1 -3

CT -

+ ĐĐB: VÍ DỤ 1:1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = x3 – 3x2 +1 2/ Dùng đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : a/ x3 – 3x2 +1 = m (1) b/ x6 – 3x4 +1 – m = 0 (2)

c/ cos3x – 3 cos2x + 1 – m = 0 (3) x [0;]

Trang 3

x -1 0 1 2 3

y -3 1 -1 -3 1

f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=-3 f(x)=1 f(x)=5

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

2/ a/ x3 – 3x2 +1 = m (1)

(1) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = x3 – 3x2 +1 và đường thẳng d : y = m

d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :

+Nếu m < -3 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ âm (2/) vô nghiệm (2) vô nghiệm + Nếu 3m1 thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ âm và 2 giao điểm có hoành độ dương (2/) có 2 nghiệm (2) có 4 nghiệm

+ Nếu m = 1 thì (C ) và d có 2 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ bằng 0 và 1 giao điểm có hoành độ dương(2/) có 2 nghiệm (2) có 3 nghiệm

+ Nếu m > 1 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ dương (2/) có 1 nghiệm (2) có 2 nghiệm đối nhau

(C )

d

Trang 4

c/ cos3x – 3 cos2x + 1 – m = 0 (3) t33t21m (3/)

với t = cosx vì x [0;] nên t [1;1]

(3/) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t[1;1] và đường thẳng

d : y = m ,d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) Số nghiệm của phương trình (3/) chính là số giao điểm của (C ) và d với điều kiện hoành độ giao điểm t[1;1] Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :

+ Nếu m < -3 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ t < -1 (3/) vô nghiệm (3) vô nghiệm + Nếu 3m0 thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ t[1;1] và 2 giao điểm có hoành độ t[1;1](3/) có 1 nghiệm (3) có 1 nghiệm

+ Nếu 0m1 thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 2 giao điểm có hoành độ t[1;1] và 1 giao điểm có hoành độ t[1;1](3/) có 2 nghiệm (3) có 2 nghiệm

+Nếu m = 1 thì (C ) và d có 2 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ bằng 0 và 1 giao điểm có hoành độ t[1;1](3/) có 1 nghiệm (3) có 1 nghiệm

+ Nếu m > 1 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ t[1;1](3/) vô nghiệm (3) vô

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của ( C) : y =

1



x = 2 2

)1(

)32(



x

x x

+(C ) có tiệm cận đứng : x = 1 , tiệm cận cong : y = x2 + x + 1

+ Bảng biến thiên

Trang 5

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-4 -2

2 4 6 8 10

x y

Chú ý : Với ví dụ 3 nếu giải bằng phương pháp đại số thì các em dùng định nghĩa để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối và đưa về việc giải và biện luận phương trình bậc hai , cách làm này phức tạp hơn , nhưng nếu ta nhìn bài toán này dưới dạng 1 thì bài giải lại đơn giản hơn

Giải :

Ta có : x1(x2)m0 (1)mx1(x2)

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y =  x1(x2) và d : y = m

Vẽ đồ thị ( C ) : y =  x1(x2) và xét x2 + x – 2 = - m khi x 1 ta có

2

491

Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có :

Ví dụ 3 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : x1(x2)m0 (1)

(C )

d

Trang 6

x x

x x x

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

Trang 7

8153

4

18

52 2

x khi x

x

x khi x

2 4 6 8 10 12

x y

12

11

22

12

5

x khi

x

x khi x

x

d: y = 5a là đường thẳng cùng phương với Ox , đi qua điểm (0;5a)

Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 5a =

25

Trang 8

f(x)=4x^2+5x-2 f(x)=4x^2+5x-2 f(x)=11x+2 f(x)=24 f(x)=10

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

5 10 15 20 25

x y

DẠNG 2 : f(x) = g(m) (1) trong đó g(m) là biểu thức theo m

Đặt g(m) = m/ , lưu ý điều kiện của m/.Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao

điểm của (C ) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m/

d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) Số nghiệm của

phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta

tìm được số nghiệm của phương trình (1)

Giải :

f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=2

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

Ví dụ 6 : Cho đồ thị (C) : y = x3 - 3x2 + 1 Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :x3 - 3x2 – m2 – 2m – 2 = 0 (1)

Trang 9

(1) x3 – 3x2 +1 = m2 + 2m +3 = ( m + 1)2 + 2

Đặt m/ = ( m + 1)2 + 2 2 ,mR

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) :y = x3 – 3x2 +1 và d : y = m/

Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có m/

R

m



2 , thì (C ) và d có 1 giao điểm nên pt (1) có 1 nghiệm

Giải :

f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=2 f(x)=-2 f(x)=-4

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

/

/ /

m

m m

Ta xem (2) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) :y = x3 – 3x2 +1 và d : y = m/

Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có :

+m/  2 m0thì d cắt (C ) tại một điểm nên pt (2) có một nghiệm

+ - 3 m/ 2

2

532

530

133

m m

thì d cắt (C ) tại ba điểm nên pt (2) có ba nghiệm

Ví du ï7 : Cho đồ thị (C) : y = x3 - 3x2 + 1 Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm

Trang 10

53

02

530

13

0

2

m

m m

m

d cắt (C ) tại một điểm nên pt (2) có một

nghiệm

DẠNG 3 : f(x) = f(m) (1) trong đó f(m) là biểu thức theo m

Đặt f(m) = m/ , dựa vào bảng biến thiên của f(x) ta suy ra bảng biến thiên của f(m)

Ta xem (1) là phương trình hoành giao điểm của (C ) : y = f(x) và đường thẳng

d : y = m/

d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta tìm được số nghiệm của phương trình (1)

Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = f(x) = x3 – 3x2 +1 và đường thẳng

d : y = m/ d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ )

Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :

m

thì d cắt (C ) tại một điểm nên pt (1) có một nghiệm

Ví dụ 8: : Cho đồ thị (C) : y = x3 - 3x2 + 1 Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm

của phương trình :x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = 0 (1)

Trang 11

3

/

m m m m

m

thì d và (C ) có hai giao điểm nên pt (1) có hai nghiệm

c/ -3 < m/ < 1 m(1;0)(0;2)(2;3)thì d cắt (C ) tại ba điểm nên pt (1) có ba nghiệm

f(x)=x^3-3x^2+1 f(x)=-3 f(x)=5

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

1

y

y x

Ví dụ 9: Cho hàm số y = ( x + 1)2 ( 2 – x )

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

( x + 1)2 ( 2 – x ) = ( m + 1)2 ( 2 – m ) (1)

(C )

d

Trang 12

+ BBT :

x - -1 1 +

y/ - 0 + 0 -

+ CĐ

y 0 4

CT -

+ ĐĐB: x -2 -1 0 1 2

y 4 0 2 4 0

f(x)=-x^3+3x+2 f(x)=4 f(x)=-3 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y b/ Đặt k = ( m + 1)2 ( 2 – m ) dựa vào bảng biến thiên của f(x) = - x3 + 3x + 2, ta có bảng biến thiên của k = ( m + 1)2 ( 2 – m ) m - -2 -1 1 2 +

+ 4

k 4 0

0 -

Căn cứ vào đồ thị ta có :

4

0















k k

b/ (1) có hai nghiệm



























2 2 1 1 4

0

m m m m

k k

c/ (1) có ba nghiệm 0k 4m(2;2)\ 1,1

(C )

d

Trang 13

Dạng 4 : f(x) = kx + m (1) với k là một hằng số , m là tham số

(1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = f(x) và d : y = kx + m

Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn cùng phương với đường thẳng y = kx Cho d tiếp xúc với (C ) , ta tìm được các tiếp tuyến của (C ) và d , dựa vào các tiếp tuyến này ta chia các trường hợp để biện luận

Giải :

+ D = R

+ y/ = -3x2 + 3 ; y/ = 0 























2

2 1

1

y

y x

x

+ y// = -6x , y// = 0 x = 0 y = 0

BXD :

x - 0 +

y// + 0 -

(C) lõm ĐU lồi + BBT : x - -1 1 +

y/ - 0 + 0 -

+ CĐ

y -2 2

CT -

+ ĐĐB: x -2 -1 0 1 2

y 2 -2 0 2 -2

f(x)=-x^3+3x f(x)=-9x+16 f(x)=-9x-16

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

Ví dụ 10: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = - x3 + 3x

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 12x + m = 0

(C )

m = 16

d

m = - 16

d

Trang 14

b/ x3 – 12x + m = 0 - x3 +3x = - 9x + m (1)

(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = - x3 +3x và d : y = - 9x + m

Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn song song với đường thẳng y = -9x

Cho d tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm :

4

129

3

93

2 3

2

3

m x m x

x

x x

m x

m x x

Lưu ý : khi -16 < m < 16 thì những đường d tương ứng nằm giữa hai tiếp tuyến , khi m < -16 thì

đường d tương ứng nằm bên trái đường tiếp tuyến ứng với m = -16 và khi m > 16 thì đường d tương ứng nằm bên phải đường tiếp tuyến ứng với m = 16

42

2  



x x

Ví dụ 11: Cho đồ thị (C ) : y = x2 4x3

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )

b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) và có hệ số góc là 2

c/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x2 4x3 - 2x – m = 0 (*)

Trang 15

+ ĐĐB : x 0 1 3 4

y 3 0 0 3

f(x)=(x^2-4x+3)^(1/2) f(x)=-x+2 f(x)=x-2

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

b/ Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc bằng 2 , gọi x0 là hoành độ tiếp điểm

34

2

0 2 0 0

0 2 0

3

13

322)

2()34

x

Vậy phương trình  : y = 2x – 4 - 3

c/ x2 4x3 - 2x – m = 0 (*)  x2 4x32xm

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = x2 4x3 và d : y = 2x + m

Khi m thay đổi , những đường d luôn song song với tiếp tuyến 

f(x)=(x^2-4x+3)^(1/2) f(x)=-x+2 f(x)=x-2 f(x)=2x-2 f(x)=2x+4 f(x)=2x-6 f(x)=(2x)-(4)-[3^(1/2)]

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

Trang 16

a/ m < -6 thì (*) có một nghiệm

b/ -6 m4 3 thì (*) có hai nghiệm

c/ m = -4 - 3 thì (*) có một nghiệm

d/ -4 - 3 < m < -2 thì (*) vô nghiệm

e/ m  - 2 thì (*) có một nghiệm

Dạng 5 : f(x) = m ( x – a) + b (1) với a , b là một hằng số , m là tham số

(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = f(x) và d : y = m ( x – a) + b Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố định A( a,b) Cho d tiếp xúc với (C ) , ta tìm được các tiếp tuyến của (C ) và d , dựa vào các tiếp tuyến này ta chia các trường hợp để biện luận

Giải :

+ D = R\ 2

+ y/ = 2 2

)

2

(

3 4







x























2

2 3

1

y

y x

x

+(C ) có một tiệm cận đứng x = 2 và một tiệm cận xiên y = x - 2

+ BBT : x - 1 2 3 +

y/ + 0 - - 0 +

CĐ + +

y -2 2

CT - -

+ ĐĐB: x 0 1 3 4

y

-2 5 -2 2

2 5

Ví dụ 12 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y =

2

5 4 2







x

x x

b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

x – 2 +

2

1



x = mx – m + 1 (1)

Trang 17

f(x)=(x^2-4x+5)/(x-2) f(x)=x-2

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x y

Nhận xét : Nếu câu b/ đề bài chỉ yêu cầu bịên luận theo m số nghiệm của phương trình (1) thì ta

có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai , nhưng ở đây yêu cầu của đề bài là dùng đồ thị (C ) nên buộc ta phải sử dụng dạng đồ thị (C ) Vì vậy phương trình (1) phải đưa về dạng 5

(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y =

2

542

Cho d tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm :

2(

11

)(1)

2(2

12

x m x

x

m x

x m x

1



x )(x-2) + m + 1

)(2

12

112

2

c m

353

23

3230

362

m m

m m m

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	689,87 KB