Điều kiện cần cực trị bậc nhất trong quy hoạch toàn phương

LÍI CAM OANTæi xin cam oan luªn v«n n y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ngtæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m... KI˜N THÙC CHU‰N BÀ.. MËT SÈ ÙNG DÖNG... Thængqua â th§y ÷ñc t

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

€M THÀ THƒO

I—U KI›N C†N CÜC TRÀ BŠC NH‡T TRONG QUY HO„CH TO€N PH×ÌNG

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch

M¢ sè: 60 46 01 02

LUŠN V‹N TH„C Sž TON GIƒI TCH

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS TS Nguy¹n N«ng T¥m

H  Nëi 2017

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh vîi sü h÷îng d¨n v  ch¿ b£o tªn t¼nhcõa PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥us­c èi vîi sü quan t¥m, ëng vi¶n v  sü ch¿ b£o h÷îng d¨n cõa th¦y.Tæi xin c£m ìn quþ th¦y, quþ cæ Pháng Sau ¤i håc Tr÷íng ¤i håcS÷ ph¤m H  Nëi 2 çng thíi tæi xin c£m ìn tªp thº lîp Cao håc To¡ngi£i t½ch K19 ñt 2 cõa Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ ëng vi¶ngióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n n y

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u Tr÷íng THPT QuangMinh, H  Nëi, c¡c çng nghi»p v  gia ¼nh ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï tæi

ho n th nh luªn v«n n y

H  Nëi, th¡ng 8 n«m 2017

 m Thà Th£o

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan luªn v«n n y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ngtæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m

Sè li»u v  c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l  trung thüc

MÖC LÖC

MÐ †U 2

BƒNG K HI›U 4

Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 5

1.1 Mët sè kh¡i ni»m cõa Gi£i t½ch lçi 5

1.2 B i to¡n tèi ÷u húu h¤n chi·u 7

1.3 B i to¡n tèi ÷u to n ph÷ìng 9

Ch÷ìng 2 I—U KI›N CÜC TRÀ 14

2.1 i·u ki»n tçn t¤i nghi»m 14

2.2 i·u ki»n c¦n cüc trà 30

Ch÷ìng 3 MËT SÈ ÙNG DÖNG 40

3.1 p döng º t¼m nghi»m b i to¡n tèi ÷u to n ph÷ìng 40

3.2 p döng v o nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa b i to¡n tèi ÷u to n ph÷ìng 46

K˜T LUŠN 50

T€I LI›U THAM KHƒO 50

MÐ †U

i·u ki»n cüc trà l  mët trong nhúng èi t÷ñng luæn ÷ñc quan t¥m

h ng ¦u trong nghi¶n cùu mët b i to¡n quy ho¤ch to¡n håc i·uki»n c¦n cüc trà ÷ñc sû döng rëng r¢i trong lþ thuy¸t v  ùng döng cõanhi·u l¾nh vüc to¡n håc bao gçm vi»c t¼m nghi»m, nghi¶n cùu sü tçnt¤i nghi»m v  nghi¶n cùu t½nh ên ành b i to¡n quy ho¤ch to¡n håc.Trong nhúng n«m qua vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t v  ùng döngcõa Quy ho¤ch to n ph÷ìng ¢ ÷ñc ph¡t triºn m¤nh m³ Tuy nhi¶n,nhúng i·u ki»n tèi ÷u cõa nhúng lîp b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng

câ °c tr÷ng ri¶ng s³ câ nhúng t½nh ch§t ri¶ng bi»t, ¥y câ thº coi l mët chõ · væ tªn º nghi¶n cùu v  ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc to¡nhåc V¼ vªy, sau khi håc ÷ñc c¡c ki¸n thùc v· To¡n gi£i t½ch, vîi mongmuèn t¼m hiºu s¥u hìn v· c¡c ki¸n thùc ¢ håc, mèi quan h» v  ùngdöng cõa chóng, tæi ¢ chån · t i nghi¶n cùu i·u ki»n c¦n cüc tràbªc nh§t trong quy ho¤ch to n ph÷ìng

Möc ½ch cõa luªn v«n n y, thù nh§t l  t¼m hiºu v· nhúng b i to¡nquy ho¤ch to n ph÷ìng v  nhúng i·u ki»n c¦n cüc trà cõa chóng Thængqua â th§y ÷ñc t¦m quan trång cõa nhúng ki¸n thùc ¢ håc v  ùngdöng cõa chóng Thù hai, tr¼nh b y ÷ñc mët c¡ch câ h» thèng nhúng

i·u ki»n c¦n cüc trà bªc nh§t cho mët sè lîp b i to¡n quy ho¤ch to nph÷ìng v  mët sè ùng döng cõa chóng

Luªn v«n tªp trung nghi¶n cùu nhúng i·u ki»n c¦n cüc trà bªc nh§tcho mët sè lîp c¡c b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng câ t½nh ch§t °cbi»t trong khæng gian Euclid p döng k¸t qu£ thu ÷ñc º nghi¶n cùumët sè nëi dung cõa quy ho¤ch to n ph÷ìng

Trong luªn v«n n y, ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, danh s¡ch c¡c t ili»u tham kh£o, luªn v«n bao gçm ba ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· tªp lçi, h m lçi, t½nh ch§tcõa h m lçi, b i to¡n tèi ÷u húu h¤n chi·u v  b i to¡n quy ho¤ch to nph÷ìng

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· i·u ki»n tçn t¤i nghi»m v  i·u ki»n c¦ncüc trà bªc nh§t cõa b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng

Ch÷ìng 3: Tr¼nh b y v· ¡p döng i·u ki»n c¦n cüc trà bªc nh§t v ot¼m nghi»m cõa b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng v  nghi¶n cùu t½nh ên

ành cõa b i to¡n tèi ÷u to n ph÷ìng

Do thíi gian câ h¤n n¶n luªn v«n n y ch¿ mîi døng l¤i ð vi»c t¼mhiºu, tªp hñp t i li»u, s­p x¸p v  tr¼nh b y k¸t qu£ nghi¶n cùu ¢ câtheo chõ · °t ra Trong qu¡ tr¼nh vi¸t luªn v«n công nh÷ xû lþ v«nb£n ch­c ch­n khæng tr¡nh khäi nhúng sai sât nh§t ành T¡c gi£ luªnv«n r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n º luªnv«n ÷ñc ho n thi»n hìn

loc(P) tªp nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n (P)

S(P) tªp iºm KKT cõa b i to¡n (P)

v  k vîi i·u ki»n

Ch÷ìng 1 KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, ành ngh¾a v  k¸t qu£ c¦nthi¸t li¶n quan ¸n tªp lçi, h m lçi, b i to¡n tèi ÷u húu h¤n chi·u v 

b i to¡n tèi ÷u to n ph÷ìng

Nhi·u k¸t qu£ trong ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b y ng­n gån khæng k±mtheo chùng minh C¡c k¸t qu£ â ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1, 6]

1.1 Mët sè kh¡i ni»m cõa Gi£i t½ch lçi

Trong luªn v«n n y, Rn k½ hi»u l  khæng gian Euclid n chi·u vîi t½ch

væ h÷îng h· , ·i Mët t½ch væ h÷îng h· , ·i : Rn

× Rn

→ R l  mët d¤ngsong tuy¸n t½nh x¡c ành d÷ìng Tùc l ,

(i) x 7→ hx, yi l  tuy¸n t½nh vîi måi y ∈ Rn;

(ii) hx, yi = hy, xi vîi måi x, y ∈ Rn;

(iii) hx, xi > 0 vîi måi x ∈ Rn v  hx, xi = 0 n¸u v  ch¿ n¸u x = 0.N¸u h· , ·i l  mët t½ch væ h÷îng, th¼ kxk = phx, xi x¡c ành mët chu©ntr¶n khæng gian Rn

1.1.1 Tªp lçi

ành ngh¾a 1.1.1 Tªp C ⊂ Rn ÷ñc gåi l  tªp lçi n¸u:

αx + (1 − α)y ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] (1.1)Chó þ : Quy ÷îc tªp ∅ l  tªp lçi

Mët sè ph²p to¡n tr¶n c¡c tªp lçi ÷ñc ph¡t biºu trong m»nh · sau

M»nh · 1.1.2 :

(a) Gi£ sû Ci ⊂ Rn(i ∈ I) l  c¡c tªp lçi, vîi I l  tªp ch¿ sè b§t ký.Khi â tªp ∩i∈ICi l  tªp lçi

(b) Gi£ sû C1 v  C2 l  hai tªp lçi Khi â, C1 + C2 l  tªp lçi

(c) Tªp λC l  tªp lçi vîi måi tªp lçi C v  vîi måi λ thuëc R 1.1.2 H m lçi

ành ngh¾a 1.1.3 Cho C ⊂ Rn l  mët tªp lçi H m f : C → R ÷ñcgåi l  h m lçi n¸u:

f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀α ∈ [0, 1] (1.2)Mët h m lçi f : C → R ÷ñc gåi l  lçi ng°t n¸u b§t ¯ng thùc (1.2)

h m lçi, khi â t§t c£ c¡c tªp mùc cõa nâ ·u l  tªp lçi

Thªt vªy, l§y x1, x2 ∈ C sao cho f(x1) ≤ γ v  f(x2) ≤ γ V¼ C l tªp lçi khi â, vîi måi α ∈ [0, 1] ta câ αx1 + (1 − α)x2 ∈ C Tø f lçi v 

L÷u þ, tªp mùc cõa mët h m l  lçi ch÷a ch­c h m â l  lçi Ch¯ngh¤n, h m f(x) = p|x| câ tªp mùc l  lçi nh÷ng nâ khæng ph£i h m lçi.

1.2 B i to¡n tèi ÷u húu h¤n chi·u

Nhi·u b i to¡n lþ thuy¸t v  thüc t¸ câ thº ÷a ÷ñc v· d¤ng

Minimize f(x) vîi i·u ki»n x ∈ F , (P)trong â f : Rn

→ R l  mët h m cho tr÷îc v  F ⊂ Rn l  mët tªp chotr÷îc Tø ¥y v· sau R = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} ÷ñc k½hi»u l  ÷íng th¯ng thüc mð rëng

ành ngh¾a 1.2.1 Chóng ta gåi (P) l  b i to¡n quy ho¤ch to¡n håc

H m f ÷ñc gåi l  h m möc ti¶u v  F ÷ñc gåi l  tªp r ng buëc (công

÷ñc gåi l  mi·n ch§p nhªn ÷ñc) cõa b i to¡n (P) C¡c ph¦n tû cõa F

÷ñc gåi l  c¡c v²c tì ch§p nhªn ÷ñc cõa (P) N¸u F = Rn th¼ chóng

ta nâi (P) l  mët b i to¡n khæng r ng buëc N¸u F 6= Rn th¼ chóng tanâi (P) ÷ñc gåi l  b i to¡n câ r ng buëc

ành ngh¾a 1.2.2 B i to¡n (P) ÷ñc gåi l  b i to¡n quy ho¤ch lçi(mët b i to¡n quy ho¤ch to¡n håc lçi) n¸u F l  mët tªp lçi v  f l  mët

h m lçi

ành ngh¾a 1.2.3 (xem [10, p 4]) Mët v²c tì ch§p nhªn ÷ñc ¯x ∈ F

÷ñc gåi l  mët nghi»m (to n cöc) cõa b i to¡n (P) n¸u f(¯x) 6= +∞ v 

f (¯x) ≤ f (x) vîi måi x ∈ F Chóng ta nâi r¬ng ¯x ∈ F l  mët nghi»m

àa ph÷ìng cõa (P) n¸u f(¯x) 6= +∞ v  tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa ¯xsao cho

f (¯x) ≤ f (x) vîi måi x ∈ F ∩ U (1.3)

Tªp t§t c£ c¡c nghi»m, nghi»m àa ph÷ìng cõa b i to¡n (P) ÷ñc k½hi»u l¦n l÷ñt bði Sol(P) v  loc(P)

Chóng ta nâi r¬ng hai b i to¡n quy ho¤ch l  t÷ìng ÷ìng n¸u tªpnghi»m cõa b i to¡n n y tròng vîi tªp nghi»m cõa b i to¡n kia

ành ngh¾a 1.2.4 Gi¡ trà tèi ÷u v(P) cõa (P) ÷ñc x¡c ành bði

v(P) = inf{f(x) : x ∈ F} (1.4)N¸u F = ∅ th¼ ta quy ÷îc v(P) = +∞

Nhªn x²t 1.2.5 D¹ r ng th§y r¬ng Sol(P) ⊂ loc(P) Hiºn nhi¶n l 

v  f(¯x) ≥ f(x) vîi måi x ∈ F Chóng ta nâi r¬ng ¯x ∈ F l  mët nghi»m

àa ph÷ìng cõa (P1) n¸u f(¯x) 6= −∞ v  tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa ¯xsao cho f(¯x) ≥ f(x) vîi måi x ∈ F ∩ U D¹ th§y r¬ng ¯x l  nghi»m(nghi»m àa ph÷ìng, t÷ìng ùng) cõa (P1) n¸u v  ch¿ n¸u ¯x l  nghi»m(nghi»m àa ph÷ìng, t÷ìng ùng) cõa b i to¡n cüc tiºu

Minimize − f(x) vîi i·u ki»n x ∈ F

V¼ vªy b§t ký b i to¡n cüc ¤i d¤ng (P1) câ thº suy ra b i to¡n cüctiºu d¤ng (P).

Nhªn x²t 1.2.8 L÷u þ r¬ng trong tr÷íng hñp v(P) l  mët sè thüc húuh¤n, câ thº x£y ra r¬ng Sol(P) = ∅ Ch¯ng h¤n n¸u F = [1, +∞) ⊂ R

1.3 B i to¡n tèi ÷u to n ph÷ìng

ành ngh¾a 1.3.1 Chóng ta nâi r¬ng f : Rn

→ R l  mët h m to nph÷ìng tuy¸n t½nh n¸u tçn t¤i mët ma trªn Q ∈ Rn×n, mët v²c tì

s³ gi£ thi¸t r¬ng ma trªn vuæng trong biºu di¹n h m to n ph÷ìng tuy¸nt½nh l  ma trªn èi xùng Khæng gian c¡c ma trªn vuæng èi xùng c§p

â (1.6) câ thº ÷ñc vi¸t nh÷ sau

F = {x ∈ Rn : Ax ≤ b}

ành ngh¾a 1.3.3 B i to¡n (P) ÷ñc gåi l  b i to¡n quy ho¤ch to nph÷ìng tuy¸n t½nh (ho°c to n ph÷ìng) n¸u f l  h m to n ph÷ìng tuy¸nt½nh v  F l  mët tªp lçi a di»n

Trong (1.5) n¸u Q l  ma trªn khæng th¼ f l  mët h m affine Do vªylîp b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh l  mët lîp con cõa lîp c¡c b i to¡nquy ho¤ch to n ph÷ìng Nâi chung, quy ho¤ch to n ph÷ìng l  b i to¡ntèi ÷u khæng lçi

V½ dö 1.3.4 B i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng sau l  b i to¡n khænglçi:

N¸u xâa h¬ng sè α trong biºu di¹n (1.5) cõa h m f th¼ chóng takhæng l m thay êi tªp nghi»m cõa b i to¡n min{f(x) : x ∈ F}, trong

â F ⊂ Rn l  mët tªp lçi a di»n Do â thay (1.5) chóng ta s³ th÷íng

min 1

2x

TQx + cTx : x ∈ Rn, Ax ≤ b, x ≥ 0

,

ành ¥m, t÷ìng ùng) n¸u vTQv > 0 (vTQv < 0, t÷ìng ùng) vîi méi

v ∈ Rn\ {0} N¸u vTQv ≥ 0 (vTQv ≤ 0, t÷ìng ùng) vîi méi v ∈ Rn th¼

Q ÷ñc gåi l  nûa x¡c ành d÷ìng (nûa x¡c ành ¥m, t÷ìng ùng).M»nh · 1.3.6 Cho f(x) = 1

2x

TQx + cTx + α trong â Q ∈ Rn×n

S , c ∈

Rn v  α ∈ R N¸u Q l  ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng, th¼ f l  mët h mlçi

Chùng minh V¼ x 7→ cTx + α l  h m lçi v  têng cõa hai h m lçi l mët h m lçi n¶n º chùng minh m»nh · tr¶n ta ch¿ c¦n chùng minhr¬ng f1(x) := xTQx l  h m lçi Khi Q l  ma trªn nûa x¡c ành d÷ìng,vîi méi u ∈ Rn v  v ∈ Rn ta câ

0 ≤ (u − v)TQ(u − v) = uTQu − 2vTQu + vTQv

Tø i·u n y suy ra

vTQv ≤ uTQu − 2vTQ(u − v) (1.7)

, y ∈ Rn v  t ∈ (0, 1) Trong tr÷íng hñp ma trªn Qkhæng gi£ thi¸t l  nûa x¡c ành d÷ìng ho°c khæng gi£ thi¸t l  ma trªnnûa x¡c ành ¥m, ta nâi r¬ng f(x) = 1

2x

TQx + cTx, trong â c ∈ Rn,

l  mët h m to n ph÷ìng tuy¸n t½nh khæng x¡c ành C¡c b i to¡n quyho¤ch to n ph÷ìng vîi h m möc ti¶u to n ph÷ìng tuy¸n t½nh khængx¡c ành ÷ñc gåi l  quy ho¤ch to n ph÷ìng khæng x¡c ành

Nhªn x²t 1.3.7 N¸u f ÷ñc cho bði (1.5), trong â Q ∈ Rn×n

S , ta câthº t¼m ÷ñc ¤o h m c§p hai cõa h m f, ∇2f (x) = Q vîi méi x ∈ Rn

Do â M»nh · 1.3.6 l  mët h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ sau (xem [9,Theorem 4.5]) "N¸u f : Rn

K¸t luªn

Nh¬m möc ½ch chu©n bà cho c¡c ch÷ìng k¸ ti¸p, mët sè k¸t qu£v· gi£i t½ch lçi, b i to¡n tèi ÷u húu h¤n chi·u v  b i to¡n tèi ÷u to nph÷ìng ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y

Ch֓ng 2

I—U KI›N CÜC TRÀ

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· i·u ki»n tçn t¤i nghi»m v  i·u ki»n c¦ncüc trà bªc nh§t cõa b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng

Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [6, 5, 4, 3, 8]

2.1 i·u ki»n tçn t¤i nghi»m

X²t b i to¡n quy ho¤ch to n ph÷ìng d¤ng chu©n

(2.1)

trong â Q ∈ Rn×n

S , A ∈ Rm×n, c ∈ Rn v  b ∈ Rm Tªp r ng buëc v gi¡ trà tèi ÷u cõa b i to¡n (2.1) ÷ñc k½ hi»u l¦n l÷ñt bði:

N¸u (ii) x£y ra, t§t nhi¶n (2.1) khæng câ nghi»m Mët c¥u häi tü nhi¶n

÷ñc °t ra l : Trong tr÷íng hñp (i) x£y ra, khi n o b i to¡n (2.1) luæn

câ nghi»m?

Chó þ r¬ng b i to¡n tèi ÷u vîi h m möc ti¶u khæng to n ph÷ìng câthº khæng câ nghi»m thªm ch½ trong tr÷íng hñp gi¡ trà tèi ÷u húu h¤n

Ch¯ng h¤n, b i to¡n min 1

x : x ∈ R, x ≥ 1 khæng câ nghi»m trongkhi gi¡ trà tèi ÷u ¯θ = inf 1

Chùng minh Tø gi£ thi¸t ¯θ ∈ R suy ra r¬ng F(A, b) 6= ∅ Chån mët

iºm x0 ∈ F (A, b) L§y ρ > 0 l  mët sè tòy þ °t

Fρ = F (A, b) ∩ ¯B(x0, ρ)

Chó þ r¬ng Fρ l  tªp kh¡c réng lçi v  comp­c X²t b i to¡n sau

min{f (x) : x ∈ Fρ} (2.2)Theo ành lþ Weierstrass, tçn t¤i y ∈ Fρ sao cho

÷ñc mët d¢y ρk → +∞ sao cho vîi méi k tçn t¤i yρ k ∈ Fρk sao cho

f (yρk) = qρk, kyρk − x0k = ρk (2.4)

º thuªn ti»n, chóng ta vi¸t yk thay cho yρ k V¼ yk ∈ F (A, b), n¶n chóng

ta ph£i câ Aiyk ≤ bi vîi i = 1, , m, trong â Ai k½ hi»u l  dáng thù icõa A v  bi k½ hi»u l  th nh ph¦n thù i cõa b Vîi i = 1, v¼ d¢y {A1yk}

bà ch°n tr¶n, n¶n ta câ thº chån mët d¢y {k0} ⊂ {k}sao cho lim

k 0 →∞A1yk0tçn t¤i (nâ câ thº x£y ra tr÷íng hñp lim

k 0 →∞A1yk0 = −∞.) Khæng m§tt½nh têng qu¡t chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng {k0} ≡ {k}, tùc l  ch½nhd¢y {A1yk} hëi tö T÷ìng tü, vîi i = 2 tçn t¤i mët d¢y {k0} ⊂ {k}sao cho lim

k 0 →∞A2yk0 tçn t¤i Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câ thº gi£ sû{k0} ≡ {k} Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n cho tîi khi i = m ta t¼m ÷ñcmët d¢y con {k0} ⊂ {k} sao cho t§t c£ c¡c giîi h¤n

lim

k 0 →∞Aiyk0 (i = 1, , m)tçn t¤i º cho thuªn ti»n, chóng ta s³ gi£ thi¸t r¬ng {k0} ≡ {k} °t

Tø (2.4) ta câ k(yk − x0)/ρkk = 1 vîi méi k V¼ h¼nh c¦u ìn và trong

Rn l  mët tªp comp­c, n¶n khæng gi£m têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸tr¬ng d¢y

 yk − x0

ρk

hëi tö tîi ¯v ∈ Rn khi k → ∞ Rã r ng l  k¯vk = 1 Khi ρk → +∞, vîi

Aiv = 0¯ vîi méi i ∈ I0, Aiv ≤ 0¯ vîi méi i ∈ I1 (2.5)

Tø i·u n y ta câ thº k¸t luªn ÷ñc l  ¯v l  mët h÷îng lòi xa cõa tªp lçi

a di»n F(A, b) Nh­c l¤i r¬ng (xem [9, p 61]) mët v²c tì kh¡c khæng

v ∈ Rn ÷ñc gåi l  h÷îng lòi ra cõa tªp lçi kh¡c réng Ω ⊂ Rn n¸u

x + tv ∈ Ω vîi méi t ≥ 0 v  x ∈ Ω

Ta công nh­c l¤i r¬ng tªp bao gçm 0 ∈ Rn v  t§t c£ c¡c h÷îng lòi xa

v ∈ Rn thäa m¢n i·u ki»n tr¶n ÷ñc gåi l  nân lòi xa cõa Ω Trongtr÷íng hñp cõa chóng ta, tø (2.5) chóng ta suy ra ÷ñc

y + t¯v ∈ F (A, b) vîi méi t ≥ 0 v  y ∈ F(A, b) (2.6)V¼

f (yk) = f (yρk) = qρk

= min{f (x) : x ∈ Fρk}

= min{f (x) : x ∈ F (A, b) ∩ ¯B(x0, ρk)}

v  d¢y t«ng {ρk} hëi tö tîi +∞, chóng ta th§y r¬ng d¢y {f(yk)} khængt«ng v  f(yk) → ¯θ V¼ vªy, vîi k õ lîn, ta câ

2(x

0)TQx0 + cTx0 ≤ ¯θ + 1

Chia c¡c v¸ cõa b§t ¯ng thùc tr¶n cho ρ2

k v  cho qua giîi h¤n khi

yk + t¯v ∈ F (A, b) vîi méi t ≥ 0 v  k ∈ N,

ð ¥y N l  tªp c¡c sè nguy¶n d÷ìng Sû döng (2.7), ta câ

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t ¯θ ∈ R

vîi t > 0 õ nhä.

V¼ (2.5) n¶n

Ai(yk − t¯v) = Aiyk ≤ bi vîi måi i ∈ I0.V¼ lim

k→∞Aiyk ≤ bi − ε vîi méi i ∈ I1, n¶n tçn t¤i k2 ∈ N, k2 ≥ k1, saocho Aiyk ≤ bi − ε

yk − t¯v ∈ F (A, b) vîi måi t ∈ (0, δk)

K¸t hñp i·u n y vîi (2.9) ta th§y r¬ng yk − t¯v ∈ F (A, b) v 

k(yk− t¯v) − x0k = kyk − x0 − t¯vk < kyk − x0k = ρk (2.10)vîi måi t ∈ (0, δk) õ nhä Theo (2.7) v  (2.8), ta câ

f (yk − t¯v) = f (yk) − t((yk)TD¯v + cTv) ≤ f (y¯ k)

Do vªy yk− t¯v l  mët nghi»m cõa b i to¡n

min{f (x) : x ∈ Fρk} (2.11)

Tø b§t ¯ng thùc k(yk− t¯v) − x0k < kyk− x0k trong (2.10) suy ra r¬ng

yk khæng thº l  nghi»m cõa (2.11) vîi kho£ng c¡ch nhä nh§t tîi x0,

i·u n y m¥u thu¨n

Nh÷ vªy chóng ta ¢ ch¿ ra l  tçn t¤i ˆρ > 0 sao cho (2.3) thäa m¢n

Ta ti¸p töc ch¿ ra

tçn t¤i ρ ≥ ˆρ sao cho qρ = ¯θ (2.12)

V¼ qρ = min{f (x) : x ∈ Fρ}, n¶n d¹ r ng suy ra k¸t luªn cõa ành lþ

÷ñc suy ra tø (2.12) º ¤t ÷ñc (2.12) chóng ta gi£ thi¸t ph£n chùngr¬ng

qρ > ¯θ vîi måi ρ ≥ ˆρ (2.13)L÷u þ r¬ng qρ ≥ qρ0 khi m  ρ0 ≥ ρ Công chó þ r¬ng qρ → ¯θ khi

ρ → +∞ Do vªy, tø (2.13) suy ra tçn t¤i ρi ∈ (ˆρ, +∞) (i = 1, 2) saocho ρ1 < ρ2 v  qρ 1 > qρ2 Tø ρ2 > ˆρ, v  (2.3) ta câ

kyρ2 − x0k < ρ2.V¼ qρ1 > qρ2, ta ph£i câ ρ1 < kyρ2 − x0k (thüc vªy, n¸u ρ1 ≥ kyρ2 − x0kth¼ yρ 2 ∈ Fρ1 v  f(yρ 2) = qρ2 < qρ1 = f (yρ1) i·u n y m¥u thu¨n vîic¡ch chån yρ 1) °t ρ3 = kyρ2 − x0k ta câ ρ1 < ρ3 < ρ2 V¼ ρ3 > ˆρ v 

ρ2 > ˆρ, tø (2.3) suy ra

kyρ3 − x0k < ρ3 = kyρ2 − x0k < ρ2 (2.14)V¼ ρ2 > ρ3, ta câ

qρ3 = f (yρ3) ≥ f (yρ2) = qρ2.N¸u f(yρ 3) = f (yρ2) th¼ tø (2.14) ta th§y r¬ng yρ 3 l  mët v²c tì ch§pnhªn ÷ñc cõa b i to¡n

min{f (x) : x ∈ Fρ2} (2.15)

v  qρ 2 = f (yρ2) Do vªy yρ 3 l  mët nghi»m cõa (2.15) Bði (2.14),

kyρ3 − x0k < kyρ2 − x0k

i·u n y suy ra yρ2 khæng thº l  nghi»m cõa (2.15) vîi kho£ng c¡ch tîi

x0, l  nhä nh§t, i·u n y m¥u thu¨n Do vªy ta ph£i câ f(yρ 3) > f (yρ2).V¼ kyρ −x0k = ρ3, ta suy ra ÷ñc r¬ng yρ l  mët v²c tì ch§p nhªn ÷ñc

cõa b i to¡n min{f(x) : x ∈ Fρ 3} Khi â b§t ¯ng thùc f(yρ 3) > f (yρ2)m¥u thu¨n vîi thüc t¸ l  yρ3 l  mët nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u n y.Nh÷ vªy (2.12) óng ành lþ ¢ ÷ñc chùng minh Trong ành lþ 2.1.1, f l  h m to n ph÷ìng tuy¸n t½nh v  F l  mëttªp lçi a di»n Tø ành ngh¾a 1.3.2 suy ra b§t ký tªp lçi a di»n

F ⊂ Rn, tçn t¤i mët sè nguy¶n m ∈ N, mët ma trªn A ∈ Rm×n v  mëtv²c tì b ∈ Rm sao cho F = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} i·u n y câ ngh¾a

l  ành lþ Frank-Wolfe câ thº ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: N¸u mët h m

to n ph÷ìng tuy¸n t½nh bà ch°n d÷îi tr¶n mët tªp a di»n, th¼ b i to¡ntèi ÷u vîi h m möc ti¶u to n ph÷ìng tuy¸n t½nh tr¶n tªp r ng buëc adi»n n y ph£i câ nghi»m

N¸u f l  mët h m to n ph÷ìng tuy¸n t½nh nh÷ng F khæng ph£i l tªp a di»n, th¼ k¸t luªn cõa ành lþ 2.1.1 câ thº khæng cán óng.V½ dö 2.1.2 Cho f(x) = x1 vîi méi x = (x1, x2) ∈ R2 °t F = {x =(x1, x2) ∈ R2 : x1x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} Chóng ta câ ¯θ := inf{f(x) :

x ∈ F } = 0, nh÷ng b i to¡n min{f(x) : x ∈ F} khæng câ nghi»m.N¸u F l  mët tªp a di»n nh÷ng f khæng ph£i l  h m to n ph÷ìngtuy¸n t½nh, th¼ k¸t luªn cõa ành lþ 2.1.1 câ thº khæng óng Trong v½

dö sau, f l  a thùc bªc 4 cõa c¡c bi¸n x1 v  x2

Ta câ thº ch¿ ra c£ hai b i to¡n min{f(x) : x ∈ F} v  min{f(x) : x ∈

R2} khæng câ nghi»m

Cho mët h m to n ph÷ìng tuy¸n t½nh v  mët tªp lçi a di»n, vi»cchùng tä h m to n ph÷ìng n y bà ch°n d÷îi tr¶n mët tªp câ thº g°pkhâ kh«n Trong ph¦n cán l¤i cõa möc n y, mët ành lþ tçn t¤i nghi»mkh¡c ÷ñc tr¼nh b y ành lþ n y cho chóng ta cæng cö º thay th¸ vi»cchùng minh h m möc bi¶u bà ch°n d÷îi tr¶n tªp r ng buëc ành lþ

n y ÷ñc Eaves cæng bè v o n«m 1971

ành lþ 2.1.4 (ành lþ Eaves, xem [4, Theorem 3 v  Corollary 4, p.702]) B i to¡n (2.1) câ nghi»m n¸u v  ch¿ n¸u ba i·u ki»n sau thäam¢n:

(i) F(A, b) kh¡c réng;

(ii) N¸u v ∈ Rn v  Av ≤ 0 th¼ vTQv ≥ 0;

(iii) N¸u v ∈ Rn v  x ∈ Rn sao cho Av ≤ 0, vTQv = 0 v  Ax ≤ b, th¼(Qx + c)Tv ≥ 0

Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû r¬ng (2.1) câ nghi»m ¯x V¼ ¯x ∈

F (A, b), n¶n i·u ki»n (i) ÷ñc thäa m¢n L§y b§t ký v ∈ Rn vîi

Av ≤ 0, v¼ A(¯x + tv) = A¯x + tAv ≤ b vîi méi t ≥ 0, ta câ ¯x + tv ∈

F (A, b) vîi méi t ≥ 0 Do vªy f(¯x + tv) ≥ f(¯x) vîi méi t ≥ 0 Suy ra1

2t

2vTQv + t(Q¯x + c)Tv ≥ 0 vîi méi t ≥ 0, do â vTQv ≥ 0 i·u n ych¿ ra (ii) ÷ñc thäa m¢n B¥y gií ta gi£ sû r¬ng v ∈ Rn v  x ∈ Rn

vîi t½nh ch§t Av ≤ 0, vTQv = 0 v  Ax ≤ b V¼ x + tv ∈ F(A, b)vîi méi t ≥ 0 v  ¯x l  mët nghi»m cõa (2.1) ta câ f(x + tv) ≥ f(¯x)vîi méi t ≥ 0 tø i·u n y v  i·u ki»n vTQv = 0 chóng ta suy rat(Qx + c)Tv + 1

2x

T

Qx + cTx ≥ f (¯x) vîi méi t ≥ 0 i·u n y suy ra(Qx + c)Tv ≥ 0 Do vªy ta ¢ ch¿ ra i·u ki»n (iii) thäa m¢n

i·u ki»n õ: Gi£ thi¸t r¬ng c¡c i·u ki»n (i), (ii) v  (iii) ÷ñc thäam¢n °t ¯θ = inf{f(x) : x ∈ Rn, Ax ≤ b} V¼ F(A, b) 6= ∅, ta câ

¯

θ 6= +∞ N¸u ¯θ ∈ R th¼ kh¯ng ành cõa ành lþ ÷ñc suy ra tø ành lþFrank-Wolfe Do vªy ta ch¿ c¦n chùng minh tr÷íng hñp ¯θ = −∞ khængthº x£y ra º ¤t ÷ñc m¥u thu¨n, ta gi£ sû r¬ng ¯θ = −∞ B¥y gií

ta câ thº ti¸n h nh t÷ìng tü nh÷ trong ành lþ 2.1.1

Cè ành mët iºm x0 ∈ F (A, b) Vîi méi ρ > 0, °t Fρ = F (A, b) ∩

lim

k 0 →∞Aiyk0 (i = 1, , m)tçn t¤i Khæng gi£m têng qu¡t ta câ thº gi£ thi¸t {k0} ≡ {k} °t

V¼ k(yk − x0)/ρkk = 1 vîi méi k, n¶n khæng m§t t½nh têng qu¡t ta câthº gi£ thi¸t r¬ng d¢y

k→∞

Aix0 − bi

ρk = Aiv.¯

Do â

Aiv = 0¯ vîi méi i ∈ I0, Aiv ≤ 0¯ vîi méi i ∈ I1

Tø i·u n y chóng ta suy ra

y + t¯v ∈ F (A, b) vîi méi t ≥ 0 v  y ∈ F(A, b) (2.16)