Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG MOON.VN – Học để khẳng định mình VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH].. Qua điểm M kẻ các ti
Trang 1Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG MOON.VN – Học để khẳng định mình
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH] (Khối A – 2011)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0 và đường tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0 Gọi I
là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A
và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10
Đ/s: M( 3;1)−
Ví dụ 2: [ĐVH] (Khối B – 2006)
Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−2x−6y+ =6 0, M( 3;1).− Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B
là các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB
Đ/s: AB: 2x+ − =y 3 0
Ví dụ 3: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−4)2+y2=4, N(4;1). Tìm điểm M trên Oy sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N
Đ/s: M(0; 4)
Ví dụ 4: [Tham khảo] Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0, d x: +2y− =12 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600
Lời giải:
Ta có ( ) ( ) (2 )2 ( )
C = −x + y− = ⇒ C có tâm I( )2;1 và bán kính R= 5
Gọi M∈d x: +2y− =12 0⇒M(2t+12;−t)⇒IM=(2t+10;− −t 1)
⇒ = + + − − = + +
Gọi A, B là hai tiếp điểm Bài ra có
0
0
60 120
AMB AMB
• TH1 AMB=600⇒AMI =30 0 Do đó sin 5 sin 300 1 2 20
2
IA
( )
2
;
= − ⇒
• TH1 AMB=1200⇒AMI =60 0 Do đó sin 5 sin 600 3 2 20
IA
3
Phương trình vô nghiệm vì ∆ =' 632−15.283= −276<0
Đ/s: M( )6;3 hoặc 6 27;
5 5
Ví dụ 5: [Tham khảo] Cho đường tròn ( ) :C x2+y2+2x−4y=0, d x: − + =y 1 0 Tìm điểm M thuộc d sao cho qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C), với các tiếp điểm là A, B đồng thời
60
=
AMB
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)
BG12 BÀI TOÁN VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN (P1)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG MOON.VN – Học để khẳng định mình
Lời giải:
Từ giả thiết ( ) ( ) (2 )2 ( )
C x+ + y− = ⇒ C có tâm I(−1; 2) và bán kính R= 5
Ta có ( ) 1 2 1
2
= = < ⇒ cắt ( )C
2
IA
M∈d x− + =y ⇒M t t+ ⇒IM= +t t− ⇒IM = +t + −t = t +
= ⇒
= − ⇒ − −
Đ/s: M( )3; 4 hoặc M(− −3; 2 )
Ví dụ 6: [Tham khảo] Cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ −(y 2)2=4, N(2;1). Tìm điểm M trên
: + + =2 0
d x y sao cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) đồng thời AB đi qua N
Lời giải:
( )C có tâm I( )1; 2 và bán kính R=2 Do M∈d x: + + =y 2 0⇒M t( ;− −t 2)⇒IM= − − −(t 1; t 4)
( ) (2 )2
⇒ = − + − − = + + = + = + ⇒ = + +
Ta có MA=MB Gọi ( )T là đường tròn tâm M bán kính R'=MA=MB
⇒ − + + + = = + + ⇔ + − + + = +
Tọa độ của A, B là nghiệm của hệ ( ) ( )
2 2
+ − + + = +
2 2
⇒ + − + + − − − − = + − ⇔ − + + − − = (1)
Tọa độ của A, B thỏa mãn (1) ⇒AB: 2 2( − t x) (+ 2t+8)y− − =2t 9 0
⇒ − + + − − = ⇔ − + + − − = ⇔ = ⇒ −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 và đường tròn
( ) : (C x−2) + −(y 3) =4 Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ của điểm M biết tứ giác MAIB có diện
tích bằng 2 6
Lời giải
( ) : (C x−2) + −(y 3) =4⇒I 2, 3 ,R=2
Gọi M(3 2 ,− m m)
Ta có: 2 6=S MABI =2S AIM =IA AM =R IM2−R2 =2 IM2−4 2 2
( ) (2 )2
1 2m m 3 10
( )
1, 2 2
M m
−
=
⇔ ⇔
=
Bài 2: [ĐVH]. Cho đường thẳng d: x – y + 2 = 0 và đường tròn ( ) :C x2+y2−2x+4y− =4 0 Gọi I là tâm của đường tròn (C), M là một điểm thuộc d Qua điểm M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (với A và B là
Trang 3Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG MOON.VN – Học để khẳng định mình
2 2
( ) :C x +y −2x+4y− =4 0⇒ C : x−1 + y+2 =9⇒ I 1, 2 ,− R=3
Gọi M m( , 2−m)
Ta có: 6 2 =S MABI =2S AIM =IA AM =R IM2−R2 =3 IM2− ⇔9 IM2 =17
( ) (2 )2 0 ( ) ( )0, 2
M m
=
⇔ − + − = ⇔ ⇔
=
Bài 3: [ĐVH] Cho đường tròn và đường thẳng
+ + =
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác MAB vuông
Lời giải
( ) : (C x−1) + +(y 2) =9⇒I 1, 2 ,− R=3
Gọi M a( ,− −m a)
2a 2 m 3 a m 4m 13 0
⇔ + − + − − =
Trên có duy nhất một điểm M mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C)
5
m
m
=
⇔ − = − − ⇔ − − = ⇔
= −
Bài 4: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) :C x2+y2−6x+ =5 0 Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua có thể kẻ
được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và góc giữa hai tiếp tuyến bằng 600
Lời giải
( ) :C x +y −6x+ =5 0⇒I 3, 0 ,R=2 Gọi M(0,m )
Do AMB=600⇒AMI =300⇒ IM =2R= ⇔ +4 9 m2=16⇔ = ±m 7suy ra M(0; 7 ),M(0;− 7 )
Bài 5: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : 2 2 4, 1; 8 , (3; 0)
3
+ = −
C x y A B Tìm điểm M trên đường tròn sao tam
giác MAB có diện tíc bằng 20
3
Lời giải
Ta có:
= = ⇒ = − ⇒ − − + =
hay − +4x 3y+ =12 0
• ( ) 2
d M AB
AB
Suy ra M thuộc đường thẳng song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB 4 đơn vị dài Giả
sử đường thẳng đó là ( )d ( )
( )
: 4 3 8 0 : 4 3 32 0
− + − =
⇒
− + + =
25 25
− + − = ⇒ = ∩ ⇒ − −
• ( )d : 4− +x 3y+32=0⇒ vô nghiệm
Trang 4Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG MOON.VN – Học để khẳng định mình Bài 6: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−2)2+ −(y 3)2=10
Hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn đã cho Tìm tọa độ các đỉnh A, C biết rằng cạnh AB đi qua
( 3; 2)− −
M và điểm A có hoành độ dương
Lời giải
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, CD Dễ thấy E,F lần lượt là tiếp điểm
của AB,CD với đường tròn 2 2 ( )
( ) : (C x−2) + −(y 3) =10⇒I 2, 3 ,R= 10 Giả sử nAB =(m n, ) ( ) (⇒ AB :m x+ +3) (n y+ =2) 0
( ) ( ) (, : 2) ( 3) 0
AC
n= a b ⇒ AC a x− +b y− =
2 2
5
+
+
3
3,1 1
1, 3 3
AB AB
n
= −
= − = −
+) Với nAB = −( 3,1) ( )⇒ AB : 3− + − =x y 7 0⇒E(−1, 4)⇒F( ) ( )5, 2 ⇒ CD : 3− + + =x y 13 0
Ta có
2
2 2
3 1
2
=
= − = −
AC
AC
a b
nAC =( ) ( )2,1 ⇒ AC : 2x+ − =y 7 0⇒A( )0, 7 (loại)
5 5
AC
= − ⇒ − − = ⇒ −
(loại) +) Với nAB = −(1, 3) ( )⇒ AB :x−3y− =3 0⇒E( )3, 0 ⇒F( ) ( )1, 6 ⇒ CD :x−3y+17=0
Ta có:
2
2 2
2
1, 2 3
1
2
=
= − = −
AC
AC
n
nAC =( ) ( )1, 2 ⇒ AC :x+2y− =8 0⇒A( ) (6,1 ;C −2, 5)
nAC = −( 1, 2) ( )⇒ AC :− +x 2y− =4 0⇒ A(−18, 7− )(loại)
Bài 7: [ĐVH] (Khối D – 2007) Cho đường tròn và đường thẳng
trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (với A, B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác PAB đều
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2− )và bán kính R=3 Ta có tam giác PAB đều nên IP=2IA=2R= ⇔6 P
thuộc đường tròn ( )C' tâm I bán kính R'=6
Trên d có duy nhất 1 điểm P thoã mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với ( )C' tại P
41 5
m m
m
=
⇔ = = ⇔ = ⇔
= −
Bài 8: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−2)2+ −(y 4)2=8, d x: − − =y 2 0 Tìm điểm M trên d để qua M có
Trang 5Chương trình TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG MOON.VN – Học để khẳng định mình
Lời giải:
Gọi M t t( ; −2) và H =MI∩AB ta có: I( )2; 4 ;R= 8
2 2
IAB
R
Dấu bằng xảy ra khi AIB=900 ⇒MIA=450 khi đó tam
giác AMI vuông cân tại A ta có: MI = AI 2 =R 2=4
( ) (2 )2 6 ( ) ( )2; 0
M t
=
⇔ − + − = ⇔ ⇒
=
Bài 9: [ĐVH] Cho đường tròn ( ) : (C x−1)2+ +(y 1)2=1, M(2; 0). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (với A, B là các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB
Lời giải:
Dễ thấy tứ giác MAIB là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm K
là trung điểm của MI vì A và B cùng nhìn MI một góc 90 0
Ta có: I(1; 1 ;− ) R=1 Phương trình đường tròn ngoại tiếp
tứ giác MAIB là:
− + + =
Khi đó tọa độ 2 điểm A,B thoã mãn hệ phương trình sau:
Hệ PT:
⇒ + − =
Vậy AB x: + − =y 1 0
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn