BG LY THUYET DIEU KHIEN 2 NGUYEN THI CHINH

Điều khiển không gian trạng thái:  Bộ hồi tiếp trạng thái bằng phương pháp đặt cực.. 7/6/2013 23trạng thái của hệ thống Cóthểkiểm tra lạikếttrình tính toán bằng phư ơng pháp hàm truyền

7/6/2013 2

2. Phân tích hệ thống trong không gian trạng

20% bài tập từng chương + bài tập lớn

10% kiểm tra giữa kỳ

 Kết thúc: 60% - hình thức thi: bảo vệ đồ

án.

 Tính điều khiển được và quan sát được

 Bài tập sử dụng MATLAB phân tích.

7/6/2013 5

2. Điều khiển không gian trạng thái:

 Bộ hồi tiếp trạng thái bằng phương pháp

đặt cực.

 Bài tập sử dụng MATLAB phân tích

Chương 0: Tổng quan môn

học

7/6/2013 7

Yêu cầu đối với đồ án kết thúc môn học

Có khả năng thiết kế bộ điều khiển bằng hai thuật toán khác nhau cho cùng một đối tượng.

So sánh đáp ứng của hệ thống với từng bộ điều khiển Mô phỏng bằng Matlab Các thuật toán thiết kế gồm:

 Bộ điều khiển PID.

 Bộ điều khiển dùng PP đặt cực

 Bộ điều khiển mờ.

 Bộ điều khiển PID mờ, mờ lai, mờ trượt…

7/6/2013 8

9, 10, 11, 12

2. Trần Hoài An Bài giảng Lý thuyết điều khiển 2.

3. M.Gopal Digital Control and State Variable Method

8 Hugh Jack: Automating manufacturing

system with PLC, ver 5.0.

Tài liệu tham khảo

1. Tổng quan

engineering)

3. Bài tập

2 Định nghĩa vector

Một vector cột x (column vector)được

viết dưới dạng

TỔNG QUAN

2 Định nghĩa vector

Một vector hàng y (row vector)được viết

dưới dạng

3 Ma trận rỗng (Null matrix)

Ma trận rỗng có tất cả các phần tử bằng 0

5 Ma trận đơn vị (Identity matrix)

Ma trận chéo có các phần tử trên đường

chéo bằng 1 Thường ký hiệu là I

TỔNG QUAN

6 Ma trận đối xứng (symmetric matrix)

Là ma trận vuông có aij  aji

1. Chuyển vị của một ma trận (Transpose

of a matrix)

Chuyển vị của ma trận A ký hiệu là AT

Tìm AT bằng cách chuyển hàng thành cột.

II CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

Phần phụ (Mij) của phần tử aij của định

thức detA là định thức được xác định bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của định thức A (detA)

TỔNG QUAN

b Cofactor of an element (Cij)

Cij của định thức A được định nghĩa

II CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

(Tính theo cột j)

3 Ma trận suy biến (singular matrix)

Một ma trận gọi là suy biến (singular)

nếu định thức của nó bằng 0

4 Ma trận không suy biến (nonsingular

matrix)

Một ma trận gọi là không suy biến

(nonsingular) nếu định thức của nó khác 0

II CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

TỔNG QUAN

5 Ma trận liên hợp ( adjoint of a matrix)

Ma trận liên hợp được định nghĩa như sau

120

111

A

30

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A adjA

2 1

2 22

12

1 21

11

5 Ma trận nghịch đảo ( inverse of a matrix)

Một ma trận nxn có ma trận nghịch đảo A-1 nếu thỏa mãn điều kiện

Được tính như sau

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

A A

.

.

.

.

) det(

1

2 1

2 22

12

1 21

11 1

Nếu det(A) = 0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1 Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo A-1

TỔNG QUAN

6 Phép cộng trừ ma trận (Addition and

subtraction of matrices)

a Phép cộng ma trận (addition of matri ces)

Tổng hai ma trận A và B là ma trận C, được tính như sau:

II CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

6 Phép cộng trừ ma trận (Addition and

subtraction of a matrices)

a Phép trừ ma trận (subtraction of matrices) Hiệu hai ma trận A và B là ma trận C = A-B, được tính như sau:

TỔNG QUAN

6 Phép nhân ma trận (Multiplication of

matrices)

Tích của hai ma trận A và B là ma trận C được tính như sau: C=AB, với



6 Phép nhân ma trận (Multiplication of

matrices)

Tích của hai ma trận A và hằng số K là ma trận B được tính như sau: B=KA, với

ij a ij

7 Vết của ma trận (Trace of a matrix)

Vết (trace) của một ma trận vuông nxn là tổng của các phần tử trên đường chéo

TỔNG QUAN

8 Hạng của ma trận (Rank of a matrix)

Hạng của một ma trận bằng với số vector cột hoặc hàng độc lập tuyến tính Chúng ta có

thể tìm không suy biến

8 Hạng của ma trận (Rank of a matrix)

Hạng của một ma trận bằng với số vector cột hoặc hàng độc lập tuyến tính Chúng ta có

thể tìm hạng của ma trận bằng cách tìm ma trận con vuông lớn nhất không suy biến

Ví dụ:

Rank(A)=2

Matlab là phần mềm tính toán, mô phỏng khoa học phổ biến hiện nay Phần Matlab sinh viên tự tìm hiểu Bài giảng chỉ đề cập đến các lệch, tools liên quan đến môn Lý thuyết điều khiển 2

I GIỚI THIỆU MATLAB

II MỘT SỐ LỆNH TRONG MATLAB

Format long Con trỏ cố định 15 Digit

Format short Con trỏ cố định 5 digit

II MỘT SỐ LỆNH TRONG MATLAB

LỆNH CHỨC NĂNG

linspace Vector không gian tuyến tính

lqe Thiết kế bộ ước lượng toàn phương

tuyến tính

LỆNH CHỨC NĂNG

polyvalm Matrix polynomical evaluation

II MỘT SỐ LỆNH TRONG MATLAB

residue Partial – fraction expansion

semilogx Semilog x-y plot(logarith theo trục x) semilogy Semilog x-y plot (logarith theo trục y)

LỆNH CHỨC NĂNG

std Độ lệch chuẩn (standard deviation)

II MỘT SỐ LỆNH TRONG MATLAB

1 Norm (chuẩn)

( )

norm A

3 Phương trình đặc trưng

( )

4 Nhân hai đa thức

( , )

III MỘT SỐ HÀM TÍNH TOÁN MA TRẬN

5 Chia hai đa thức

6 Tính giá trị đa thức

( , )

polyval p s

7/6/2013 1

1 Biểu diễn hệ thống bằng phương pháp KGTT

1.1 Khái niệm về phương pháp không gian trạng thái

Phương pháp không gian trạng thái là phương pháp tổng quát cho việcthiết kế hệ thống trong miền thời gian Đặc biệt thích hợp với kỹ thuậttính toán số Phương pháp này có thể sử dụng với:

+ Hệ MIMO (multi input, multi output)

+ Hệ phi tuyến và biến đổi theo thời gian(non-linear and time

1.2 Khái niệm trạng thái

Trạng thái của hệ thống có thể định nghĩa như sau: “Tập hợp các biến (gọi là biến

trạng thái) mà tại thời điểm bắt đầu t0,

x x x

n

y y y

1.3 Mơ tả mơ hình KGTT của hệ thống

I PHÂN TÍCH HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Thí dụ: Cho hệthống điều khiển cóquan hệtín

hiệu vào vàtín hiệu ra môtảbởi phư ơng trình vi phân sau:

) ( )

( 10 )

( 6 )

( 5 )

(

2c t  c t  c t  c t  r t

Hãy viếthệphư ơng trình biến trạng thái môtảhệthống:

7/6/2013 5

1.3 Mơ tả mơ hình KGTT của hệ thống

Đặtbiến trạng thái như sau:

x1(t) = c(t)

) (

1 t x

6 5

(5)

x2(t) =

( 5 2 )

( 3 )

( 5 )

(

) ( )

(

) ( )

(

3 2

1 3

3 2

2 1

t r t

x t

x t

x t

x

t x t

x

t x t

x

Đáp ư ùng của hệthống

c(t) = x1(t) Viết lại phư ơng trình dạng ma trận :

r x

x x

5 2 3

5

1 0

0

0 1

0

3 2 1

10

0 1

) (

x x

x t

c

7/6/2013 7

1.3 Mơ tả mơ hình KGTT của hệ thống

Thí dụ 1 : Cho hệthống tư ïđộng cósơ đồkhối:

Hãy thành lập hệphư ơng trình trạng thái biến

môtảhệthống :

Giải

3 2

10 1

3 10

) ( ) ( 1

) ( )

s

s

s s

s

s s S

H s G

s G s

G

 

2 10

10 3

2

2 10

) (

) (

s

s s

s s

s s

R

s C

 (s3 + 5s2 + 6s + 10)C(s) =10(s+2) R(s)

Phư ơng trình vi phân môtảhệthống :

) ( 20 )

( 10 )

( 10 )

( 6 ) ( 5 ) ( t c t c t c t r t r t



Đặtbiến trạng thái như sau:

) ( )

7/6/2013 9

Hệphư ơng trình biến trạng thái môtảhệthống códạng :

r x

x x

a

a a

a a

a x

3 2 1

2

1

1 0

0

0 1

0 6 10 5 20

10 1

0 5 10

0 1 0

0

1 2 2 1 2

3

0

1 1 1

b

a

a b

x x

x x x

5 6

10

1 0

0

0 1

0

3 2 1

3 2 1

Đáp ư ùng của hệthống:

1

) (

x x

x t

x t

c

2 Tính ma trận quáđộ: 1    1   1

) ( t  L  s  L sI  A 

t x

t t

x

0

)()

()

0()()

Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì : x t  t t  BRU d

0

) ( )

( )





s s

s s

s s

( 2 )

( 3 )

) ( )

( )

( t x 2 t 1 r t

) ( )

( )

( )

( [ x2 t 1 r t x2 t 1r t x1 t r t

( t x t x2 t r t

( 3 )

( 2

) (

) ( )

( )

(

2 3

2

2 1

t r t

x t

x t

x

t r t

x t

x

r t

x

t x

t x

(

) ( 3

2

1 0

) (

) (

2

1

2 1

Đáp ư ùng của hệthống:

(

x

x t

x t

c

1 3

2

1 0

1 0

0 1

s

s s

A sI

s s

s s

s

A sI

s

2

132

1

12

132

2

1)

2 1

2

2 1

1 2

1

3 )

s s

s s

s

s s

s s

s L

A sI L s L

1 2

2 1

2

2

1 1

1 2

1 1

2

1 1

1 1

s s

L s

s

L

s s

L s

t t

t t

t t

e e

e e

e e

e

e t

2 2

2 2

2 2

2

2 )

(



7/6/2013 21

trạng thái của hệ thống

3 Đáp ứng của hệ thống

Trư ớc tiên ta tìm nghiệm phư ơng trình, với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phư ơng trình trạng thái là:

t x

0

) ( )

( )

e e

e

e e

e e

t

t t

t t

t t

t t

( )

( 2 )

(

) ( 2 )

( )

( 2 )

(

3

1 2

2 2

t t

t

t t

t t

e e

e

e d

e e

e e

0

) ( 2 )

(

) ( 2 )

(

0

) ( 2 )

(

) ( 2 )

(

2 2

t t

e e

x

t x

2 2

) ( 2

1

21

)(

Đáp ư ùng của hệthống

 

t t

t t

e

e e

e

e e

t

x t

x

t

x t

x t

c

2 2

2

1 2

1 1

2 1

0 1

)

( )

(

)

( 0

1 )

( )

7/6/2013 23

trạng thái của hệ thống

Cóthểkiểm tra lạikếttrình tính toán bằng phư ơng pháp hàm truyền như sau:

3 Đáp ứng của hệ thống

Đáp ư ùng của hệthống:

C(s) = R(s).G(s)

MàR(s) = (làtín hiệu vào hàm nấc đơn vị)

 1 2

) (







s s

s s

G

2

11

12

1

1)(

s s

s s

s C

11

1)

()

L s

C L t

c

7/6/2013 24

I PHÂN TÍCH HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Lư u ý: Tính ma trận quáđộbằng công thư ùc :

Tương đối khĩ khăn về mặt tính tốn Phương pháp sau đây cho phép tính ma trận quá độ dễ dàng hơn.

AP P

2 2

2

2 1

2 1

.

.

.

.

.

.

1 1 1

n n n

n

n n

x  At

1

2 1

0

.

t e e

P P

Pe e

t

Dt At

7/6/2013 27

Ngoài ra ta có thể tính cách khác đối với trường hợp ma trận A (với A có nghiệm riêng là nghiệm bội) được chuyển thành dạng Jonrdan chính tắc:

AD S

Ta được:

2.1 Phương pháp 1: eAt





 e x t

)0()

()

4 4

1

1 1

1 1

1

0 0

0

0 0 0

0 2

te e

e

te e

e t te

e

S S Se e

t t t

t t

t

t t

t t

t

Jt At

0 0

1 0

0 0

0

01

011

001

S

Ma trận chuyển sẽ chuyển ma trận A thành dạng Jordan cính tắc sau:

1 1 0

0 1 1

1 2 1

0 1 1

0 0 1

3 3 1

1 0

0

0 1

0

1 2 1

0 1

1

0 0

1

1

AS S

J

2.1 Phương pháp 1: eAt

t t

t

Jt

e

te e

e t te

e e

0 0

0 1

1

0 0

1

0 0

0

2 1

1 2 1

0 1 1

0 0

1

t

t t

t t

t

Jt At

e

te e

e t te

e S

Se e

t t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t At

e t te

e e t te e

t te

e t te

e t te e e

t

e t e

t te e

t te

e

e

2 2

2

2 2

2

2 2

2

1 3

1

2

1 2

1

Ví dụ:

2.1 Phương pháp 1: eAt

2.3 Phương pháp 3: có hai trường hợp đa thức của

A có các nghiệm đơn, đa thức của A có nghiệm bội

và các nghiệm khác tách biệt.

1

.

.

.

1

1

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 2

1 1

1 1

A I

e

e e

At m

t m

m m

m

t m

n

t m

2 2

A t

A t

I t

Triển khai cột cuối cùng ta được:

Xác định với K=1,2, .,m-1 bằng cách giải tập m phương trình sau với  k ( t)

7/6/2013 33

2.3 Phương pháp 3:

t m

t t

2 1

2 2 2

2 1



t m

t t

1 1

2 1 2

1 1



t m

m m

m m

m

e t

t t

2 2

1

.

các nghiệm khác tách biệt Ta áp dụng công thức

Sylvester để tính eAt

3 2

0

.

1

.

.

.

3 2

1 0

2 2

) 2 )(

1 (

3 1 0

0

1 2

1 2

1 4

3 4

2 4 4

1 1

3 1

2 1 1

2 2

1 1

2 3 1 1

4 1 1 1

t m

m m

m

t m

t m

t m

n

t m

e A

A A I

e

e e

te m

e t m

7/6/2013 35

2.3 Phương pháp 3:

1 1

2 2

A t

A t

I t

Triển khai cột cuối cùng ta được:

Xác định với K=1,2, .,m-1 bằng cách giải tập m phương trình sau với  k ( t)

)

( t

k



m t

t

1 1

2 1 3

1 2



t m

m

m t

2

)

( 2

) 2 )(

1

(

) ( 3

) (

2 3

1 1

1 3

1 2

t t

) ( )

( )

(

.

…

2.3 Phương pháp 3:

t m

t t

1 1

2 1 2

1 1



t m

t t

4 1

2 4 2

4 1



Xét ma trận : Tính eAt là tổng chuổi vô hạn

k

k k At

e

e t

t

t t

t

t t

e

t t

k

t

A I

e

2

2

4 3

2

3 2

2 2

0

0

) 1

( 2

1 1

! 4

) 2 (

! 3

) 2 (

! 2

) 2

( 2

1 0

! 3

) 2 (

! 2

) 2

( 2

1 2

1 2

1 1

! 2 2

0

1 0

2 0

1 0

1 0

0 1

!

1

P

Ta có: eAt =PeDtP-1

Dt At

e

e e

e P

Pe

e

2

2 2

0 1

0

1 2

1 1

2

1 1

2

1 0

0

0 2

0

1 0

12

0

101

0

01

s

s A

) 2 (

1 1

)

s

s s s A

e

e A

SI L

e

2

2 1

1

0

) 1

( 2

1 1 ]

) [(

2 1

e A

0 1

1

1 0

t At

e

e e

Ae I

A e

2

2 2

2

0

1 2

1 1

2 0

1 0

2 0

0 2

2 0

1 1

2 1

) 2

( 2 1 Khai triển định thức ta có: -2eAt + A + 2I – Ae-2t = 0

7/6/2013 41

te t

2 1

t

e t

1 1

0 ( )  ( )  

Thay λ1= 0 và λ2= -2 ta được: 0 ( t )  1

) 1

( 2

1 )

(

1 ) (

2 1

0

t

e t

At

e

e A

e I

A t I

t

e

2

2 2

1 0

0

1 2

1 1

) 1

( 2

1 )

( )

( 



Suy ra:

7/6/2013 42

3 Tính điều khiển được (controllability),

tính quan sát được (observability)

I PHÂN TÍCH HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Khái niệm tính điều khiển được và quan sát được do

Kalman giới thiệu vào năm 1960 và đóng góp vai trò

quan trọng trong việc điều khiển hệ đa biến.

•Một hệ thống được gọi là điều khiển được nếu tồn tại vector điều khiển u(t) mà chuyển hệ thống từ trạng thái

hạn định

• Một hệ thống được gọi là quan sát được nếu tại thời

quan sát ngõ ra y(t) trong một thời gian hạn định

7/6/2013 43

3 Tính điều khiển được (controllability),

tính quan sát được (observability)

M    B AB A B  A  B  

7/6/2013 44

3 Tính điều khiển được (controllability),

tính quan sát được (observability)

7/6/2013 45

4 Ví dụ

Cho hệ thống:

Kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được?

Ma trận điều khiển được:

1

: AB

B M

7/6/2013 48

1 Phương pháp hồi tiếp biến trạng thái

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

7/6/2013 49

Luật điều khiển

u  r  K x

Trong đó: r – vector trạng thái mong muốn

K – ma trận hồi tiếp trạng thái Thay vào ta có

7/6/2013 50

1 Phương pháp hồi tiếp biến trạng thái

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

7/6/2013 51

Thiết kế bộ điều khiển bằng phương pháp đặt cực là tìm

ma trận K để có được các cực vòng kín mong muốn

u   K x

Với r(t)=0, ta có

Như vậy, u(t) sẽ điều khiển hệ thống từ trạng thái ban

7/6/2013 52

2 Thiết kế bộ điều khiển bằng pp đặt cực

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Cách 1: (phương pháp so sánh trực tiếp)

Giả sử các cực vòng kín mong muốn là:

Đồng nhất hai vế như sau:

Suy ra ma trận K

s s

s BK

A

SI                  

1

2 2

1 1 2

7/6/2013 53

Cách 2: (phương pháp canonical)

Giả sử các cực vòng kín mong muốn là:

Đa thức đặc trưng mong muốn:

Ma trận chuyển T:

s s

s                   

1

2 2

1 1

2

7/6/2013 54

2 Thiết kế bộ điều khiển bằng pp đặt cực

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Cách 2: (phương pháp canonical)

Trong đó, M là ma trận điều khiển được:

W là ma trận được xác định như sau:

0 0 1

.

.

.

0 1

1

.

1

3 2

1 2

1

a

a a

a a

a W

n n

n n

1 1

1 2 2

1

1

.

.

.

.

n n

a s a s

a s

A

1 1

7/6/2013 55

Cách 3: (phương pháp Ackermann)

Phương pháp Ackermann áp dụng cho hệ SISO (u(t),

y(t) là vô hướng)

Trong đó, M là ma trận điều khiển được

Ø(A), được xác định như sau:

A là ma trận hệ thống, αi là các hệ số phương trình đặc trưng mong muốn

I A

A A

7/6/2013 56

2 Thiết kế bộ điều khiển bằng pp đặt cực

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Ví dụ:

Xét hệ thống:

Thiết kế bộ điều khiển đặt cực theo 3 phương pháp để

các cực vòng kín mong muốn s=-1.8+j2.4 (cho r(t)=0)

Giải:

Bu Ax

20

20 6

20

SI

Phương trình đặc tính của hệ thống là:

0

: AB B

M

Ma trận M có hạng bằng 2 do vậy hệ thống điều khiển được

Ví dụ:

7/6/2013 58

2 Thiết kế bộ điều khiển bằng pp đặt cực

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Phương Pháp 1:

Ví dụ (tt):

Đa thức đặc trưng mong muốn:

;

1

1 1

1 2 2

6 20

1 0

0

0

k k s

s BK

2

2 1

6.20

6.20

1

k s

k s

k s k

7/6/2013 60

2 Thiết kế bộ điều khiển bằng pp đặt cực

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Ví dụ:

Ví dụ: Phương Pháp 3: sử dụng công thức Ackermann

Đa thức đặc trưng mong muốn là:

)(9

6.3

~)

I A

.74

6.36

.29

10

0

190

6.20

1

06

30

6.20

10

06.20

10

1

A AB

74

6 3 6

29 0

1

1

0 1 0

7/6/2013 61

Ví dụ:

Cả 3 phương pháp tìm ma trận phản hồi K là như nhau,

với phản hồi trạng thái này, các cực vòng kín được đặt tại s

thống không ổn định ban đầu trở nên ổn định.

Sơ đồ khối của hệ thống

có phản hồi trạng thái

của ví dụ trên

7/6/2013 64

3 Thiết kế bộ quan sát trạng thái

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG

PHÁP KGTT

Phương pháp đã nghiên cứu ở trên đòi hỏi ta phải đo

được tất cả các biến trạng thái Trong thực tế thì điều

này khó có thể thực hiện được, nguyên nhân do chi phí, điều kiện vật lý…

Bộ quan sát trạng thái (observer)

Bộ quan sát trạng thái (observer) dùng mô hình toán học

để ước lượng các trạng thái thật (không đo được)

Có hai loại observer:

-Bộ quan sát trạng thái bậc đủ (full – order state observer): ước lượng

tất cả các trạng thái của hệ thống

- Bộ quan sát trạng thái giảm bậc (reduced – order state observer):

ước lượng một số biến trạng thái không đo được

7/6/2013 65

trạng thái

Bộ quan sát bậc đủ Luenberger

7/6/2013 66

3 Thiết kế bộ bộ quan sát trạng thái

II THIẾT KẾ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG