Đề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài Đức

Đề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài ĐứcĐề thi HSG Toán 11 Cụm Hà Đông, Hoài Đức

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán – Lớp 11 Ngày thi: 01/3/2016 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình sau:

1) sinxcosx 2 sin 3x.

2) sin 2x2tanx 3.

Bài 2 (4 điểm)

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong mỗi số lập được có chữ

số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước

2) Cho  n là số nguyên dương, chứng minh

0 1 1 2 2 3 1 1

2 n n n

C C C C C C  C C C 

Bài 3 (4 điểm)

Cho dãy số  u thỏa mãn: n   1  

1

2 1

1

n

u



�

 �

�



1) Chứng minh

2

1, 1

1 n

n

n � �   �



. lim

( 1)

n

n u

n

Bài 4 (4 điểm)

1) Cho tam giác ABC có ba cạnh có độ dài lập thành một cấp số nhân

Chứng minh tam giác ABC không có hai góc lớn hơn 60 0

2) Cho tam giác ABC nhọn Tìm vị trí điểm M thuộc miền trong của tam

giác ABC sao cho MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5 ( 4 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh SC ( M không trùng với S và C ) Mặt phẳng   chứa đường thẳng

AM và song song với đường thẳng BD cắt   , SB SD lần lượt tại E F ,

1) Chứng minh mặt phẳng   luôn chứa một đường thẳng cố định.

2) Chứng minh biểu thức

SB SD SC T

SE SF SM

có giá trị không đổi

HẾT

-Họ tên thí sinh: ……… Số báo danh:………

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT

NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11

Đặt , ta có

0,5

Ta dễ thấy số 0 không có mặt trong số được lập 0,5

Cứ mỗi tổ hợp chập 5 của 9 phần tử sẽ cho 1 cách sắp thứ tự duy nhất

Xét khai triển:

Cân bằng hệ số cùng 1 khai triển ta được

Chứng minh rằng Ta dùng PP quy nạp toán học 3 điểm

Giả sử bài toán đúng với ta có (1) 0,5

Ta CM bài toán đúng với túc là:

Thật vậy, do giả thiết ta có:

Ta lại có do (1)

nên

Từ trên ta có:

Vai trò 3 cạnh của tam giác bình đẳng, nên ta giả sử nên ta có Ta cần

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có:

Do, 3 cạnh lập thành cấp số nhân nên do đó, 1,0

Suy ra Mà nghịch biến trên

Do tam giác ABC nhọn nên nếu tam giác đều thì M là trọng tâm tam

giác

Xét phép quay tâm B góc quay là biến điểm M thành điểm N, điểm C

thành điểm P

Ta có tam giác BMN, BPC là những tam giác đều và nên:

1,0

Để F nhỏ nhất cần A, M, N, P thẳng hàng

Do tam giác BMN đều nên góc và

Nên điểm M là điểm được xác định thuộc miền trong tam giác ABC

và nhìn 3 cạnh AB, BC, CA dưới 1 góc

1,0

Câu 1 CMR mặt phẳng chứa một đường thẳng cố định 2 điểm

Do mặt phẳng cắt hai mặt phẳng và theo 2 giao tuyến và có nên 1,0

Do là điểm chung của hai mặt phẳng nên giao tuyến của hai mặt

phẳng và là đường thẳng qua điểm và song song với đường thẳng

Nên mặt phẳng chứa đường thẳng là đường thẳng cố định

1,0

Câu 2 CMR: biểu thức có giá trị không đổi 2 điểm

Do nên

Xét tam giác SOC Áp dụng định lý Menelaus với đường thẳng AC

cắt 3 cạnh của tam giác SOC, ta có: hay 1,0