Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh đăk lăk năm học 2017 2018 có đáp án

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm khác 0 x x1, 2 chúng có thể trùng nhau và biểu thức 1 1  đạt giá trị nhỏ nhất.. BE cắt CD tại H.. Kéo dài AH cắt BC tại F.. 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐĂK LĂK

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN 9 – THCS

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 04/4/2018 Bài 1: (4 điểm)



P

2018



P

2) Giải phương trình  2  2 

Bài 2: (4 điểm)

1) Cho phương trình 2   2

x m x m , với m là tham số Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm khác 0 x x1, 2 (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

1 1



đạt giá trị nhỏ nhất

2) Cho parabol   2

P y ax Tìm điều kiện của a để trên  P có điểm A x 0 ;y0 với hoành

độ dương thỏa mãn điều kiện 2

0   1 0  4  0  0  3

Bài 3: (4 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn: x2 y2  4x 2y 18

2) Tìm tất cả các cặp số a b;  nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện:

i) a b, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a b, là 1

ii) Số N ab ab  1 2 ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương

Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC

lần lượt tại D và E (D  B, E  C) BE cắt CD tại H Kéo dài AH cắt BC tại F

1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp

2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC

Bài 5: (2 điểm) Với x y, là hai số thực thỏa mãn y3  3y2  5y  3 11 9 x2  9x4 x6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T   x y 2018

Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác đều ABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng

BC dưới một góc bằng 150 0 Chứng minh MA2  2MB MC.

- Hết -

BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm)

1) ĐK: x 0

P

2





x

2 2

2



 

 

2

2

2 10 0 2

 



Giải  1 : Phương trình vô nghiệm

Giải  2 : x1  1 11;x2   1 11

Bài 2: (4 điểm)

 

2

*

0 0





m m

2

1 2









Đẳng thức xảy ra m 3 (TMĐK (*))

Vậy m 3 ; Min

3

2)

1

 

2

 x  x  y   y  Do đó

2

2







 

3

1



a (vì x0  0)

Bài 3: (4 điểm)

Do x y, nguyên dương nên ta có các trường hợp sau

2) Ta có: N ab ab 1 2 ab1 chia hết cho các số: 1; a; b(ab + 1)(2ab + 1); b; a(ab + 1)(2ab + 1); ab + 1; ab(2ab + 1); 2ab + 1; ab(ab + 1); N; ab; (ab + 1)(2ab + 1); b(ab + 1); a(2ab + 1); a(ab + 1); b(2ab + 1) có 16 ước dương

Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a; b; ab +1; 2ab + 1 là số nguyên tố

Do a, b > 1  ab +1 > 2

+) Nếu a; b cùng lẻ thì ab + 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý) Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a = 2

+) Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab + 1= 4b + 1 và ab + 1 = 2b + 1 chia hết cho 3 là hợp số (vô lý)  b = 3

Vậy a = 2; b = 3

Bài 4: (4 điểm)

1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác

nội tiếp (Tự xử)

2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF

cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội

tiếp Tính số đo BAC

BACDHEMFNBHC 180 (tứ giác ADHE;

HMFN nội tiếp)

mà DHEBHC (đối đỉnh)    

F B ; F C ; B C (tứ giác BDHF; CEHF;

BACF F 2B , mặt khác  0 

1

1

Bài 5: (2 điểm)

ĐK:  3 x3

       

3

2

Vì  3 x3 nên 3 x 0; 9x2   0 3 x 9x2  0

1

F

H

E D

A

Đẳng thức xảy ra 3 x2 0 x 3 y 1





Vậy Max(T) = 2022 x = 3; y = 1

Mặt khác, ta chứng minh

2



Bài 6: (2 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm M, lấy điểm E sao cho

AME đều; trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm M, lấy điểm F sao cho CMF đều

60

 BAE CAM cgc BECM ABEACM

60

ta có BECM CM; CF BECF;

 BAE CBF cgc  AEBF mà AE AM BF AM

150 60 90

60



E

F

A

M