Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh của hệ phương trình g navier stokes

Đào Trọng Quyết, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Dáng điệu tiệm cậnnghiệm mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes" được hoànthành bởi nhận thức của bản thân tác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT

HÀ NỘI, 2017

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đào Trọng Quyết, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyên ngành Toán Giảitích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tớigia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi chotôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Phạm Thanh Đức

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Đào Trọng Quyết, luậnvăn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Dáng điệu tiệm cậnnghiệm mạnh của hệ phương trình g-Navier-Stokes" được hoànthành bởi nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Phạm Thanh Đức

MỞ ĐẦU 1

1.1 Các không gian hàm, toán tử và bất đẳng thức liên quan

đến số hạng phi tuyến 51.1.1 Các không gian hàm 51.1.2 Các toán tử 61.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 71.2 Tập hút lùi 8

2 Tập hút lùi của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều 112.1 Đặt bài toán 112.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh 122.3 Tập hút lùi 19

là thách thức lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý Tuy nhiên, vìnhu cầu của Khoa học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình

Navier-Stokes nói riêng và các phương trình, hệ phương trình trong cơ họcchất lỏng nói chung ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết.

Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, rất nhiều lớp phương trình

và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu hút được sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm quantrọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán họcđặt ra khi nghiên cứu chúng Một trong số đó là lớp hệ phương trình

g-Navier-Stokes, được đưa ra lần đầu tiên bởi J Roh năm 2001 Hệ phươngtrình g-Navier-Stokes có dạng:

ở đóg = g(x) là một hàm số dương cho trước Như được đề cập trong [12],

có hai lí do chính dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trìnhg-Navier-Stokes,đặc biệt là trong trường hợp hai chiều:

1 Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất hiện một cách tựnhiên khi nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều trongmiền mỏng Ωg = Ω × (0, g), ở đóΩ là miền hai chiều, và các tính chấttốt của hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sẽ giúp ích cho việcnghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes trong miền mỏng ba chiều

2 Về mặt toán học, hệ phương trình này là một dạng tổng quát của hệphương trình Navier-Stokes, cụ thể khi g = const, ta thu lại được hệphương trình Navier-Stokes cổ điển Vì vậy nếu có một kết quả đốivới lớp phương trình này, thì chỉ cần cho g = 1, ta sẽ nhận được kếtquả tương ứng đối với hệ phương trình Navier-Stokes Ngược lại, việcchuyển những kết quả đã biết đối với hệ phương trình Navier-Stokescho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt ra những vấn đề toán học líthú

Chính vì những lí do trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes này đãthu hút được sự quan tâm, nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong vàngoài nước trong những năm gần đây (xem, chẳng hạn, [2], [3], [9], [10],[13], [14]).

Khi nghiên cứu các lớp phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung

và hệ phương trình g-Navier-Stokes nói riêng, chúng ta thường bắt đầu vớicâu hỏi chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây cóthể là nghiệm yếu hoặc nghiệm mạnh) Sau đó chúng ta nghiên cứu dángđiệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian dần ra vô cùng bằng cách chứngminh sự tồn tại tập hút lùi Nếu biết được dáng điệu tiệm cận của nghiệmthì chúng ta sẽ biết được xu hướng phát triển của hệ và từ đó có các điềuchỉnh hợp lí theo mong muốn Với ý nghĩa như vậy nên chúng tôi chọn đềtài nghiên cứu của luận văn là: “Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnhcủa hệ phương trình g-Navier-Stokes.” Ngoài lời cảm ơn, mở đầu,phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai chương:Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày lí thuyết cơ bản về tập hút lùi,đây là công cụ được sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm củabài toán được xét trong chương 2

Chương 2: Tập hút lùi của hệ phương trình g-Navier-Stokeshai chiều

Trong chương này chúng tôi chứng minh sự tồn tại tập hút lùi đối với

hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút lùi Áp dụng kếtquả tổng quát này để chứng minh sự tồn tại tập hút lùi của nửa nhóm

sinh bởi hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sau khi đã chứng minh

sự tồn tại, duy nhất nghiệm mạnh của hệ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm mạnh của hệ phươngtrình g-Navier-Stokes hai chiều

• Nghiên cứu lý thuyết tổng quát về sự tồn tại tập hút lùi

• Áp dụng chứng minh sự tồn tại tập hút lùi của nửa nhóm sinh bởi hệphương trình g-Navier-Stokes hai chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: tập hút lùi của hệ động lực tiêu hao vô hạnchiều

• Phạm vi nghiên cứu: tập hút lùi của hệ phương trình g-Navier-Stokeshai chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp Galerkin

• Nghiên cứu sự tồn tại của tập hút: các phương pháp của lí thuyết hệđộng lực

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Áp dụng được kết quả tổng quát này để chứng minh sự tồn tại tập hút lùicủa hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], [4] chúng tôi trình bàycác không gian hàm cần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes và thiếtlập các đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến trong phương trình.Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ và một số bất đẳng thứcthường dùng để sử dụng trong chương sau của luận văn

1.1 Các không gian hàm, toán tử và bất đẳng thức liên quan

và chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)g, ||u||2 = ((u, u))g Từ giả thiết của hàm

g được xét trong luận văn (xin xem chi tiết ở Chương 2), dễ thấy chuẩn

| · | và || · || tương đương với chuẩn thông thường trong (L2(Ω))2 và trong

(H01(Ω))2

Đặt

V = {u ∈ (C0∞(Ω))2 : ∇ · (gu) = 0}

Ký hiệu Hg là bao đóng của V trong L2(Ω, g), và Vg là bao đóng của V

trong H01(Ω, g) Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg0 ⊂ Vg0, trong đó các phép nhúngtrù mật và liên tục Ta dùng ký hiệu || · ||∗ cho chuẩn trong Vg0, và h., i chỉđối ngẫu giữa Vg và Vg0 Các không gian trên đều là không gian Hilbert

1.1.2 Các toán tử

Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes như sau.Đặt A : Vg → Vg0 là toán tử xác định bởi hAu, vi = ((u, v))g Kíhiệu D(A) = {u ∈ Vg: Au ∈ Hg}, thì D(A) = H2(Ω, g) ∩ Vg và Au =

−Pg∆u, ∀ u ∈ D(A), trong đó Pg là toán tử chiếu trực giao từ L2(Ω, g)

1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến

Sử dụng bất đẳng thức H¨older, bất đẳng thức Ladyzhenskaya (vớin = 2)sau đây:

|u|L4 ≤ c|u|1/2|∇u|1/2, ∀u ∈ H01(Ω),

và bất đẳng thức nội suy, như trong [15, 16], ta có

c1|u|12kuk12kvk|w|12kwk12, ∀u, v, w ∈ Vg,

c2|u|12kuk12kvk12|Av|12|w|, ∀u ∈ Vg, v ∈ D(A), w ∈ Hg,

c3|u|12|Au|12kvk|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg, w ∈ Hg,

c4|u|kvk|w|12|w|12|Aw|12, ∀u ∈ Hg, v ∈ Vg, w ∈ D(A),

trong đó ci, i = 1, , 4, là các hằng số xác định

Bổ đề 1.1.2 ([8]) Cho u ∈ L2(τ, T ; Vg) Khi đó hàm Bu xác định bởi

hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ Vg, h.k t ∈ [τ, T ],

thuộc L2(τ, T ; Vg0)

Bổ đề 1.1.3 Cho u ∈ L2(0, T ; D(A)) ∩ L∞(0, T ; Vg) Khi đó hàm Bu

xác định bởi

hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg, h.k t ∈ [0, T ],

thuộc L4(0, T ; Hg), bởi vậy cũng thuộc L2(0, T ; Hg)

Chứng minh Từ Bổ đề 1.1.1, với hầu khắp t ∈ [0, T ], ta có

|Bu (t)] ≤ c3|u (t)|1/2|Au (t)|1/2ku (t)k ≤ c03ku (t)k3/2|Au (t)|1/2

ku (t)k6|Au (t)|2dt

≤ c kuk6L∞ (0,T ;Vg)

Z T 0

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút toàn cục

và tập hút lùi sẽ được sử dụng trong luận văn

Trong suốt mục này, giả sử X là một không gian Banach và nửa khoảngcách Hausdorff distX(·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩanhư sau

distX(A, B) := sup

a∈A

inf

b∈B||a − b||, với A, B ⊂ X

Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các ánh xạ phụthuộc hai tham biến {U (t, τ )} trong X có các tính chất sau:

U (t, r)U (r, τ ) = U (t, τ ) với mọi t ≥ r ≥ τ,

U (τ, τ ) = Id với mọi τ ∈ R

Giả sử B(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X, và D là mộtlớp khác rỗng các tập được tham số hóa D = {D(t) : t ∈ˆ R} ⊂ B(X).Định nghĩa 1.2.1 Quá trình {U (t, τ )} được gọi là D-compact tiệm cậnlùi nếu với bất kì t ∈ R, bất kì D ∈ Dˆ , bất kì dãy τn → −∞, và bất kìdãy xn ∈ D(τn), dãy {U (t, τn)xn} là compact tương đối trong X

Định nghĩa 1.2.2 Họ các tập bị chặn B ∈ Dˆ gọi là D-hấp thụ lùiđối với quá trình U (t, τ ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì D ∈ Dˆ , tồn tại

Định lý 1.2.4 ([17]) Giả sử {U (t, τ )} là quá trình liên tục sao cho

{U (t, τ )} là D-compact tiệm cận lùi Nếu tồn tại một họ các tập D-hấpthụ lùi B = {B(t) : t ∈ˆ R} ∈ D, thì {U (t, τ )} có một tập D-hút lùi duy

Chương 2

Tập hút lùi của hệ phương trình

g-Navier-Stokes hai chiều

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán biên ban đầu không ôtônômđối với hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều trong miền bị chặn Sựtồn tại và duy nhất nghiệm mạnh của bài toán được trình bày ở phần đầuchương Tiếp theo, chúng tôi trình bày dáng điệu tiệm cận của nghiệmmạnh thông qua việc chứng minh sự tồn tại của tập hút lùi Nội dung củachương này dựa theo kết quả của bài báo [4], [6] trong danh mục tài liệutham khảo

trong đóu = u(x, t) = (u1, u2) là hàm véctơ vận tốc và p = p(x, t) là hàm

áp suất cần tìm, ν = const> 0 là hệ số nhớt, u0 là vận tốc ban đầu

Để nghiên cứu bài toán trên, ta giả thiết hàm g thỏa mãn điều kiện sau:

(G) g ∈ W1,∞(Ω) thỏa mãn

0 < m0≤ g(x) ≤ M0 với mọi x = (x1, x2) ∈ Ω, và |∇g|∞ < m0λ1/21 ,

ở đó λ1 > 0 là giá trị riêng nhỏ nhất của toán tử g-Stokes trong Ω

(tức là toán tử A trong Chương 1, mục 1.1)

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm mạnh

Trước tiên chúng ta nhắc lại định nghĩa nghiệm mạnh của bài toán (2.1).Định nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ L2(0, T ; Hg) và u0 ∈ Vg, nghiệm mạnh trênkhoảng (0, T )của bài toán (2.1) là hàm u ∈ L2(0, T ; D(A)) ∩ L∞(0, T ; Vg)

với u(0) = u0 thỏa mãn:

d

dt(u(t), v)g + ν((u(t), v))g + ν(Cu(t), v)g + b(u(t), u(t), v) = (f (t), v)g

(2.2)với mọi v ∈ Vg và h.k t ∈ (0, T )

Nhận xét 2.2.2 Từ định nghĩa trên, dễ thấy nghiệm mạnh u ∈

L2(0, T ; D(A)) và du

dt = f − νAu − Bu − Cu ∈ L

2(0, T ; Hg) dựa trêncác Bổ đề 1.1.2 và 1.1.4 Hơn nữa, theo Bổ đề 1.2 trong [15], ta có

u ∈ C([0, T ]; Vg) Chú ý rằng nếu u là nghiệm mạnh của bài toán (2.1)thì u thỏa mãn phương trình:

du

dt(t) + νAu(t) + Bu(t) + Cu(t) = f (t) trong Hg,với h.k t ∈ (0, T ) ,

và thỏa mãn đẳng thức năng lượng sau với mọi 0 ≤ s < t ≤ T,

|u(t)|2 + 2ν

Z t s

ku(r)k2dr + 2ν

Z t s

b(∇g

g , u(r), u(r))dr

=|u(s)|2 + 2

Z t s

(f (r), u(r))gdr

Tiếp theo ta đưa ra một số đánh giá tiên nghiệm đối với nghiệm mạnhcủa bài toán (2.1)

Bổ đề 2.2.3 Nếu u là nghiệm mạnh của (2.1) trên (0, T ) thì

|f (t)|2dt

Vậy (2.4) được chứng minh

Bổ đề 2.2.4 Nếu u là nghiệm mạnh của bài toán (2.1) trên (0, T ) thì

sup

t∈[0,T ]

||u(t)||2 ≤ K3, K3 = K3(K1, K2), (2.6)

Z T 0

|Au(t)|2dt ≤ K4, K4 = K4(K1, K2) (2.7)

Chứng minh Từ (2.2), thay v bởi Au(t) ta có:

4|Au(t)|2 + c03|u(t)|2|||u(t)||4

+ ν|∇g|∞

m0λ1/21

|Au(t)|2 + ν|∇g|∞λ

1/2 1

θ(t) = c03|u(t)|2|||u(t)||2 + ν|∇g|∞λ

1/2 1

2m0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu được:

y(t) ≤ y(0) exp(

Z t 0

θ(τ )dτ ) +

Z t 0

a(s) exp(

Z t 0

θ(τ )dτ )ds,

hay

||u(t)||2 ≤ ||u0||2exp

Z t 0

c03|u(τ )|2|||u(τ )||2 + ν|∇g|∞λ

1/2 1

Z t 0

|f (s)|2exp

Z t 0

c03|u(τ )|2|||u(τ )||2

+ ν|∇g|∞λ

1/2 1

xạ u0 7→ u(t) liên tục trên Vg với mọi t ∈ [0, T ], nghĩa là, nghiệm mạnhphụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Chứng minh (i) Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục củanghiệm vào điều kiện ban đầu Giả sử u và v là hai nghiệm mạnhcủa bài toán (2.1) tương ứng với điều kiện đầu u0, v0 Đặt w = u − v, tacó

Lấy tích vô hướng với Aw, ta có

d

dt(w, Aw)g + ν(Aw, Aw)g + ν(Cw, Aw)g = b(v, v, Aw) − b(u, u, Aw).

Vì (Aϕ, ψ)g = ((ϕ, ψ))g và tính chất tuyến tính đối với từng biến của

2 3

ν |u||Au|||w||2 + ν

2|Aw|2 + 6c

4 3

νλ1 kv(s)k4)ds,

hay

||u(t) − v(t)||2 ≤ ||u0 − v0||2exp

Z t 0

(ν|∇g|

2

∞

m2 0

+ 2c

2 3

ν |u(s)||Au(s)| + 6c

4 3

Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Từ (2.11), thay wj bởi Aum(t) ta có

Từ các đánh giá trên, ta kết luận rằng tồn tại u ∈ L2(0, T ; D(A)) ∩

L∞(0, T ; Vg) với u0 ∈ L2(0, T ; Hg), và tồn tại dãy con {um}, để đơn giản

ta vẫn kí hiệu như cũ, thỏa mãn

{um} hội tụ *-yếu đến u trong L∞(0, T ; Vg),{um} hội tụ yếu đến u trong L2(0, T ; D(A)),{(um)0} hội tụ yếu đến u0 trong L2(0, T ; Hg)

Do Ω bị chặn nên theo bổ đề compact (xem [15] Chương III, Định lí 2.1)

ta đi đến kết luận: Tồn tại dãy con, vẫn kí hiệu là um, hội tụ mạnh đến u

trong L2(0, T ; Vg) Từ đó ta có thể chuyển qua giới hạn trong số hạng phituyến b dựa theo bổ đề sau với chứng minh tương tự như Bổ đề 3.2 ở [15,Chương III]

Bổ đề 2.2.6 Nếu um hội tụ mạnh tới u trong L2(0, T ; Vg) thì với mọihàm véc tơ w có các thành phần thuộc C1([0, T ] × Ω), ta có

Z T

0

b(um(t), um(t), w(t))dt →

Z T 0

b(u(t), u(t), w(t))dt

Chứng minh Cuối cùng, ta cần chứng minh u(0) = u0 Thật vậy, kí hiệu

ψ là hàm khả vi liên tục trên [0, T ] với ψ(T ) = 0 Nhân vô hướng (2.11)với ψ(t) và tích phân từng phần số hạng đầu, ta có:

(Aum(t), wjψ(t))gdt

+ ν

Z T 0

(Cum(t), wjψ(t))gdt +

Z T 0

b(um(t), um(t), wjψ(t))dt

= (um(0), wj)gψ(0) +

Z T 0

(f (t), wjψ(t))gdt

Chuyển qua giới hạn, và do {wj}∞j=1 trù mật trong Vg, ta có

−

Z T 0

(u(t), vψ0(t))gdt + ν

Z T 0

(Au(t), vψ(t))gdt

+ν

Z T 0

(Cu(t), vψ(t))gdt +

Z T 0

b(u(t), u(t), vψ(t))dt

= (u0, v)gψ(0) +

Z T 0

(f (t), vψ(t))gdt (2.12)đúng với mọi v ∈ Vg Mặt khác, ta nhân (2.2) với ψ(t), và lấy tích phântrên khoảng (0, T ) Sau khi tích phân từng phần số hạng đầu, ta thu được

−

Z T 0

(u(t), vψ0(t))gdt + ν

Z T 0

(Au(t), vψ(t))gdt

+ν

Z T 0

(Cu(t), vψ(t))gdt +

Z T 0

b(u(t), u(t), vψ(t))dt

= (u(0), v)gψ(0) +

Z T 0

Bổ đề 2.3.1 Cho t ∈ R bất kì và bD ∈ DHg

µ , tồn tại τ1(D, t) < t − 3b saocho với τ ≤ τ1(D, t)b và bất kì uτ ∈ D(τ ) có:

m0 ρ2(t) +

2ν

Nhân 2 vế của (2.18) với γnj và lấy tổng từ j = 1 tới n ta có

|un(r; τ, uτ)|2 ≤ ρ1(t), ∀r ∈ [t − 3, t], τ ≤ τ1(D, t), ub τ ∈ D(τ ), (2.21)

ở đó ρ1(t) được cho bởi (2.14)

Nhân hai vế của (2.18) với λjγnj(s), ở đó λj là giá trị riêng liên kết vớihàm riêng vj và lấy tổng từ j = 1 đến n ta có

dθ, ∀τ ≤ r − 1 ≤ s ≤ r

Tích phân bất đẳng thức trên theo s từ r − 1 tới r ta có

= (f (θ), (un(θ))0)g, ∀θ > τ (2.27)Theo Bổ đề 2.1 và 2.3 trong [4], và Bất đẳng thức Cauchy, (2.27) có nghĩalà

2|(un(θ))0|2 + ν d

dθkun(θ)k2 ≤ 1

3|(un(θ))0|2 + 3|f (θ)|2+ 1

3|(un(θ))0|2 + 3c21|Aun(θ)|2kun(θ)k2+ 1

r

Z

r−1

kun(θ)k2dθ

với ∀r ∈ [t − 1, t], τ ≤ τ1(D, t), ub τ ∈ D(τ ), ρ4(t) được cho bởi (3.7).

Từ un hội tụ yếu tới u(.; τ, uτ) trong L2(t − 3, t; D(A)), (un)0 hội tụ yếutới u0(.; τ, uτ) trong L2(t − 3, t; Hg) và u(.; τ, uτ) ∈ C([t − 3, t]; Vg); từ Bổ

đề 11.2 trong [7] ta có thể lấy qua giới hạn khi n 7→ +∞ trong (2.21),(2.25), (2.26) và (2.28) và nó chỉ ra (2.23) đúng

Nhận xét 2.3.2 Rõ ràng theo giả thuyết của Bổ đề 2.3.1, lim

t→−∞eµtρ1(t) =

0 Nói cách khác, {BHg(0, ρ1/21 (t)) : t ∈ R} trong đóBHg(0, ρ1/21 (t)) là hìnhcầu đóng trong Hg tâm O và bán kính ρ1/21 (t) với ρ1(t) được cho bởi (2.14),thuộc DHg

U (t, τ )D(τ ) ⊂ D0,Vg(t) với ∀τ ≤ τ (D, t).bĐặc biệt, họ bD0,Vg là DHg ,V g

µ - hấp thụ lùi với quá trình U trong Vg

Bổ đề 2.3.4 Giả sử f ∈ L2loc(R; Hg) thỏa mãn điều kiện (2.2) Khi đó,quá trình U (t; τ ) trong Vg là DHg ,V g

µ - compact tiệm cận lùi

Chứng minh Cố địnht ∈ R, họ bDVg ∈ DHg ,V g

µ , một dãy{τn}vớiτn → −∞

và dãy {uτn} ⊂ Vg với uτn ∈ DVg(τn) với ∀n Ta phải chứng minh dãy

{un(t) = un(t; τn, uτn)} là compact tương đối trong Vg