Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)

Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (Luận văn thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy

Tác giả

Tạ Thị Tú Anh

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Nga, người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn đến thầy Lê Văn Tiến, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, cô Vũ Như Thư Hương, cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Tăng Minh Dũng

về những bài giảng didactic bổ ích Tôi cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 26 để tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TS Claude Comiti và GS.TS Annie Bessot

về những lời góp ý cho đề cương luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu

để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn

Xin kính chúc quý thầy cô luôn dồi dào sức khỏe và hạnh phúc

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp Didactic toán khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Thống Nhất A (Đồng Nai) cùng toàn thể học sinh lớp 11A4 đã giúp tôi hoàn thành tốt thực nghiệm

Tác giả

Tạ Thị Tú Anh

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Mô hình hóa và giải bài toán bằng đại số 7

1.1.1 Mô hình hóa toán học 7

1.1.2 Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số 8

1.2 Những khó khăn của học sinh khi giải quyết vấn đề bằng đại số 10

1.3 Năng lực đại số 11

1.4.Cấu trúc phân tích đa chiều đại số 12

1.5 Kết luận 14

Chương 2 MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SGK TOÁN 10 VIỆT NAM & SGK TOÁN CỦA MỸ 15

2.1.Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Toán 10 Việt Nam 16

2.2.Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Toán ở Mỹ 28

Chương 3 THỰC NGHIỆM 39

3.1 Nội dung thực nghiệm và mục đích xây dựng các bài toán 39

3.2 Dàn dựng kịch bản 40

3.3.Đối tượng thực nghiệm 42

3.4.Phân tích tiên nghiệm 42

3.5.Phân tích hậu nghiệm 59

3.6.Kết luận 88

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GTLN : Giá trị lớn nhất GTNN : Giá trị nhỏ nhất

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Cấu trúc phân tích đa chiều đại số (Grugeon, 2000, tr.11) 12

Bảng 2.1 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 19

Bảng 2.2 Cấu trúc phân tích đa chiều đại số 23

Bảng 2.3 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn 29

Bảng 3.1 Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược 60

Bảng 3 2 Thống kê kết quả ở pha 1 60

Bảng 3.3 Thống kê kết quả ở pha 3 73

Bảng 3.4 Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược 78

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Sơ đồ mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair 8

Hình 3.1 Trích bài làm nháp của HS 59

Hình 3.2 Trích bài làm của HS7 61

Hình 3.3 Trích bài làm của HS24 62

Hình 3.4 Trích bài làm của HS6 65

Hình 3.5 Trích bài làm của HS30 66

Hình 3.6 Trích bài làm của nhóm 1 67

Hình 3.7 Trích bài làm của nhóm 5 69

Hình 3.8 Trích bài làm của nhóm 4 71

Hình 3.9 Trích bài làm của HS7 75

Hình 3.10 Trích bài làm nháp của HS15 76

Hình 3.11 Trích bài làm của HS 23 77

Hình 3.12 Trích bài làm của nhóm 1 79

Hình 3.13 Trích bài làm của nhóm 8 80

Hình 3.14 Trích bài làm của nhóm 4 82

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu

Ở lớp 10, SGK toán đưa ra các bài toán thực tiễn để mang lại ý nghĩa thực tế cho một vài tri thức toán học như phương trình, bất phương trình, các hàm số, các biểu thức đại số Qua tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012), chúng tôi quan tâm tới bài toán tối ưu tuyến tính được SGK Toán lớp 10 đề xuất cho học sinh nhằm mang lại ý nghĩa thực tế cho một vài chủ thể toán học như các phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, các hàm số, các biểu thức đại số, … Để giải quyết những bài toán này HS cần chuyển tình huống bài toán ban đầu thành mô hình toán học, mô hình này bao gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn Để thiết lập được các bất phương trình này, HS cần xác định rõ các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất, biết giữ lại các yếu tố cần thiết để xây dựng mô hình toán học Bằng cách sử dụng chữ cái

để biểu thị cho đại lượng chưa biết (ẩn số), và bộ công cụ kí hiệu của đại số như: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức để thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết để tạo ra các bất phương trình Sau khi thiết lập được mô hình toán học là

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, HS cần phải sử dụng các phương pháp, kĩ thuật giải để tìm ra nghiệm cho hệ bất phương trình trên Như vậy, giải bài toán tối ưu tuyến tính giúp HS rèn luyện và phát triển được năng lực về toán học như: tư duy và suy luận; lập luận; mô hình hóa, sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán

Để tìm hiểu về những năng lực này, trong một nghiên cứu của Adolphe Adihou (2009) đã chỉ ra những hoạt động đại số nào HS sử dụng trong việc giải bài toán tối ưu tuyến tính, qua đó chúng tôi thấy rằng: bằng cách sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại

số (dấu các phép toán, chữ cái) thì tình huống của bài toán tối ưu tuyến tính hữu hạn biến (2 biến) sẽ được biểu diễn thành các hàm số, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn Ngoài ra, những bài toán tối ưu tuyến tính có nhiều điểm tương tự với vấn đề mô hình hóa theo nghĩa của Grugeon1 (2000) Từ phân tích này có thể xác định được các mặt

1 Grugeon (2000, 1997) đã nói đến các năng lực đại số bằng cách đặc trưng hóa nó thành 4 loại vấn đề đại số: các vấn đề số học, các vấn đề tổng quát hoá, các vấn đề mô hình hóa và các vấn đề của phạm vi đại số và hàm

khác nhau của năng lực đại số trong việc giải bài toán tối ưu tuyến tính Đồng thời cũng thấy được đại số tham gia như thế nào trong việc giải quyết vấn đề, và đâu là những phép toán có thể được sử dụng trong việc giải quyết vấn đề

Từ những ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong giải quyết vấn đề thực

tế trong từng ngữ cảnh cụ thể nhờ vào sự hỗ trợ của hệ thống các phương trình đại số cho thấy đại số đã giúp giải quyết vấn đề thực tế như thế nào, và vai trò công cụ của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong việc giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính, chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là: Mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu để định hướng cho nghiên cứu như sau: SGK toán lớp 10 trình bày tri thức này ra sao? Cách trình bày của SGK có giúp học sinh biết vận dụng tri thức này vào thực tiễn? Những năng lực đại số nào cần thiết trong quá trình giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Học sinh gặp khó khăn gì trong quá trình này?

2 Tổng quan các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài

Ayla Arseven (2015)2 đã phân tích và đánh giá về tầm quan trọng của mô hình toán học, tầm quan trọng và vị trí của mô hình trong trường tiểu học, trung học cơ sở và trung học, chương trình toán học dựa trên cách tiếp cận mang tính xây dựng xã hội, được phát triển vào năm 2005 và được sửa đổi vào năm 2013 do Bộ Giáo dục Quốc gia ( MNE) của Thổ Nhĩ Kỳ Tác giả cũng đánh giá hoạt động mô hình hóa được bao gồm trong chương trình Quốc gia (Thổ Nhĩ Kỳ) Đây được xem là nghiên cứu sẽ góp phần vào việc phát triển chương trình toán học của MNE dựa trên cách tiếp cận mang tính xây dựng ở Thổ Nhĩ Kỳ

Nguyễn Thị Nga (2014), Dạy học mô hình hóa toán học ở bậc trung học, đề tài khoa học công nghệ cấp trường, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong công trình nghiên cứu này tác giả đã làm rõ cơ sở lí luận liên quan đến mô hình hóa toán học, những khó khăn và trở ngại của dạy học mô hình hóa cũng như sự quan tâm đến vấn đề dạy học mô hình hóa ở các nước khác nhau Tiếp đó tác giả đã phân tích và

2 Ayla Arseven, Mathematical Modelling Approach in Mathematics Education, Universal Journal of Educational Research 3(12): 973-980, 2015

so sánh vấn đề mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề hàm số lượng giác ở Việt Nam và Pháp

Luận văn thạc sĩ “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm vectơ ở hình học lớp 10” của Đoàn Công Thành (2015) Tác giả trình bày về sự hình thành và phát triển của khái niệm vectơ trong lịch sử, sự xuất hiện của nó gắn liền với những bài toán, vấn đề nào Tác giả cũng nghiên cứu trong chương trình toán cấp THPT Việt Nam, vectơ được tiếp cận như thế nào từ phương diện dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa

Phạm Anh Lý (2012), Nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học

thông qua KNV Giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính Qua

việc nghiên cứu các ràng buộc thể chế đối với KNV giải bài toán thực tế bằng cách lập

hệ phương trình, kết quả nghiên cứu cho thấy các bước của quá trình mô hình hóa không được thực hiện đầy đủ (chủ yếu học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3, tức là hoạt động trong mô hình toán học) Cuối cùng, tác giả xây dựng một tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa với mong muốn giúp học sinh tiếp cận với các bước của quá trình mô hình hóa toán học và giúp học sinh thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hoá để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án tiến sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong luận án, tác giả đã thống kê một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học của một số tác giả trên thế giới, nghiên cứu lí thuyết về mô hình hóa toán học và chương trình toán 10 nâng cao hiện nay, phân tích mối liên quan giữa quá trình toán học hóa và các năng lực hiểu biết định lượng, tìm hiểu các nội dung toán lớp

10 để thiết kế các tình huống toán học hóa tạo cơ hội thúc đẩy học sinh phát triển các năng lực hiểu biết định lượng Đồng thời xây dựng thang đánh giá giúp cho điểm các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh thông qua quá trình toán học hóa

Võ Đức Hiền (2009), Nghiên cứu didactic về dạy học các bài toán tối ưu trong chủ

đề giải tích ở trường phổ thông, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong luận văn, tác giả trình bày về nghiên cứu lịch sử hình thành bài toán tối ưu, kiểu tình huống, cách giải bài toán tối ưu Đề tài luận văn yêu cầu nghiên cứu trong chủ đề Giải tích Tuy nhiên, ngoài giải tích thì bài toán tối ưu còn được thể hiện trong các chủ đề khác như: Đại số, Hình học, Tọa độ, vì vậy nên tác giả cũng đã xem xét chúng trong các chủ đề này Nghiên cứu bài toán tối ưu trong SGK Toán phổ thông của các lớp 7, 10, 11, 12, tác giả đưa ra quy tắc hợp đồng sau: “bài toán tối ưu giải bằng phép quay không được xuất hiện trong chương trình lớp 11 ban

cơ bản” Tác giả xây dựng một tiểu đồ án dạy học, tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với phép quay trong việc giải bài toán tối ưu

Nguyễn Thị Nhung (2012), Một nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các giáo trình đại học cũng như các TCTH xoay quanh khái niệm này Tương tự, vết của các TCTH này trong chương trình toán ở bậc phổ thông (phân tích CT và SGK toán lớp 10) cũng đã được làm rõ, vấn đề mô hình hóa cũng được SGK quan tâm thể hiện trong bài toán kinh tế

Từ các công trình có liên quan ở trên cho thấy mô hình hóa và giải quyết vấn đề bằng đại số đối với bài toán tối ưu tuyến tính lớp 10 chưa được nghiên cứu sâu và chưa

có một nghiên cứu nào xây dựng tình huống dạy học nhằm giúp HS thấy được ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán tối ưu tuyến tính, đồng thời có thể kiểm tra và đánh giá được những năng lực đại số mà HS thể hiện trong quá trình giải Vì vậy, chúng tôi chọn mô hình hóa trong dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10 làm chủ đề cho nghiên cứu của mình

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi sử dụng lý thuyết didactic toán, mà cụ thể là thuyết nhân học trong didactic toán (quan hệ thể chế) Nhờ các TCTH, chúng tôi có thể phân tích được sách Toán lớp 10 hiện hành đã cho phép học sinh sử dụng công cụ đại số để giải quyết bài toán tối ưu như thế nào theo quan điểm về mô hình hóa của Bélair (2004) và Grugeon

(2000) Ngoài ra chúng tôi sử dụng khái niệm dạy học mô hình hoá và dạy học bằng

mô hình hoá để giúp chúng tôi có cơ sở lý thuyết xây dựng một tình huống dạy học về

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

4 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

4.1 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng tình huống dạy học bài toán tối ưu tuyến tính cho HS lớp 10 gắn với mô hình hóa để giúp HS phát triển được các năng lực đại số

4.2 Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi khuôn khổ lý thuyết đã chọn, chúng tôi trình bày câu hỏi nghiên cứu của mình như sau:

CH1: Quá trình mô hình hóa là gì? Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải quyết vấn đề bằng đại số là gì? Năng lực đại số là gì?

CH2: Trong dạy học toán ở bậc phổ thông, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày ra sao? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ như thế nào với MHH toán học? Những công cụ đại số can thiệp như thế nào trong quá trình MHH toán học? Các đối tượng đại số nào tham gia vào việc giải bài toán thực tế và cách xử lý chúng thế nào?

CH3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày như thế nào trong SGK Mỹ? Chúng cho phép giải quyết những vấn đề gì? Vấn đề MHH được quan tâm ở mức

độ nào? Có sự chênh lệch nào giữa SGK toán 10 và SGK Mỹ về tri thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn liên quan đến MHH?

CH4: Làm thế nào xây dựng tình huống dạy học bài toán tối ưu tuyến tính cho HS lớp 10 gắn với mô hình hóa để giúp HS phát triển được các năng lực đại số?

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phân tích, tổng hợp một số công trình nghiên cứu đã có để làm rõ phạm vi lí thuyết của đề tài, đặc biệt về vấn đề mô hình hóa, giải quyết vấn đề bằng đại số

5.2 Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Phương pháp phân tích: SGK Toán lớp 10 Việt Nam, SGK Mỹ

- Phương pháp thực nghiệm: Xây dựng một tình huống dạy học và thực nghiệm trên học sinh lớp 10

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Mô hình hóa và giải bài toán bằng đại số

1.1.1 Mô hình hóa toán học

Mô hình hoá toán học được nhen nhóm, phát triển và nghiên cứu trong những năm thập niên 70 của thế kỉ trước Những nhà nghiên cứu nổi tiếng trong lĩnh vực này không thể không nói đến Pollak, Blum Niss, Lesh & Doerr…

Theo Từ điển Bách khoa toàn thư, mô hình hoá toán học là sự giải thích toán học

cho một hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương trình, hệ thống các phương trình… Hiểu một cách nôm na, mô hình hoá toán học là việc người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt lại một tình huống thực tiễn (có thể trong phạm vi toán học hay ngoài toán học như vật lí, sinh học…), chuyển tình huống đó thành một mô hình toán học Sau đó, sử dụng công cụ toán học để giải quyết mọi vấn đề trên mô hình toán học vừa nhận được và cuối cùng mới quay trở lại trả lời cho những câu hỏi được đặt ra từ hệ thống ban đầu

Trong tài liệu “Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học toán”, hai

tác giả Vũ Như Thư Hương và Lê Thị Hoài Châu, sau khi phân tích quá trình mô hình hóa toán học, đã đưa ra nhận xét như sau:

Như thế, mô hình hóa toán học là quá trình cấu trúc lại vấn đề cần giải quyết

nhờ những khái niệm toán học được lựa chọn một cách phù hợp Quá trình ấy

được thực hiện thông qua việc xây dựng mô hình phỏng thực tế bằng cách “cắt

tỉa” – hay ngược lại bổ sung thông tin – để có thể gắn vấn đề ban đầu với các

quy trình toán học… Bài toán toán học cuối cùng được xây dựng phải đại diện

trung thực cho bối cảnh thực tế [2, tr.2]

Sự trình bày định nghĩa mô hình hóa toán học như trên cũng tương tự của Edwards

và Hamson (2001):

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn

đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và

đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết

không thể chấp nhận [1, tr.26]

Như vậy, người thực hiện mô hình hóa toán học phải giải quyết vấn đề thực tế trong “môi trường” toán học, sau đó quay trở lại thực tế, đối chiếu, nếu chưa phù hợp thì phải thay đổi mô hình toán học ban đầu

Để ngắn gọn, từ lúc này trở đi, chúng tôi sẽ dùng cụm từ “mô hình hóa” thay cho

mô hình hóa toán học

1.1.2 Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số

Trong luận văn này, chúng tôi xin trình bày sơ đồ mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số của tác giả Bélair (2004)

Hình 1 1 Sơ đồ mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair

(2004) [15, tr.7]

Theo sơ đồ trên, mô hình hóa toán học vừa là một quá trình dịch từ các giả thiết của một tình huống thực tế thành phương trình (quá trình toán học hóa), sau đó, sử dụng các thao tác toán học để giải quyết phương trình đó (toán học) và đồng thời cần kiểm tra tính xác đáng của giải pháp mà phương trình đưa ra với tình huống thực tế Sơ

đồ này hoạt động thông qua ba bước và được giải thích như sau:

Bước 1- Toán học hóa:

Chuyển đổi vấn đề trong thực tế thành một mô hình toán học gồm phương trình (hệ các phương trình) Để xây dựng mô hình toán học này cần xác định rõ các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất, giữ nguyên cốt lõi của bài toán thực tiễn; từ đó, xây dựng những quy luật dựa trên các đối tượng được giữ lại Cần chỉ rõ các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét Từ đó, xây dựng mô hình toán học bằng cách thiếp

lập mối quan hệ giữa các biến và các tham số trong tình huống để tạo ra phương trình (hệ các phương trình) Yêu cầu đặt ra là mô hình toán học này, sau khi được phân tích, cho phép ta hiểu được bản chất của bài toán thực tế ban đầu

Bước 2- Giải quyết bài toán toán học:

Lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để đưa ra nghiệm cho bài toán được xây dựng

từ phương trình (hệ các phương trình)

Bước 3- Trả lời cho bài toán thực tiễn:

Phân tích và kiểm định lại nghiệm của bài toán toán học thu được trong bước hai Với kết quả thu được ở bước hai, sử dụng nó để đưa ra câu trả lời cho vấn đề thực tiễn ban đầu Tuy nhiên, cần đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình hóa

Từ đây có hai khả năng:

Khả năng 1: Mô hình toán học và kết quả tính toán phù hợp với thực tế

Khả năng 2: Mô hình toán học và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế Khi

đó, các nguyên nhân sau đây cần được xem xét:

Sự chính xác của các phép toán, thuật toán đã vận dụng để đưa ra kết quả

Mô hình toán học chưa chính xác hay chưa phản ánh đúng nghĩa của tình huống thực

tế ban đầu

Số liệu được cung cấp không phản ánh đúng thực tế

Trong trường hợp này, cần tiến hành xây dựng lại mô hình toán học cho đến khi tìm được lời giải thích đáng

Để thực hiện được bước 1 trong quá trình mô hình hóa của Bélair, học sinh sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại số như: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức, hệ thống chữ để thiết lập mối liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết, sau đó tính toán trên những mối liên hệ này đến khi nhận được kết quả cần tìm Tư tưởng tổng quát của nó là biểu thị đại lượng chưa biết bằng một chữ - gọi là ẩn (có điều kiện thích hợp cho ẩn) và biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng của bài toán bằng một (hay một hệ) phương trình

Có thể nói, sức mạnh của đại số thể hiện ở việc dùng chữ thay cho ẩn số Lúc này, vấn đề thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng (dù là ẩn số hay đại lượng đã biết) không còn là trở ngại Với số học, điều này không thực hiện được, vì việc diễn giải lí

luận bằng lời và thực hiện các phép toán trong những trường hợp phức tạp đôi khi trở nên quá dài dòng Chính vì đại số là một công cụ hữu hiệu như vậy nên việc học sinh chuyển từ số học sang đại số khiến cho học sinh rơi vào khó khăn Mô hình hóa toán học bằng đại số cũng gây ra một vài khó khăn cho học sinh, nhưng đồng thời nó cũng được coi như một phương pháp trong giảng dạy môn đại số nhằm mang lại ý nghĩa cho môn học này

1.2 Những khó khăn của học sinh khi giải quyết vấn đề bằng đại số

Ở phần này chúng tôi tổng hợp các kết quả từ công trình nghiên cứu của Vergnaud

và Cortes (1986), Van Ameron (2003), Adihou (2009)

Việc giải quyết vấn đề bằng đại số được đặc trưng bằng một giai đoạn thiết lập phương trình và một giai đoạn của sự giải phương trình (hay các phương trình) Theo nghiên cứu của Vergnaud và Cortes (1986), đã chứng minh rằng phần khó nhất đối với học sinh khi giải các bài toán thực tế bằng đại số là toán học hóa vấn đề (bước 1 của quá trình mô hình hóa), là làm sao MHH bài toán thực tế về bài toán toán học Các tác giả này đã ghi chú rằng:

Giai đoạn phương trình hóa vấn đề là giai đoạn khó khăn nhất, chọn lọc thông

tin và diễn giải sang đại số cần phải có sự giảng dạy một cách hệ thống [15,

tr.7]

Van Ameron (2003), bằng cách tham chiếu các công trình của Kieran, đã chỉ ra những khó khăn liên quan đến ngôn ngữ đại số Bằng việc tham chiếu với các phương trình đã được học, HS sử dụng ngôn ngữ đại số để đưa về các phương trình đã biết, và giải chúng Do đó, khó khăn của ngôn ngữ đại số là khó khăn trong việc biểu diễn chúng Khó khăn được sinh ra trong việc HS tạo lập thông tin, chuyển đổi, chọn lựa phương trình để giải quyết

Từ nghiên cứu của Adihou (2009) đã chỉ ra rằng, để tìm câu trả lời cho một vấn đề trước tiên cần toán học hóa vấn đề đó, tức là xây dựng các biểu thức đại số và hệ phương trình tuyến tính, sau đó giải quyết chúng Một vài SGK và giáo viên coi hoạt động này như là sự tổng quát hóa của số học Tuy nhiên, toán học hóa là sự giảm thiểu thực tế để làm việc với những đối tượng toán học - Bélair (2004) Vì vậy, học sinh tự kiểm tra trong suốt quá trình diễn giải vấn đề để chuyển nó về dạng phương trình

nhằm tìm ra câu trả lời Ông đã tập trung nghiên cứu các vấn đề tối ưu hóa tuyến tính (được đề xuất cho HS khi học về giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn) vì để xác định câu trả lời cho bài toán này, sẽ kéo theo các nội dung kỹ thuật liên quan đến các phương trình tuyến tính (dạng phương trình) và áp dụng các kĩ thuật đại số Ông cho rằng việc này sẽ làm giảm bớt sự ấn tượng về những giờ học chỉ toàn lí thuyết và cho phép đặt các kiến thức vào một bối cảnh cụ thể; và như vậy ít nhiều ông đặt trách nhiệm cho học sinh phải động não giải quyết vấn đề và tìm ra câu trả lời

1.3 Năng lực đại số

Cá nhân mỗi HS tham gia vào quá trình mô hình hóa (Bélair (2004)) cần sử dụng

bộ công cụ kí hiệu của đại số để toán học hóa thành công các tình huống bên ngoài toán học, và những ý tưởng bao quát cần có được một số các năng lực đại số Mỗi năng lực này có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực đại số khác nhau, theo cả hai kỹ năng

cụ thể và mức độ thành thạo đòi hỏi Để xác định và kiểm tra những năng lực này, chúng tôi sử dụng năng lực đại số đặc trưng theo công trình nghiên cứu của Grugeon (2000) Về vấn đề này, Grugeon (2000) đã nêu rõ:

Năng lực đại số không chỉ đánh giá qua khả năng chuyển đổi các phương trình

đại số Năng lực đại số còn có thể được đánh giá thông qua khả năng giải quyết

vấn đề ở đó đại số được sử dụng như một công cụ thường xuyên Đó là khả

năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề, diễn giải

nó ra và huy động các công cụ đại số phù hợp đề giải quyết nó [15, tr.6]

Như vậy, năng lực đại số bao gồm:

- Khả năng chuyển đổi các phương trình đại số: sử dụng các tính chất của phép toán để tạo ra các phương trình tương đương để giải quyết những bài toán trong thực tế hay bài toán toán học

- Khả năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề: bằng cách sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại số (chữ cái, dấu các phép toán) để tạo ra phương trình, bất phương trình nhằm biểu thị cho tình huống thực tế

- Khả năng diễn giải vấn đề bằng đại số

- Khả năng huy động các công cụ đại số phù hợp để giải quyết vấn đề

1.4 Cấu trúc phân tích đa chiều đại số

Để phân tích những bài toán tối ưu tuyến tính nhằm đảm bảo sự phát triển các năng lực đại số (năng lực đại số được Grugeon (2000) nêu đặc trưng thông qua bốn nhóm vấn đề của đại số: các vấn đề số học, các vấn đề tổng quát hoá, các vấn đề mô hình hóa và các vấn đề của phạm vi đại số và hàm), chúng tôi thấy được, những bài toán tối ưu tuyến tính là những vấn đề về mô hình hóa Chúng được đặt ra để mang lại

ý nghĩa thực tế cho các biểu thức đại số và biến nó thành công cụ để giải quyết vấn đề

Để nghiên cứu những hoạt động đại số, chúng tôi phân tích nội dung các bài toán tối

ưu tuyến tính bằng cách sử dụng các mô hình và cấu trúc phân tích đa chiều đại số được đề xuất bởi Grugeon (2000)

Mô hình này được tổ chức xoay quanh 6 cấu phần chính sau đó là các tiêu chí cho phép phân tích, đặc trưng hóa các kiến thức về đại số ở giáo viên cũng như học sinh về mặt dạy và học

Bảng 1 1 Cấu trúc phân tích đa chiều đại số (Grugeon, 2000, tr.11)

Các cấu phần Các tiêu chí Các giá trị tổng thể

Xử lí đại số

Loại xử lí đại số : các

nhiệm vụ tính toán số Các nhiệm vụ đại số mức 1 Các nhiệm vụ đại số mức 2 Diễn giải một biểu thức đại

số Diễn dịch/móc nối với công

thức Diễn dịch/ Hình thành

Sử dụng đại số để chứng

minh

Chính xác/ không chính xác/ không xử lí

Mối quan hệ số học /đại số

Phương pháp giải Số học/ đại số

Vai trò của dấu bằng Thông báo kết quả/ tương

đương Vai trò các chữ cái Chữ cái đối tượng/ chữ cái

Cách thức xử lí

Chính xác/ diễn giải ( liên quan đến vấn đề)/ không diễn giải được Mối liên hệ giữa hệ thống

Vai trò của Đại số Sử dụng đại số

Không sử dụng/ đúng với mong đợi ( xem bảng 1)/ không đúng với mong đợi

[15, tr.12]

Mức độ 1: cách giải thuật toán đơn giản

Mức độ 2: tính toán phải phụ thuộc vào các ràng buộc, biết lựa chọn và kiểm soát hình thức phù hợp để xử lý đại số, đồng thời chúng phải phù hợp với bài toán

1.5 Kết luận

- Mô hình hóa toán học là quá trình tạo ra mô hình toán học (được hiểu là sử dụng công cụ toán học để diễn tả một tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học) nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó

- Quá trình mô hình hóa gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair (2004)

là một quá trình tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt (công cụ của đại

số như: dấu các phép toán, chữ cái) để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như: phương trình, bảng biểu, hàm số, biểu thức,…để từ đó HS có một cái nhìn rõ ràng hơn

về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn Mô hình hóa toán học này gồm 3 bước: Bước 1, chuyển đổi vấn đề trong thực tế thành một mô hình toán học gồm phương trình (hệ các phương trình); Bước 2, lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để đưa ra nghiệm cho bài toán được xây dựng từ phương trình (hệ các phương trình); Bước 3, từ kết quả của bài toán toán học đem lại câu trả lời cho bài toán thực tế, cần đối chiếu chúng với thực

tế để có thể đưa ra được đáp án cho bài toán ban đầu hay cần thiết phải quay lại để thiết lập một mô hình khác

- Cá nhân mỗi HS khi tham gia vào quá trình mô hình hoá gắn với việc giải bài toán bằng đại số theo Bélair (2004) có thể đạt được một số các năng lực đại số Mỗi năng lực này có thể đạt được ở các mức độ thành thạo khác nhau Theo Grugeon (2000), năng lực đại số này được hiểu là: khả năng chuyển đổi các phương trình đại số; khả năng tạo ra các biểu thức và quan hệ đại số để diễn dịch một vấn đề; khả năng diễn giải vấn đề bằng đại số; khả năng huy động các công cụ đại số phù hợp đề giải quyết vấn đề Cấu trúc phân tích đa chiều đại số của Grugeon (2000) cho phép phân tích chi tiết những năng lực này

Từ những điều chúng tôi tổng kết ở trên cho thấy mô hình hóa cần thiết vì chúng giúp cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống Vì thế, trong luận văn này, chúng tôi tiến hành tìm hiểu việc dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học trong SGK Toán lớp 10 ở VN, và SGK Toán ở

Mỹ Qua đó, những năng lực đại số nào có thể được hình thành cho học sinh? Điều này được thực hiện trong chương 2 của luận văn

-

Chương 2 MÔ HÌNH HOÁ TRONG DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SGK TOÁN 10

VIỆT NAM & SGK TOÁN CỦA MỸ Mục tiêu của chương

Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được nghiên cứu trong luận văn

Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Toán của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012) - Một

nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong luận văn này, tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong giáo trình đại học cũng như các TCTH xoay quanh khái niệm này Tương tự, vết của các TCTH này trong chương trình toán ở bậc phổ thông cũng đã được làm rõ Vì vậy, trong nghiên cứu này chúng tôi sẽ không phân tích lại mối quan hệ thể chế với khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mà chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc dạy học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa Chúng tôi sẽ sử dụng cấu trúc phân tích đa chiều đại số của Grugeon vào các phân tích trong nghiên cứu này

Thật vậy, SGK đã đề xuất cho học sinh các bài toán tối ưu tuyến tính để thiết lập mối liên hệ với các môn học khác như môn kinh tế, môn sinh học và,để mang lại ý nghĩa cho các tri thức toán như các phương trình, bất phương trình, các hàm số, các biểu thức đại số Trong chương trình lớp 10 ở bậc phổ thông, các đối tượng này được giảng dạy và sử dụng như công cụ để giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính Điều

này sẽ được chúng tôi tập trung nghiên cứu thông qua KNV Tìm phương án tối ưu cho

bài toán thực tế

Việc tham khảo luận văn trên chưa cho phép chúng tôi trả lời cho các câu hỏi đặt

ra ban đầu mà đòi hỏi chúng tôi phải tiến hành nghiên cứu SGK Toán 10 Việt Nam và SGK Toán của Mỹ để tìm câu trả lời cho chúng Chúng tôi nhắc lại các câu hỏi như sau:

CH2: Trong dạy học toán ở bậc phổ thông, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày ra sao? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ như thế nào với MHH toán học? Những công cụ đại số can thiệp như thế nào trong quá trình MHH toán học?

Các đối tượng đại số nào tham gia vào việc giải bài toán thực tế và cách xử lý chúng thế nào?

CH3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày như thế nào trong SGK Mỹ? Chúng cho phép giải quyết những vấn đề gi? Vấn đề MHH được quan tâm ở mức

độ nào? Có sự chênh lệch nào giữa SGK toán 10 và SGK Mỹ về tri thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn liên quan đến MHH?

2.1 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Toán 10 Việt Nam

Nhằm đáp ứng yêu cầu mới của giáo dục, một trong những định hướng để xây dựng SGK Toán 10 như sau:

Mặt khác, lâu nay có một số kiến thức đưa vào trong nội dung chương trình chỉ

nhằm cung cấp phương tiện để giải một số bài tập nào đó chứ không cần thiết

cho cuộc sống cũng như cho việc học tập sau này Những kiến thức như vậy sẽ

bị loại bỏ để không gây nặng nề cho học sinh, không làm cho việc giải bài tập

toán trở nên quá khó [4, tr.3]

Như vậy, khi xây dựng nội dung SGK bước đầu cũng đã quan tâm đến tính thực tiễn của toán học Qua đây, giúp học sinh hình thành và phát triển kĩ năng “toán học hóa tình huống thực tế” Vậy liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, vấn đề

mô hình hóa toán học được quan tâm ở mức độ nào? Qua đó, những năng lực đại số nào có thể được hình thành cho học sinh?

Phần kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày trong SGK Toán 10 ở chương IV “Bất đẳng thức Bất phương trình”, trong bài “Bất phương trình bậc nhất hai ẩn” chiếm 2 /15 số tiết của chương (SGK Toán 10 CB), 3 / 25 số tiết của chương (SGK Toán 10 NC) Mục tiêu cần đạt được trong bài này là:

Về kiến thức: Hiểu khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình bậc

nhất hai ẩn, nghiệm và miền nghiệm của chúng

Về kĩ năng: Biểu diễn được tập nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương

trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ [4, tr.20]

Mục tiêu SGK đặt ra yêu cầu HS hiểu và giải các bài toán bất phương trình cũng như hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên phương diện toán học Vấn đề về mô hình hóa không phải là mục tiêu mà SGK nhắm tới

Từ kết quả nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012), chúng tôi có thể tóm tắt về cách trình bày phần kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau: Nhìn chung, SGK có sự trình bày phần kiến thức này khá kĩ lưỡng bao gồm các phần: định nghĩa, định lý giúp xác định miền nghiệm, thuật toán xác định miền nghiệm

và ví dụ cụ thể SGK CB đã đưa ra các quy tắc để xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : axbyc

Bước 2: Lấy một điểm không thuộc  (ta thường lấy gốc tọa độ

Chú ý: Mỗi miền nghiệm của bất phương trình bỏ đi đường

thẳng là miền nghiệm của bất phương trình [3,

tr.95]

Tuy nhiên, về phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì SGK chỉ đưa ra một phương pháp duy nhất là PPHH (sử dụng đồ thị) như là một phương pháp đặc thù trong khi bất phương trình cũng như hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một đối tượng toán học thuộc về đại số Giải thích cho vấn đề này, tác giả Nguyễn Thị Nhung (2012) đã tìm thấy một lí do mà chúng tôi trích lại sau đây:

Ta có thể giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chẳng hạn như

như sau: Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã

cho là Nhưng cách giải này không mấy ý nghĩa và

khó áp dụng để giải một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Do đó, người ta

quan tâm nhiều hơn đến cách biểu diễn tập nghiệm (hay xác định miền

nghiệm) của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ như SGK

đã trình bày [11, tr.31]

Qua phân tích SGK, chúng tôi nhận thấy khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được cả hai bộ SGK tiếp cận bằng con đường thuần túy toán học Các ví dụ chỉ mang tính chất dẫn dắt vào các khái niệm chứ chưa đặt hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào tình huống thực tế để HS thấy được sự cần thiết phải làm nảy sinh khái niệm toán học này

Từ nghiên cứu của Nguyễn Thị Nhung (2012) chúng tôi thống kê được các KNV liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

TNbpt: Xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật SGK lựa chọn là kỹ thuật hình học Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật

là định lý: “Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một trong hai nửa ấy (không kề bờ (d)) gồm các điểm

có tọa độ thỏa mãn bất phương trình , nửa mặt phẳng còn lại (không

kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ”

nghiệm là nửa phẳng kể cả bờ

TNhbpt: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Kỹ thuật được hình thành từ yếu tố công nghệ: Nghiệm của hệ bất phương trình là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình có trong hệ

TPATU: Tìm phương án tối ưu cho bài toán thực tế

Kỹ thuật:

 Gọi là cặp số cần tìm

 Lập các ràng buộc cho bài toán (các bất phương trình)

 Lập biểu thức là biểu thức mà ta cần tìm GTLN hay GTNN

 Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên

 Tính giá trị của tại các đỉnh của miền nghiệm và chọn giá trị lớn nhất

Với KNV trên, chúng tôi tiến hành thống kê số lượng bài tập trên cả hai bộ sách (CB

& NC) đặc biệt là các bài toán thực tế để làm rõ sự quan tâm của SGK với mô hình hóa

Bảng 2 1 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

toán học

Bài toán ngoài phạm

vi toán học

Bài toán toán học

Bài toán ngoài phạm

Từ bảng 2.1 ta thấy, bài tập thực tế trong sách CB là 3 bài trên tổng số 10 bài, sách

NC là 4 bài trên tổng 19 bài Điều này cho thấy cả hai bộ sách có quan tâm đến việc sử dụng kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các tình huống thực

tế Tuy nhiên, các bài toán thực tế đưa ra không biểu diễn được tính phức tạp của tình huống thực tế mà đã được lược bỏ bớt các yếu tố thực tế để dữ kiện vừa đủ không thừa, không thiếu Do đó, ở bước 1: quá trình toán học hóa (theo Bélair) là dịch ngôn ngữ thực tế thành ngôn ngữ toán học bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa các biến và

các tham số trong tình huống để tạo ra phương trình (hệ các phương trình) được thực hiện khá đơn giản

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được SGK đưa vào như là một cơ hội để rèn luyện cho HS năng lực vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn ở lớp

10 Trong chủ đề này có thể khai thác được nhiều dạng toán gần gũi với đời sống thực tiễn như: bài toán vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ, bài toán thực đơn, bài toán pha trộn Tuy nhiên trong SGK toán lớp 10 hiện hành, ở phần lý thuyết khi trình bày về

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn chỉ đưa ra duy nhất một ví dụ về bài toán có nội dung thực tiễn; đó là ví dụ trong mục “Áp dụng vào một bài toán kinh tế” Qua đó chúng tôi thấy cả hai bộ SGK đều chỉ cho học sinh thấy được tính thực tiễn của kiến thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn áp dụng trong kinh tế mà SGK không đưa ra các dạng toán gần gũi với đời sống như: bài toán vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ, bài toán thực đơn, bài toán pha trộn

Chúng tôi sẽ phân tích một trong số các bài tập này để xem vấn đề mô hình hóa tồn tại như thế nào Chúng tôi lựa chọn bài toán trong mục “Áp dụng vào một bài toán kinh tế” là do đối với bài này, SGK đã trình bày chi tiết về lời giải, qua đó, chúng tôi

có thể đánh giá về mức độ MHH, những hoạt động đại số nào tham gia vào quá trình giải, năng lực đại số nào có thể được hình thành cho HS?

Bài toán trang 97 SGK Đại Số 10 CB liên quan đến kiển nhiệm vụ TPATU: “Tìm phương án tối ưu cho bài toán thực tế”

Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí

hiệu là I và II Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại

II lãi 1,6 triệu đồng Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1

trong 3h và máy M2 trong 1h Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải

dùng máy M1 trong 1h và máy M2 trong 1h Một máy không thể dùng để sản

xuất đồng thời hai loại sản phẩm Máy M1 làm việc không quá 6h một ngày,

máy M2 làm việc không quá 4h một ngày Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho

tổng số tiền lãi cao nhất

Lời giải bài toán được trình bày trong SGK 10 CB như sau:

Gọi x y , theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong một

ngày Như vậy tiền lãi mỗi ngày là (triệu đồng)

và số giờ làm việc (mỗi ngày) của máy M1 là và máy M2 là

Vì mỗi ngày máy M1 chỉ làm việc không quá 6h, máy M2 không quá 4h nên

phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

Bài toán trở thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (2), tìm nghiệm

sao cho lớn nhất

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) là tứ giác OAIC kể cả miền trong

(gọi là miền tứ giác OAIC) xem ví dụ ở mục III hình 30

Người ta chứng minh được rằng biểu thức đạt được giá trị lớn

nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OAIC (xem bài đọc thêm) Tính giá trị

của biểu thức tại tất cả các đỉnh của tứ giác OAIC, ta thấy L

Quy hoạch tuyến tính ở bậc đại học Bài toán được phát biểu dưới dạng lời nói và đã

lược bỏ các dữ kiện thực tế và chỉ giữ lại các dữ kiện gần với toán học

Để giải bài toán này, SGK gọi là các đối tượng cần tìm, điều kiện của ẩn cũng được SGK chú ý từ ngay khi gọi ẩn Việc lập các bất phương trình, phương trình cũng được SGK hướng dẫn chi tiết bằng cách dịch giả thiết bằng lời qua ngôn ngữ toán học Như vậy, các bất phương trình có thể xem là đã xuất hiện dưới dạng lời nói ngay từ

đầu và được thể hiện qua các từ ngữ như là “không quá” (Máy M 1 làm việc không quá 6h một ngày, máy M 2 làm việc không quá 4h một ngày) Sau khi bài toán kinh tế được

chuyển sang bài toán toán học thì bây giờ nhiệm vụ của HS là đi xác định xem biểu thức tiền lãi thu được mỗi ngày sẽ đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào và đây chính là một bài toán cực trị

Năng lực đại số được thể hiện thông qua quá trình mô hình hóa mà SGK thể hiện trong lời giải của bài toán như sau:

Bước 1- Toán học hóa:

SGK gọi là các đối tượng cần tìm sau đó thiếp lập mối quan hệ giữa các biến và các tham số trong tình huống để tạo các bất phương trình, và biểu thức biểu diễn tiền lãi thu được mỗi ngày Quá trình này đã diễn tả tình huống thực tế bằng ngôn ngữ toán học Qua đó, cho phép HS hiểu được bản chất của bài toán thực tế ban đầu và nhiệm vụ cần làm là tìm giá trị sao cho đạt GTLN Trong bước này, năng lực đại số được thể hiện là khả năng sử dụng chữ cái để gọi ẩn (số tấn sản phẩm loại I, II), đồng thời sử dụng dấu các phép toán, dấu bất đẳng thức để tạo ra miền ràng buộc là các bất phương trình, và biểu thức biểu thị cho hàm mục tiêu để biểu thị cho tình huống của bài toán

Bước 2- Giải quyết bài toán toán học:

- SGK sử dụng công cụ toán học (PPHH) để tìm ra nghiệm cho hệ các bất phương trình Sau đó tìm GTLN của bằng cách tính giá trị của tại các đỉnh của đa giác OAIC Ở bước này, năng lực đại số được thể hiện là khả năng huy động công cụ đại số phù hợp vào để xác định nghiệm hệ bất phương trình bậc nhất hai

ẩn như: sử dụng phương pháp đồ thị để tìm nghiệm hệ bất phương trình, bằng cách kết nối các bất phương trình với các đường thẳng tương ứng với chúng, sau đó sử dụng PPHH hoặc PPĐS để xác định giao điểm của các đường thẳng…

Bước 3- Trả lời cho bài toán thực tiễn:

Với kết quả thu được ở bước 2, SGK sử dụng nó để đưa ra câu trả lời cho vấn đề thực tiễn ban đầu Tuy nhiên, SGK cũng không đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình

hóa Các bước trong quá trình mô hình hóa không phải chỉ thực hiện tuyến tính mà chúng có mối liên hệ tác động qua lại lẫn nhau Vì thế, để tuân thủ đầy đủ các bước của mô hình hóa thì SGK không những cần đối chiếu với thực tế mà còn cần phân tích

và kiểm tra lại kết quả thu được ở bước 2 trước khi đối chiếu chúng với tình hình thực

tế, bởi vì, khi vận dụng đại số vào giải quyết bài toán thì một khía cạnh nào đó SGK đã lược bỏ đi các yếu tố thực tế để đưa chúng trở thành bài toán toán học Vậy câu hỏi đặt

ra là: mô hình toán học có phản ánh đúng nghĩa của bài toán thực tế? Hay có cơ sở nào

để đảm bảo rằng mọi tính toán trong lời giải, trong thuật toán là hoàn toàn không có sai sót? Do đó, kết quả thu được từ bài toán toán học có thể phù hợp hoặc không phù hợp với thực tiễn được mô hình hoá

Từ những phân tích về năng lực đại số trong quá trình MHH, chúng tôi đã xác định được các mặt khác nhau của năng lực đại số trong việc giải bài toán tối ưu tuyến tính Tuy nhiên, để tìm hiểu cụ thể những năng lực đại số nào được thể hiện trong quá trình giải, chúng tôi sẽ thực hiện công việc phân tích được tiến hành cho hai cấu phần đầu tiên “xử lí đại số và mối quan hệ số học/ đại số” để phân tích bài toán trên Các giá trị tổng thể được giữ lại phân tích sẽ cho phép mô tả một cách liền mạch những hoạt động đại số tham gia như thế nào trong quá trình giải Hai cấu phần đầu tiên được giữ lại để phân tích bao gồm các tiêu chí và các giá trị tổng thể như sau:

Bảng 2 2 Cấu trúc phân tích đa chiều đại số

Các cấu phần Các tiêu chí Các giá trị tổng thể

Xử lí đại số

Loại xử lí đại số : các

nhiệm vụ tính toán số Các nhiệm vụ đại số mức 1 Các nhiệm vụ đại số mức 2 Diễn giải một biểu thức đại

số Diễn dịch/móc nối với công

thức Diễn dịch/ Hình thành

Sử dụng đại số để chứng

Chính xác/ không chính xác/ không xử lí

minh

Mối quan hệ số học /đại số

Phương pháp giải Số học/ đại số

Vai trò của dấu bằng Thông báo kết quả/ tương

cấu trúc

Xử lí đại số:

Qua cách trình bày lời giải của SGK chúng tôi nhận thấy để giải quyết bài toán này đòi hỏi phải xử lí về mặt đại số (bao gồm nhiệm vụ về số (tính toán) và đại số (tính toán đại số, giải phương trình)) Tức là yêu cầu diễn dịch và diễn giải các giả thiết bằng lời để tạo ra các biểu thức về đại số (Ví dụ:

Đề tìm ra câu trả lời chính xác cho bài toán, thì công đoạn này tiến hành phải chính xác và nếu không chính xác thì đáp án của bài toán sẽ sai, do đó bài toán ban đầu sẽ không được giải quyết Công đoạn này được xem như là bước 1 trong quá trình mô hình hóa theo Bélair.Việc giải bài toán toán học được quy về các nhiệm vụ tính toán các con số (tính toán): tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở (2) (PPHH), tìm tọa độ các đỉnh của

đa giác nghiệm (PPĐS), sau đó tính toán các lợi nhuận khác nhau có thể đạt được tại các đỉnh, bằng cách thay thế chúng vào để tìm ra được lợi nhuận cao nhất:

2.1 1,6.3 6,8

2.2 1, 6.0 4

2.0 1,6.4 6, 4

2.0 1, 6.0 0

Việc tính toán các lợi nhuận khác nhau có thể đạt được số liệu tối đa là 6,8 tại điểm

và tối thiểu là 0 tại điểm (do SGK thừa nhận tính chất: biểu thức L(x,y) có

cực trị và giá trị cực trị đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác) Để trả lời cho bài

toán thực tiễn ban đầu thì học sinh cần phải biết liên hệ với tình hình thực tế SGK đưa

ra kết luận: “Vậy để có số lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và

3 tấn sản phẩm loại II”

Mối quan hệ Số học/ Đại số

Việc giải bài toán tối ưu tuyến tính có thể thực hiện bằng số học, đại số hoặc hình

học (biểu diễn đường thằng trong hệ trục tọa độ Oxy) SGK sử dụng chữ cái để

gọi ẩn và thiết lập với các ràng buộc của giả thiết để tạo ra phương trình (bất phương

trình) Tuy nhiên, vấn đề về vai trò của đại số trong bước 1 của quá trình mô hình hóa

(Bélair) khó để phân biệt Trong số học, chữ cái cũng được sử dụng để chỉ các đối

tượng Ở giai đoạn lựa chọn các biến chưa biết, rất khó để trả lời về việc SGK sử dụng

phương pháp tiếp cận số học hay đại số? Với sự gợi ý về cách giải hệ bất phương trình

bậc nhất hai ẩn mà SGK đã trình bày trong ví dụ ở mục III hình 30 là sử dụng PPHH

nhưng ở đây chúng tôi khó nhận ra SGK đã sử dụng phương pháp nào để tìm tọa độ

các đỉnh của miền nghiệm

Vai trò của dấu “=”

Dấu bằng được sử dụng:

- Thông báo một kết quả số học Ví dụ: Dấu bằng thông

báo kết quả cho tổng của 2 và 4,8 là 6,8

- Để lập ra các vế tương đương khi xác định điểm (giải phương trình), hoặc tọa

độ đỉnh của hình đa giác (giải bất phương trình) Ví dụ: và như

vậy và Chúng ta có và ,

- Chỉ ra các hàm mục tiêu Ví dụ:

Vai trò của dấu hoặc dấu

Dấu lớn hơn, bé hơn được sử dụng:

- Thể hiện sự không bằng nhau (so sánh) Ví dụ: ,

- Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

- Điều kiện của các ẩn Ví dụ:

Vai trò của các chữ cái

Các chữ cái ,x y được sử dụng để biểu diễn các đại lượng chưa biết của một

phương trình Ví dụ: x y , theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong

một ngày và L là số tiền lãi thu được trong một ngày Các chữ cái được sử dụng để

Vai trò của các đối tượng toán

Các đối tượng toán học ở đây là các biểu thức đại số Phần lớn chúng là: các bất

bé, phép tính…) và các biểu thức Các biểu thức được sử dụng theo hai cách:

- Cách một dùng để tìm đỉnh của đa giác OAIC

- Cách hai dùng để tính giá trị của hàm L khi biết giá trị của

Hệ thống các ràng buộc và điều kiện

Đề bài đưa ra các thông tin cho phép tìm kiếm các hàm mục tiêu (hàm kinh tế):

“Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng” Biểu thức biểu diễn lợi nhuận thu được trong một ngày

Qua việc sử dụng đại số để giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính đã giúp HS phát triển được những năng lực đại số cụ thể như sau:

- Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế, tức là HS biết sử dụng những công cụ kí hiệu của đại số (chữ cái, dấu các phép toán) để chuyển ngôn ngữ thực tế thành ngôn ngữ toán học bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết

- Thực hiện các phép tính số học trên đa thức (tính giá trị của biểu thức tại một giá trị cụ thể)

- Khả năng tạo ra các phương trình và bất phương trình hai biến để mô tả mối quan hệ tuyến tính, bao gồm các tình huống liên quan đến các ràng buộc và diễn giải

sự tồn tại của các sự lựa chọn trong từng ngữ cảnh cụ thể

- Khả năng kết nối giữa các đường thẳng với bất phương trình tuyến tính

- Khả năng giải hệ bất phương trình tuyến tính bằng đồ thị

 Kết luận

Qua phần phân tích trên chúng tôi rút ra được một số kết luận về đặc trưng dạy học

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa:

- Trong thể chế dạy học ở Việt Nam, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đóng vai trò như là công cụ để giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính thuộc lĩnh vực kinh

tế

- Qua KNV TPATU đã rèn luyện cho HS biết toán học hóa một vấn đề ngoài phạm

vi toán học Qua đó, HS thấy được mối liên hệ giữa Toán và thực tiễn

- Trong các bài toán thuộc KNV TPATU bước 3 của tiến trình mô hình hoá không đầy đủ, thiếu khâu liên hệ với thực tế Điều này, theo chúng tôi là do chủ ý của SGK là chỉ nhằm giới thiệu ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, và rèn luyện cho HS biết chuyển bài toán thực tế thành bài toán toán học, kĩ năng giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên các bài toán thực tế đưa ra không biểu diễn được tính phức tạp của tình huống thực tế mà đã được lược bỏ bớt các yếu tố thực tế, và lời giải của bài toán toán học luôn là câu trả lời cho bài toán thực tế ban đầu

- Qua phân tích về hoạt động đại số trong tiến trình MHH, SGK sử dụng đại số vào để giải quyết các bài toán tối ưu tuyến tính nhằm rèn luyện và phát triển những năng lực đại số cho HS Sự phân tích trên đã cho thấy các hoạt động đại số và chuyển

về phương trình (tìm tọa độ của đỉnh của đa giác nghiệm) đã mang lại giải pháp cho việc giải quyết bài toán tối ưu tuyến tính Chúng tôi nhận thấy rằng bậc phổ thông dành rất ít thời gian cho các hoạt động này và học sinh không phải thường xuyên tiến hành việc giải quyết vần đề bằng đại số để tìm ra các thuật toán (phương trình hệ phương trình) và sử dụng chúng Ngoài ra, SGK mong muốn HS tự có thể móc nối

giữa giả thiết bài toán thực tế với kiến thức toán đã học để tạo ra các công thức toán học, bằng cách sử dụng đại số HS phải tự kiểm tra và chứng minh được sự đúng đắn

về công thức toán học đã đưa ra Các thao tác trên phải thực hiện một cách chính xác thì mới tìm được đáp án phù hợp

Ngoài ra, nội dung các bài toán này chủ yếu thuộc lĩnh vực kinh tế, nên chúng tôi

sẽ tiếp tục tiến hành phân tích một SGK của thể chế khác, để xem hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn còn có những ứng dụng trong các ngành nào khác hay không? Chúng tôi sẽ phân tích sự trình bày hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Precalculus của tác giả Franklin D.Demana và cộng sự, để tìm yếu tố cho phép trả lời một phần câu hỏi:

CH3: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày như thế nào trong SGK Mỹ? Chúng cho phép giải quyết những vấn đề gi? Vấn đề MHH được quan tâm ở mức độ nào? Có sự chênh lệch nào giữa SGK toán 10 và SGK Mỹ về tri thức hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn liên quan đến MHH?

2.2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Toán ở Mỹ

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày trong chương 7 “hệ và ma

trận”, mục 7.5 “hệ bất phương trình hai ẩn” Có điểm khác so với SGK toán 10 Việt

Nam, ngay từ tên đơn vị bài học chỉ nhắc đến hệ bất phương trình hai ẩn mà không nhắc gì đến hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Điều này có thể cho thấy, SGK Mỹ muốn cung cấp cho HS cái nhìn tổng quát cho hệ bất phương trình hai ẩn chứ không riêng cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Về phương diện lý thuyết, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày về định nghĩa miền nghiệm, nhận xét giúp xác định miền nghiệm, thuật toán xác định miền nghiệm và ví dụ cụ thể Tuy nhiên, về phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, thì tương tự như sự trình bày trong SGK VN, SGK

Mỹ cũng chỉ đưa ra một kĩ thuật duy nhất đó là PPHH (sử dụng đồ thị)

Chúng tôi nhận thấy rằng, các KNV trong SGK Mỹ cũng tương tự như trong SGK

VN Chúng tôi tiến hành thống kê số lượng bài tập trong SGK Mỹ ứng với các KNV này, đồng thời chúng tôi phân tích các bài toán liên quan đến thực tế để chỉ ra hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm giải quyết vấn đề gì?

Bảng 2 3 Bảng thống kê số lượng bài tập liên quan đến bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn

Kí hiệu

Số lượng Bài toán

toán học

Bài toán thực tế

f axby được giới hạn bởi hệ bất phương trình

T PATU

Tìm phương án tối ưu cho

Từ bảng 3.1 chúng tôi thấy được bài toán liên quan đến các KNV TNbpt, TNhbpt và

TGTLN-GTNN đều là những bài toán toán học (chiếm 34/40), bài toán ngoài phạm vi toán học chỉ chiếm 6/40 thuộc KNV TPATU Để trả lời cho câu hỏi hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có những ứng dụng nào, chúng tôi sẽ tiến hành liệt kê các bài toán liên quan đến KNV TPATU

Kiểu nhiệm vụ T PATU Tìm phương án tối ưu cho bài toán tuyến tính

Một trong những bài tập thực tế liên quan đến KVN này:

VD7 trang 568: Mua phân bón

Xưởng của Johnson đang mua phân bón có hai chất dinh dưỡng: N (nitrogen)

và P (phosphorus) Họ cần ít nhất 180 đơn vị N và 90 đơn vị P Nhà cung cấp

của họ có hai thương hiệu phân bón cho họ chọn Thương hiệu A có giá 10 đô

la một bao chứa 4 đơn vị N và 1 đơn vị P Thương hiệu B có giá 5 đô la một túi

chứa 1 đơn vị của mỗi chất dinh dưỡng Xưởng của Johnson có thể trả tối đa

800 đô la cho phân bón Cần mua bao nhiêu bao của mỗi thương hiệu để giảm

thiểu chi phí?

VD8 trang 569: Giảm chi phí vận hành

Xưởng sản xuất của Gonza có hai nhà máy sản xuất ba loại giấy: loại kém,

trung bình và cao cấp Nó cần cung cấp 24 tấn chất lượng kém, 6 tấn chất

lượng trung bình và 30 tấn giấy cao cấp Nhà máy A sản xuất 8 tấn cao cấp, 1

tấn cấp trung bình, 2 tấn giấy cao cấp hàng ngày, và giá 2.000 USD mỗi ngày

để vận hành Nhà máy B sản xuất 2 tấn chất lượng kém, 1 tấn cấp trung bình, 8

tấn giấy cao cấp hàng ngày và chi phí 4.000 USD mỗi ngày để vận hành Mỗi

nhà máy phải hoạt động bao nhiêu ngày để hoàn thành các đơn đặt hàng với

chi phí tối thiểu?

Các bài toán trên là bài toán chi phí: theo đó, các nhà sản xuất tìm mọi cách để có thể giảm thiểu được chi phí hoạt động của doanh nghiệp (chi phí sản xuất, chi phí nhân công, chi phí mua nguyên liệu, chi phí máy móc…)

Chúng tôi nhận thấy rằng, các bài toán thuộc KNV TPATU đều là những bài toán phỏng thực tiễn (dữ kiện đủ để thiết lập mô hình toán học), vì vậy bước 1 của quá trình MHH chỉ là dịch từ giả thuyết bằng lời thành ngôn ngữ toán học, đáp án tìm được ở bước 2 luôn là câu trả lời cho bài toán ban đầu, do đó bước 3 thiếu khâu liên hệ với thực tế Theo đó, chúng tôi chọn ra hai bài trên để phân tích sự hiện diện của MHH, và các hoạt động đại số tham gia vào quá trình giải Sở dĩ có sự lựa chọn như vậy là do 2 bài toán này sẽ cho chúng tôi thấy được trong hoàn cảnh nào thì hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được sử dụng

Lời giải VD7 trong SGK như sau:

Mô hình:

Đặt x = số bao của thương hiệu A

Đặt y = số bao của thương hiệu B

C = tổng chi phí phải trả = 10x 5y là hàm mục tiêu để tìm giá trị nhỏ nhất

Chi phí nhỏ nhất để mua phân bón là $600 khi mua 30 bao của thương hiệu A

và 60 bao của thương hiệu B Với cách mua này, xưởng của Johnson nhận

chính xác 180 đơn vị N và 90 đơn vị P

Trong bài toán này, SGK đã hướng dẫn khá chi tiết về cách chọn ẩn, điều kiện cho

ẩn, cách lập hàm mục tiêu với hệ ràng buộc là bất phương trình bậc nhất hai ẩn Ẩn

được chọn được nêu ra trong câu hỏi cuối bài: “cần mua bao nhiêu bao mỗi thương

hiệu để giảm thiểu chi phí?”

Ở bài toán này, mô hình toán học chưa cho trước Để giải bài toán này, trước tiên

HS cần lập mô hình toán học dựa vào các dữ kiện của bài toán Dữ kiện bài toán cho sẵn về giá thành của hai loại phân bón, tiền mà doanh nghiệp có thể chi trả cho việc mua phân bón, vì thế, việc lập hàm mục tiêu, hệ ràng buộc chỉ là việc dịch giả thiết bằng lời thành kí hiệu toán học Như vậy, các bất phương trình có thể xem là đã xuất hiện dưới dạng lời nói được thể hiện qua các từ ngữ như là “ít nhất” (Họ cần ít nhất

180 đơn vị N và 90 đơn vị P)

Qua đó thấy được bài toán thực tế chỉ đưa ra dữ kiện vừa đủ để thiết lập mô hình toán học mà không thể hiện đầy đủ được sự phức tạp của tình huống thực tế Do đó, kết quả bài toán toán học tìm được luôn là đáp án cho bài toán thực tế ban đầu

Qua lời giải mà SGK đã trình bày chúng tôi sẽ phân tích những hoạt động đại số được

sử dụng thông qua các bước của MHH để chỉ ra tầm quan trọng phải giải quyết bài toán tối ưu tuyến tính bằng đại số

- Bước 1 - Toán học hóa vấn đề:

Trong bước này, SGK sử dụng bộ công cụ kí hiệu của đại số: dấu các phép toán, dấu bằng, dấu bất đẳng thức, chữ để chuyển bài toán thực tế trên thành bài toán toán học như sau:

SGK sử dụng chữ cái ,x y để gọi ẩn:

Đặt x = số bao của thương hiệu A

Đặt y = số bao của thương hiệu B

Ẩn được chọn được xuất hiện trong câu hỏi

Và sử dụng chữ cái C để thiết lập hàm mục tiêu: C 10x 5y

Sau đó diễn dịch và diễn giải các giả thiết bằng lời để tạo ra các bất phương trình:

4x y 180 được dịch từ giả thiết “cần ít nhất 180 đơn vị N”

90

x y được dịch từ giả thiết “cần ít nhất 90 đơn vị P”

10x 5y 800 dịch từ giả thiết “Xưởng của Johnson có thể trả tối đa 800 đô la cho