DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ HẰNG

L p: Cao h c Lý lu n và ph ớng dẫn: ọc viên thực hiện: ận và phương pháp dạy học bộ môn Vật ương Minh Đức ng pháp d y h c b môn V t ạnh Trường ọc viên thực hiện: ộ môn Vật ận và phương p

Đ I H C HU ẠI HỌC HUẾ ỌC HUẾ Ế

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NG Đ I H C S PH M ẠI HỌC HUẾ ỌC HUẾ Ư ẠI HỌC HUẾ

- -TIỂU LUẬN HỌC PHẦN “PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ

NÂNG CAO”

ĐỀ TÀI DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HỆ SỐ

HẰNG

Gi ng viên h ảng viên hướng dẫn: ướng dẫn: ng d n: ẫn: PGS TS Tr ương Minh Đức ng Minh Đ c ức

H c viên th c hi n: ọc viên thực hiện: ực hiện: ện: Ngô Th Trúc Giang ị Trúc Giang

Nguy n M nh Tr ễn Mạnh Trường ạnh Trường ường ng

L p: Cao h c Lý lu n và ph ớng dẫn: ọc viên thực hiện: ận và phương pháp dạy học bộ môn Vật ương Minh Đức ng pháp d y h c b môn V t ạnh Trường ọc viên thực hiện: ộ môn Vật ận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý

Khóa: K26

Th a Thiên Hu , tháng 1 năm 2018 ừa Thiên Huế, tháng 1 năm 2018 ế, tháng 1 năm 2018

L I C M N ỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ẢM ƠN ƠN

Đ hoàn thành ti u lu n này, chúng tôi xin chân thành c m n ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ảm ơn ơn Ban giám hi u, Phòng Đào t o Sau đ i h c, Khoa V t lí tr ệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ọc, Khoa Vật lí trường Đại ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ường Đại ng Đ i ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại

h c S ọc, Khoa Vật lí trường Đại ư ph m – Đ i h c Hu và quý th y cô giáo tr c ti p gi ng d y, ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ọc, Khoa Vật lí trường Đại ế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, ầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, ực tiếp giảng dạy, ế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, ảm ơn ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại giúp đ tôi ỡ tôi trong su t quá trình h c t p ốt quá trình học tập ọc, Khoa Vật lí trường Đại ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Đ c bi t, chúng tôi xin bày t lòng bi t n chân thành và sâu ặc biệt, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu ệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ỏ lòng biết ơn chân thành và sâu ế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, ơn

s c nh t đ n Th y ắc nhất đến Thầy ất đến Thầy ế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, ầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, PGS TS Tr ương Minh Đức ng Minh Đ c ức – ng ường Đại i đã t n tình ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn

h ướng dẫn và giúp đỡ ng d n và giúp đ ẫn và giúp đỡ ỡ tôi tôi trong su t th i gian th c hi n ti u lu n ốt quá trình học tập ờng Đại ực tiếp giảng dạy, ệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn này.

Chúng tôi xin chân thành c m n t p th l p Cao h c Lý lu n và ảm ơn ơn ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ớng dẫn và giúp đỡ ọc, Khoa Vật lí trường Đại ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn

ph ươn ng pháp d y h c b môn V t lý khóa K26 đã có nh ng chia s , ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ọc, Khoa Vật lí trường Đại ộ môn Vật lý khóa K26 đã có những chia sẻ, ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ững chia sẻ, ẻ, góp ý trong su t quá trình chúng tôi làm ti u lu n này ốt quá trình học tập ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Xin đ ược cảm ơn toàn thể đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã c c m n toàn th đ ng nghi p, b n bè và gia đình đã ảm ơn ơn ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã ệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại quan tâm, đ ng viên giúp đ chúng tôi trong su t quá trình h c t p ộ môn Vật lý khóa K26 đã có những chia sẻ, ỡ tôi ốt quá trình học tập ọc, Khoa Vật lí trường Đại ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn

và th c hi n ực tiếp giảng dạy, ệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại đ tài ề tài.

Xin chân thành c m n! ảm ơn ơn

Hu , tháng 1 năm 2018 ế và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy,

Tác gi ti u lu n ảm ơn ể hoàn thành tiểu luận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn ận này, chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Nguy n M nh Tr ễn Mạnh Trường ạo Sau đại học, Khoa Vật lí trường Đại ường Đại ng

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

M Đ U Ở ĐẦU ẦU 4

N I DUNG ỘI DUNG 5

PH N 1: C S LÝ THUY T C A PHÉP BI N Đ I LAPLACE ẦU ƠN Ở ĐẦU Ế ỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ế ỔI LAPLACE 5

1 Đ NH NGHĨA PHÉP BI N Đ I LAPLACEỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ẾN ĐỔI LAPLACE ỔI LAPLACE 5

1.1 Hàm g cốc 5

1.2 Phép bi n đ i ến đổi ổi Laplace 5

1.3 M t s tính ch t c a bi n đ i ột số tính chất của biến đổi ốc ất của biến đổi ủa biến đổi ến đổi ổi Lapace 5

2 PHÉP BI N Đ I ẾN ĐỔI LAPLACE ỔI LAPLACE NGƯỢC LAPLACE 6C PH N 2: ẦU ỨNG DỤNG LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NG D NG LAPLACE GI I PH ỤC LỤC ẢM ƠN ƯƠN NG TRÌNH VI PHÂN TUY N TÍNH CÓ H S H NG Ế Ệ SỐ HẰNG Ố HẰNG ẰNG 9

1 PHƯƠNG PHÁP CHUNGNG PHÁP CHUNG 9

2 BÀI T P V NẬP VẬN ẬP VẬN D NGỤNG 9

K T LU N Ế ẬT LÝ 18

TÀI LI U THAM KH O Ệ SỐ HẰNG ẢM ƠN 19

M Đ U Ở ĐẦU ẦU

Trong ph n ti u lu n này chúng tôi dùng phép bi n đ iần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ận này chúng tôi dùng phép biến đổi ến đổi ổi Laplace làm m t kỹ thu t khác đ gi i phột số tính chất của biến đổi ận này chúng tôi dùng phép biến đổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình vi phân tuy nến đổi tính h s h ng Nó cũng là m t kỹ thu t đ c bi t đ gi i phệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ốc ằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ột số tính chất của biến đổi ận này chúng tôi dùng phép biến đổi ặc biệt để giải phương ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình vi phân có v ph i là hàm b c thang Heaviside Nh ng hàmến đổi ải phương trình vi phân tuyến ận này chúng tôi dùng phép biến đổi ững hàm này thường xuất hiện trong cơ học và trong mạch điện từ.ng xu t hi n trong c h c và trong m ch đi n t ất của biến đổi ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ơng trình vi phân tuyến ọc và trong mạch điện từ ạch điện từ ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ừ

Ý tưởng của phương pháp này là: Biến đổi phương trình ving c a phủa biến đổi ương trình vi phân tuyếnng pháp này là: Bi n đ i phến đổi ổi ương trình vi phân tuyếnng trình vi phân thành phương trình vi phân tuyếnng trình đ i s , gi i phạch điện từ ốc ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình đ i s v a bi nạch điện từ ốc ừ ến đổi

đ i đó, t nghi m c a phổi ừ ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ủa biến đổi ương trình vi phân tuyếnng trình đ i s v a tìm ta dùng bi n đ iạch điện từ ốc ừ ến đổi ổi

ngược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm.c Laplace đ cho ra nghi m phểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ương trình vi phân tuyếnng trình vi phân c n tìm.ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi

N I DUNG ỘI DUNG

1 Đ NH NGHĨA PHÉP BI N Đ I LAPLACE ỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Ế ỔI LAPLACE

Ta g i hàm ph c tùy ý ọc và trong mạch điện từ ức tùy ý f(t) là hàm g c th a mãn ba đi u ki nốc ỏa mãn ba điều kiện ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương sau:

1) H u h n đi m ững hàm ạch điện từ ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi a b ,  0,

0

(t) ,S

f M e t t , S0 được Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm.c

g i là mũ tăng c a hàm ọc và trong mạch điện từ ủa biến đổi f(t)

3) f(t) 0 khi t < 0

0

(p) pt (t) dt







F(p) là nh Laplace c a bi n ải phương trình vi phân tuyến ủa biến đổi ến đổi f(t)

Kí hi u ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương L f (t) F(p)

(t) F(p);F(p) (t)

1.3 M t s tính ch t c a bi n đ i ột số tính chất của biến đổi ốc ất của biến đổi ủa biến đổi ến đổi ổi Lapace

(t) g(t) F(p) G(p)

2) f(t), k là h ng sằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ốc

(t) k.F(p)

0 2

(t) F(p) '(t) pF(p) (0), (0) ( 0) lim (t) ''(t) p (p) p (0) '(0)

t

f













Ch ng minh: ức

Ta có:

0

'(t) pt '(t) dt e pt (t) pt (t) dt

''(t) p (p) (0) '(0)

2 (p) p (0) '(0)

Tương trình vi phân tuyếnng t : ự: f(n)(t)

4) T nh ti n nh ịnh tiến ảnh ến đổi ải phương trình vi phân tuyến

 (t) (p)

L e f at (t)  F(p a)

     , V i ới a c onstant

Ch ng minh: ức

(p a) t



Ví d : Bi n đ i Laplace ụ: Biến đổi Laplace ến đổi ổi

1

( p)

pt

p







b)

(a p) t (a p) t

0

1 (a p)

a p

1



2 PHÉP BI N Đ I Ế ỔI LAPLACE NG ƯỢC LAPLACE C

Đ nh nghĩa: ị Trúc Giang

Cho nh F(p) tìm g c ải phương trình vi phân tuyến ốc f(t)



B NG Đ I CHI U CÁC BI N Đ I LAPLACE THÔNG D NG ẢM ƠN ỔI LAPLACE ỀU CÁC BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG Ế ỔI LAPLACE ỤC LỤC

,

p p 0 t

2

1

p , p 0

n

t

1

!

n

n

p 

1 2

t

p



1 2

t

3/2

2 p



1 2

n

t

 

  

2n p n p





at

at

at

te

2

1

at

te

2

1

n at

t e

1

! (p a)n

n



n at

t e

1

! (p a)n

n



cos at

p

p a , p 0 sin at

a

p a , p 0

(p a )

p  a

 , p 0

tsin at

2 (p a )

ap

 , p 0 sin

at

(p a)

b b

  , p a cos

at

(p a)

p a b



  , p a cos

n

1

2

Re

!

n

p ia n







.sin

n

1

2

Im

!

n

p ia n







cosh at

p  a p a sinh at

p  a p a

PH N 2: ẦU ỨNG DỤNG LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NG D NG LAPLACE GI I PH ỤC LỤC ẢM ƠN ƯƠN NG TRÌNH

1 PH ƯƠN NG PHÁP CHUNG

Cho phương trình vi phân tuyếnng trình vi phân tuy n tính h s h ng có d ng:ến đổi ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ốc ằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ạch điện từ

an x (t) a  n x (t) a   x'(t) a  x(t) f(t)

(n 1)

(0) b , '(0) b , n



   là nh ng đi u ki n đ u.ững hàm ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi Phép bi n đ i tr c ti p Laplace không có nghi m t ng quát.ến đổi ổi ự: ến đổi ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ổi Các bưới c gi i là:ải phương trình vi phân tuyến

1) Đánh giá Laplace d a vào hai m t c a phự: ặc biệt để giải phương ủa biến đổi ương trình vi phân tuyếnng trình 2) S d ng b ng bi n đ i Laplace c b n.ử dụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ải phương trình vi phân tuyến ến đổi ổi ơng trình vi phân tuyến ải phương trình vi phân tuyến

(n) (t) n (p) p (0) n 1 (n 1) (0)

3) Sau quá trình bi n đ i đ i s ta đến đổi ổi ạch điện từ ốc ược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm.c:

(p) L( (t))

4) Làm phép bi n đ i ngến đổi ổi ược Laplace để cho ra nghiệm phương trình vi phân cần tìm.c Laplace L-1, tìm x(t)

2 BÀI T P V N ẬT LÝ ẬT LÝ D NG ỤC LỤC

Bài 1: ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i phỨng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương ụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ến đổi ổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyến trình ving phân:x' 3 x e 2t th a mãn đi u ki n đ u ỏa mãn ba điều kiện ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi x(0) 0

Bài gi i ảng viên hướng dẫn:

Ta có:

2

1 e

2

t

p











Phương trình vi phân tuyếnng trình nh: ải phương trình vi phân tuyến

1

p (p) 3 (p)

2

p



 

1

2 1 (p)

p X



Vì hàm X(P) có hai c c đi m đ n: p = -2; p = -3 ự: ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ơng trình vi phân tuyến

Theo đ nh lí c b n th ng d , ta có:ịnh tiến ảnh ơng trình vi phân tuyến ải phương trình vi phân tuyến ặc biệt để giải phương ư

2 3

2 3

 

 

 

V y ận này chúng tôi dùng phép biến đổi x (t) e2t e3t

Bài 2: ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i phỨng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương ụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ến đổi ổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình vi

th a mãn đi u ki n đ u ỏa mãn ba điều kiện ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi x(0) 0

Bài gi i ảng viên hướng dẫn:

Ta có:

2

2

cost

1 1 sint

1

p p p













1

p

(p)

p X

p



Hàm X(p) có hai c c đi m: ự: ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi p i và pi

Theo đ nh lí c b n th ng d , ta có:ịnh tiến ảnh ơng trình vi phân tuyến ải phương trình vi phân tuyến ặc biệt để giải phương ư

sin 2

it it

t i



 





V y ận này chúng tôi dùng phép biến đổi x(t) sint

Bài 3: ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i phỨng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương ụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ến đổi ổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình vi phân:x 5x 6x 12 th a mãn đi u ki n đ u ỏa mãn ba điều kiện ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi x 0 2;x 0 0

Bài gi i ảng viên hướng dẫn:

Ta có:

   

x t X p

x t pX p  x pX p 

x t p X p x   px p X p  p

12

12

p



Phương trình vi phân tuyếnng trình nh:ải phương trình vi phân tuyến

 

 

2

2

2

2

12

12

12

p

p

p

X p

Hàm X(p) có 3 c c đi m: p = 0; p = 2; p = 3ự: ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi

  es ( ) pt 0 es ( ) pt 2 es ( ) pt 3

2 3

2

lim 3

pt

p

pt

p







12

2





V y: ận này chúng tôi dùng phép biến đổi x t   2

Bài 4: ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i phỨng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương ụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ến đổi ổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình vi

phân:x   x 2 et th a mãn đi u ki n đ u ỏa mãn ba điều kiện ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi x 0 1;x 0 2

Bài gi i ảng viên hướng dẫn:

Ta có:

x t X p

1

1

t

e

p 



Phương trình vi phân tuyếnng trình nh: ải phương trình vi phân tuyến

   

 

 

2

2

2

2

2 2

2 2

1 2

1

1

1

p

p

p

X p









A

X p







Ta có:

1 1

t

e

2

1 sin

V y: ận này chúng tôi dùng phép biến đổi x t   e t sint

Bài 5: ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i phỨng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương ụng bảng biến đổi Laplace cơ bản ến đổi ổi ểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi ải phương trình vi phân tuyến ương trình vi phân tuyếnng trình vi

phân: x3x3x x  1 th a mãn đi u ki n đ uỏa mãn ba điều kiện ều kiện ệ số hằng Nó cũng là một kỹ thuật đặc biệt để giải phương ần tiểu luận này chúng tôi dùng phép biến đổi

 0  0  0 0

Bài gi i ảng viên hướng dẫn:

Ta có:

x t  p X p

Phương trình vi phân tuyếnng trình nh:ải phương trình vi phân tuyến

 

 

1

1

1

p

p

X p

3

3

1

1

p p

p p









 

 3  2  

1



Ta có:

 

 

2

3 1

2 3

2

2

1

1

1

.

1

1!

1

1

1

2

1

2

at n

n

t

p

e

t

p

t

p



 



  





















